Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)


Для цитирования:

Аникин В. М. Представление точных траекторных решений для хаотических одномерных отображений в форме Шрёдера // Известия вузов. ПНД. 2023. Т. 31, вып. 2. С. 128-142. DOI: 10.18500/0869-6632-003034, EDN: JVVGQR

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Полный текст в формате PDF(Ru):
(загрузок: 0)
Полный текст в формате PDF(En):
(загрузок: 81)
Язык публикации: 
русский
Тип статьи: 
Обзорная статья
УДК: 
530.182.2
EDN: 

Представление точных траекторных решений для хаотических одномерных отображений в форме Шрёдера

Авторы: 
Аникин Валерий Михайлович, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского (СГУ)
Аннотация: 

Цель статьи — проиллюстрировать генезис, смысл и значимость функционального уравнения Шрёдера, введенного в теории итераций рациональных функций, для теории детерминированного хаоса при аналитическом вычислении точных траекторных решений, инвариантных плотностей и показателей Ляпунова одномерных хаотических отображений.

Демонстрируется метод решения функционального уравнения Шрёдера для различных исходных отображений посредством перехода к топологически сопряженным отображениям, для которых нахождение точного траекторного решения является более простой математической процедурой.

Приводятся результаты аналитического решения уравнения Шрёдера для 12 хаотических отображений различных типов и расчета соответствующих выражений для точных траекторных решений, инвариантных плотностей и показателей Ляпунова.

Делается заключение о методической целесообразности формулировки и решений уравнений Шрёдера при изучении динамики одномерных хаотических отображений.

Список источников: 
  1. Schroder E. Ueber unendlich viele Algorithmen zur Auflosung der Gleichungen // Mathematische Annalen. 1870. Bd. 2, Heft 2. S. 317–365. DOI: 10.1007/BF01444024.
  2. Schroder E. Ueber iterirte Functionen // Mathematische Annalen. 18701 . Bd. 3, Heft 2. S. 296–322. DOI: 10.1007/BF01443992.
  3. Милнор Дж. Голоморфная динамика. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. 320 с.
  4. Пайтген Х.-О., Рихтер П.-Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. М.: Мир, 1993. 176 с.
  5. Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М.: Постмаркет, 2000. 352 с.
  6. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 528 с.
  7. Alexander D. S. A History of Complex Dynamics: From Schroder to Fatou and Julia. Vol. E24 of Aspects of Mathematics. Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn, 1994. 165 p.
  8. Alexander D. S., Iavernaro F., Rosa A. Early Days in Complex Dynamics: A History of Complex Dynamics in One Variable During 1906–1942. Vol. 38 of History of Mathematics. Providence, RI, London: London Mathematical Society, 2012. 454 p. 
  9. Kuczma M., Choczewski B., Ger R. Iterative Functional Equations. Cambridge: Cambridge University Press, 1990. 576 p. DOI: 10.1017/CBO9781139086639.
  10. Kuczma M. Functional Equations in a Single Variable. Warszawa: PWN-Polish Scientific Publishers, 1968. 383 p.
  11. де Брейн Н. Г. Асимптотические методы в анализе. М.: Иностранная литература, 1961. 248 с.
  12. Янпольский А. Р. Гиперболические функции. М.: Физматгиз, 1960. 195 с.
  13. Биллингслей П. Эргодическая теория и информация. М.: Мир, 1969. 239 с.
  14. Аникин В. М., Голубенцев А. Ф. Аналитические модели детерминированного хаоса. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. 328 с.
  15. Улам С. Нерешенные математические задачи. М.: Наука, 1964. 168 с.
  16. Ulam S. M., von Neumann J. On combination of stochastic and deterministic processes // Bulletin of the American Mathematical Society. 1947. Vol. 53, no. 11. P. 1120.
  17. von Neumann J. Collected Works. Vol. 5. New York: Macmillan, 1963. P. 768–770.
  18. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М.: Мир, 1988. 240 с.
  19. Ермаков С. М. Метод Монте-Карло в вычислительной математике. Вводный курс. СПб.: Невский Диалект; М.: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2009. 192 с.
  20. Кейперс Л., Нидеррайтер Г. Равномерное распределение последовательностей. М.: Наука, 1985. 408 с.
  21. Golubentsev A. F., Anikin V. M. The explicit solutions of Frobenius-Perron equation for the chaotic infinite maps // International Journal of Bifurcation and Chaos. 1998. Vol. 8, no. 5. P. 1049–1051. DOI: 10.1142/S0218127498000863.
  22. Голубенцев А. Ф., Аникин В. М. Специальные функции в теории детерминированного хаоса // Известия вузов. ПНД. 2000. Т. 8, № 3. С. 50–58.
  23. Уиттекер Э. Т., Ватсон Д. Н. Курс современного анализа. В 2 ч. Ч. 2. Трансцендентные функции. М.: Физматгиз, 1963. 500 с.
  24. Аникин В. М., Аркадакский С. С., Ремизов А. С. Несамосопряженные линейные операторы в хаотической динамике / под ред. В. М. Аникина. Саратов: Издательство Саратовского университета, 2015. 96 с.
Поступила в редакцию: 
08.01.2023
Принята к публикации: 
02.03.2023
Опубликована онлайн: 
20.03.2023
Опубликована: 
31.03.2023