Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)


Для цитирования:

Мухин Р. Р. Хаос и неинтегрируемость в гамильтоновых системах // Известия вузов. ПНД. 2006. Т. 14, вып. 1. С. 3-24. DOI: 10.18500/0869-6632-2006-14-1-3-24

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Полный текст в формате PDF(Ru):
(загрузок: 181)
Язык публикации: 
русский
Тип статьи: 
Обзорная статья
УДК: 
537

Хаос и неинтегрируемость в гамильтоновых системах

Авторы: 
Мухин Равиль Рафкатович, Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова (филиал) Национальный исследовательский технологический университет "МИСиС" (СТИ НИТУ МИСиС)
Аннотация: 

Статья посвящена историческому развитию одного из ключевых понятий гамильтоновых систем – неинтегрируемости и ее связи с хаотическим поведением системы. Рассмотрена эволюция от понятия полностью интегрируемой системы до понятия ча- стично интегрируемой. Обсуждается связь неинтегрируемости с такими фундаменталь- ными понятиями нелинейной динамики как колмогоровская устойчивость, системы с разделенным фазовым пространством, диффузия Арнольда, паутина Заславского и др.

Ключевые слова: 
Список источников: 
  1. Козлов В.В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой механике // Успехи мат. наук. 1983. Т. 38, вып. 1. С. 3.
  2. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: ВИНИТИ, 1985.
  3. Козлов В.В. Симметрия, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд-во Удмурт. ун-та, 1995.
  4. Уинтнер А. А. Аналитические основы небесной механики. М.: Наука, 1967.
  5. Молодший В.Н. О. Коши и революция в математическом анализе первой четверти XIX века // Истор.-матем. исслед. 1978. Вып. 23. С. 32.
  6. Демидов С., Петрова С.С., Симонов Н.Н. Обыкновенные дифференциальные уравнения // Математика XIX в. М.: Наука, 1987. С. 80.
  7. Liouville J. Remarques nouvelles sur l’equation de Riccati // J.Math. Pures et Appl. 1841. P. 1.
  8. Bour J. Sur l’integration des equations differentielles de la Mecanique Analytic //  J.Math. Pure et Appl. 1855. Vol. 20. P. 185.
  9. Liouville J. Note a l’occasiondumemoirepr ` ecidentdeM.EdmondBour// Ibid. P. 201.
  10. Аносов Д.В. О развитии теории динамических систем за последнюю четверть века // Студенческие чтения МК НМУ. Вып. 1. М.: МЦНМО, 2000. С. 74.
  11. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л.: ОГИЗ, 1947.
  12. Poincare H. Sur le probleme des trois corps et les`equations de la Dynamique //  Acta Math. 1890. Vol. 13. P. 1.
  13. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики // Избр. труды: В 3 т. М.: Наука, 1971, т. 1; 1972, т. 2.
  14. Биркгоф Д. Динамические системы. Ижевск: РХД, 1999.
  15. Delauney C.E. Theorie du Mouvement de la Lune. Paris, 1860.
  16. Staude O. Uber eine Gattung doppelt reel periodischer Funktionen zweier Varanderlicher // Math. Ann. 1887. Bol. 29. S. 468.
  17. Stackel P. Uber die integration der Hamilton-Jakobischen Differentialgleichung  mittels der Separation der Variabein. Habilationschrift, Halle, 1891.
  18. Джеммер М. Эволюция понятий квантовой механики. М.: Наука, 1985.
  19. Schwarzschild K. Zur Quantenhypotese // Berliner Berichte. 1916. S. 548.
  20. Sommerfeld A. Atombau und Spektrallinien. Braunschweig: Vieweg, 1919; Рус. пер.: Зоммерфельд А. Строение атома и спектры. М.-Л., 1926.
  21. Арнольд В.И. Об одной теореме Лиувилля, касающейся интегрируемых проблем динамики // Сиб. матем. журн. 1963. Т. 4, No 2. С. 471.
  22. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974.
  23. Трофимов В.В., Фоменко А.Т. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений. М.: Факториал, 1995.
  24. Вейль Г. Симметрия. М.: Наука, 1968.
  25. Колмогоров А.Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // ДАН СССР. 1954. Т. 98, No 4. С. 527.
