Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)


Для цитирования:

Zemlyanukhin A. I., Bochkarev A. V. Continued fractions, the perturbation method and exact solutions to nonlinear evolution equations [Землянухин А. И., Бочкарёв А. В. Непрерывные дроби, метод возмущений и точные решения нелинейных эволюционных уравнений] // Известия вузов. ПНД. 2016. Т. 24, вып. 4. С. 71-85. DOI: 10.18500/0869-6632-2016-24-4-71-85


Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Полный текст в формате PDF(Ru):
(загрузок: 92)
Язык публикации: 
английский
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
517.98.537

Continued fractions, the perturbation method and exact solutions to nonlinear evolution equations
[Непрерывные дроби, метод возмущений и точные решения нелинейных эволюционных уравнений]

Авторы: 
Землянухин Александр Исаевич, Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А. (СГТУ)
Бочкарёв Андрей Владимирович, Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А. (СГТУ)
Аннотация: 

Предложен новый метод построения точных решений нелинейных эволюционных уравнений, основанный на последовательном применении метода возмущений и аппарата непрерывных дробей. Показано, что точные уединенно-волновые решения возникают в предельном случае как суммы геометрических рядов метода возмущений на основе линеаризованной задачи. Продемонстрировано, что непрерывная дробь, соответствующая ряду возмущений, обрывается, и оставшаяся подходящая дробь дает выражение для искомого точного солитоноподобного решения. Установлено, что порядок подходящей дроби не меньше удвоенного порядка полюса решения исходного уравнения. Эффективность метода продемонстрирована на решении интегрируемых уравнений: семейства Кортевега–де Вриза 5-го порядка, третьего порядка с 5-ю произвольными постоянными, Калоджеро–Дегаспериса–Фокаса и неинтегрируемого уравнения Курамото–Сивашинского. Проведенный анализ показал, что в случае интегрируемых уравнений непрерывная дробь, соответствующая степенному ряду метода возмущений, обрывается безусловно, то есть ряд является геометрическим или становится таковым после перегруппировки слагаемых. Для неинтегрируемых уравнений требование обрывания непрерывной дроби, равносильное геометричности ряда метода возмущений, приводит к условиям на коэффициенты исходного уравнения, необходимым для существования точных солитоноподобных решений. К преимуществам метода, который может быть легко реализован с помощью любой из систем компьютерной математики, можно отнести возможность работы с уравнениями, решение которых имеет полюс нулевого, дробного или высокого натурального порядка. 

Список источников: 
  1. Hirota R. Exact solution of the Korteweg–de Vries equation for multiple collisions of solitons // Phys. Rev. Lett. 1971. Vol. 27. Pp. 1192–1194.
  2. Baker G.A.Jr., Graves-Morris P. Pade Approximants, Cambridge: Cambridge U.P., 1996.
  3. Manevitch L.I. Linear and nonlinear mathematical physics: from harmonic waves to solitons // Soros. Obrazov. Journ. 1996. N1. Pp. 86–93 (Russian).
  4. Jones W.B., Thron W.J. Continued fractions: analytic theory and applications. Reading, MA: Addison-Wesley, 1980.
  5. Zemlyanukhin A.I., Bochkarev A.V. The perturbation method and exact solutions of nonlinear dynamics equations for media with microstructure // Computational Continuum Mechanics. 2016. Vol. 9, N2. Pp. 182–191 (Russian).
  6. Lambert F. and Musette M. Solitary waves, padeons and solitons // Lect. Notes Math. 1984. Vol. 1071. Pp. 197–212.
  7. Lambert F., Musette M. Solitons from a direct point of view: padeons // J. Comp. Appl. Math. 1986. Vol. 15. Pp. 235–249.
  8. Baikov V.A., Khusnutdinova K.R. Formal linearization and exact solutions of some nonlinear partial differential equations // J. Nonlin. Math. Phys. 1996. N3. Pp. 139–146.
  9. Bender C.M., Milton K.A. Continued fraction as a discrete nonlinear transform // J. Math. Phys. 1994. Vol. 35, N1. Pp. 364–367.
  10. Cohen H. Numerical Approximation Methods. New York: Springer-Verlag, 2011.
  11. Khovansky A.N. Applications of continued fractions and their generalization to problems in approximation theory. Groningen: P. Noordhoff N.V., 1963.
  12. Meshkov A.G., Sokolov V.V. Integrable evolution equations with the constant separant// Ufa Math. J. 2012. Vol. 4, N3. Pp. 104–153.
  13. Encyclopedia of Integrable Systems / A.B. Shabat, V.E. Adler, V.G. Marikhin, V.V. Sokolov (Eds.), L.D. Landau Institute for Theoretical Physics – Research Institute for Symbolic Computations, J. Kepler Universit at, 2007.
  14. Gandarias M.L., Saez S. Traveling-wave solutions of the Calogero–Degasperis–Fokas equation in 2+1 dimensions // Theor. Math. Phys. 2005. Vol. 144, N1. Pp. 916–926.
  15. Ryabov P.N. Exact solutions of the Kudryashov–Sinelshchikov equation // Appl. Math. Comput. 2010. Vol. 217, N7. Pp. 3585–3590.
  16. The Painlev’ Property: One Century Later / R. Conte (Ed.). New York: Springer, 1999.
  17. Kudryashov N.A. Methods of nonlinear mathematical physics. Dolgoprudnyj: Izd. Dom Intellekt, 2010.
Поступила в редакцию: 
26.06.2016
Принята к публикации: 
31.08.2016
Опубликована: 
31.08.2016
Краткое содержание:
(загрузок: 94)