Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)


Для цитирования:

Говорухин В. Н. Численное исследование динамической системы, порождаемой CABC векторным полем // Известия вузов. ПНД. 2020. Т. 28, вып. 6. С. 633-642. DOI: 10.18500/0869-6632-2020-28-6-633-642

Полный текст в формате PDF(Ru):
(загрузок: 25)
Язык публикации: 
русский
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
532.54:51-72
DOI: 
10.18500/0869-6632-2020-28-6-633-642

Численное исследование динамической системы, порождаемой CABC векторным полем

Авторы: 
Говорухин Василий Николаевич, Южный федеральный университет
Аннотация: 

Цель настоящего исследования состоит в построении винтового векторного поля и анализе порождаемой им динамической системы. Классическим примером такого поля является ABC (Arnold–Beltrami–Childress, Арнольд– Бельтрами–Чилдресс) течение, являющееся стационарным решением уравнений динамики идеальной несжимаемой жидкости. В статье численно изучается структура фазового пространства динамической системы, определяемой построенным векторным полем при различных предположениях. Методы. При построении динамической системы использован подход, предложенный для винтовых полей из класса CABC-течений (Compressible ABC). Основным инструментом изучения является численный анализ на основе построения и исследования отображения Пуанкаре. Для численного решения задачи Коши используется метод Рунге–Кутты 8-го порядка точности с постоянным шагом. Результаты. Для нового примера винтового векторного поля даны аналитические выражения его компонент, изучена структура фазового пространства порождённой им трёхмерной нелинейной динамической системы. Рассмотрены интегрируемый случай и два типа его возмущения, названных «сжимаемыми» и «несжимаемыми». Показано, что фазовое пространство в присутствии возмущений первого типа состоит из стационарных, периодических и квазипериодических траекторий, но имеет сложную структуру – в отображении Пуанкаре имеется множество седловых особых точек и периодических орбит, разделённых переплетением сепаратрис. При «несжимаемом» возмущении развитие динамики происходит согласно сценариям КАМ-теории с возникновением хаотических областей. Заключение. В работе представлен новый пример винтового векторного поля, которое при дополнительных условиях на параметры превращается в известное ABC-течение. Обнаруженную в результате вычислений сложную структуру фазового пространства можно интерпретировать как переходную от интегрируемой к неинтегрируемой, несмотря на отсутствие хаотических траекторий.

Список источников: 
  1. Arnold V.I. Sur topologie des ecoulements stationaires des fluides parfaits // C.R. Acad. Sci. Paris. 1965. Vol. 261. P. 17–20.
  2. Childress S. New solutions of the kinematic dynamo problem // J. Math.Phys. 1970. Vol. 11. P. 3063–3076.
  3. Dombre T., Frisch U., Greene J.M., Henon M., Mehr A., Soward A.M. Chaotic streamline and Lagrangian turbulence: The ABC-flows // J. Fluid Mech. 1986. Vol. 167. P. 353–391.
  4. Rorai C., Rosenberg D., Pouquet A., Mininni P.D. Helicity dynamics in stratified turbulence in the absence of forcing // Physical Review E – Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics. 2013. Vol. 87, no. 6. Art. № 063007.
  5. Moffatt H.K. Magnetostatic equilibria and analogous euler flows of arbitrarily complex topology. Part 2. Stability considerations // Journal of Fluid Mechanics. 1986. Vol. 166. P. 359–378.
  6. Tomin D., Sokoloff D. Dynamo in fluctuating ABC flow // Geophysical and Astrophysical Fluid Dynamics. 2010. Vol. 104, no. 2–3. P. 183–188.
  7. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Усиков Д.А., Черников А.А. Слабый хаос и квазирегулярные структуры. М.: Наука, 1991. 236 с.
  8. Sulman M.H.M., Huntley H.S., Lipphardt B.L., Kirwan A.D. Leaving flatland: Diagnostics for Lagrangian coherent structures in three-dimensional flows // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2013. Vol. 258. P. 77–92.
  9. Blazevski D., Haller G. Hyperbolic and elliptic transport barriers in three-dimensional unsteady flows // Physica D. 2014. Vol. 273–274. P. 46–62.
  10. Morgulis A., Yudovich V.I. and Zaslavsky G.M. Compressible helical flows // Comm. on Pure and Applied Math. 1995. Vol. XLVIII. P. 571–582.
  11. Govorukhin V.N., Morgulis A., Yudovich V.I., Zaslavsky G.M. Chaotic advection in compressible helical flow // Physical Review E. 1999. Vol. 60, no. 3. P. 2788–2798.
  12. Xiao-Hua Zhao, Keng-Huat Kwek, Ji-Bin Li, Ke-Lei Huang. Chaotic and Resonant Stream-lines in the ABC Flow // SIAM Journal on Applied Mathematics. 1993. Vol. 53, no. 1. P. 71–77.
  13. Didov A.A., Uleysky M.Y. Nonlinear resonances in the ABC-flow // Chaos. 2018. Vol. 28, no. 1. Art. no. 013123.
  14. Ershkov S.V. About existence of stationary points for the Arnold–Beltrami–Childress (ABC) flow. Applied Mathematics and Computation. 2016. Vol. 276. P. 379–383.
  15. Зиглин С.Л. Аналитическое доказательство неинтегрируемости АВС-течения при A=B=C // Функц. анализ и его прил. 2003. T. 37, № 3. C. 77–80.
  16. Llibre J., Valls C. A note on the first integrals of the ABC system // Journal of Mathematical Physics. 2012. Vol. 53, no. 2. Art. no. 023505.
  17. Yudovich V.I. Secondary cycle of equilibria in a system with cosymmetry, its creation by bifurcation and impossibility of symmetric treatment of it // Chaos. 1995. Vol. 5, no. 2. P. 402–411. 
Поступила в редакцию: 
09.09.2020