Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)


Для цитирования:

Учайкин В. В., Литвинов В. А. Нелинейная теория возмущений на основе вариационного принципа: модельные примеры // Известия вузов. ПНД. 2018. Т. 26, вып. 6. С. 82-98. DOI: 10.18500/0869-6632-2018-26-6-82-98

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Полный текст в формате PDF(Ru):
(загрузок: 143)
Язык публикации: 
русский
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
519.652

Нелинейная теория возмущений на основе вариационного принципа: модельные примеры

Авторы: 
Учайкин Владимир Васильевич, Ульяновский государственный университет
Литвинов Владимир Андреевич, Барнаульский юридический институт МВД
Аннотация: 

Тема. Известно, что двойственное представление задач (через основную и сопряженную в смысле Лагранжа функции) позволяет сформулировать эффективную версию теории малых возмущений, однако расширение её области применения путём включения следующих членов ряда теории возмущений резко усложняют процедуру решения. В связи с этим, в ряде работ были предприняты поиски альтернативных подходов. К их числу относится и предложенный В.В.Учайкиным метод вариационного интерполирования (ВИ-метод), использующий не одну, как это имеет место в теории возмущений, а несколько опорных задач с известными решениями. Цель – демонстрация особенностей применения ВИ-метода на конкретных примерах и исследование его погрешностей. Исследуемые модели. Исследования проводятся на примерах решения нескольких модельных задач теории переноса, в упрощённых постановках представляющих задачи диффузии, переноса нейтронов, заряженных частиц и волн. Результаты. Решение параболического уравнения для амплитуды волны рассматривалось в области, где первое приближение теории возмущений неприменимо, тогда как ВИ-метод дал результаты, практически совпадающие с результатами прямого применения разностного метода, хотя для выбранных глубин опорные решения отличались от искомого более чем на порядок, а сложность вычислений ВИ-методом не превысила сложности первого приближения теории возмущений. Аналогичная ситуация обнаружилась и в случае прямого применения ВИ-метода к задаче о прохождении излучения в нерассеивающей среде и в стационарной задаче о диффузии в однородном слое с заданными коэффициентами поглощения  σ и диффузии λ. Обсуждение. Последняя задача наиболее интересна и наглядна в плане обсуждения, поскольку ведёт к построению топограммы погрешности на плоскости (σ, λ). При данной постановке задачи искомый функционал есть просто функция двух указанных переменных, однако в более общем (и интересном) случае он может оказаться функционалом от функций, характеризующих зависимость свойств среды от координат. 

Список источников: 
  1. Snider R., Trampert J. Inverse problems in geophysics // In Wavefield Inversion (ed. A.Wirgin), Springer-Verlag Wien, 1999.
  2. Марчук Г.И., Дробышев Ю.П. Некоторые вопросы линейной теории измерений. Автометрия. 1977, № 3. С. 24–30.
  3. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977.
  4. Марчук Г.И. Сопряженные уравнения и анализ сложных систем. М.: Наука, 1992. 335 с.
  5. Учайкин В.В., Лагутин А.А. Стохастическая ценность. М.: Энергоатомиздат, 1993.
  6. Учайкин В.В. Метод вариационного интерполирования в ядерно-технических расчётах // Атомная энергия. 1989. Т. 61, № 1. C. 54–55.
  7. Марчук Г.И., Орлов В.В. К теории сопряжённых функций, Сб. Нейтронная физика. М.: Госатомиздат, 1961. 30–45.
  8. Рытов С.М., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. Часть 2. М.: Наука, 1978.
  9. Петрак Л.В. Дробно-рациональная аппроксимация функций и приложения: Дисс. канд. физ.-мат. наук. Екатеринбург, 2004. 123 с.
  10. Кольчужкин А.М., Учайкин В.В. Введение в теорию прохождения частиц через вещество. Moscow, Атомиздат, 1978. 256 c.
Поступила в редакцию: 
06.07.2018
Принята к публикации: 
12.09.2018
Опубликована: 
31.12.2018
Краткое содержание:
(загрузок: 80)