Для цитирования:
Богатов Е. М. О развитии качественных методов решения нелинейных уравнений и некоторых последствиях // Известия вузов. ПНД. 2019. Т. 27, вып. 1. С. 96-114. DOI: 10.18500/0869-6632-2019-27-1-96-114
О развитии качественных методов решения нелинейных уравнений и некоторых последствиях
Цель. Целью работы является исследование развития метода неподвижной точки и теории степени отображения, связанных с именами П. Боля, Л. Брауэра, К. Борсука, С. Улама и др. и его применения к изучению поведения траекторий динамических систем и устойчивых состояний упорядоченных сред. Метод. Исследование основано на анализе фундаментальных работ перечисленных математиков 1900–1930 гг., а также более поздних результатов Н. Левинсона, Т. Воловика, В. Минеева, Дж. Толанда и Х. Хофера прикладного характера. Результаты. Работы Брауэра внесли существенный вклад в теорию разрешимости нелинейных уравнений вида f(x) = x в конечномерной постановке. Этому предшествовало изучение сингулярных точек векторных полей, предпринятое А. Пуанкаре, а также доказательство теоремы Боля о невозможности отображения круга на свою границу. Первым математиком, использовавшим метод неподвижной точки в изучении систем дифференциальных уравнений, был Боль. Эта тема получила своё продолжение через 40 лет в работах Левинсона, который показал наличие в детерминированных диссипативных динамических системах хотя бы одного периодического решения. Введённое Брауэром фундаментальное понятие степени отображения (deg f) «заиграло» в самых неожиданных ситуациях. Исследования Воловика и Минеева выявили прямую зависимость дефектов упорядоченных сред от топологического инварианта deg f, характеризующего отображение f окрестности особой точки на сферу. Другое нестандартное применение степени отображения обнаружили Толанд и Хофер при изучении некоторых гамильтоновых систем. Вычисление deg f для отображений специального вида помогли им доказать существование периодических, гомоклинических и гетероклинических траекторий указанных систем. Обсуждение. Метод неподвижной точки и степень отображения – основные инструменты качественных методов решения нелинейных уравнений. Они оказались востребованными не только в рамках математики, но и в приложениях, причём эта тенденция, по-видимому, будет сохраняться и при переходе к бесконечномерному случаю. Благодарности: Автор выражает благодарность профессору Р.Р. Мухину (СТИ НИТУ МИСиС, Старый Оскол) за постановку задачи и полезные обсуждения, профессору Ю.Е. Гликлиху (ВГУ, Воронеж) за консультации по топологическим методам анализа и знакомство с рукописью, а также В.П. Богатовой за помощь в доступе к первоисточникам и перевод с немецкого. ?Часть результатов данной работы докладывалась на XXXVII годичной научной конференции СПбФ ИИЕТ РАН, секция история математики и механики [1]. (XXXVII годичная международная научная конференция Санкт-Петербургского отделения Национального комитета по истории и философии науки и техники Российской академии наук: Коммеморативные (юбилейные) практики в истории российской науки). https://doi.org/10.18500/0869-6632-2019-27-1-96-114
- Богатов Е.М. Об истории применения качественных методов решения нелинейных интегральных уравнений // Наука и техника: Вопросы истории и теории. Материалы XXXVII межд. годич. конф. СПб отд. Росс. нац. комит. по ист. и филос. науки и техники РАН (21–25 ноября 2016). Вып. XXXII. СПб, 2016. С. 102–104.
- Poincare Н. Sur l’Analysis Situs // C.R. 1892. 115. P. 633–636.
- Poincare Н. Analyse des travaux scientifiques de Henri Poincare faite par lui-meme // Acta math. 1921. Vol. 38. P. 1–135.
- Гомбрих Э. История искусства. М.: АСТ, 1998. 688 с.
- Воловик Г.Е., Минеев В.П. Исследование особенностей в сверхтекучем 3Не в жидких кристаллах методом гомотопической топологии // ЖЭТФ. 1977. 72:6. С. 2256–2274.
- Богатов Е.М., Мухин Р.Р. О связи между нелинейным анализом, бифуркациями и нелинейной динамикой: На примере воронежской школы нелинейного функционального анализа // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2015. Т. 23, № 6. С. 74–88.