  26. Колмогоров А.Н. Общая теория динамических систем и классическая механика // Межд. матем. конгресс в Амстердаме 1954. М.: Физматгиз, 1961. С. 187.
  27. Арнольд В.И. Доказательство теоремы А.Н. Колмогорова о сохранении условнопериодических движений при малом изменении функции Гамильтона // Успехи мат. наук. 1963. Т. 18, вып. 5. С. 13.
  28. Moser J. On invariant curves of area-preserving mappings of an annuals // Nachr. Akad. Wiss., Gottingen, Math.-Phys. K1. IIa. 1962. No1. P. 1.  
  29. Чириков Б.В. Исследования по теории нелинейного резонанса и стохастичности. Докт. дисс. Новосибирск: ИЯФ СО АН СССР, 1969.
  30. Израйлев Ф.М., Чириков Б.В. Статистические свойства нелинейной струны // ДАН СССР. 1966. Т. 166, No 1. С. 57.
  31. Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике // Успехи мат. наук. 1963. Т. 18, вып. 6. С. 91.
  32. Fermi E. Beweis dass ein Mechnisches Normalsystem in Allgemeinen Quasiergodisch ist // Phys. Zs. 1923. Bol. 24. S. 261; Рус. пер.: Ферми Э. Научн. труды. Т. 1. М.: Наука, 1971. С. 115.
  33. Зигель К. Лекции по небесной механике. М.: ИЛ, 1959.
  34. Джакалья Г. Методы теории возмущений для нелинейных систем. М.: Наука, 1979.
  35. Уиттекер Э. Аналитическая динамика. М.: ОНТИ, 1937.
  36. Contopoulos G. On the existence of a third integral of motion // Astron. J. 1962. Vol. 67, No1. P. 1.
  37. Contopoulos G. A classification of the integrals of motion // Astron. J. 1963. Vol. 138, No4. P. 1297-1.
  38. Henon M., Heiles C. The applicability of the third integral of motion; some numerical experiments // Astron. J. 1964. Vol. 69, No1. P. 73.
  39. ЛихтенбергА., ЛиберманМ.Регулярнаяистохастическая динамика.М.:Мир, 1984.
  40. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука, 1984.
  41. Fermi E., Pasta J., Ulam S. Studies in nonlinear problems // Los-Alamos report 1940. 1955; Рус. пер.: Ферми Э. Научн. труды. Т. 2. М.: Наука, 1972. С. 647.
  42. Chaos. 2005. Vol. 15. 015101.
  43. Солитоны. М.: Мир, 1983.
  44. Израилев Ф.М., Хисамутдинов А.И., Чириков Б.В. Численные эксперименты с нелинейной цепочкой. Препринт 252. Новосибирск: ИЯФ СО АН СССР, 1968. 38 с.
  45. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. О пределах статистического описания нелинейного волнового поля // ЖЭТФ. 1967. Т. 52, вып. 4. С. 1081.
  46. Арнольд В.И. О неустойчивости динамических систем со многими степенями свободы // ДАН СССР. 1964. Т. 156, No 1. С. 9.
  47. Арнольд В.И. Проблема устойчивости и эргодические свойства классических динамических систем // Тр. Межд. конгресса математиков. Москва – 1966. М.: Мир, 1968. С. 387.
  48. Нехорошев Н.Н. О поведении гамильтоновых систем, близких к интегрируемым // Функц. анализ и его приложения. 1971. Т. 5, вып. 4. С. 82.
  49. Нехорошев Н.Н. Метод последовательных канонических замен переменных // МозерЮ.Лекцииогамильтоновыхсистемах.Добавление. М.: Мир, 1973. С. 150.
  50. Гадияк Г.В., Израйлев Ф.М., Чириков Б.В. Предварительные численные эксперименты по диффузии Арнольда. Препринт 74-49. Новосибирск: ИЯФ СО АН СССР, 1974. 24 с.
  51. Гадияк Г.В., Израйлев Ф.М., Чириков Б.В. Численные эксперименты по универсальной неустойчивости в нелинейных колебательных системах (диффузия Арнольда) // VII. Int. Konf. uber nichtlineare Schwingungen. B. II, 1. Berlin: Akademie-Verlag, 1977. S. 315.
  52. Chirikov B.V. A universal instability of many-dimensional oscillator systems // Phys. Rep. 1979. Vol. 52, No5. P. 263.
  53. Лошак П. Каноническая теория возмущений: подход, основанный на совместных приближениях // Успехи мат. наук. 1992. Т. 47, вып. 6. С. 59.
  54. Xia Z. Arnold diffusion in the elliptic restricted three-body problem // J.Dynamics and Diff. Equations. 1993. Vol. 5, No2. P. 219.
  55. Xia Z. Arnold diffusion and oscillating solutions in the planar three-body problem // J.Diff. Equations. 1994. Vol. 110. P. 289.
