Для цитирования:
Кузнецов С. П. Хаотическая динамика кольцевой цепочки маятников с вибрирующим подвесом // Известия вузов. ПНД. 2019. Т. 27, вып. 4. С. 99-113. DOI: 10.18500/0869-6632-2019-27-4-99-113
Хаотическая динамика кольцевой цепочки маятников с вибрирующим подвесом
Тема и цель исследования. Цель работы – ввести в рассмотрение механическую систему в виде цепочки осцилляторов, способную демонстрировать гиперболический хаос, обусловленный присутствием соленоида Смейла– Вильямса. Исследуемые модели. Изучается кольцевая цепочка маятников с параметрическим возбуждением за счет вертикального осциллирующего движения подвеса попеременно на двух разных частотах, так что в цепочке по очереди возникают паттерны стоячих волн с пространственным масштабом, отличающимся в три раза. При этом пространственная фаза за полный период модуляции трансформируется в соответствии с трехкратно растягивающим отображением окружности, а благодаря сжатию по остальным направлениям в пространстве состояний отображения Пуанкаре в силу присутствующей диссипации реализуется аттрактор Смейла–Вильямса. Результаты. Проведено численное исследование динамики математической модели, подтвердившее существование аттрактора в виде соленоида при подобранных надлежащим образом параметрах системы. Представлены иллюстрации динамики системы: диаграммы, иллюстрирующие топологическую природу отображения для пространственной фазы стоячих волн, портреты аттрактора, демонстрирующие характерную для соленоида Смейла–Вильямса структуру, спектры колебаний, показатели Ляпунова. Обсуждение. В методическом плане предлагаемый материал может быть интересен для студентов и аспирантов в плане обучения принципам построения и анализа систем с хаотическим поведением. Поскольку уравнения с характерной для маятника нелинейностью в виде функции синуса встречаются в электронике (контакты Джозефсона, цепочки фазовой автоподстройки частоты), представляется возможным построение электронных аналогов данной системы, которые будут выступать как генераторы хаоса, нечувствительного к вариации параметров и несовершенствам изготовления в силу присущего гиперболическому аттрактору Смейла–Вильямса свойства структурной устойчивости.
- Капица П.Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса // ЖЭТФ. 1951. Т. 21. С. 588–597.
- Капица П.Л. Маятник с вибрирующим подвесом // УФН. 1951. Т. 44. С. 7–20.
- Бутиков Е.И. Маятник с осциллирующим подвесом (к 60-летию маятника Капицы). Учебное пособие. 2017. 42 с.
- Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наукa, 1984. 432 с.
- Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука, Физматлит, 1997. 496 с.
- Cuevas-Maraver J., Kevrekidis P. G., Williams F. (ed.). The Sine-Gordon Model and its Applications: From Pendula and Josephson Junctions to Gravity and High-Energy Physics. Springer, 2014. 263 p.
- Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рыскин Н.М. Нелинейные колебания, 2-е изд. М.: Физматлит, 2005. 292 с.
- Лихарев К.К. Введение в динамику джозефсоновских переходов. М.: Наука, 1985. 320 с.
- Шахгильдян В.В., Ляховкин А.А. Системы фазовой автоподстройки частоты. М.: Связь, 1972. 446 с.
- Best Roland E. Phase-Locked Loops: Design, Simulation and Applications. 6th ed. McGraw Hill, 2007. 490 p.
- Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. М.: Сов. радио, 1977. 368 с.
- Goedde C.G., Lichtenberg A.J., Lieberman M.A. Parametric instabilities in the discrete sineGordon equation // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1990. Vol. 41, no. 3. P. 341–355.
- Watanabe S., van der Zant H.S., Strogatz S.H., and Orlando T.P. Dynamics of circular arrays of Josephson junctions and the discrete sine-Gordon equation // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1996. Vol. 97, no. 4. P. 429–470.
- Van der Zant H.S.J., Barahona M., Duwel A.E., Tr´ıas E., Orlando T.P., Watanabe S. and Strogatz S. Dynamics of one-dimensional Josephson-junction arrays // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1998. Vol. 119, no. 1–2. P. 219–226.
- Zheng Z., Hu B., Hu G. Spatiotemporal dynamics of discrete sine-Gordon lattices with sinusoidal couplings // Physical Review E. 1998. Vol. 57, no. 1. P. 1139–1144.