- Богатов Е.М., Мухин Р.Р. Из истории нелинейных интегральных уравнений // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2016. Т. 24, № 2. С. 77–114.
- Poincare Н. Memoire sur les courbes definies par une equation differentielle I // J. de Math. 1881. 7. P. 375–422.
- Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.; Л.: ОГИЗ, 1947. 392 с.
- Kronecker L. Uber Systeme von Funktionen mehrerer Variabeln I. Monatsber. Berlin Akad. 1869. P. 159–193.
- Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: Изд-во АН СССР, 1962. 536 с.
- Siegberg H. Some historical remarks concerning degree theory // Amer. Math. Monthly. 1981. Vol. 88, № 2. P. 125–139.
- Mawhin J. Poincare’s early use of Analysis situs in nonlinear differential equations: Variations around the theme of Kronecker’s integral // Philosophia Scientiae. 2000. 4. P. 103–143.
- Poincare Н. Memoire sur les courbes definies par une equation differentielle IV // J. Math. Pure Appl. 1885. 1. P. 167–244.
- Bohl P. Sur certaines equations differentielles d’un type general utilisables en mecanique // ´ Bulletin de la Societ´e math ematique de France. 1910. T. 38. P. 1–134.
- Мышкис А.Д., Рабинович И.М. Математик Пирс Боль из Риги. С приложением комментария гроссмейстера М.М. Ботвинника о шахматной игре П. Боля. Рига: Зинатне, 1965.
- Боль П. Собрание трудов / Пер. с нем. И.М. Рабиновича; под ред. Л.Э. Рейзиня; вступит. статья и коммент. Л.Э. Рейзиня и И.А. Хенинь. АН Латв. ССР, Ин-т физики, Латв. отд-ние Всесоюз. астрон.-геодез. об-ва. Рига: Зинатне, 1974.
- Боль П.Г. 1865–1921. Избранные труды. Вступительная статья А.Д. Мышкиса и И.М. Рабиновича. АН Латвийской ССР, Астрофиз. лаб. 1961.
- Borsuk K. Sur les retractes // Fund. Math. 1931. 17.1. S. 152–170.
- Bohl P. Uber die Bewegung eines mechanischen Systems in der Nahe einer Gleichgewichtslage // Journal fur die reine und angewandte Mathematik. 1904. 127. S. 179–276.
- Birkhoff G.D., Kellogg O.D. Invariant points in function space // Trans. Amer. Math. Soc. 1922. vol. 23. P. 95–115.
- van Dalen D. Luitzen Egbertus Jan Brouwer // History of Topology / I.M. James ed., North Holland. 1999. P. 947–964.
- Johnson Dale M. The Problem of the Invariance of Dimension in the Growth of Modern Topology, Part II. // Arch. Hist. Ex. Sci, 1981. P. 85–267.
- Brouwer L.E.J. On continuous vector distributions on surfaces // KNAW Proc. 1909. vol. 11. P. 850–858.
- Brouwer L.E.J. On continuous vector distributions on surfaces, II // KNAW Proc. 1910. vol. 12. P. 716–734.
- Brouwer L.E.J. On continuous vector distributions on surfaces, III // KNAW Proc. 1910. vol. 12. P. 171–186.
- Freudenthal H. (ed.), L.E.J. Brouwer Collected Works, Vol. 2, Geometry, Analysis, Topology and Mechanics. North–Holland, Amsterdam, 1976.
- Brouwer L.E.J. Potentiaaltheorie en Vectoranalyse. Exercise book (unpublished manuscript) 1910.
- Александров П.С. Пуанкаре и топология // УМН. 1972. Т. 27, № 1 (163). С. 147–158.
- Босс В. Лекции по математике. Том 13. Топология. Изд. 3-е, испр. М.: ЛЕНАНД, 2014. 216 с.
- Brouwer L.E.J. Uber Abbildung von Mannigfaltigkeiten // Math. Annal. 1912. 71. S. 97–115.
- Brouwer L.E.J. Beweis der Invarianz der Dimensionenzahl // Math. Annal. 1911. 70. S. 161–165.
- Matousek J. Using the Borsuk–Ulam Theorem: Lectures on Topological Methods in Combinatorics and Geometry. Springer Science & Business Media, 2008.
- Borsuk K. Drei Satzeuber die n-dimensionale euklidische Sphare // Fund. Math. 1933. 20.1. S. 177–190.
- Крейн М. Г., Нудельман А.А. Теорема Борсука–Улама // Квант. 1983, №8. С. 20–25.
- Люстерник Л.А., Шнирельман Л.Г. Топологические методы в вариационных задачах. М.: Иссл. ин-т матем. и мех. при 1 МГУ, 1930.
- Воловик Г.Е., Минеев В.П. Физика и топология. М.: Знание, 1980.
- Минеев В.П. Топологические объекты в нематических жидких кристаллах // В кн. Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. М.: Наука. Главная редакция физикоматематической литературы, 1982. C. 148–158.
- Воловик Г.Е. Сверхтекучие свойства А-фазы Не3 // УФН. 1984. T. 143, вып. 1. C. 73–109.
- Poincare Н. Sur un theoreme en geometrie // Rendiconti del Circolo matematico di Palermo. 1912. vol. 33. P. 375–407. http://henripoincarepapers.univ-lorraine.fr/bibliohp/ajax.php?bibkey= =hp1912rp
- Пуанкаре А. Избранные труды. Том 2. Новые методы небесной механики. Топология. Теория чисел / Под ред. Н.Н. Боголюбова, В.И. Арнольда, И.Б. Погребысского. М.: Наука, 1972.
- Levinson N. Transformation theory of non-linear differential equations of the second order // Annals Math. Second Series. 1944. Vol. 45, no. 4. P. 723–737.
- Богатов Е.М., Мухин Р.Р. Метод усреднения, маятник с вибрирующим подвесом: Н.Н. Боголюбов, Э. Стефенсон, П.Л. Капица и другие // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2017. Т. 25, № 5. C. 69–87.
- Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958.
- Hofer H., Toland J. Homoclinic, heteroclinic, and periodic orbits for a class of indefinite Hamiltonian systems // Math. Annalen. 1984. Vol. 268, no. 3. P. 387–403.
- Toland J.F. Solitary wave solutions for a model of the two-way propagation of water waves in a channel // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 1981. 90. P. 343–360.
- Peletier L.A., and Troy W.C. Spatial patterns: higher order models in physics and mechanics. Vol. 45. Springer Science & Business Media, 2012.
- Nash C. Topology and physics – a historical essay // History of Topology / Ed. I.M. James. North Holland. 1999. P. 359–416.
- Ugi I., Dugundij J., Kopp R., Marquarding D. Perspectives in theoretical stereochemistry. Lecture note series, Vol. 36, Springer, Heidelberg, 1984.
- Долбилин Н.П. Критерий кристалла и локально антиподальные множества Делоне // Вестник ЧелГУ. 2015, № 17. C. 6–17.
- Dieudonne J. A History of Algebraic and Differential Topology, 1900–1960. Modern Birkhauser, Boston, 1989.
- Park S. Ninety years of the Brouwer fixed point theorem // Vietnam J. Math. 1999. Vol. 27, no. 3. P. 187–222.
- Mawhin J. IN MEMORIAM JEAN LERAY (1906–1998) // Topol. Meth. Nonlin. Anal. 1998. Vol. 12. 14. P. 199–206.
- Mawhin J. Juliusz Schauder, topology of functional spaces and partial differential equations // Wiadomosci matematyczne. 2012. Vol. 48, no. 2. P. 173–183.
- Bogatov E.M. Key moments of the mutual influence of the Polish and Soviet schools of nonlinear functional analysis in the 1920’s–1950’s // Antiq. Math. 2017. Vol. 11. P. 131–156.
- Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975.
- Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М: ФИЗМАТЛИТ, 1961.
- Beckert H. Existenzbeweis fur permanente Kapillarwellen einer schweren Flussigkeit // Arch. Rat. Mech. Anal. 1963. 13. P. 15–45.
- Красносельский М.А., Бурд В.Ш., Колесов Ю.С. Нелинейные почти периодические колебания. М.: Наука, 1970.
- Ворович И.И. О существовании решений в нелинейной теории оболочек // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1955. 19:4. C. 173–186.
- Хатсон В., Пим Дж.С. Приложения функционального анализа и теории операторов. М.: Мир, 1983.
- Nonlinear functional analysis and its applications, Part 2. //Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. 1986. Vol. 45/ Ed. F.E. Browder. AMS, Providence. Rhode Island, 1986.
- 2426 просмотров