Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)


Для цитирования:

Корнута А. А., Лукьяненко В. А. Динамика решений одного нелинейного функционально-дифференциального уравнения параболического типа // Известия вузов. ПНД. 2022. Т. 30, вып. 2. С. 132-151. DOI: 10.18500/0869-6632-2022-30-2-132-151

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Полный текст в формате PDF(Ru):
(загрузок: 515)
Язык публикации: 
русский
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
517.957

Динамика решений одного нелинейного функционально-дифференциального уравнения параболического типа

Авторы: 
Корнута Анжелика Александровна, Крымский федеральный университет имени В.И. Вернадского
Лукьяненко Владимир Андреевич, Крымский федеральный университет имени В.И. Вернадского
Аннотация: 

Целью работы является исследование начально-краевой задачи для параболического функционально-дифференциального уравнения в кольцевой области, которое описывает динамику фазовой модуляции световой волны, прошедшей тонкий слой нелинейной среды керровского типа в оптической системе с контуром обратной связи, с преобразованием поворота (отвечает оператор инволюции) и условиями Неймана на границе в классе периодических функций. Более подробно исследуются пространственно-неоднородные стационарные решения, бифурцирующие из пространственно-однородного стационарного решения в результате бифуркации типа «вилка» и периодические по времени решения типа «бегущая волна». Методы. Для представления исходного уравнения в виде нелинейных интегральных уравнений используется функция Грина. Применяется метод центральных многообразий для доказательства теоремы о существовании в окрестности бифуркационного параметра решений указанного уравнения и исследования их асимптотической формы. Численное моделирование пространственно-неоднородных решений и бегущих волн проведено с использование метода Галёркина. Результаты. Получены интегральные представления рассматриваемой задачи в зависимости от вида линеаризованного оператора. С использованием метода центральных многообразий доказана теорема о существовании и асимптотической форме решений начально-краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения параболического типа с оператором инволюции на кольце. В результате численного моделирования, основанного на галёркинских аппроксимациях, в рассматриваемой задаче построены приближенные пространственно-неоднородные стационарные решения и периодические по времени решения типа бегущей волны. Заключение. Предложенная схема применима не только к инволютивным операторам поворота и условиям Неймана на границе кольца, но и к другим краевым условиям и круговым областям. Представление исходной начально-краевой задачи в виде нелинейных интегральных уравнений второго рода позволяет более просто находить коэффициенты асимптотических разложений, доказывать теоремы существования и единственности, а также использовать различное число коэффициентов разложения нелинейной составляющей в правой части исходного уравнения в окрестности выделенного решения (например, стационарного). Визуализация численного решения подтверждает теоретические выкладки и показывает возможность формирования сложных фазовых структур.

