Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)


Для цитирования:

Круглов В. П., Купцов П. В. Теоретические модели физических систем с грубым хаосом // Известия вузов. ПНД. 2021. Т. 29, вып. 1. С. 35-77. DOI: 10.18500/0869-6632-2021-29-1-35-77

Полный текст в формате PDF(Ru):
(загрузок: 25)
Язык публикации: 
русский
Тип статьи: 
Обзорная статья
УДК: 
530.182
DOI: 
10.18500/0869-6632-2021-29-1-35-77

Теоретические модели физических систем с грубым хаосом

Авторы: 
Круглов Вячеслав Павлович, Саратовский филиал Института радиотехники и электроники имени В.А.Котельникова РАН (СФ ИРЭ)
Купцов Павел Владимирович, Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А. (СГТУ)
Аннотация: 

Цель данного обзора состоит в том, чтобы в едином ключе изложить последние результаты по математическому моделированию грубого гиперболического хаоса в системах различной физической природы. Основные методы исследования состоят в численном решении систем дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, численном извлечении фазы колебательных процессов или пространственных структур, вычислении показателей Ляпунова и исследовании взаимного расположения устойчивых и неустойчивых многообразий хаотических траекторий, вычислении гауссовой кривизны поверхностей. Эти процедуры позволяют выявить типичные атрибуты грубого гиперболического хаоса. Результаты заключаются в воспроизведении уже известных явлений, однако качественное их объяснение и количественные подтверждения даны в более подробной форме, в соответствии с развитием представлений о них. Заключение. В методическом плане предлагаемая обзорная статья может быть интересна для студентов и аспирантов в плане обучения принципам построения и анализа систем с хаотическим поведением.

