Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)


Образец для цитирования:

Учайкин В. В., Литвинов В. А. Нелинейная теория возмущений на основе вариационного принципа: модельные примеры //Известия вузов. ПНД. 2018. Т. 26, вып. 6. С. 82-98. DOI: https://doi.org/10.18500/0869-6632-2018-26-6-82-98

Опубликована онлайн: 
31.12.2018
Язык публикации: 
русский
УДК: 
519.652

Нелинейная теория возмущений на основе вариационного принципа: модельные примеры

Авторы: 
Учайкин Владимир Васильевич, Ульяновский государственный университет
Литвинов Владимир Андреевич, Барнаульский юридический институт МВД
Аннотация: 

Тема. Известно, что двойственное представление задач (через основную и сопряженную в смысле Лагранжа функции) позволяет сформулировать эффективную версию теории малых возмущений, однако расширение её области применения путём включения следующих членов ряда теории возмущений резко усложняют процедуру решения. В связи с этим, в ряде работ были предприняты поиски альтернативных подходов. К их числу относится и предложенный В.В.Учайкиным метод вариационного интерполирования (ВИ-метод), использующий не одну, как это имеет место в теории возмущений, а несколько опорных задач с известными решениями. Цель – демонстрация особенностей применения ВИ-метода на конкретных примерах и исследование его погрешностей. Исследуемые модели. Исследования проводятся на примерах решения нескольких модельных задач теории переноса, в упрощённых постановках представляющих задачи диффузии, переноса нейтронов, заряженных частиц и волн. Результаты. Решение параболического уравнения для амплитуды волны рассматривалось в области, где первое приближение теории возмущений неприменимо, тогда как ВИ-метод дал результаты, практически совпадающие с результатами прямого применения разностного метода, хотя для выбранных глубин опорные решения отличались от искомого более чем на порядок, а сложность вычислений ВИ-методом не превысила сложности первого приближения теории возмущений. Аналогичная ситуация обнаружилась и в случае прямого применения ВИ-метода к задаче о прохождении излучения в нерассеивающей среде и в стационарной задаче о диффузии в однородном слое с заданными коэффициентами поглощения ? и диффузии ?. Обсуждение. Последняя задача наиболее интересна и наглядна в плане обсуждения, поскольку ведёт к построению топограммы погрешности на плоскости (?, ?). При данной постановке задачи искомый функционал есть просто функция двух указанных переменных, однако в более общем (и интересном) случае он может оказаться функционалом от функций, характеризующих зависимость свойств среды от координат. Финансовая поддержка. Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 16-01-00556.  

DOI: 
10.18500/0869-6632-2018-26-6-82-98
Краткое содержание: