Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)


Для цитирования:

Мухин Д. Н., Селезнев А. Ф., Гаврилов А. С., Фейгин А. М. Оптимальные эмпирические модели динамических систем с внешними воздействиями: общий подход и примеры из климата // Известия вузов. ПНД. 2021. Т. 29, вып. 4. С. 571-602. DOI: 10.18500/0869-6632-2021-29-4-571-602

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Полный текст в формате PDF(Ru):
(загрузок: 289)
Язык публикации: 
русский
Тип статьи: 
Обзорная статья
УДК: 
530.182

Оптимальные эмпирические модели динамических систем с внешними воздействиями: общий подход и примеры из климата

Авторы: 
Мухин Дмитрий Николаевич, Институт прикладной физики РАН (ИПФ РАН)
Селезнев Алексей Фёдорович, Институт прикладной физики РАН (ИПФ РАН)
Гаврилов Андрей Сергеевич, Институт прикладной физики РАН (ИПФ РАН)
Фейгин Александр Маркович, Институт прикладной физики РАН (ИПФ РАН)
Аннотация: 

Цель данной статьи – обзор недавних результатов (за последние три года), полученных в Институте прикладной физики (ИПФ РАН), в части приложений метода построения оптимальных эмпирических моделей к климатическим системам. Методы. Этот метод, разработанный авторами статьи, включает в себя построение редуцированных моделей исследуемой системы в форме случайных динамических систем. В сочетании с байесовой оптимизацией структуры модели, данный метод позволяет реконструировать статистически обоснованные законы, лежащие в основе наблюдаемой динамики. Результаты. В статье описаны результаты применения этого метода к моделированию трех климатических подсистем, соответствующих различным временным масштабам: климат плейстоцена, характеризующийся ледниковыми циклами, Эль-Ниньо – Южное колебание в современном климате – явление с масштабом порядка года, и климат тропической части Тихого океана на столетних масштабах. Заключение. По представленным результатам можно заключить, что используемый метод построения оптимальных моделей является полезным инструментом для верификации механизмов, лежащих в основе наблюдаемой климатической изменчивости, включая анализ отклика системы на внешние сигналы. 

Благодарности: 
Описанные в разделах 1, 2.1 и 2.2 результаты получены при поддержке Российского научного фонда (грант 19-42-04121). Результат из раздела 2.3 получен при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 19-02-00502)
Список источников: 
  1. Безручко Б. П., Смирнов Д. А. Математическое моделирование и хаотические временные ряды. Саратов: ГосУНЦ «Колледж», 2005. 320 с.
  2. Abarbanel H. D. I. Analysis of Observed Chaotic Data. New York: Springer, 1996. 272 p. DOI: 10.1007/978-1-4612-0763-4.
  3. Anishchenko V. S., Astakhov V., Neiman A., Vadivasova T., Schimansky-Geier L. Nonlinear Dynamics of Chaotic and Stochastic Systems: Tutorial and Modern Developments. Springer Series in Synergetics. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2007. 446 p. DOI: 10.1007/978-3-540-38168-6.
  4. Gouesbet G., Letellier C. Global vector-field reconstruction by using a multivariate polynomial L2 approximation on nets // Phys. Rev. E. 1994. Vol. 49, no. 6. P. 4955–4972. DOI: 10.1103/PhysRevE.49.4955.
  5. Anishchenko V., Pavlov A., Janson N. Global reconstruction in the presence of a priori information // Chaos, Solitons & Fractals. 1998. Vol. 9, no. 8. P. 1267–1278. DOI: 10.1016/S0960-0779(98)00061-7.
  6. Schelter B., Mader M., Mader W., Sommerlade L., Platt B., Lai Y.-C., Grebogi C., Thiel M. Overarching framework for data-based modelling // EPL. 2014. Vol. 105, no. 3. P. 30004. DOI: 10.1209/0295-5075/105/30004.
  7. Gorur-Shandilya S., Timme M. Inferring network topology from complex dynamics // New J. Phys. 2011. Vol. 13. P. 013004. DOI: 10.1088/1367-2630/13/1/013004.
  8. Wang W.-X., Yang R., Lai Y.-C., Kovanis V., Grebogi C. Predicting catastrophes in nonlinear dynamical systems by compressive sensing // Phys. Rev. Lett. 2011. Vol. 106, no. 15. P. 154101. DOI: 10.1103/PhysRevLett.106.154101.