Благодарности: 
Работа В.П. Круглова (Раздел 2, Модели пространственно распределенных систем с аттрактором типа Смейла–Вильямса) поддержана грантом РНФ № 19-11-00280. Работа П.В. Купцова выполнена в рамках государственного задания Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН.
Список источников: 
  1. Андронов А.А., Понтрягин Л.С. Грубые системы // ДАН СССР. 1937. Т. 14, № 5. С. 247–250.
  2. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М: Физматлит, 1959. С. 916.
  3. Hyperbolic Chaos: A Physicist’s View. Berlin, Heidelberg : Higher Education Press: Bijing and Springer-Verlag.
  4. Кузнецов С.П. Динамический хаос и гиперболические аттракторы: от математики к физике. Москва–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2013. С. 488.
  5. Turaev D. V., Shil’nikov L.P. An example of a wild strange attractor // Sb. Math. 1998. Т. 189, № 2. С. 291–314. DOI: 10.4213/sm300.
  6. Turaev D.V., Shil’nikov L.P. Pseudohyperbolicity and the problem on periodic perturbations of Lorenz-type attractors // Doklady Mathematics. 2008. Vol. 77, no. 1. P. 17–21. DOI: 10.1007/s11472-008-1005-4.
  7. Mathematical theory of dynamical chaos and its applications: Review. Part 1. Pseudohyperbolic attractors // Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics. 2017. Т. 25, № 2. С. 4–36. DOI: 10.18500/0869-6632-2017-25-2-4-36.
  8. Gonchenko A.S., Gonchenko S.V. Variety of strange pseudohyperbolic attractors in three-dimensional generalized H´enon maps // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2016. Vol. 337. P. 43–57. DOI: 10.1016/j.physd.2016.07.006.
  9. Kuznetsov S.P. Example of a physical system with a hyperbolic attractor of the Smale-Williams type // Physical Review Letters. 2005. Vol. 95, no. 14. P. 144101. DOI: 10.1103/PhysRevLett.95.144101.
  10. Смейл С. Дифференцируемые динамические системы // УМН. 1970. Т. 25, № 1(151). С. 113–185.
  11. Williams R. F. Expanding attractors // Publications Math´ematiques de l’IH´ES. 1974. Vol. 43. P. 169–203. DOI: 10.1007/BF02684369.
  12. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Москва–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. С. 560.
  13. Аносов Д.В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны // Тр. МИАН СССР. 1967. Т. 90, № 5. С. 3–210.
  14. Динамические системы с гиперболическим поведением // Итоги науки и техники. M.: ВИНИТИ, 1991. Т. 66 из Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. С. 5–242.
  15. Balazs N.L., Voros A. Chaos on the pseudosphere // Physics Reports. 1986. Vol. 143, no. 3. P. 109–240. DOI: 10.1016/0370-1573(86)90159-6.
  16. Wilczak D. Uniformly hyperbolic attractor of the Smale–Williams type for a Poincar´e map in the Kuznetsov system // SIAM Journal on Applied Dynamical Systems. 2010. Vol. 9, no. 4. P. 1263–1283. DOI: 10.1137/100795176.
  17. Кузнецов С.П., Селезнев Е.П. Хаотическая динамика в физической системе со странным аттрактором типа Смейла-Вильямса // ЖЭТФ. 2006. Т. 129, № 2. С. 400–412.
  18. Belyakin S.T., A. Shyteev S. Model fi brillation as an analogue of the hyperbolic the Smale Williams attractor // American Journal of Biomedical Science & Research. 2019. Vol. 2, no. 5. P. 197–201.
  19. Лоскутов А.Ю. Очарование хаоса // Усп. физ. наук. 2010. Т. 180, № 12. С. 1305–1329. DOI: 10.3367/UFNr.0180.201012d.1305.
  20. Zeraoulia E., Sprott J.C. Robust Chaos and Its Applications. World Scientifi c, 2011. Vol. 79. P. 472. DOI: 10.1142/8296.
  21. Borisov A.V., Kazakov A.O., Sataev I.R. The reversal and chaotic attractor in the nonholonomic model of Chaplygin’s top // Regular and Chaotic Dynamics. 2014. Vol. 19, no. 6. P. 718–733. DOI: 10.1134/S1560354714060094.
  22. Kuznetsov S.P. Dynamical chaos and uniformly hyperbolic attractors: from mathematics to physics // Phys. Usp. 2011. Vol. 54, no. 2. P. 119–144. DOI: 10.3367/UFNr.0181.201102a.0121.
  23. Кузнецов С.П. Автогенератор грубого гиперболического хаоса // Известия вузов. ПНД. 2019. Т. 27, № 6. С. 39–62. DOI: 10.18500/0869-6632-2019-27-6-39-62.
  24. Аносов Д.В. Грубые системы // Тр. МИАН СССР. 1985. Т. 169. С. 59–93.
  25. Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия: Первое знакомство. М.: Изд-во МГУ, 1990. С. 384.
  26. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. С. 760.
  27. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1968. С. 576.
  28. Meeks III W.H., Ros A., Rosenberg H. The Global Theory of Minimal Surfaces in Flat Spaces. Berlin, Heidelberg : Springer-Verlag, 2002. Vol. 1775 of Lecture Notes in Mathematics. P. 136. DOI: 10.1007/b83168.
