Для цитирования:
Кулагин Н. Е., Лерман Л. М. Пространственная динамика в семействе дифференциальных уравнений шестого порядка из теории структурообразования // Известия вузов. ПНД. 2024. Т. 32, вып. 6. С. 878-896. DOI: 10.18500/0869-6632-003137, EDN: ONIPZY
Пространственная динамика в семействе дифференциальных уравнений шестого порядка из теории структурообразования
Тема работы. Изучаются ограниченные стационарные (то есть не зависящие от времени) пространственноодномерные решения квазилинейного параболического уравнения с частными производными, рассматриваемого на всей числовой прямой. Его стационарные решения описываются нелинейным дифференциальным уравнением 6-го порядка, имеющим тип уравнения Эйлера–Лагранжа–Пуассона, и поэтому приводимого к гамильтоновой системе с тремя степенями свободы, которая также обратима относительно двух линейных инволюций. Система имеет три симметричных состояния равновесия, два из которых являются гиперболическими в некоторой области значений параметров.
Цель работы. В работе, комбинируя методы теории динамических систем и численные методы, исследуется поведение траекторий в окрестности симметричного гетероклинического контура, основанного на этих состояниях равновесия, показано существование как простых траекторий (периодических), так и траекторий со сложным поведением. Для этого, в частности, используется теорема о глобальном инвариантном многообразии для гетероклинического контура. Для симметричного состояния равновесия в начале координат найдена область параметров, где оно является седло-фокус-центром, показано существование гомоклинических траекторий этого состояния равновесия, долго-периодических траекторий в их окрестности, а также траекторий со сложным поведением.
- Bates P. W., Fife P. C., Gardner R. A., Jones C. K. R. T. The existence of traveling wave solutions of a generalized phase-field model // SIAM J. Math. Anal. 1997. Vol. 28, no. 1. P. 60–93. DOI: 10.18500/0869-6632-00313710.1137/S0036141095283820.
- Caginalp G., Fife P. Higher-order phase field models and detailed anisotropy // Phys. Rev. B. 1986. Vol. 34, iss. 7. P. 4940–4943. DOI: 10.1103/PhysRevB.34.4940.
- Tersian S., Shaparova Yu. Periodic and homoclinic solutions of some semilinear sixth-order differential equations // J. Math. Analysis Appl. 2002. Vol. 272, iss. 1. P. 223–239. DOI: 10.1016/S0022-247X(02)00153-1.
- Peletier L. A., Troy W. C., Van der Vorst R. C. A. M. Stationary solutions of a fourth-order nonlinear diffusion equation // Differential Equations. 1995. Vol. 31, no. 2. P. 301–314.
- Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики // В кн.: Динамические системы. Т. 3. Итоги науки и техники, сер. «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». М.: ВИНИТИ АН СССР, 1985. C. 5–290.
- Koltsova O. Yu., Lerman L. M. Families of transverse Poincare homoclinic orbits in 2N-dimensional Hamiltonian systems close to the system with a loop to a saddle-center // Intern. J. Bifurcation & Chaos. 1996. Vol. 6, no. 6. P. 991–1006. DOI: 10.1142/S0218127496000540.
- Шильников Л. П. К вопросу о структуре расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус // Матем. сб. 1970. Т. 81, № 1. С. 92-103.
- Kulagin N. E., Lerman L. M., Trifonov K. N. Twin heteroclinic connections of reversible systems // Regular and Chaotic Dynamics. 2024. Vol. 29, no. 1, 40–64. DOI: 10.1134/S1560354724010040.
- Vanderbauwhede A., Fiedler B. Homoclinic period blow-up in reversible and conservative systems // Z. Angew. Math. Phys. 1992. Vol. 43. P. 292-318. DOI: 10.1007/BF00946632.
- Ibanez S., Rodrigues A. On the dynamics near a homoclinic network to a bifocus: Switching and horseshoes // Int. J. of Bifurc. and Chaos. 2015. Vol. 25, no. 11. P. 1530030. DOI: 10.1142/S021812741530030X.
- Галин Д. М. Версальные деформации линейных гамильтоновых систем // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 1975. Т. 1. С. 63–74.
- Gaivao J. P., Gelfreich V. Splitting of separatrices for the Hamiltonian-Hopf bifurcation with the Swift–Hohenberg equation as an example // Nonlinearity. 2011. Vol. 24, no. 3. P. 677—698. DOI: 10.1088/0951-7715/24/3/002.
- Glebsky L. Yu., Lerman L. M. On small stationary localized solutions for the generalized 1-D Swift-Hohenberg equation // Chaos: Interdisc. J Nonlin. Sci. 1995. Vol. 5, no. 2. P. 424–431. DOI: 10.1063/1.166142.
- van der Meer J.-C. The Hamiltonian Hopf Bifurcation. Vol. 1160 of Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 1985. 115 p. DOI: 10.1007/BFb0080357.
- Iooss G., Perou eme M. C. Perturbed homoclinic solutions in reversible 1:1 resonance vector fields // J. Diff. Equat. 1993. Vol. 102. P. 62–88.
- Homburg A. J. Global aspects of homoclinic bifurcations of vector fields // Memoirs of AMS. 1996. Vol. 121. P. 578. DOI: 10.1090/memo/0578.
- Sandstede B. Center manifolds for homoclinic solutions // J. Dyn. Differ. Equ. 2000. Vol. 12, no. 3. P. 449–510. DOI: 10.1023/A:1026412926537.
- Тураев Д. В., Об одном случае бифуркаций контура, образованного гомоклиническими кривыми седла // В кн.: «Методы качественной теории дифференциальных уравнений» / Под ред. Е. А. Леонтович-Андронова. Горький: Горьковский госуниверситет, 1984. C. 162–175.
- Шильников Л. П., Шильников А. Л., Тураев Д. В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Т. 1. Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2004.
- Lerman L. Homo- and heteroclinic orbits, hyperbolic subsets in a one-parameter unfolding of a Hamiltonian system with heteroclinic contour with two saddle-foci // Regul. & Chaotic Dynamics. 1997. Vol. 2, no. 3-4. P. 139–155.
- Беляков Л. А., Шильников Л. П. Гомоклинические кривые и сложные уединенные волны // В кн.: «Методы качественной теории дифференциальных уравнений» / Под ред. Е. А. Леонтович-Андронова. Горький: Горьковский госуниверситет, 1985. C. 22–35.
- Devaney R. Homoclinic orbits in Hamiltonian systems // J. Diff. Equat. 1976. Vol. 21. P. 431–439. DOI: 10.1016/0022-0396(76)90130-3.
- Lerman L. M. Complex dynamics and bifurcations in Hamiltonian systems having the transversal homoclinic orbit to a saddle-focus // Chaos: Interdisc. J. Nonlin. Sci. 1991. Vol. 1, no. 2. P. 174–180. DOI: 10.1063/1.165859.
- Lerman L. Dynamical phenomena near a saddle-focus homoclinic connection in a Hamiltonian system // J. Stat. Physics. 2000. Vol. 101, no. 1–2. P. 357–372. DOI: 10.1023/A:1026411506781.
- Turaev D. V. On dimension of non-local bifurcation problems // Int. J. Bif.& Chaos. 1996. Vol. 6, no. 5. P. 919–948. DOI: 10.1142/S0218127496000515.
- 404 просмотра