  9. Baake E., Baake M., Bock H. G., Briggs K. M. Fitting ordinary differential equations to chaotic data // Phys. Rev. A. 1992. Vol. 45, no. 8. P. 5524–5529. DOI: 10.1103/PhysRevA.45.5524.
  10. Bezruchko B. P., Smirnov D. A., Sysoev I. V. Identification of chaotic systems with hidden variables (modified Bock’s algorithm) // Chaos, Solitons & Fractals. 2006. Vol. 29, no. 1. P. 82–90. DOI: 10.1016/j.chaos.2005.08.204.
  11. Gorodetskyi V., Osadchuk M. Analytic reconstruction of some dynamical systems // Phys. Lett. A. 2013. Vol. 377, no. 9. P. 703–713. DOI: 10.1016/j.physleta.2012.12.043.
  12. Mukhin D. N., Feigin A. M., Loskutov E. M., Molkov Y. I. Modified Bayesian approach for the reconstruction of dynamical systems from time series // Phys. Rev. E. 2006. Vol. 73, no. 3. P. 036211. DOI: 10.1103/PhysRevE.73.036211.
  13. Molkov Y. I., Mukhin D. N., Loskutov E. M., Timushev R. I., Feigin A. M. Prognosis of qualitative system behavior by noisy, nonstationary, chaotic time series // Phys. Rev. E. 2011. Vol. 84, no. 3. P. 036215. DOI: 10.1103/PhysRevE.84.036215.
  14. Molkov Y. I., Loskutov E. M., Mukhin D. N., Feigin A. M. Random dynamical models from time series // Phys. Rev. E. 2012. Vol. 85, no. 3. P. 036216. DOI: 10.1103/PhysRevE.85.036216.
  15. Bezruchko B. P., Smirnov D. A. Constructing nonautonomous differential equations from experimental time series // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 63, no. 1. P. 016207. DOI: 10.1103/PhysRevE.63.016207.
  16. Смирнов Д. А., Сысоев И. В., Селезнев Е. П., Безручко Б. П. Реконструкция моделей неавтономных систем с дискретным спектром воздействия // Письма в ЖТФ. 2003. Т. 29, № 19. С. 69–76.
  17. Ponomarenko V. I., Prokhorov M. D. Extracting information masked by the chaotic signal of a time-delay system // Phys. Rev. E. 2002. Vol. 66, no. 2. P. 026215. DOI: 10.1103/PhysRevE.66.026215.
  18. Sysoev I. V., Prokhorov M. D., Ponomarenko V. I., Bezruchko B. P. Reconstruction of ensembles of coupled time-delay systems from time series // Phys. Rev. E. 2014. Vol. 89, no. 6. P. 062911. DOI: 10.1103/PhysRevE.89.062911.
  19. Sysoev I. V., Ponomarenko V. I., Kulminskiy D. D., Prokhorov M. D. Recovery of couplings and parameters of elements in networks of time-delay systems from time series // Phys. Rev. E. 2016. Vol. 94, no. 5. P. 052207. DOI: 10.1103/PhysRevE.94.052207.
  20. Han X., Shen Z., Wang W.-X., Di Z. Robust reconstruction of complex networks from sparse data // Phys. Rev. Lett. 2015. Vol. 114, no. 2. P. 028701. DOI: 10.1103/PhysRevLett.114.028701.
  21. Brunton S. L., Proctor J. L., Kutz J. N. Discovering governing equations from data by sparse identification of nonlinear dynamical systems // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 2016. Vol. 113, no. 15. P. 3932–3937. DOI: 10.1073/pnas.1517384113.
  22. Mangan N. M., Brunton S. L., Proctor J. L., Kutz J. N. Inferring biological networks by sparse identification of nonlinear dynamics // IEEE Trans. Mol. Biol. Multi-Scale Commun. 2016. Vol. 2, no. 1. P. 52–63. DOI: 10.1109/TMBMC.2016.2633265.
  23. Pikovsky A. Reconstruction of a neural network from a time series of firing rates // Phys. Rev. E. 2016. Vol. 93, no. 6. P. 062313. DOI: 10.1103/PhysRevE.93.062313.
  24. Sysoev I. V., Ponomarenko V. I., Pikovsky A. Reconstruction of coupling architecture of neural field networks from vector time series // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2018. Vol. 57. P. 342–351. DOI: 10.1016/j.cnsns.2017.10.006.
  25. Feigin A. M., Molkov Y. I., Mukhin D. N., Loskutov E. M. Investigation of nonlinear dynamical properties by the observed complex behaviour as a basis for construction of dynamical models of atmospheric photochemical systems // Faraday Discuss. 2002. Vol. 120. P. 105–123. DOI: 10.1039/b102985c.
