Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)


Для цитирования:

Круглов В. Е., Починка О. В. Классификация с точностью до топологической сопряженности потоков Морса – Смейла с конечным числом модулей устойчивости на поверхностях // Известия вузов. ПНД. 2021. Т. 29, вып. 6. С. 835-850. DOI: 10.18500/0869-6632-2021-29-6-835-850

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Полный текст в формате PDF(Ru):
(загрузок: 2)
Язык публикации: 
русский
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
517.938.5

Классификация с точностью до топологической сопряженности потоков Морса – Смейла с конечным числом модулей устойчивости на поверхностях

Авторы: 
Круглов Владислав Евгеньевич, Высшая школа экономики
Починка Ольга Витальевна, Высшая школа экономики
Аннотация: 

Цель настоящего исследования – рассмотреть класс потоков Морса – Смейла на поверхностях, охарактеризовать его подкласс, состоящий из потоков, обладающих конечным числом модулей устойчивости, и получить топологическую классификацию таких потоков с точностью до топологической сопряжённости, то есть найти такой инвариант, который показывает, существует ли гомеоморфизм, переводящий траектории одного потока в траектории другого с сохранением направления движения и времени движения по траекториям; для полученного инварианта построить полиномиальный алгоритм распознавания изоморфизма и выполнить реализацию инварианта стандартным потоком на поверхности. Методы. Методы нахождения модулей топологической сопряженности восходят к классическим работам Ж. Палиса, В. ди Мелу и используют гладкую линеаризацию потока в окрестности состояний равновесия и предельных циклов. Для классификации потоков используются традиционные методы разбиения фазовой поверхности на области с одинаковым поведением траекторий, являющиеся модификацией методов А. А. Андронова, Е. А. Леонтович, А. Г. Майера. Результаты. Показано, что поток Морса – Смейла на поверхности имеет конечное число модулей тогда и только тогда, когда у него нет траектории, идущей из одного предельного цикла в другой. Для подкласса потоков Морса – Смейла с конечным числом модулей построена классификация с точностью до топологической сопряжённости посредством оснащённого графа. Заключение. Установлен критерий конечности числа модулей потоков Морса – Смейла на поверхностях. Построен топологический инвариант, описывающий класс топологической сопряжённости потока Морса – Смейла на поверхности с конечным числом модулей, то есть без траекторий, идущих из одного предельного цикла в другой. 

Благодарности: 
Работа выполнена при поддержке РНФ (проект № 17-11-01041) кроме раздела 3, который выполнен при поддержке РФФИ, проект № 20-31-90067, и подраздела 4.4, который выполнен при поддержке Лаборатории динамических систем и приложений НИУ ВШЭ, грант Министерства науки и высшего образования РФ, cоглашение № 075-15-2019-1931
Список источников: 
  1. Андронов А. А., Понтрягин Л. С. Грубые системы // Доклады Академии наук СССР. 1937. Т. 14, № 5. С. 247–250.
  2. Леонтович Е. А., Майер А. Г. О траекториях, определяющих качественную структуру разбиения сферы на траектории // Доклады Академии наук СССР. 1937. Т. 14, № 5. С. 251–257.
  3. Леонтович Е. А., Майер А. Г. О схеме, определяющей топологическую структуру разбиения на траектории // Доклады Академии наук СССР. 1955. Т. 103, № 4. С. 557–560.
  4. Peixoto M. M. On the classification of flows on 2-manifolds // In: Dynamical Systems. Proceedings of a Symposium Held at the University of Bahia. 26 July–14 August 1971, Salvador, Brasil. Cambridge, Massachusetts: Academic Press, 1973. P. 389–419. DOI: 10.1016/B978-0-12-550350- 1.50033-3.
  5. Ошемков А. А., Шарко В. В. О классификации потоков Морса–Смейла на двумерных многообразиях // Математический сборник. 1998. Т. 189, № 8. С. 93–140. DOI: 10.4213/sm341.
  6. Palis J. A differentiable invariant of topological conjugacies and moduli of stability // Asterisque. 1978. Vol. 51. P. 335–346.
  7. Takens F. Heteroclinic attractors: Time averages and moduli of topological conjugacy // Bol. Soc. Bras. Mat. 1994. Vol. 25, no. 1. P. 107–120. DOI: 10.1007/BF01232938.
  8. Kruglov V. Topological conjugacy of gradient-like flows on surfaces // Динамические системы. 2018. Т. 8(36), № 1. С. 15–21.
  9. Kruglov V., Pochinka O., Talanova G. On functional moduli of surface flows // Proceedings of the International Geometry Center. 2020. Vol. 13, no. 1. P. 49–60. DOI: 10.15673/tmgc.v13i1.1714. 
  10. Kruglov V., Malyshev D., Pochinka O. Topological classification of Ω-stable flows on surfaces by means of effectively distinguishable multigraphs // Discrete & Continuous Dynamical Systems. 2018. Vol. 38, no. 9. P. 4305–4327. DOI: 10.3934/dcds.2018188.
  11. Palis J., de Melo W. Geometric Theory of Dynamical Systems: An Introduction. New York: Springer-Verlag, 1982. 198 p. DOI: 10.1007/978-1-4612-5703-5.
  12. Robinson C. Dynamical Systems: Stability, Symbolic Dynamics, and Chaos. Boca Raton: CRC Press, 1995. 468 p.
  13. Irwin M. C. A classification of elementary cycles // Topology. 1970. Vol. 9. P. 35–47.
  14. Smale S. Differentiable dynamical systems // Bull. Amer. Math. Soc. 1967. Vol. 73, no. 6. P. 747–817. DOI: 10.1090/S0002-9904-1967-11798-1.
  15. Круглов В. Е., Малышев Д. С., Починка О. В. Многоцветный граф как полный топологический инвариант для Ω-устойчивых потоков без периодических траекторий на поверхностях // Математический сборник. 2018. Т. 209, № 1. С. 100–126. DOI: 10.4213/sm8797.
Поступила в редакцию: 
20.05.2021
Принята к публикации: 
24.08.2021
Опубликована: 
30.11.2021