Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)


Для цитирования:

Кащенко С. А. Динамика двухкомпонентных параболических систем шредингеровского типа // Известия вузов. ПНД. 2018. Т. 26, вып. 5. С. 81-100. DOI: 10.18500/0869-6632-2018-26-5-81-100

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Полный текст в формате PDF(Ru):
(загрузок: 268)
Язык публикации: 
русский
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
517.9

Динамика двухкомпонентных параболических систем шредингеровского типа

Авторы: 
Кащенко Сергей Александрович, Ярославский государственный университет имени П.Г.Демидова (ЯрГУ)
Аннотация: 

Предмет исследования. Рассматривается локальная динамика важного для приложений класса двухкомпонентных нелинейных систем параболических уравнений. Эти системы содержат малый параметр, который фигурирует в коэффициентах диффузии и характеризует «близость» исходной системы параболического типа к гиперболической системе. При достаточно естественных условиях на коэффициенты линеаризованного уравнения реализуются критические в задаче об устойчивости стационара случаи. Новизна. Важным является то обстоятельство, что эти критические случаи имеют бесконечную размерность: бесконечно много корней характеристического уравнения стремятся к мнимой оси при стремлении к нулю малого параметра. Специфика всех рассматриваемых критических случаев характерна для систем шредингеровского типа и, в частности, для классического уравнения Шредингера. Эти особенности связаны с расположением корней характеристического уравнения. В статье исследуются три наиболее важных случая. Отметим, что они принципиально отличаются друг от друга. Это отличие в своей основе обусловлено наличием в каждом из рассматриваемых случаев специфических резонансных соотношений. Именно эти соотношения определяют структуру нелинейных функций, входящих в нормальные формы. Методы исследования. Предложен алгоритм нормализации, то есть сведения исходной системы к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений для медленно меняющихся амплитуд. Полученные результаты. Выделены ситуации, когда соответствующие системы удается компактно записать в виде краевых задач со специальными нелинейностями. Эти краевые задачи играют роль нормальных форм для исходных параболических систем. Их нелокальная динамика определяет поведение решений исходной системы с начальными условиями из некоторой достаточно малой и не зависящей от малого параметра окрестности состояния равновесия. В качестве важных приложений рассмотрены скалярные комплексные параболические уравнения шредингеровского типа. Выводы. Задача о локальной динамике двухкомпонентных параболических систем шредингеровского типа сводится к изучению нелокального поведения решений специальных нелинейных эволюционных уравнений.    

Список источников: 
  1. Ablowitz M.J., Segur H. Solitons and the inverse scattering transform. Philadelphia: SIAM, 1981. 435 p. (SIAM Studies in Applied Mathematics; 4).
  2. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов. Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980. 319 с.
  3. Naumkin P.I. Solution asymptotics at large times for the non-linear Schrodinger equation // Izvestiya. Mathematics. 1997. Vol. 61, no. 4. P. 757–794. DOI: 10.1070/im1997v061n04ABEH000137.
  4. Hayashi N., Naumkin P.I. Asymptotics of odd solutions for cubic nonlinear Schro-dinger equations // Journal of Differential Equations. 2009. Vol. 246, no. 4. P. 1703– 1722. DOI: 10.1016/j.jde.2008.10.020.
  5. Naumkin P.I. The dissipative property of a cubic non-linear Schrodinger equation // Izvestiya. Mathematics. 2015. Vol. 79, no. 2. P. 346–374. DOI: 10.1070/IM2015v079n02ABEH002745.
  6. Shatah J. Normal forms and quadratic nonlinear Klein–Gordon equations // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1985. Vol. 38, no. 5. P. 685–696. DOI: 10.1002/cpa.3160380516.
  7. Gourley S.A., Sou J.W.-H., Wu J.H. Nonlocality of reaction-diffusion equations induced by delay: Biological modeling and nonlinear dynamics // Journal of Mathematical Sciences. 2004. Vol. 124, no. 4. P. 5119–5153. DOI: 10.1023/B:JOTH.0000047249.39572.6d.
  8. Haken H. Brain Dynamics: Synchronization and Activity Patterns in Pulse-coupled Neural Nets with Delays and Noise. Berlin: Springer Verlag, 2007. 257 p. (Springer eries in Synergetics).
  9. Kuang Y. Delay Differential Equations : With Applications in Population Dynamics. Boston : Academic Press, 1993. 410 p. (Mathematics in science and engineering; 191).
  10. Kuramoto Y. Chemical Oscillations, Waves, and Turbulence. Berlin: Springer Verlag, 1984. 164 p. (Springer Series in Synergetics; 19). DOI: 10.1007/978-3-642-69689-3.
  11. Marsden J.E., McCracken M.F. The Hopf Bifurcation and Its Applications. New York: Springer, 1976. 421 p. (Applied Mathematical Sciences; 19). DOI: 10.1007/978-1-4612-6374-6. 
  12. Bokolishvily I.B., Kaschenko S.A., Malinetskii G.G., et al. Complex ordering and stochastic oscillations in a class of reaction-diffusion systems with small diffusion // Journal of Nonlinear Science. 1994. Vol. 4, no. 1. P. 545–562. DOI: 10.1007/BF02430645.
  13. Кащенко С.А. О квазинормальных формах для параболических уравнений с малой диффузией // Доклады Академии наук СССР. 1988. Т. 299, № 5. С. 1049– 1052.
  14. Kaschenko S.A. Normalization in the systems with small diffusion // International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 1996. Vol. 6, no. 6. P. 1093-1109. DOI: 10.1142/S021812749600059X.
  15. Grigorieva E.V., Haken H., Kashchenko S.A., et al. Travelling wave dynamics in a nonlinear interferometer with spatial field transformer in feedback // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1999. Vol. 125, no. 1/2. P. 123–141. DOI: 10.1016/S0167-2789(98)00196-1.
  16. Kaschenko I.S., Kaschenko S.A. Local dynamics of the two-component singular perturbed systems of parabolic type // International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 2015. Vol. 25, no. 11. P. 1550142. DOI: 10.1142/S0218127415501424.
  17. Kashchenko I.S., Kashchenko S.A. Dynamics of the Kuramoto equation with spatially distributed control // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2016. May. Vol. 34. P. 123–129. DOI: 10.1016/j.cnsns.2015.10.011.
  18. Kaschenko S.A. Bifurcational features in systems of nonlinear parabolic equations with weak diffusion // International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 2005. Vol. 15, no. 11. P. 3595–3606. DOI: 10.1142/S0218127405014258.
  19. Courant R., Robbins H. What is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods / rev. by I. Stewart. 2nd ed. New York: Oxford University Press, 1996. 591 p.
  20. Кащенко С.А. Исследование устойчивости решений линейных параболических уравнений с близкими к постоянным коэффициентами и малой диффузией // Труды семинара имени И.Г. Петровского. М., 1991. Вып. 15. С. 128–155.
  21. Кащенко С.А. Нормальная форма для уравнения Кортевега–де Фриза–Бюргерса // Доклады Академии наук. 2016. Т. 468, № 4. С. 383–386. DOI: 10.7868/S0869565216160052.
Поступила в редакцию: 
17.05.2018
Принята к публикации: 
12.07.2018
Опубликована: 
31.10.2018
Краткое содержание:
(загрузок: 79)