Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)

Для цитирования:

Кузнецов А. П., Кузнецов С. П., Иваньков Н. Ю., Осин А. А. Скейлинг при переходе к хаосу через разрушение квазипериодического движения с отношением частот, заданным золотым средним // Известия вузов. ПНД. 2000. Т. 8, вып. 4. С. 3-24.

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Полный текст в формате PDF(Ru):
Иконка PDF 2000no4p003.pdf
(загрузок: 0)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
Обзоры актуальных проблем нелинейной динамики
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
517.9

Скейлинг при переходе к хаосу через разрушение квазипериодического движения с отношением частот, заданным золотым средним

Авторы: 
Кузнецов Александр Петрович, Саратовский филиал Института радиотехники и электроники имени В.А. Котельникова РАН (СФ ИРЭ)
Кузнецов Сергей Петрович, Саратовский филиал Института радиотехники и электроники имени В.А. Котельникова РАН (СФ ИРЭ)
Иваньков Николай Юрьевич, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского (СГУ)
Осин Алексей Андреевич, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского (СГУ)
Аннотация: 

Дан обзор результатов, касающихся перехода к хаосу через разрушение квазипериодических движений на двумерном торе и полученных на основании анализа модельной системы - синус-отображения окружности. Кратко изложен метод ренормализационной группы для случая, когда число вращения задано равным «золотому среднему», рассмотрена структура критического аттрактора, приведены иллюстрации скейлинга в пространстве параметров модельного отображения. Впервые обращено внимание на тот факт, что для наблюдения двумерного скейлинга необходимо выполнить нелинейную замену параметров, соответствующую переходу в специальную систему локальных координат вблизи критической точки.

Ключевые слова: 
-
Благодарности: 
Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 00-02-17509 и Минобразования PФ, грант № 97-0-8.3-88.
Список источников: 
  1. Ландау Л.Д. K проблеме турбулентности // ДАН СССР. 1944. Т. 44, № 8. С. 339.
  2. Рюэль Д., Такенс Ф. О природе турбулентности // Странные аттракторы/ Под ред. Я.Г. Синая и Л.П. Шильникова, M.: Мир, 1981. С. 117.
  3. Grebogi C, Ott E, Yorke JA. Attractors on an N—torus. Quasiperiodicity versus chaos. Physica D. 1985;15(3):354-373. DOI: 10.1016/S0167-2789(85)80004-X.
  4. Grebogi C, Ott E, Pelikan S, Yorke JA. Strange attractors that are not chaotic. Physica D. 1984;13(1-2):261-268.
  5. Kim Sh, Ostlund S. Simultaneous rational approximations in the study оf dynamical systems. Phys. Rev. A. 1986;34(4):3426-3434. DOI: 10.1103/physreva.34.3426.
  6. Rockmore D, Siegel R, Tongring N, Tresser C. An approach to renormalization on the n—torus. CHAOS. 1991;1(1):25-30. DOI: 10.1063/1.165814.
  7. Baladi V, Rockmore D, Tongring N, Tresser С. Renormalization on the n— dimensional torus. Nonlinearity. 1992;5(5):1111-1137. DOI: 10.1088/0951-7715/5/5/005.
  8. Baesens C, Guckenheimer J, Kim S, MacKay RS. Three coupled oscillators: mode-locking, global bifurcations and toroidal chaos. Physica D. 1991;49(3):387.-475. DOI: 10.1016/0167-2789(91)90155-3.
  9. Arnold VI. Cardiac arrythmias and circle mappings. CHAOS. 1991;1(1):20-24. DOI: 10.1063/1.165812.
  10. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Hayka, 1978, 304 с.
  11. Шустер Г. Детерминированный хаос. M.: Мир, 1988.
  12. Shenker SJ. Scaling behavior in a map of a circle onto itself: Empirical results. Physica D. 1982;5(2-3):405-411. DOI: 10.1016/0167-2789(82)90033-1.
  13. Feigenbaum MJ, Kadanoff LP, Shenker SJ. Quasiperiodicity in dissipative systems: A renormalization group analysis. Physica D. 1982;5(2-3):370-386. DOI: 10.1016/0167-2789(82)90030-6.
  14. Rand Р, Ostlund S, Sethna J, Siggia ED. Universal transition from quasiperiodicity to chaos in dissipative systems. Phys. Rev. Lett. 1982;49(2):132-135. DOI: 10.1103/PhysRevLett.49.132.
  15. Ostlund S, Rand D, Sethna J, Siggia ED. Universal properties оf the transition from quasiperiodicity to chaos in dissipative systems. Physica D. 1983;8(3):303-342. DOI:10.1016/0167-2789(83)90229-4.
  16. Daido H. On the scaling behavior in а map оf а circle onto itself. Progr. Theor. Phys. 1982;68(6):1935-1940. DOI: 10.1143/PTP.68.1935.
  17. Jensen MH, Bak Р, Bohr Т. Complete devil’s staircase, fractal dimension, and universality оf mode—locking structure in the circle map. Phys. Rev. Lett. 1983;50(21):1637-1639. DOI: 10.1103/PhysRevLett.50.1637.
  18. Bohr T, Bak P, Jensen MH. Transition to chaos by interaction of resonances in dissipative systems. II. Josephson junctions, charge—density waves, and standard maps. Phys. Rev. A. 1984;30(4):1970-1981. DOI: 10.1103/PhysRevA.30.1970.
  19. Jensen MH, Bak Р, Bohr Т. Transition to chaos by interaction оf resonances in dissipative systems. I. Circle maps. Phys. Rev. A. 1984;30(4):1960-1969. DOI: 10.1103/PhysRevA.30.1960.
  20. Bohr T, Gunaratne G. Scaling for supercritical circle maps: numerical investigation of the onset of bistability and period doubling. Phys. Lett. A. 1985;113(2):55-60. DOI: 10.1016/0375-9601(85)90651-6.
  21. Синай Я.Г., Ханин K.M., Щур Л.Н. Новый подход к построению неподвижных точек ренормгруппы в динамических системах // Изв. вузов. Радиофизика. 1986. Vol. 29, № 9. С. 1061.
  22. Rand D. Fractal bifurcation sets, renormalization strange sets, and their universal invariants. Proc.Roy.Soc. Lond. A. 1987;413(1844):45-61. DOI: 10.1098/rspa.1987.0099.
  23. Wang X, Mainieri R, Lowenstein JH. Circle-map scaling in а two— dimensional setting. Phys.Rev. A. 1989;40(9):5382-5389. DOI: 10.1103/physreva.40.5382.
  24. Kim S, Ostlund S. Universal scaling in circle maps. Physica D. 1989;39(2-3):365-392. DOI: 10.1016/0167-2789(89)90017-1.
  25. Hu B, Valinia А, Piro О. Universality and asymptotic limits of the scaling exponents in circle maps. Phys.Lett. A. 1990;144(1):7-10. DOI: 10.1016/0375-9601(90)90038-P.
  26. Cvitanovic Р, Gunaratne GH, Vinson MJ. On the mode—locking universality for critical circle map. Nonlinearity. 1990;3(3):873-885.
  27. Fourcade B, Tremblay A—MS. Universal multifractal properties оf circle maps from the point оf view оf critical phenomena. I. Phenomenology. J. Stat. Phys. 1990;61(3-4):607-637. DOI: 10.1007/BF01027294.
  28. Fourcade B, Tremblay A—MS. Universal multifractal properties оf circle maps from the point оf view оf critical phenomena. II. Analytical results. J. Stat. Phys. 1990;61(3—4):639-665. DOI: 10.1007/BF01027295.
  29. Christos GA, Cherghetta T. Trajectory scaling functions for the circle map and the quasi-periodic route to chaos. Phys.Rev. A. 1991;44(2):898-907. DOI: 10.1103/PhysRevA.44.898.
  30. Khanin KM. Universal estimates for critical circle mappings. CHAOS. 1991;1(2):181-186. DOI: 10.1063/1.165826.
  31. Pikovsky AS, Zaks MA. On the global scaling properties of mode—lockings in а critical circle map. Phys Lett. A. 1991;155(6-7):373-376. DOI: 10.1016/0375-9601(91)91042-C.
  32. Pikovsky AS, Zaks MA. Farey level separation in mode-locking structure of circle mappings. Physica D. 1992;59(1-3):255-269. DOI: 10.1016/0167-2789(92)90218-C.
  33. Ketoja JA. Renormalization in a circle map with two inflection points. Physiса D. 1992;55(1-2):45-68. DOI: 10.1016/0167-2789(92)90187-R.
  34. MacKay RS. Renormalization of bicritical circle maps. Phys. Lett. A. 1994;187:391-396.
  35. Campbell DK, Galeera R, Tresser C, Uherka DR. Piecewise linear models for the quasiperiodic transition to chaos. CHAOS. 1996;6(2):121-154. DOI: 10.1063/1.166159.
  36. De Spinadel VW. On characterization of the onset to chaos. Chaos, Solitons & Fractals. 1997;8(10):1631-1643. DOI: 10.1016/S0960-0779(97)00001-5.
  37. Ketoja JA, Satija II. Harper equation, the dissipative standard map and strange nonchaotic attractors: Relationship between an eigenvalue problem and iterated maps. Physica D. 1997;109(1-2):70-80. DOI: 10.1016/S0167-2789(97)00160-7.
  38. Dixon TW, Kenny BG. Transition to criticality in circle maps at the golden mean. J. Math. Phys. 1998;39(11):5952-5963. DOI: 10.1063/1.532607.
  39. Dixon TW, Gherghetta T, Kenny BG. Universality in the quasiperiodic route to chaos. CHAOS. 1996;6(1):32-42. DOI: 10.1063/1.166155.
  40. Feigenbaum MJ. Quantitative universality for а class оf nonlinear transformations. J. Stat. Phys. 1978;19:25-52. DOI: 10.1007/BF01020332.
  41. Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем// УФН. 1983. Vol. 141, №2. С. 343.
  42. Вул Е.Б., Синай Я.Г., Ханин К.М. Универсальность Фейгенбаума и термодинамический формализм // УМН. 1984. Vol. 39, № 3. С. 3.
  43. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Критическая динамика одномерных отображений. Часть 1. Сценарий Фейгенбаума // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1993. Т. 1, № 1-2, 15.
  44. Peitgen Н-О, Jiirgens H, Saupe D. Chaos and Fractals. New Frontiers of Science. Berlin, N.Y.: Springer; 1992. 864 p.
  45. Kuznetsov АР, Kuznetsov SP, Sataev IR, Chua LО. Two—parameter study of transition to chaos in Chua’s circuit: renormalization group, universality and scaling. Int. J. of Bif. and Chaos. 1993;3(4):943-962. DOI: 10.1142/S0218127493000799.
  46. Kuznetsov АР, Kuznetsov SP, Sataev IR, Chua LО. Multi—parameter criticality in Chua’s circuit at period—doubling transition to chaos. Int. J. of Bif. and Chaos. 1996;6(1):119-148. DOI: 10.1142/S0218127496001880.
  47. Анищенко B.C., Вадивасова T.E., Acmaxos B.B. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1999, 368 с.
  48. Kuznetsov АР, Kuznetsov SP, Sataev IR. A variety of period—doubling universality classes in multi—parameter analysis оf transition to chaos. Physica D. 1997;109:91-112. DOI: 10.1016/S0167-2789(97)00162-0.
  49. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Коразмерность и типичность в контексте проблемы описания перехода к хаосу через удвоения периода в диссипативных динамических системах // Регулярная и хаотическая динамика. 1997. Т. 2, № 3-4. С. 90.
  50. Halsey TC, Jensen MH, Kadanoff LP, Procaccia I, Shraiman BI. Fractal measures and their singularities: The characterization of strange sets. Phys. Rev. A. 1986;33:1141-1151. DOI: 10.1103/PhysRevA.33.1141.
  51. Beck C, Schlogl Е. Thermodynamics of chaotic systems. Cambridge: Cambridge Univ. Press; 1993, 281 p.
  52. Stavans J, Helsot F, Libchaber A. Fixed winding number and the quasiperiodic route to chaos in а convective fluid. Phys.Rev.Lett. 1985;55:596-599. DOI: 10.1103/PhysRevLett.55.596.
  53. Леви Б.Г. Новый глобальный фрактальный формализм описывает различные сценарии перехода к хаосу // Физика за рубежом. Вып. 87. М.: Мир, 1987, 263 с.
  54. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990.
Поступила в редакцию: 
01.06.2000
Принята к публикации: 
14.08.2000
Опубликована: 
23.10.2000
  • 84 просмотра