Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)


Для цитирования:

Богатов Е. М. О развитии качественных методов решения нелинейных уравнений и некоторых последствиях // Известия вузов. ПНД. 2019. Т. 27, вып. 1. С. 96-114. DOI: 10.18500/0869-6632-2019-27-1-96-114

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Полный текст в формате PDF(Ru):
(загрузок: 218)
Язык публикации: 
русский
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
51 (09)

О развитии качественных методов решения нелинейных уравнений и некоторых последствиях

Авторы: 
Богатов Егор Михайлович, Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова (филиал) Национальный исследовательский технологический университет "МИСиС" (СТИ НИТУ МИСиС)
Аннотация: 

Цель. Целью работы является исследование развития метода неподвижной точки и теории степени отображения, связанных с именами П. Боля, Л. Брауэра, К. Борсука, С. Улама и др. и его применения к изучению поведения траекторий динамических систем и устойчивых состояний упорядоченных сред. Метод. Исследование основано на анализе фундаментальных работ перечисленных математиков 1900–1930 гг., а также более поздних результатов Н. Левинсона, Т. Воловика, В. Минеева, Дж. Толанда и Х. Хофера прикладного характера. Результаты. Работы Брауэра внесли существенный вклад в теорию разрешимости нелинейных уравнений вида f(x) = x в конечномерной постановке. Этому предшествовало изучение сингулярных точек векторных полей, предпринятое А. Пуанкаре, а также доказательство теоремы Боля о невозможности отображения круга на свою границу. Первым математиком, использовавшим метод неподвижной точки в изучении систем дифференциальных уравнений, был Боль. Эта тема получила своё продолжение через 40 лет в работах Левинсона, который показал наличие в детерминированных диссипативных динамических системах хотя бы одного периодического решения. Введённое Брауэром фундаментальное понятие степени отображения (deg f) «заиграло» в самых неожиданных ситуациях. Исследования Воловика и Минеева выявили прямую зависимость дефектов упорядоченных сред от топологического инварианта deg f, характеризующего отображение f окрестности особой точки на сферу. Другое нестандартное применение степени отображения обнаружили Толанд и Хофер при изучении некоторых гамильтоновых систем. Вычисление deg f для отображений специального вида помогли им доказать существование периодических, гомоклинических и гетероклинических траекторий указанных систем. Обсуждение. Метод неподвижной точки и степень отображения – основные инструменты качественных методов решения нелинейных уравнений. Они оказались востребованными не только в рамках математики, но и в приложениях, причём эта тенденция, по-видимому, будет сохраняться и при переходе к бесконечномерному случаю.   Благодарности: Автор выражает благодарность профессору Р.Р. Мухину (СТИ НИТУ МИСиС, Старый Оскол) за постановку задачи и полезные обсуждения, профессору Ю.Е. Гликлиху (ВГУ, Воронеж) за консультации по топологическим методам анализа и знакомство с рукописью, а также В.П. Богатовой за помощь в доступе к первоисточникам и перевод с немецкого.   ?Часть результатов данной работы докладывалась на XXXVII годичной научной конференции СПбФ ИИЕТ РАН, секция история математики и механики [1]. (XXXVII годичная международная научная конференция Санкт-Петербургского отделения Национального комитета по истории и философии науки и техники Российской академии наук: Коммеморативные (юбилейные) практики в истории российской науки). https://doi.org/10.18500/0869-6632-2019-27-1-96-114  

