точные решения

Цель статьи — проиллюстрировать генезис, смысл и значимость функционального уравнения Шрёдера, введенного в теории итераций рациональных функций, для теории детерминированного хаоса при аналитическом вычислении точных траекторных решений, инвариантных плотностей и показателей Ляпунова одномерных хаотических отображений.

Предложен новый метод построения точных решений нелинейных эволюционных уравнений, основанный на последовательном применении метода возмущений и аппарата непрерывных дробей. Показано, что точные уединенно-волновые решения возникают в предельном случае как суммы геометрических рядов метода возмущений на основе линеаризованной задачи. Продемонстрировано, что непрерывная дробь, соответствующая ряду возмущений, обрывается, и оставшаяся подходящая дробь дает выражение для искомого точного солитоноподобного решения.

Предложена модификация метода степенных рядов Ньютона для решения нелинейных обыкновенных и неинтегрируемых эволюционных уравнений. На первом этапе метода определяется несколько первых членов степенного ряда для искомой зависимой переменной. Для этого используется либо прямое разложение в степенной ряд по независимой переменной с последующей подстановкой в уравнение, либо разложение в функциональный ряд метода возмущений по степеням формального параметра.