Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)


Образец для цитирования:

Кузнецов С. П. Хаотическая динамика кольцевой цепочки маятников с вибрирующим подвесом //Известия вузов. ПНД. 2019. Т. 27, вып. 4. С. 99-113. DOI: https://doi.org/10.18500/0869-6632-2019-27-4-99-113

Опубликована онлайн: 
26.08.2019
Язык публикации: 
русский
УДК: 
517.9:534.1

Хаотическая динамика кольцевой цепочки маятников с вибрирующим подвесом

Авторы: 
Кузнецов Сергей Петрович, Саратовский филиал Института радиотехники и электроники имени В.А.Котельникова РАН (СФ ИРЭ)
Аннотация: 

Тема и цель исследования. Цель работы – ввести в рассмотрение механическую систему в виде цепочки осцилляторов, способную демонстрировать гиперболический хаос, обусловленный присутствием соленоида Смейла– Вильямса. Исследуемые модели. Изучается кольцевая цепочка маятников с параметрическим возбуждением за счет вертикального осциллирующего движения подвеса попеременно на двух разных частотах, так что в цепочке по очереди возникают паттерны стоячих волн с пространственным масштабом, отличающимся в три раза. При этом пространственная фаза за полный период модуляции трансформируется в соответствии с трехкратно растягивающим отображением окружности, а благодаря сжатию по остальным направлениям в пространстве состояний отображения Пуанкаре в силу присутствующей диссипации реализуется аттрактор Смейла–Вильямса. Результаты. Проведено численное исследование динамики математической модели, подтвердившее существование аттрактора в виде соленоида при подобранных надлежащим образом параметрах системы. Представлены иллюстрации динамики системы: диаграммы, иллюстрирующие топологическую природу отображения для пространственной фазы стоячих волн, портреты аттрактора, демонстрирующие характерную для соленоида Смейла–Вильямса структуру, спектры колебаний, показатели Ляпунова. Обсуждение. В методическом плане предлагаемый материал может быть интересен для студентов и аспирантов в плане обучения принципам построения и анализа систем с хаотическим поведением. Поскольку уравнения с характерной для маятника нелинейностью в виде функции синуса встречаются в электронике (контакты Джозефсона, цепочки фазовой автоподстройки частоты), представляется возможным построение электронных аналогов данной системы, которые будут выступать как генераторы хаоса, нечувствительного к вариации параметров и несовершенствам изготовления в силу присущего гиперболическому аттрактору Смейла–Вильямса свойства структурной устойчивости.

DOI: 
10.18500/0869-6632-2019-27-4-99-113
Библиографический список: 

1. Капица П.Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса // ЖЭТФ. 1951. Т. 21. С. 588–597.

2. Капица П.Л. Маятник с вибрирующим подвесом // УФН. 1951. Т. 44. С. 7–20.

3. Бутиков Е.И. Маятник с осциллирующим подвесом (к 60-летию маятника Капицы). Учебное пособие. 2017. 42 с.

4. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наукa, 1984. 432 с.

5. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука, Физматлит, 1997. 496 с.

6. Cuevas-Maraver J., Kevrekidis P. G., Williams F. (ed.). The Sine-Gordon Model and its Applications: From Pendula and Josephson Junctions to Gravity and High-Energy Physics. Springer, 2014. 263 p.

7. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рыскин Н.М. Нелинейные колебания, 2-е изд. М.: Физматлит, 2005. 292 с.

8. Лихарев К.К. Введение в динамику джозефсоновских переходов. М.: Наука, 1985. 320 с.

9. Шахгильдян В.В., Ляховкин А.А. Системы фазовой автоподстройки частоты. М.: Связь, 1972. 446 с.

10. Best Roland E. Phase-Locked Loops: Design, Simulation and Applications. 6th ed. McGraw Hill, 2007. 490 p.

11. Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. М.: Сов. радио, 1977. 368 с.

12. Goedde C.G., Lichtenberg A.J., Lieberman M.A. Parametric instabilities in the discrete sineGordon equation // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1990. Vol. 41, no. 3. P. 341–355.

13. Watanabe S., van der Zant H.S., Strogatz S.H., and Orlando T.P. Dynamics of circular arrays of Josephson junctions and the discrete sine-Gordon equation // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1996. Vol. 97, no. 4. P. 429–470.

14. Van der Zant H.S.J., Barahona M., Duwel A.E., Tr´ıas E., Orlando T.P., Watanabe S. and Strogatz S. Dynamics of one-dimensional Josephson-junction arrays // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1998. Vol. 119, no. 1–2. P. 219–226.

15. Zheng Z., Hu B., Hu G. Spatiotemporal dynamics of discrete sine-Gordon lattices with sinusoidal couplings // Physical Review E. 1998. Vol. 57, no. 1. P. 1139–1144.

16. Chacon R., Marcheggiani L. Controlling spatiotemporal chaos in chains of dissipative Kapitza pendula // Physical Review E. 2010. Vol. 82, no. 1. 016201.

17. Смейл С. Дифференцируемые динамические системы // Успехи математических наук. 1970. Т. 25, № 1(151). С. 113–185.

18. Синай Я.Г. Стохастичность динамических систем // Нелинейные волны. М.: Наука, 1979. С. 192–212.

19. Shilnikov L. Mathematical Problems of Nonlinear Dynamics: A Tutorial // International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 1997. Vol. 7, no. 9. P. 1353–2001.

20. Аносов Д.В. и др. Динамические системы с гиперболическим поведением // Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». M.: ВИНИТИ, 1991. Т. 66. 242 с.

21. Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М.: Факториал, 1999. 768 с.

22. Кузнецов С.П. Динамический хаос и однородно гиперболические аттракторы: От математики к физике // УФН. 2011. Т. 181, № 2. С. 121–149.

23. Kuznetsov S.P. Hyperbolic Chaos: A Physicist’s View. Higher Education Press: Beijing and Springer-Verlag: Berlin, Heidelberg, 2012, 336 p.

24. Кузнецов С.П., Круглов В.П. О некоторых простых примерах механических систем с гиперболическим хаосом // Труды МИАН. 2017. Т. 297. С. 232–259.

25. Кузнецов С.П., Селезнев Е.П. Хаотическая динамика в физической системе со странным аттрактором типа Смейла–Вильямса // ЖЭТФ. 2006. Т. 129, № 2. С. 400–412.

26. Кузнецов С.П., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П. Автономная система – генератор гиперболического хаоса. Схемотехническое моделирование и эксперимент // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2013. Т. 21. № 5. С. 17–30.

27. Isaeva O.B., Kuznetsov S.P., Sataev I.R., Savin D.V., Seleznev E.P. Hyperbolic chaos and other phenomena of complex dynamics depending on parameters in a nonautonomous system of two alternately activated oscillators // International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 2015. Vol. 25, no. 12. 1530033.

28. Kuptsov P.V., Kuznetsov S.P., Pikovsky A. Hyperbolic chaos of Turing patterns // Phys. Rev. Lett. 2012. Vol. 108. 194101.

29. Isaeva O.B., Kuznetsov A.S., Kuznetsov S.P. Hyperbolic chaos of standing wave patterns generated parametrically by a modulated pump source // Phys. Rev. E. 2013. Vol. 87. 040901.
30. Круглов В.П., Кузнецов А.С., Кузнецов С.П. Гиперболический хаос в системах с параметрическим возбуждением паттернов стоячих волн // Нелинейная динамика. 2014. Т. 10, № 3. С. 265–277.

31. Elhadj Z. and Sprott J.C. Robust Chaos and Its Applications. World Scientific, Singapore, 2011. 472 p.

32. Дмитриев А.С., Ефремова Е.В., Максимов Н.А., Панас А.И. Генерация хаоса. М.: Техносфера, 2012. 424с.

33. Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J.M. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems; a method for computing all of them // Meccanica. 1980. Vol. 15, no. 1. P. 9–20.

34. Shimada I., Nagashima T. A numerical approach to ergodic problem of dissipative dynamical systems // Progress of Theoretical Physics. 1979. Vol. 61, no. 6. P. 1605–1616.

35. Кузнецов С.П. Динамический хаос, 2-е изд. Москва: Физматлит, 2006. 356 с.

36. Pikovsky A., Politi A. Lyapunov Exponents: A Tool to Explore Complex Dynamics. Cambridge University Press, 2016. 295 p.

37. Короновский А.А., Москаленко О.И., Храмов А.Е. О применении хаотической синхронизации для скрытой передачи информации // УФН. 2009. Т. 179, № 12. С. 1281–1310.

38. Isaeva O.B., Jalnine A.Yu., Kuznetsov S.P. Chaotic communication with robust hyperbolic transmitter and receiver // IEEE Xplore. Progress In Electromagnetics Research Symposium. Proceedings: St Petersburg, Russia, 22–25 May 2017. P. 3129–3136.
 

Краткое содержание: