Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)

Для цитирования:

Кащенко С. А. Локальная динамика непериодических цепочек с односторонними связями // Известия вузов. ПНД. 2026. Т. 34, вып. 1. С. 9-33. DOI: 10.18500/0869-6632-003197, EDN: KBINPI

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Полный текст в формате PDF(Ru):
Иконка PDF and_2026-1_kashchenko_9-33.pdf
(загрузок: 25)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
Бифуркации в динамических системах. Детерминированный хаос. Квантовый хаос.
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
517.9
DOI: 
10.18500/0869-6632-003197
EDN: 
KBINPI

Локальная динамика непериодических цепочек с односторонними связями

Авторы: 
Кащенко Сергей Александрович, Ярославский государственный университет имени П.Г. Демидова (ЯрГУ)
Аннотация: 

Рассматриваются цепочки N односторонне связанных нелинейных уравнений первого порядка, у которой значение последнего элемента определяется через первый элемент цепочки.  Цель работы состоит в исследовании локальной – в окрестности нулевого состояния равновесия – динамики этой системы. Выделены критические случаи в задаче об устойчивости состояния равновесия и построены нормальные формы, определяющие локальное поведение решений. В простейших случаях, когда N = 2 и N = 3 проведен детальный анализ. Наиболее интересная часть исследований относится к случаю, когда значение N достаточно велико. Показано, что критические случаи тогда имеют бесконечную размерность.

Методы. Стандартная схема исследования, базирующаяся на использовании метода локальных инвариантных многообразий и метода нормальных форм, оказывается неприменимой. Используется разработанный автором специальный метод бесконечномерной нормализации.

Основные результаты состоят в построении так называемых квазинормальных форм – аналогов нормальных форм для бесконечномерного случая. Важно подчеркнуть, что даже при достаточно больших значениях количества элементов N цепочки квазинормальные формы, определяющие динамику исходной системы, существенно зависят от варьирования величины N. Отметим, что при определенных значениях коэффициентов системы динамика ее может быть достаточно сложной.
 

Ключевые слова: 
динамика
дифференциальное уравнение
цепочка
нормальная форма
устойчивость
Благодарности: 
Работа выполнена в рамках программы развития Регионального научно-образовательного математического центра Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (Соглашение о предоставлении субсидии из федерального бюджета № 075-02-2025-1636).
Список источников: 
  1. Kuznetsov A. P., Kuznetsov S. P., Sataev I. R., Turukina L. V. About Landau-Hopf scenario in a system of coupled self-oscillators // Physics Letters A. 2013. Vol. 377, no. 45-48. P. 3291-3295. DOI: 10.1016/j.physleta.2013.10.013.
  2. Osipov G. V., Pikovsky A. S., Rosenblum M. G., Kurths J. Phase synchronization effects in a lattice of nonidentical R"ossler oscillators // Phys. Rev. E. 1997. Vol. 55, no. 3. P. 2353-2361. DOI: 10.1103/physreve.55.2353.
  3. Pikovsky A., Rosenblum M., Kurths J. Synchronization: A Universal Concept in Nonlinear Sciences. Cambridge: Cambridge University Press, 2001. 411 p.
  4. Dodla R., Sen A., Johnston G. L. Phase-locked patterns and amplitude death in a ring of delay-coupled limit cycle oscillators // Phys. Rev. E. 2004. Vol. 69, no. 5. P. 056217. . DOI:  10.1103/PhysRevE.69.056217.
  5. Williams C. R.,S., Sorrentino F., Murphy T. E., Roy R. Synchronization states and multista-bility in a ring of periodic oscillators: Experimentally variable coupling delays // Chaos. 2013. Vol. 23, no. 4. P. 043117.  DOI: 10.1063/1.4829626.
  6. Rao R., Lin Z., Ai X., Wu J. Synchronization of epidemic systems with Neumann boundary value under delayed impulse // Mathematics. 2022. Vol. 10, no. 12. P. 2064.  DOI: 10.3390/math10122064.
  7. Van der Sande G., Soriano M. C., Fischer I., Mirasso C. R. Dynamics, correlation scaling, and synchronization behavior in rings of delay-coupled oscillators // Phys. Rev. E. 2008. Vol. 77, no. 5. P. 055202.  DOI: 10.1103/PhysRevE.77.055202.
  8. Клиньшов В. В., Некоркин В. И. Синхронизация автоколебательных сетей с запаздывающими связями // УФН. 2013. Т. 183, № 12. С. 1323-1336. DOI: 10.3367/UFNr.0183.201312c.1323.
  9. Heinrich G., Ludwig M., Qian J., Kubala B., Marquardt F. Collective dynamics in opto-mechanical arrays // Phys. Rev. Lett. Vol. 107, no. 4. P. 043603. DOI: 10.1103/PhysRevLett.107.043603.
  10. Zhang M., Wiederhecker G. S., Manipatruni S., Barnard A., McEuen P., Lipson M. Synchro-nization of micromechanical oscillators using light // Phys. Rev. Lett. 2012. Vol. 109, no. 23. P. 233906. DOI: 10.1103/PhysRevLett.109.233906.
  11. Lee T. E., Sadeghpour H. R. Quantum synchronization of quantum van der Pol oscillators with trapped ions // Phys. Rev. Lett. 2013. Vol. 111, no. 23. P. 234101. 10.1103/PhysRevLett.111.23410110.1103/PhysRevLett.111.234101.
  12. Yanchuk S., Wolfrum M. Instabilities of stationary states in lasers with longdelay optical feedback // SIAM J. Appl. Dyn. Syst. 2012. Vol. 9, no. 2. P. 519-535. DOI: 10.20347/WIAS.PREPRINT.962.
  13. Grigorieva E. V., Haken H., Kashchenko S. A. Complexity near equilibrium in model of lasers with delayed optoelectronic feedback // In: 1998 International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications. NOLTA’98. 14-17 September, 1998, Crans-Montana, Switzerland. NOLTA Society, 1998. P. 495-498.
  14. Kashchenko S. A. Quasinormal forms for chains of coupled logistic equations with delay // Mathematics. 2022. Vol. 10, no. 15. P. 2648. DOI: 10.3390/math10152648.
  15. Кащенко С. А. Динамика цепочки логистических уравнений c запаздыванием и с антидиффузионной связью // Докл. РАН. Матем., информ., проц. упр. 2022. Т. 502, № 1. С. 23-27. DOI: 10.31857/S2686954322010064.
  16. Thompson J. M.,T., Stewart H. B. Nonlinear Dynamics and Chaos. New York: Wiley, 2002. 458 p. 
  17. Kashchenko S. A. Dynamics of advectively coupled Van der Pol equations chain // Chaos. 2021. Vol. 31, no. 3. P. 033147. DOI: 10.1063/5.0040689.
  18. Kanter I., Zigzag M., Englert A., Geissler F., Kinzel W. Synchronization of unidirectional time delay chaotic networks and the greatest common divisor // Europhysics Letters. 2011. Vol. 93, no. 6. P. 60003. DOI: 10.1209/0295-5075/93/60003.
  19. Rosin D. P., Rontani D., Gauthier D. J., Scholl E. Control of synchronization patterns in neural-like Boolean networks // Phys. Rev. Lett. 2013. Vol. 110, no. 10. P. 104102. . DOI:  10.1103/PhysRevLett.110.104102. 
  20. Yanchuk S., Perlikowski P., Popovych O. V., Tass P. A. Variability of spatiotemporal patterns in non-homogeneous rings of spiking neurons // Chaos. 2011. Vol. 21, no. 4. P. 047511. DOI: 10.1063/1.3665200.
  21. Klinshov V., Nekorkin V. Synchronization in networks of pulse oscillators with time-delay coupling // Cybern. Phys. 2012. Vol. 1, no. 2. P. 106-112.
  22. Stankovski T., Pereira T., McClintock P. V.,E., Stefanovska A. Coupling functions: Universal insights into dynamical interaction mechanisms // Rev. Mod. Phys. 2017. Vol. 89, no. 4. P. 045001. DOI: 10.1103/RevModPhys.89.045001.
  23. Klinshov V., Shchapin D., Yanchuk S., Wolfrum M., D'Huys O., Nekorkin V. Embedding the dynamics of a single delay system into a feed-forward ring // Phys. Rev. E. 2017. Vol. 96, no. 4. P. 042217. DOI: 10.1103/PhysRevE.96.042217.
  24. Караваев А. С., Ишбулатов Ю. М., Киселев А. Р., Пономаренко В. И., Прохоров М. Д., Миронов С. А., Шварц В. А., Гриднев В. И., Безручко Б. П. Модель сердечно-сосудистой системы человека с автономным контуром регуляции среднего артериального давления // Физиология человека. 2017. Т. 43, № 1. С. 70-80. DOI: 10.7868/S0131164616060096.
  25. Кащенко A. A. Зависимость динамики модели связанных осцилляторов от числа осцилляторов // Докл. РАН. Матем., информ., проц. упр. 2021. Т. 501. С. 46-51. . DOI: 10.31857/S2686954321060096. 
  26. Kashchenko A. A. Relaxation modes of a system of diffusion coupled oscillators with delay // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2021. Vol. 93, no. 6. P. 105488. DOI: 10.1016/j.cnsns.2020.105488.
  27. Кащенко С. А. Динамика цепочек из большого числа осцилляторов с односторонней и двусторонней запаздывающими связями // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2023. Т. 63, № 10. С. 1617-1636. DOI: 10.31857/S0044466923090107.
  28. Hartman P. Ordinary Differential Equations. New York: Wiley, 1964. 612 p.
  29. Henry D. Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations. Berlin: Springer, 1981. 350 p. DOI: 10.1007/BFb0089647.
  30. Kaschenko S A. Normalization in the systems with small diffusion // Int. J. Bifurc. Chaos. 1996. Vol. 6, no. 6. P. 1093-1109. DOI: 10.1142/S021812749600059X.
  31. Григорьева Е. В., Кащенко С. А. Локальная динамика модели цепочки лазеров с оптоэлектронной запаздывающей однонаправленной связью // Известия вузов. ПНД. 2022. Т. 30, № 2. С. 189-207. DOI: 10.18500/0869-6632-2022-30-2-189-207.
  32. Клиньшов В. В. Коллективная динамика сетей активных элементов с импульсными связями: Обзор // Известия вузов. ПНД. 2020. Т. 28, № 5. С. 465-490. DOI: 10.18500/0869-6632-2020-28-5-465-490.
  33. Ахромеева T. С., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г., Самарский A. A. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992. 544 с.
Поступила в редакцию: 
04.08.2025
Принята к публикации: 
01.10.2025
Опубликована онлайн: 
15.10.2025
Опубликована: 
30.01.2026
  • 516 просмотров