  29. Meeks III W.H., P´erez J. A Survey on Classical Minimal Surface Theory. American Mathematical Society, 2012. Vol. 60 of University Lecture Series. P. 182.
  30. Donnay V., Visscher D. A new proof of the existence of embedded surfaces with Anosov geodesic fl ow // Regular and Chaotic Dynamics. 2018. Vol. 23, no. 6. P. 685–694. DOI: 10.1134/S1560354718060047.
  31. Введение в топологию. Учебное пособие. М.: Наука. Физматлит, 1995. С. 416.
  32. Козлов В. В. Топологические препятствия к интегрируемости натуральных механических систем // ДАН СССР. 1979. Т. 249, № 6. С. 1299–1302.
  33. Тёрстон У.П., Уикс Д.Р. Математика трехмерных многообразий // В мире науки. 1984. № 9. С. 74–88.
  34. Hunt T.J., MacKay R.S. Anosov parameter values for the triple linkage and a physical system with a uniformly chaotic attractor // Nonlinearity. 2003. Vol. 16, no. 4. P. 1499–1510. DOI: 10.1088/0951-7715/16/4/318.
  35. Kuznetsov S.P. Hyperbolic chaos in self-oscillating systems based on mechanical triple linkage: testing absence of tangencies of stable and unstable manifolds for phase trajectories // Regular and Chaotic Dynamics. 2015. Vol. 20, no. 6. P. 649–666. DOI: 10.1134/S1560354715060027.
  36. All Lyapunov characteristic numbers are eff ectively computable // C. R. Acad. Sc. Paris,S ´er. A. 1978. Vol. 286. P. 431–433.
  37. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems: A method for computing all of them. Part I: Theory. Part II: Numerical application // Meccanica. 1980. Vol. 15. P. 9–30.
  38. Shimada I., Nagashima T. A numerical approach to ergodic problem of dissipative dynamical systems // Prog. Theor. Phys. 1979. Vol. 61, no. 6. P. 1605–1616. DOI: 10.1143/PTP.61.1605.
  39. Кузнецов С.П. Хаос в системе трех связанных ротаторов: от динамики Аносова к гиперболическому аттрактору // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Физика. 2015. Т. 15, № 2. С. 5–17. DOI: 10.18500/1817-3020-2015-15-2-5-17.
  40. Кузнецов С.П. От динамики Аносова на поверхности отрицательной кривизны к электронному генератору грубого хаоса // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Физика. 2016. Т. 16, № 3. С. 132–144. DOI: 10.18500/1817-3020-2016-16-3-131-144.
  41. Кузнецов С.П., Круглов В.П. О некоторых простых примерах механических систем с гиперболическим хаосом // Порядок и хаос в динамических системах. Сборник статей. К 80-летию со дня рождения академика Дмитрия Викторовича Аносова. М.: МАИК «Наука/Интерпериодика», 2017. Т. 297 из Тр. МИАН. С. 208–234. DOI:10.1134/S0371968517020133.
  42. Аносов Д.В., Синай Я.Г. Некоторые гладкие эргодические системы // УМН. 1967. Т. 22, № 5(137). С. 107–172.
  43. Kuptsov P.V. Fast numerical test of hyperbolic chaos // Physical Review E. 2012. Vol. 85. P. 015203. DOI: 10.1103/PhysRevE.85.015203.
  44. Кузнецов С.П. Хаос и гиперхаос геодезических потоков на многообразиях с кривизной, отвечающих механически связанным ротаторам: примеры и численное исследование // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2018. Т. 28, № 4. С. 565–581. DOI: 10.20537/vm180409.
  45. Kuznetsov S.P. From geodesic fl ow on a surface of negative curvature to electronic generator of robust chaos // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2016. Vol. 26, no. 14. P. 1650232. DOI: 10.1142/S0218127416502321.
  46. Kuznetsov S.P., Pikovsky A.S. Autonomous coupled oscillators with hyperbolic strange attractors // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2007. Vol. 232, no. 2. P. 87–102. DOI:10.1016/j.physd.2007.05.008.
  47. Хаотическая динамика в системах связанных неавтономных осцилляторов с резонансным и нерезонансным механизмом передачи возбуждения // Известия вузов. ПНД. 2007. Т. 15, № 6. С. 75–85. DOI: 10.18500/0869-6632-2007-15-6-75-85.
  48. Кузнецов С.П. О возможности реализации параметрического генератора гиперболического хаоса // ЖЭТФ. 2008. Т. 133, № 2. С. 438–446.
  49. Тюрюкина Л.В., Пиковский А.С. Гиперболический хаос в нелинейно связанных осцилляторах Ландау–Стюарта с медленной модуляцией параметров // Известия вузов. ПНД. 2009. Т. 17, № 2. С. 99–113. DOI: 10.18500/0869-6632-2009-17-2-99-113.
  50. Круглов В.П. Кольцевой неавтономный генератор гиперболического хаоса // Известия вузов.ПНД. 2010. Т. 18, № 5. С. 132–147.