  26. Loskutov E. M., Molkov Y. I., Mukhin D. N., Feigin A. M. Markov chain Monte Carlo method in Bayesian reconstruction of dynamical systems from noisy chaotic time series // Phys. Rev. E. 2008. Vol. 77, no. 6. P. 066214. DOI: 10.1103/PhysRevE.77.066214.
  27. Mukhin D., Loskutov E., Mukhina A., Feigin A., Zaliapin I., Ghil M. Predicting critical transitions in ENSO models. Part I: Methodology and simple models with memory // Journal of Climate. 2015. Vol. 28, no. 5. P. 1940–1961. DOI: 10.1175/JCLI-D-14-00239.1.
  28. Mukhin D., Kondrashov D., Loskutov E., Gavrilov A., Feigin A., Ghil M. Predicting critical transitions in ENSO models. Part II: Spatially dependent models // Journal of Climate. 2015. Vol. 28, no. 5. P. 1962–1976. DOI: 10.1175/JCLI-D-14-00240.1.
  29. Molkov Y. I., Mukhin D. N., Loskutov E. M., Feigin A. M., Fidelin G. A. Using the minimum description length principle for global reconstruction of dynamic systems from noisy time series // Phys. Rev. E. 2009. Vol. 80, no. 4. P. 046207. DOI: 10.1103/PhysRevE.80.046207.
  30. Gavrilov A., Loskutov E., Mukhin D. Bayesian optimization of empirical model with state-dependent stochastic forcing // Chaos, Solitons & Fractals. 2017. Vol. 104. P. 327–337. DOI: 10.1016/j.chaos.2017.08.032.
  31. Arnold L. Random Dynamical Systems. Springer Monographs in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 1998. 586 p. DOI: 10.1007/978-3-662-12878-7.
  32. Gavrilov A., Seleznev A., Mukhin D., Loskutov E., Feigin A., Kurths J. Linear dynamical modes as new variables for data-driven ENSO forecast // Clim. Dyn. 2019. Vol. 52, no. 3–4. P. 2199–2216. DOI: 10.1007/s00382-018-4255-7.
  33. Mukhin D., Gavrilov A., Loskutov E., Kurths J., Feigin A. Bayesian data analysis for revealing causes of the middle pleistocene transition // Sci. Rep. 2019. Vol. 9, no. 1. P. 7328. DOI: 10.1038/s41598-019-43867-3.
  34. Seleznev A., Mukhin D., Gavrilov A., Loskutov E., Feigin A. Bayesian framework for simulation of dynamical systems from multidimensional data using recurrent neural network // Chaos. 2019. Vol. 29, no. 12. P. 123115. DOI: 10.1063/1.5128372.
  35. Mukhin D., Gavrilov A., Seleznev A., Buyanova M. An atmospheric signal lowering the spring predictability barrier in statistical ENSO forecasts // Geophysical Research Letters. 2021. Vol. 48, no. 6. P. e2020GL091287. DOI: 10.1029/2020GL091287.
  36. Gildor H., Tziperman E. Sea ice as the glacial cycles’ Climate switch: role of seasonal and orbital forcing // Paleoceanography and Paleoclimatology. 2000. Vol. 15, no. 6. P. 605–615. DOI: 10.1029/1999PA000461.
  37. Smirnov D. A., Mokhov I. I. From Granger causality to long-term causality: Application to climatic data // Phys. Rev. E. 2009. Vol. 80, no. 1. P. 016208. DOI: 10.1103/PhysRevE.80.016208.
  38. Мохов И. И., Смирнов Д. А. Эмпирические оценки воздействия естественных и антропогенных факторов на глобальную приповерхностную температуру // Доклады Академии Наук. 2009. Т. 426, № 5. С. 679–684.
  39. Мохов И. И., Смирнов Д. А. Оценки вклада Атлантической мультидесятилетней осцилляции и изменений атмосферного содержания парниковых газов в тренды приповерхностной температуры по данным наблюдений // Доклады Академии Наук. 2018. Т. 480, № 1. С. 97–102. DOI: 10.7868/S0869565218130200.
  40. Мохов И. И., Смирнов Д. А. Вклад радиационного воздействия парниковых газов и атлантической мультидесятилетней осцилляции в тренды приповерхностной температуры // Метеорология и гидрология. 2018. № 9. С. 5–13.