- Chacon R., Marcheggiani L. Controlling spatiotemporal chaos in chains of dissipative Kapitza pendula // Physical Review E. 2010. Vol. 82, no. 1. 016201.
- Смейл С. Дифференцируемые динамические системы // Успехи математических наук. 1970. Т. 25, № 1(151). С. 113–185.
- Синай Я.Г. Стохастичность динамических систем // Нелинейные волны. М.: Наука, 1979. С. 192–212.
- Shilnikov L. Mathematical Problems of Nonlinear Dynamics: A Tutorial // International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 1997. Vol. 7, no. 9. P. 1353–2001.
- Аносов Д.В. и др. Динамические системы с гиперболическим поведением // Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». M.: ВИНИТИ, 1991. Т. 66. 242 с.
- Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М.: Факториал, 1999. 768 с.
- Кузнецов С.П. Динамический хаос и однородно гиперболические аттракторы: От математики к физике // УФН. 2011. Т. 181, № 2. С. 121–149.
- Kuznetsov S.P. Hyperbolic Chaos: A Physicist’s View. Higher Education Press: Beijing and Springer-Verlag: Berlin, Heidelberg, 2012, 336 p.
- Кузнецов С.П., Круглов В.П. О некоторых простых примерах механических систем с гиперболическим хаосом // Труды МИАН. 2017. Т. 297. С. 232–259.
- Кузнецов С.П., Селезнев Е.П. Хаотическая динамика в физической системе со странным аттрактором типа Смейла–Вильямса // ЖЭТФ. 2006. Т. 129, № 2. С. 400–412.
- Кузнецов С.П., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П. Автономная система – генератор гиперболического хаоса. Схемотехническое моделирование и эксперимент // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2013. Т. 21. № 5. С. 17–30.
- Isaeva O.B., Kuznetsov S.P., Sataev I.R., Savin D.V., Seleznev E.P. Hyperbolic chaos and other phenomena of complex dynamics depending on parameters in a nonautonomous system of two alternately activated oscillators // International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 2015. Vol. 25, no. 12. 1530033.
- Kuptsov P.V., Kuznetsov S.P., Pikovsky A. Hyperbolic chaos of Turing patterns // Phys. Rev. Lett. 2012. Vol. 108. 194101.
- Isaeva O.B., Kuznetsov A.S., Kuznetsov S.P. Hyperbolic chaos of standing wave patterns generated parametrically by a modulated pump source // Phys. Rev. E. 2013. Vol. 87. 040901.
- Круглов В.П., Кузнецов А.С., Кузнецов С.П. Гиперболический хаос в системах с параметрическим возбуждением паттернов стоячих волн // Нелинейная динамика. 2014. Т. 10, № 3. С. 265–277.
- Elhadj Z. and Sprott J.C. Robust Chaos and Its Applications. World Scientific, Singapore, 2011. 472 p.
- Дмитриев А.С., Ефремова Е.В., Максимов Н.А., Панас А.И. Генерация хаоса. М.: Техносфера, 2012. 424с.
- Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J.M. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems; a method for computing all of them // Meccanica. 1980. Vol. 15, no. 1. P. 9–20.
- Shimada I., Nagashima T. A numerical approach to ergodic problem of dissipative dynamical systems // Progress of Theoretical Physics. 1979. Vol. 61, no. 6. P. 1605–1616.
- Кузнецов С.П. Динамический хаос, 2-е изд. Москва: Физматлит, 2006. 356 с.
- Pikovsky A., Politi A. Lyapunov Exponents: A Tool to Explore Complex Dynamics. Cambridge University Press, 2016. 295 p.
- Короновский А.А., Москаленко О.И., Храмов А.Е. О применении хаотической синхронизации для скрытой передачи информации // УФН. 2009. Т. 179, № 12. С. 1281–1310.
- Isaeva O.B., Jalnine A.Yu., Kuznetsov S.P. Chaotic communication with robust hyperbolic transmitter and receiver // IEEE Xplore. Progress In Electromagnetics Research Symposium. Proceedings: St Petersburg, Russia, 22–25 May 2017. P. 3129–3136.
- 2206 просмотров