Список источников: 
  1. Богатов Е.М. Об истории применения качественных методов решения нелинейных интегральных уравнений // Наука и техника: Вопросы истории и теории. Материалы XXXVII межд. годич. конф. СПб отд. Росс. нац. комит. по ист. и филос. науки и техники РАН (21–25 ноября 2016). Вып. XXXII. СПб, 2016. С. 102–104.
  2. Poincare Н. Sur l’Analysis Situs // C.R. 1892. 115. P. 633–636.
  3. Poincare Н. Analyse des travaux scientifiques de Henri Poincare faite par lui-meme // Acta math. 1921. Vol. 38. P. 1–135.
  4. Гомбрих Э. История искусства. М.: АСТ, 1998. 688 с.
  5. Воловик Г.Е., Минеев В.П. Исследование особенностей в сверхтекучем 3Не в жидких кристаллах методом гомотопической топологии // ЖЭТФ. 1977. 72:6. С. 2256–2274.
  6. Богатов Е.М., Мухин Р.Р. О связи между нелинейным анализом, бифуркациями и нелинейной динамикой: На примере воронежской школы нелинейного функционального анализа // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2015. Т. 23, № 6. С. 74–88.
  7. Богатов Е.М., Мухин Р.Р. Из истории нелинейных интегральных уравнений // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2016. Т. 24, № 2. С. 77–114.
  8. Poincare Н. Memoire sur les courbes definies par une equation differentielle I // J. de Math. 1881. 7. P. 375–422.
  9. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.; Л.: ОГИЗ, 1947. 392 с.
  10. Kronecker L. Uber Systeme von Funktionen mehrerer Variabeln I. Monatsber. Berlin Akad. 1869. P. 159–193.
  11. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: Изд-во АН СССР, 1962. 536 с.
  12. Siegberg H. Some historical remarks concerning degree theory // Amer. Math. Monthly. 1981. Vol. 88, № 2. P. 125–139.
  13. Mawhin J. Poincare’s early use of Analysis situs in nonlinear differential equations: Variations around the theme of Kronecker’s integral // Philosophia Scientiae. 2000. 4. P. 103–143.
  14. Poincare Н. Memoire sur les courbes definies par une equation differentielle IV // J. Math. Pure Appl. 1885. 1. P. 167–244.
  15. Bohl P. Sur certaines equations differentielles d’un type general utilisables en mecanique // ´ Bulletin de la Societ´e math ematique de France. 1910. T. 38. P. 1–134.
  16. Мышкис А.Д., Рабинович И.М. Математик Пирс Боль из Риги. С приложением комментария гроссмейстера М.М. Ботвинника о шахматной игре П. Боля. Рига: Зинатне, 1965.
  17. Боль П. Собрание трудов / Пер. с нем. И.М. Рабиновича; под ред. Л.Э. Рейзиня; вступит. статья и коммент. Л.Э. Рейзиня и И.А. Хенинь. АН Латв. ССР, Ин-т физики, Латв. отд-ние Всесоюз. астрон.-геодез. об-ва. Рига: Зинатне, 1974.
  18. Боль П.Г. 1865–1921. Избранные труды. Вступительная статья А.Д. Мышкиса и И.М. Рабиновича. АН Латвийской ССР, Астрофиз. лаб. 1961.
  19. Borsuk K. Sur les retractes // Fund. Math. 1931. 17.1. S. 152–170.
  20. Bohl P. Uber die Bewegung eines mechanischen Systems in der Nahe einer Gleichgewichtslage // Journal fur die reine und angewandte Mathematik. 1904. 127. S. 179–276. 
  21. Birkhoff G.D., Kellogg O.D. Invariant points in function space // Trans. Amer. Math. Soc. 1922. vol. 23. P. 95–115.
  22. van Dalen D. Luitzen Egbertus Jan Brouwer // History of Topology / I.M. James ed., North Holland. 1999. P. 947–964.
  23. Johnson Dale M. The Problem of the Invariance of Dimension in the Growth of Modern Topology, Part II. // Arch. Hist. Ex. Sci, 1981. P. 85–267.
  24. Brouwer L.E.J. On continuous vector distributions on surfaces // KNAW Proc. 1909. vol. 11. P. 850–858.
  25. Brouwer L.E.J. On continuous vector distributions on surfaces, II // KNAW Proc. 1910. vol. 12. P. 716–734.
  26. Brouwer L.E.J. On continuous vector distributions on surfaces, III // KNAW Proc. 1910. vol. 12. P. 171–186.
  27. Freudenthal H. (ed.), L.E.J. Brouwer Collected Works, Vol. 2, Geometry, Analysis, Topology and Mechanics. North–Holland, Amsterdam, 1976.
  28. Brouwer L.E.J. Potentiaaltheorie en Vectoranalyse. Exercise book (unpublished manuscript) 1910.
  29. Александров П.С. Пуанкаре и топология // УМН. 1972. Т. 27, № 1 (163). С. 147–158.
  30. Босс В. Лекции по математике. Том 13. Топология. Изд. 3-е, испр. М.: ЛЕНАНД, 2014. 216 с.
  31. Brouwer L.E.J. Uber Abbildung von Mannigfaltigkeiten // Math. Annal. 1912. 71. S. 97–115.
  32. Brouwer L.E.J. Beweis der Invarianz der Dimensionenzahl // Math. Annal. 1911. 70. S. 161–165.