  41. Hornik K., Stinchcombe M., White H. Multilayer feedforward networks are universal approximators // Neural Networks. 1989. Vol. 2, no. 5. P. 359–366. DOI: 10.1016/0893-6080(89)90020-8.
  42. Raymo M. E., Nisancioglu K. H. The 41 kyr world: Milankovitch’s other unsolved mystery // Paleoceanography and Paleoclimatology. 2003. Vol. 18, no. 1. P. 1011. DOI: 10.1029/2002PA000791.
  43. Clark P. U., Archer D., Pollard D., Blum J. D., Rial J. A., Brovkin V., Mix A. C., Pisias N. G., Roy M. The middle Pleistocene transition: characteristics, mechanisms, and implications for long-term changes in atmospheric pCO2 // Quaternary Science Reviews. 2006. Vol. 25, no. 23–24. P. 3150–3184. DOI: 10.1016/j.quascirev.2006.07.008.
  44. Maslin M. A., Brierley C. M. The role of orbital forcing in the Early Middle Pleistocene Transition // Quaternary International. 2015. Vol. 389. P. 47–55. DOI: 10.1016/j.quaint.2015.01.047.
  45. Elderfield H., Ferretti P., Greaves M., Crowhurst S., McCave I. N., Hodell D., Piotrowski A. M. Evolution of ocean temperature and ice volume through the mid-Pleistocene climate transition // Science. 2012. Vol. 337, no. 6095. P. 704–709. DOI: 10.1126/science.1221294.
  46. Gildor H., Tziperman E. A sea ice climate switch mechanism for the 100-kyr glacial cycles // Journal of Geophysical Research: Oceans. 2001. Vol. 106, no. C5. P. 9117–9133. DOI: 10.1029/1999JC000120.
  47. Crucifix M. Oscillators and relaxation phenomena in Pleistocene climate theory // Phil. Trans. R. Soc. A. 2012. Vol. 370, no. 1962. P. 1140–1165. DOI: 10.1098/rsta.2011.0315.
  48. Rial J. A., Oh J., Reischmann E. Synchronization of the climate system to eccentricity forcing and the 100,000-year problem // Nature Geosci. 2013. Vol. 6, no. 4. P. 289–293. DOI: 10.1038/ngeo1756.
  49. Ditlevsen P. D. Bifurcation structure and noise-assisted transitions in the Pleistocene glacial cycles // Paleoceanography and Paleoclimatology. 2009. Vol. 24, no. 3. P. PA3204. DOI: 10.1029/2008PA001673.
  50. Huybers P. Pleistocene glacial variability as a chaotic response to obliquity forcing // Clim. Past. 2009. Vol. 5, no. 3. P. 481–488. DOI: 10.5194/cp-5-481-2009.
  51. Benzi R., Parisi G., Sutera A., Vulpiani A. Stochastic resonance in climatic change // Tellus. 1982. Vol. 34, no. 1. P. 10–15. DOI: 10.3402/tellusa.v34i1.10782.
  52. Lisiecki L. E., Raymo M. E. A Pliocene-Pleistocene stack of 57 globally distributed benthic δ 18O records // Paleoceanography and Paleoclimatology. 2005. Vol. 20, no. 1. P. PA1003. DOI: 10.1029/2004PA001071.
  53. Berger A., Loutre M. F. Insolation values for the climate of the last 10 million years // Quaternary Science Reviews. 1991. Vol. 10, no. 4. P. 297–317. DOI: 10.1016/0277-3791(91)90033-Q.
  54. Berger A., Li X. S., Loutre M. F. Modelling northern hemisphere ice volume over the last 3 Ma // Quaternary Science Reviews. 1999. Vol. 18, no. 1. P. 1–11. DOI: 10.1016/S0277-3791(98)00033-X.
  55. Rial J. A. Abrupt climate change: chaos and order at orbital and millennial scales // Global and Planetary Change. 2004. Vol. 41, no. 2. P. 95–109. DOI: 10.1016/j.gloplacha.2003.10.004.
  56. Tziperman E., Gildor H. On the mid-Pleistocene transition to 100-kyr glacial cycles and the asymmetry between glaciation and deglaciation times // Paleoceanography and Paleoclimatology. 2003. Vol. 18, no. 1. P. 1–1–1–8. DOI: 10.1029/2001pa000627.
  57. McManus J. F., Oppo D. W., Cullen J. L. A 0.5-million-year record of millennial-scale climate variability in the North Atlantic // Science. 1999. Vol. 283, no. 5404. P. 971–975. DOI: 10.1126/science.283.5404.971.
  58. Schulz M., Berger W. H., Sarnthein M., Grootes P. M. Amplitude variations of 1470-year climate oscillations during the last 100,000 years linked to fluctuations of continental ice mass // Geophysical Research Letters. 1999. Vol. 26, no. 22. P. 3385–3388. DOI: 10.1029/1999GL006069.
  59. Burgers G., Jin F.-F., van Oldenborgh G. J. The simplest ENSO recharge oscillator // Geophysical Research Letters. 2005. Vol. 32, no. 13. P. L13706. DOI: 10.1029/2005GL022951.
  60. Jin F.-F. An equatorial ocean recharge paradigm for ENSO. Part I: Conceptual model // Journal of the Atmospheric Sciences. 1997. Vol. 54, no. 7. P. 811–829. DOI: 10.1175/1520-0469(1997)054<0811:AEORPF>2.0.CO;2.
  61. McPhaden M. J. Tropical Pacific Ocean heat content variations and ENSO persistence barriers // Geophysical Research Letters. 2003. Vol. 30, no. 9. P. 1480. DOI: 10.1029/2003GL016872.
  62. Timmermann A., An S.-I., Kug J.-S., Jin F.-F., Cai W., Capotondi A., Cobb K. M., Lengaigne M., McPhaden M. J., Stuecker M. F., Stein K., Wittenberg A. T., Yun K.-S., Bayr T., Chen H.-C., Chikamoto Y., Dewitte B., Dommenget D., Grothe P., Guilyardi E., Ham Y.-G., Hayashi M., Ineson S., Kang D., Kim S., Kim W., Lee J.-Y., Li T., Luo J.-J., McGregor S., Planton Y., Power S., Rashid H., Ren H.-L., Santoso A., Takahashi K., Todd A., Wang G., Wang G., Xie R., Yang W.-H., Yeh S.-W., Yoon J., Zeller E., Zhang X. El Nino–Southern Oscillation complexity // Nature. 2018. Vol. 559, no. 7715. P. 535–545. DOI: 10.1038/s41586-018-0252-6.
  63. Kondrashov D., Kravtsov S., Robertson A. W., Ghil M. A hierarchy of data-based ENSO models // Journal of Climate. 2005. Vol. 18, no. 21. P. 4425–4444. DOI: 10.1175/JCLI3567.1.
  64. Tippett M. K., L’Heureux M. L. Low-dimensional representations of Nino 3.4 evolution and the spring persistence barrier // npj Clim. Atmos. Sci. 2020. Vol. 3, no. 1. P. 24. DOI: 10.1038/s41612-020-0128-y.
  65. Vimont D. J., Wallace J. M., Battisti D. S. The seasonal footprinting mechanism in the pacific: Implications for ENSO // Journal of Climate. 2003. Vol. 16, no. 16. P. 2668–2675. DOI: 10.1175/1520- 0442(2003)016<2668:TSFMIT>2.0.CO;2.
  66. Yu J.-Y., Fang S.-W. The distinct contributions of the seasonal footprinting and charged-discharged mechanisms to ENSO complexity // Geophysical Research Letters. 2018. Vol. 45, no. 13. P. 6611– 6618. DOI: 10.1029/2018GL077664.
  67. Vimont D. J., Alexander M., Fontaine A. Midlatitude excitation of tropical variability in the pacific: The role of thermodynamic coupling and seasonality // Journal of Climate. 2009. Vol. 22, no. 3. P. 518–534. DOI: 10.1175/2008JCLI2220.1.
  68. Fang X.-H., Mu M. Both air-sea components are crucial for El Nino forecast from boreal spring // Sci. Rep. 2018. Vol. 8, no. 1. P. 10501. DOI: 10.1038/s41598-018-28964-z.
  69. Мохов И. И., Смирнов Д. А. Трехкомпонентный анализ сезонных особенностей взаимосвязи между явлениями Эль-Ниньо, североатлантическим колебанием и индийским муссоном // Метеорология и гидрология. 2016. № 12. С. 18–32.
  70. Мохов И. И., Смирнов Д. А. Оценки взаимного влияния вариаций температуры поверхности в тропических широтах Тихого, Атлантического и Индийского океанов в тропических широтах по долгопериодным рядам данных // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2017. Т. 53, № 6. С. 699–709. DOI: 10.7868/S0003351517060046.
  71. Barnston A. G., Tippett M. K., L’Heureux M. L., Li S., DeWitt D. G. Skill of real-time seasonal ENSO model predictions during 2002–11: Is our capability increasing? // Bulletin of the American Meteorological Society. 2012. Vol. 93, no. 5. P. 631–651. DOI: 10.1175/BAMS-D-11-00111.1.
  72. Bond G., Kromer B., Beer J., Muscheler R., Evans M. N., Showers W., Hoffmann S., Lotti-Bond R., Hajdas I., Bonani G. Persistent solar influence on North Atlantic climate during the Holocene // Science. 2001. Vol. 294, no. 5549. P. 2130–2136. DOI: 10.1126/science.1065680.
  73. Emile-Geay J., Cane M., Seager R., Kaplan A., Almasi P. El Nino as a mediator of the solar influence on climate // Paleoceanography and Paleoclimatology. 2007. Vol. 22, no. 3. P. PA3210. DOI: 10.1029/2006PA001304.
  74. Shindell D., Rind D., Balachandran N., Lean J., Lonergan P. Solar cycle variability, ozone, and climate // Science. 1999. Vol. 284, no. 5412. P. 305–308. DOI: 10.1126/science.284.5412.305.
  75. Shindell D. T., Schmidt G. A., Mann M. E., Rind D., Waple A. Solar forcing of regional climate change during the Maunder Minimum // Science. 2001. Vol. 294, no. 5549. P. 2149–2152. DOI: 10.1126/science.1064363.
  76. Zebiak S. E. Oceanic heat content variability and El Nino cycles // Journal of Physical Oceanogra- phy. 1989. Vol. 19, no. 4. P. 475–486. DOI: 10.1175/1520-0485(1989)019<0475:OHCVAE>2.0.CO;2.
  77. Bjerknes J. Atmospheric teleconnections from the equatorial Pacific // Monthly Weather Review. 1969. Vol. 97, no. 3. P. 163–172. DOI: 10.1175/1520-0493(1969)097<0163:ATFTEP>2.3.CO;2.
  78. Yeh S.-W., Cai W., Min S.-K., McPhaden M. J., Dommenget D., Dewitte B., Collins M., Ashok K., An S.-I., Yim B.-Y., Kug J.-S. ENSO atmospheric teleconnections and their response to greenhouse gas forcing // Reviews of Geophysics. 2018. Vol. 56, no. 1. P. 185–206. DOI: 10.1002/2017RG000568.
  79. Mukhin D., Gavrilov A., Loskutov E., Feigin A., Kurths J. Nonlinear reconstruction of global climate leading modes on decadal scales // Clim. Dyn. 2018. Vol. 51, no. 5–6. P. 2301–2310. DOI: 10.1007/s00382-017-4013-2.
  80. Emile-Geay J., Cobb K. M., Mann M. E., Wittenberg A. T. Estimating central equatorial Pacific SST variability over the past millennium. Part II: Reconstructions and implications // Journal of Climate. 2013. Vol. 26, no. 7. P. 2329–2352. DOI: 10.1175/JCLI-D-11-00511.1.
  81. Emile-Geay J., Cobb K. M., Mann M. E., Wittenberg A. T. Estimating central equatorial Pacific SST variability over the past millennium. Part I: Methodology and validation // Journal of Climate. 2013. Vol. 26, no. 7. P. 2302–2328. DOI: 10.1175/JCLI-D-11-00510.1.
  82. Steinhilber F., Beer J., Frohlich C. Total solar irradiance during the Holocene // Geophysical Research Letters. 2009. Vol. 36, no. 19. P. L19704. DOI: 10.1029/2009GL040142.
  83. Фейгин А. М., Гаврилов А. С., Лоскутов Е. М., Мухин Д. Н., Селезнев А. Ф. Нелинейные динамические моды: метод эмпирической реконструкции сложных систем // Нелинейные волны’ 2018. Нижний Новгород: ИПФ РАН, 2019. С. 191–217.
  84. Mukhin D., Gavrilov A., Feigin A., Loskutov E., Kurths J. Principal nonlinear dynamical modes of climate variability // Sci. Rep. 2015. Vol. 5, no. 1. P. 15510. DOI: 10.1038/srep15510.
  85. Gavrilov A., Mukhin D., Loskutov E., Volodin E., Feigin A., Kurths J. Method for reconstructing nonlinear modes with adaptive structure from multidimensional data // Chaos. 2016. Vol. 26, no. 12. P. 123101. DOI: 10.1063/1.4968852.
Поступила в редакцию: 
31.05.2021
Принята к публикации: 
29.06.2021
Опубликована: 
30.07.2021