Список источников: 
  1. Ахманов С. А., Воронцов М. А., Иванов В.Ю. Генерация структур в оптических системах с двумерной обратной связью: на пути к созданию нелинейно-оптических аналогов нейронных сетей // В кн.: Новые физические принципы оптической обработки информации. М.: Наука, 1990. С. 263–325.
  2. Разгулин А. В. Задача управления двумерным преобразованием пространственных аргументов в параболическом функционально-дифференциальном уравнении // Дифференциальные уравнения. 2006. T. 42, № 8. С. 1078–1091.
  3. Разгулин А. В. Нелинейные модели оптической синергетики. М.: МАКС Пресс, 2008. 203 с.
  4. Akhmanov S. A., Vorontsov M. A., Ivanov V. Y., Larichev A. V., Zheleznykh N. I. Controlling transverse-wave interactions in nonlinear optics: generation and interaction of spatiotemporal structures // J. Opt. Soc. Am. B. 1992. Vol. 9, no. 1. P. 78–90. DOI: 10.1364/JOSAB.9.000078.
  5. Vorontsov M. A., Razgulin A. V. Properties of global attractor in nonlinear optical system having nonlocal interactions // Photonics and Optoelectronics. 1993. Vol. 1, no. 2. P. 103–111.
  6. Chesnokov S. S., Rybak A. A. Spatiotemporal chaotic behavior of time-delayed nonlinear optical systems // Laser Physics. 2000. Vol. 10, no. 5. P. 1061–1068.
  7. Iroshnikov N. G., Vorontsov M. A. Transverse rotating waves in the non-linear optical system with spatial and temporal delay // In: Frontiers in Nonlinear Optics: The Sergei Akhmanov Memorial Volume / Ed. by Walther H., Koroteev N., Scully M. O. Boca Raton: CRC Press, 1993. P. 261–278.
  8. Razgulin A. V. Finite-dimensional dynamics of distributed optical systems with delayed feedback // Computers and Mathematics with Applications. 2000. Vol. 40, no. 12. P. 1405–1418. DOI: 10.1016/S0898-1221(00)00249-2.
  9. Каменский Г. А., Мышкис А. Д., Скубачевский А. Л. О минимуме квадратичного функционала и о линейных краевых задачах эллиптического типа с отклоняющимися аргументами // УМН. 1979. T. 34, № 3(207). С. 197–198.
  10. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М: Мир, 1967. 548 с.
  11. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 424 с.
  12. Скубачевский А. Л. О бифуркации Хопфа для квазилинейного параболического функционально-дифференциального уравнения // Дифференциальные уравнения. 1998. T. 34, № 10. С. 1394–1401.
  13. Варфоломеев Е. М. О бифуркации Андронова–Хопфа для квазилинейных параболических функционально-дифференциальных уравнений с преобразованиями пространственных переменных // УМН. 2007. T. 62, № 2(374). С. 173–174. DOI: 10.4213/rm6389.
  14. Варфоломеев Е. М. О некоторых свойствах эллиптических и параболических функционально-дифференциальных операторов, возникающих в нелинейной оптике // Современная математика. Фундаментальные направления. 2007. T. 21. С. 5–36.
  15. Муравник А. Б. О задаче Коши для некоторых неоднородных дифференциально-разностных параболических уравнений // Математические заметки. 2003. T. 74, № 4. С. 538–548. DOI: 10.4213/mzm288.
  16. Муравник А. Б. Функционально-дифференциальные параболические уравнения: интегральные представления и качественные свойства решений задачи Коши // Современная математика. Фундаментальные направления. 2014. T. 52. С. 3–141.
  17. Разгулин А. В. Ротационные волны в оптической системе с двумерной обратной связью // Математическое моделирование. 1993. T. 5, № 4. С. 105–119.
  18. Разгулин А. В., Романенко Т. Е. Вращающиеся волны в параболическом функционально-дифференциальном уравнении с поворотом пространственного аргумента и запаздыванием // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2013. T. 53, № 11. С. 1804–1821. DOI: 10.7868/S0044466913110136.
  19. Романенко Т. Е. Двумерные вращающиеся волны в функционально-дифференциальном уравнении диффузии с поворотом пространственных аргументов и запаздыванием // Дифференциальные уравнения. 2014. T. 50, № 2. С. 260–263. DOI: 10.1134/S0374064114020149.
  20. Белан Е. П. О взаимодействии бегущих волн в параболическом функционально-дифференциальном уравнении // Дифференциальные уравнения. 2004. T. 40, № 5. С. 645–654.
  21. Белан Е. П. О динамике бегущих волн в параболическом уравнении с преобразованием сдвига пространственной переменной // Журнал математической физики, анализа, геометрии. 2005. T. 1, № 1. C. 3–34.
  22. Белан Е. П., Хазова Ю. А. Динамика стационарных структур в параболической задаче на окружности с отражением пространственной переменной // Динамические системы. 2014. T. 4, № 1–2(32). C. 43–57.
  23. Белан Е. П., Шиян О. В. Автоколебательные режимы горения вдоль полосы // Динамические системы. 2009. № 27. C. 3–16.
  24. Корнута А. А. Метаустойчивые структуры в параболическом уравнении на окружности с поворотом пространственной переменной // Динамические системы. 2014. T. 4, № 1–2(32). С. 59–75.
  25. Белан Е. П., Лыкова О. Б. Вращающиеся структуры в параболическом функционально-дифференциальном уравнении // Дифференциальные уравнения. 2004. T. 40, № 10. С. 1348–1357.
  26. Ларичев А. В. Динамические процессы в нелинейных оптических системах с двумерной обратной связью: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.04.21. М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 1995. 108 с.
  27. Grigorieva E. V., Haken H., Kashchenko S. A., Pelster A. Travelling wave dynamics in a nonlinear interferometer with spatial field transformer in feedback // Physica D. 1999. Vol. 125, no. 1–2. P. 123–141. DOI: 10.1016/S0167-2789(98)00196-1.
  28. Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Диффузионный хаос и его инвариантные числовые характеристики // Теоретическая и математическая физика. 2020. T. 203, № 1. C. 10–25. DOI: 10.4213/tmf9824.
  29. Карапетянц Н. К., Самко С. Г. Уравнения с инволютивными операторами и их приложения. Ростов: Издательство Ростовского университета, 1988. 187 с.
  30. Хазова Ю. А., Лукьяненко В. А. Применение интегральных методов для исследования одной параболической задачи // Известия вузов. ПНД. 2019. T. 27, № 4. С. 85–98. DOI: 10.18500/0869-6632-2019-27-4-85-98.
  31. Корнута А. А., Лукьяненко В. А. Функционально-дифференциальные уравнения параболического типа с оператором инволюции // Динамические системы. 2019. T. 9(37), № 4. С. 390–409.
  32. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / Под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. М.: Наука, 1979. 832 с.
  33. Мищенко Е. Ф., Садовничий В. А., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией. М.: Физматлит, 2005. 430 с.
  34. Arecchi F. T., Boccaletti S., Ducci S., Pampaloni E., Ramazza P. L., Residori S. The liquid crystal light valve with optical feedback: A case study in pattern formation // Journal of Nonlinear Optical Physics & Materials. 2000. Vol. 9, no. 2. P. 183–204. DOI: 10.1142/S0218863500000170.
  35. Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения // Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». Динамические системы – 1. M.: ВИНИТИ, 1985. С. 7–140.
  36. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. M.: Мир, 1985. 376 c.
  37. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т. 2. Преобразования Бесселя. Интегралы от специальных функций. М.: Наука, 1970. 328 с. 
Поступила в редакцию: 
15.10.2020
Принята к публикации: 
04.01.2022
Опубликована: 
31.03.2022