  33. Matousek J. Using the Borsuk–Ulam Theorem: Lectures on Topological Methods in Combinatorics and Geometry. Springer Science & Business Media, 2008.
  34. Borsuk K. Drei Satzeuber die n-dimensionale euklidische Sphare // Fund. Math. 1933. 20.1. S. 177–190.
  35. Крейн М. Г., Нудельман А.А. Теорема Борсука–Улама // Квант. 1983, №8. С. 20–25.
  36. Люстерник Л.А., Шнирельман Л.Г. Топологические методы в вариационных задачах. М.: Иссл. ин-т матем. и мех. при 1 МГУ, 1930.
  37. Воловик Г.Е., Минеев В.П. Физика и топология. М.: Знание, 1980.
  38. Минеев В.П. Топологические объекты в нематических жидких кристаллах // В кн. Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. М.: Наука. Главная редакция физикоматематической литературы, 1982. C. 148–158.
  39. Воловик Г.Е. Сверхтекучие свойства А-фазы Не3 // УФН. 1984. T. 143, вып. 1. C. 73–109.
  40. Poincare Н. Sur un theoreme en geometrie // Rendiconti del Circolo matematico di Palermo. 1912. vol. 33. P. 375–407. http://henripoincarepapers.univ-lorraine.fr/bibliohp/ajax.php?bibkey= =hp1912rp
  41. Пуанкаре А. Избранные труды. Том 2. Новые методы небесной механики. Топология. Теория чисел / Под ред. Н.Н. Боголюбова, В.И. Арнольда, И.Б. Погребысского. М.: Наука, 1972.
  42. Levinson N. Transformation theory of non-linear differential equations of the second order // Annals Math. Second Series. 1944. Vol. 45, no. 4. P. 723–737.
  43. Богатов Е.М., Мухин Р.Р. Метод усреднения, маятник с вибрирующим подвесом: Н.Н. Боголюбов, Э. Стефенсон, П.Л. Капица и другие // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2017. Т. 25, № 5. C. 69–87.
  44. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958. 
  45. Hofer H., Toland J. Homoclinic, heteroclinic, and periodic orbits for a class of indefinite Hamiltonian systems // Math. Annalen. 1984. Vol. 268, no. 3. P. 387–403.
  46. Toland J.F. Solitary wave solutions for a model of the two-way propagation of water waves in a channel // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 1981. 90. P. 343–360.
  47. Peletier L.A., and Troy W.C. Spatial patterns: higher order models in physics and mechanics. Vol. 45. Springer Science & Business Media, 2012.
  48. Nash C. Topology and physics – a historical essay // History of Topology / Ed. I.M. James. North Holland. 1999. P. 359–416.
  49. Ugi I., Dugundij J., Kopp R., Marquarding D. Perspectives in theoretical stereochemistry. Lecture note series, Vol. 36, Springer, Heidelberg, 1984.
  50. Долбилин Н.П. Критерий кристалла и локально антиподальные множества Делоне // Вестник ЧелГУ. 2015, № 17. C. 6–17.
  51. Dieudonne J. A History of Algebraic and Differential Topology, 1900–1960. Modern Birkhauser, Boston, 1989.
  52. Park S. Ninety years of the Brouwer fixed point theorem // Vietnam J. Math. 1999. Vol. 27, no. 3. P. 187–222.
  53. Mawhin J. IN MEMORIAM JEAN LERAY (1906–1998) // Topol. Meth. Nonlin. Anal. 1998. Vol. 12. 14. P. 199–206.
  54. Mawhin J. Juliusz Schauder, topology of functional spaces and partial differential equations // Wiadomosci matematyczne. 2012. Vol. 48, no. 2. P. 173–183.
  55. Bogatov E.M. Key moments of the mutual influence of the Polish and Soviet schools of nonlinear functional analysis in the 1920’s–1950’s // Antiq. Math. 2017. Vol. 11. P. 131–156.
  56. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975.
  57. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М: ФИЗМАТЛИТ, 1961.
  58. Beckert H. Existenzbeweis fur permanente Kapillarwellen einer schweren Flussigkeit // Arch. Rat. Mech. Anal. 1963. 13. P. 15–45.
  59. Красносельский М.А., Бурд В.Ш., Колесов Ю.С. Нелинейные почти периодические колебания. М.: Наука, 1970.
  60. Ворович И.И. О существовании решений в нелинейной теории оболочек // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1955. 19:4. C. 173–186.
  61. Хатсон В., Пим Дж.С. Приложения функционального анализа и теории операторов. М.: Мир, 1983.
  62. Nonlinear functional analysis and its applications, Part 2. //Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. 1986. Vol. 45/ Ed. F.E. Browder. AMS, Providence. Rhode Island, 1986. 
Поступила в редакцию: 
28.04.2018
Принята к публикации: 
29.10.2018
Опубликована: 
28.02.2019
Краткое содержание:
(загрузок: 105)