  51. Kuznetsov S.P. Example of blue sky catastrophe accompanied by a birth of Smale-Williams attractor // Regular and Chaotic Dynamics. 2010. Vol. 15, no. 2–3. P. 348–353. DOI:10.1134/S1560354710020206.
  52. Kuznetsov S.P. Some mechanical systems manifesting robust chaos // Nonlinear Dynamics & Mobile Robotics. 2013. Т. 1, № 1. С. 3–22.
  53. Doroshenko V.M., Kruglov V.P., Kuznetsov S.P. Smale–Williams Solenoids in a System of Coupled Bonhoeff er–van der Pol Oscillators // Russian Journal of Nonlinear Dynamics. 2018. Vol. 14, no. 4. P. 435–451. DOI: 10.20537/nd180402.
  54. Kuznetsov S.P., Kruglov V.P. Hyperbolic chaos in a system of two Froude pendulums with alternating periodic braking // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2019. Vol. 67. P. 152–161. DOI: 10.1016/j.cnsns.2018.07.021.
  55. Кузнецов С.П., Седова Ю.В. Гиперболический хаос в осцилляторе Бонхоффера–ван дер Поля с дополнительной запаздывающей обратной связью и периодически модулируемым параметром возбуждения // Известия вузов. ПНД. 2019. Т. 27, № 1. С. 77–95. DOI: 10.18500/0869-6632-2019-27-1-77-95.
  56. Kuznetsov S.P., Seleznev E.P. A strange attractor of the Smale-Williams type in the chaotic dynamics of a physical system // JETP. 2006. Vol. 102, no. 2. P. 355–364. DOI: 10.1134/S1063776106020166.
  57. Кузнецов С.П., Пономаренко В.И. О возможности реализации странного аттрактора типа Смейла-Вильямса в радиотехническом генераторе с запаздыванием // Письма в ЖТФ. 2008. Т. 34, № 18. С. 1–8.
  58. Кузнецов С.П. Гиперболические странные аттракторы систем допускающих физическую реализацию // Известия вузов. ПНД. 2009. Т. 17, № 4. С. 5–34. DOI: 10.18500/0869-6632-2009-17-4-5-34.
  59. Kuptsov P.V., Kuznetsov S.P., Pikovsky A.S. Hyperbolic chaos of Turing patterns // Physical Review Letters. 2012. Vol. 108, no. 19. P. 194101. DOI: 10.1103/PhysRevLett.108.194101.
  60. Cross M.C., Hohenberg P.C. Pattern formation outside of equilibrium // Reviews of Modern Physics. 1993. Vol. 65, no. 3. P. 851–1112. DOI: 10.1103/RevModPhys.65.851.
  61. Swift J., Hohenberg P.C. Hydrodynamic fl uctuations at the convective instability // Physical Review A. 1977. Vol. 15, no. 1. P. 319–329. DOI: 10.1103/PhysRevA.15.319.
  62. Kuznetsov S. P. Some lattice models with hyperbolic chaotic attractors // Russian Journal of Nonlinear Dynamics. 2020. Vol. 16, no. 1. P. 13–21. DOI: 10.20537/nd200102.
  63. Kruglov V.P., Kuznetsov S.P., Pikovsky A.S. Attractor of Smale-Williams type in an autonomous distributed system // Regular and Chaotic Dynamics. 2014. Vol. 19, no. 4. P. 483–494. DOI: 10.1134/S1560354714040042.
  64. Круглов В.П., Хаджиева Л.М. Однородно гиперболический аттрактор в системе на основе связанных осцилляторов с сепаратрисой в виде «восьмерки» // Известия вузов. ПНД. 2016. Т. 24, № 6. С. 54–64. DOI: 10.18500/0869-6632-2016-24-6-54-64.
  65. Kuznetsov S. P. Generation of robust hyperbolic chaos in CNN // Russian Journal of Nonlinear Dynamics. 2019. Vol. 15, no. 2. P. 109–124. DOI: 10.20537/nd190201.
  66. Гленсдорф П., Пригожин И.Р. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций. УРСС, 2003. С. 280.
  67. Круглов В.П. Методика и результаты численной проверки гиперболической природы аттракторов для редуцированных моделей распределенных систем // Известия вузов. ПНД. 2014. Т. 22, № 6. С. 79–93. DOI: 10.18500/0869-6632-2014-22-6-79-93.
  68. Isaeva O.B., Kuznetsov A.S., Kuznetsov S.P. Hyperbolic chaos of standing wave patterns generated parametrically by a modulated pump source // Physical Review E. 2013. Vol. 87, no. 4. P. 040901. DOI: 10.1103/PhysRevE.87.040901.
  69. Круглов В. П., Кузнецов С.П, Кузнецов А.С. Гиперболический хаос в системах с параметрическим возбуждением паттернов стоячих волн // Нелинейная динамика. 2014. Т. 10, № 3. С. 265–277. DOI: 10.20537/nd1403002.
  70. Кузнецов С.П. Хаотическая динамика кольцевой цепочки маятников с вибрирующим подвесом // Известия вузов. ПНД. 2019. Т. 27, № 4. С. 99–113. DOI: 10.18500/0869-6632-2019-27-4-99-113.
  71. Kuznetsov S. P., Pikovsky A.S., Rosenblum M. Collective phase chaos in the dynamics of interacting oscillator ensembles // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2010. Vol. 20, no. 4. P. 043134. DOI: 10.1063/1.3527064.
  72. Kuptsov P.V., Kuznetsov S.P., Pikovsky A.S. Hyperbolic chaos at blinking coupling of noisy oscillators // Physical Review E. 2013. Vol. 87, no. 3. P. 032912. DOI: 10.1103/PhysRevE.87.032912.
Поступила в редакцию: 
16.11.2020
Принята к публикации: 
15.12.2020
Опубликована: 
01.02.2021