  56. Chierchia L., Gallavotti G. Drift and diffusion in phase space // Ann. de l’Institut Poincare, B. 1994. Vol. 60. P. 1.  
  57. Алексеев В.М. Лекции по небесной механике. М.: УРСС, 1999.
  58. Мельников В.К. Качественное описание сильного резонанса в нелинейной системе // ДАН СССР. 1963. Т. 148, No 6. С. 1257.
  59. Мельников В.К. Устойчивость центра при периодических по времени возмущениях // Тр. Моск. мат. общества. 1963. Т. 12. С. 3.
  60. Filonenko N.N., Sagdeev R.Z., Zaslavsky G.M. Destruction of magnetic surfaces by magnetic field irregularities. Part II // Nucl. Fusion. 1967. Vol. 7. P. 253.
  61. Мозер Ю. Некоторые аспекты интегрируемых гамильтоновых систем // Успехи мат. наук. 1981. Т. 36, вып. 5. С. 109.
  62. Zaslavsky G.M. Hamiltonian chaos and fractional dynamics. Oxford: Oxford Univ. Press, 2004.
  63. Израйлев Ф.М., Чириков Б.В. Стохастичность простейшей динамической модели с разделенным фазовым пространством. Препринт 191. Новосибирск: ИЯФ СО АН СССР, 1968. 64 с.
  64. Синай Я.Г. Асимптотика числа замкнутых геодезических на компактных многообразиях отрицательной кривизны // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1966. Т. 30, № 6. С. 1275.
  65. Афраймович В.С., Быков В.В., Шильников Л.П. О притягивающих негрубых предельных множествах типа аттрактора Лоренца // Тр. Моск. матем. общества. 1982. Т. 44. С. 150.
  66. Странные аттракторы / Под ред. Я.Г. Синая и Л.П. Шильникова. М.: Мир, 1981.
  67. Арнольд В.И. О рождении условно-периодического движения из семейства периодических движений // ДАН СССР. 1961. Т. 138, № 1. С. 13.
  68. Арнольд В.И. О поведении адиабатического инварианта при медленном периодическом изменении функции Гамильтона // ДАН СССР. 1962. Т. 142, № 4. С. 758.
  69. Арнольд В.И. О классической теории возмущений и проблеме устойчивости планетных систем // ДАН СССР. 1962. Т. 145, № 3. С. 487.
  70. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Усиков Д.А., Черников А.А. Слабый хаос и квазирегулярные структуры. М.: Наука, 1991.
  71. Заславский Г.М.,Филоненко Н.Н. Стохастическая неустойчивость захваченных частиц и условия применимости квазилинейного приближения // ЖЭТФ. 1968. Т.54, вып. 5. С. 1590.
  72. Заславский Г.М., Захаров М.Ю., Сагдеев Р.З., Усиков Д.А., Черников А.А. Стохастическая паутина и диффузия частиц в магнитном поле // ЖЭТФ. 1986. Т.91, вып. 5. С. 500.
  73. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Усиков Д.А., Черников А.А. Минимальный хаос, стохастическая паутина и структура с симметрией «квазикристалл» // УФН. 1988. Т. 156, вып. 2. С. 193.
  74. Shechtman D., Blech I., Gratias D., Cahn I.W. Metallic phase with long-rage orientational order and no translational symmetry // Phys. Rev. Lett. 1984. Vol. 53. P. 1951.
  75. Chirikov B.V., Izrailev F.M. Some numerical experiments with a nonlinear mappings: stochastic component // Colloq. Intern. du C.N.R.S. Transformations ponctuelles et leur applications. Toulouse-1973. Paris, 1976. P. 409.
  76. Tabor M. Modern dynamics and classical analysis // Nature. 1984. Vol. 30. P. 277.
  77. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. М.: Сов. радио, 1970.
  78. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.; Л.: Гостехиздат, 1950.
  79. Козлов В.В. Несуществование однозначных интегралов и ветвление решений в динамике твердого тела // ПММ. 1978. Т. 42 (3). С. 400.
  80. Козлов В.В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. М.: Издво МГУ, 1980.
  81. Зиглин С.Л. Самопересечение комплексных сепаратрис и несуществование интегралов в гамильтоновых системах с полутора степенями свободы // ПММ. 1981. Т. 45 (3). С. 564. 
Поступила в редакцию: 
13.07.2005
Принята к публикации: 
13.07.2005
Опубликована: 
28.04.2006
Краткое содержание:
(загрузок: 107)