Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)

Для цитирования:

Громов В. А., Томащук К. К., Бесчастнов Ю. Н., Сидоренко А. А., Какурин В. В. Метод построения полной бифуркационной картины краевой задачи для нелинейных уравнений в частных производных: применение теоремы Колмогорова-Арнольда // Известия вузов. ПНД. 2025. Т. 33, вып. 4. С. 435-465. DOI: 10.18500/0869-6632-003160, EDN: NXMRAP

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Полный текст в формате PDF(Ru):
Иконка PDF and_2025-4_gromov_et-al_435-465.pdf
(загрузок: 0)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
Бифуркации в динамических системах. Детерминированный хаос. Квантовый хаос.
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
530.182
DOI: 
10.18500/0869-6632-003160
EDN: 
NXMRAP

Метод построения полной бифуркационной картины краевой задачи для нелинейных уравнений в частных производных: применение теоремы Колмогорова-Арнольда

Авторы: 
Громов Василий Александрович, Высшая школа экономики
Томащук Корней Кириллович, Высшая школа экономики
Бесчастнов Юрий Николаевич, Высшая школа экономики
Сидоренко Артём Александрович, Высшая школа экономики
Какурин Василий Владимирович, Высшая школа экономики
Аннотация: 

Цель настоящего исследования — разработка численного метода бифуркационного анализа для нелинейных уравнений в частных производных, основанного на методе сведения уравнений в частных производных к обыкновенным с использованием теоремы Колмогорова-Арнольда.

Методы. В данной работе описывается метод сведения уравнений в частных производных к обыкновенным с использованием теоремы Колмогорова-Арнольда, а также метод бифуркационного анализа нелинейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Результаты. В работе представлен новый метод решения и бифуркационного анализа нелинейных краевых задач для уравнений в частных производных, допускающих вариационную постановку. Метод был применён к нелинейной двумерной задаче Брату с граничными условиями типа Дирихле.

Заключение. Разработан новый метод бифуркационного анализа для нелинейных уравнений в частных производных, а именно был предложен метод сведения уравнений в частных производных к обыкновенным, который позволяет применять разработанный аппарат бифуркационного анализа для краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод позволяет строить бифуркационные картины для нелинейных уравнений в частных производных произвольного вида.
 

Ключевые слова: 
бифуркационный анализ
нелинейные уравнения в частных производных
краевые задачи
теорема Колмогорова-Арнольда
Благодарности: 
Исследование осуществлено в рамках Программы фундаментальных исследований НИУ ВШЭ и стратегического проекта «Устойчивый мозг: нейрокогнитивные технологии адаптации, обучения, развития и реабилитации человека в изменяющейся среде» по программе развития НИУ ВШЭ в рамках участия в программе Минобрнауки России «Приоритет-2030». Программа «Приоритет-2030» реализуется в рамках национального проекта «Наука и университеты».
Список источников: 
  1. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений: Монодромия и асимптотики интегралов. M.: Наукa, 1984. 355 c.
  2. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф: в 2 т. М.: Мир. Т. 1. 1984. 350 c. T. 2. 1984. 286 c.
  3. Gilmore R. Catastrophe theory // In: Trigg G. L. (ed) Encyclopedia of Applied Physics. Vol. 3. N.Y.: Wiley, 1992. P. 85–115.
  4. Obodan N. I., Gromov V. A. Numerical analysis of the branching of solutions to nonlinear equations for cylindrical shells // Int. Appl. Mech. 2006. Vol. 42. P. 90–97. DOI: 10.1007/s10778-006-0062-7.
  5. Obodan N. I., Lebedeyev O. G., Gromov V. A. Nonlinear Behaviour and Stability of Thin-Walled Shells. Berlin: Springer, 2013. 178 p. DOI: 10.1007/978-94-007-6365-4.
  6. Obodan N. I., Adlucky V. J., Gromov V. A. Rapid identification of pre-buckling states: a case of cylindrical shell // Thin-Walled Structures. 2018. Vol. 124. P. 449–457. DOI: 10.1016/j.tws. 2017.12.034.
  7. Obodan N. I., Adlucky V. J., Gromov V. A. Prediction and control of buckling: the inverse bifurcation problems for von Karman equations // In: Dutta H., Peters J. (eds) Applied Mathematical Analysis: Theory, Methods, and Applications. Cham: Springer, 2020. P. 353–381. DOI: 10.1007/978-3-319- 99918-0_11.
  8. Obodan N. I., Gromov V. A. The complete bifurcation structure of nonlinear boundary problem for cylindrical panel subjected to uniform external pressure // Thin-Walled Structures. 2016. Vol. 107. P. 612–619. DOI: 10.1016/j.tws.2016.07.020.
  9. Obodan N. I., Gromov V. A. Nonlinear behavior and buckling of cylindrical shells subjected to localized external pressure // Journal of Engineering Mathematics. 2013. Vol. 78. P. 239–248. DOI: 10.1007/s10665-012-9553-1.
  10.  Antman S. S. Bifurcation Theory and Nonlinear Eigenvalue Problems. San Francisco: WA Benjamin, 1969. 434 p.
  11.  Kantorovich L. V. Approximate Methods of Higher Analysis. N.Y.: Interscience Publishers, 1958. 681 p.
  12.  Awrejcewicz J., Krysko-Jr. V. A., Kalutsky L. A., Zhigalov M. V., Krysko V. A. Review of the methods of transition from partial to ordinary differential equations: From macro- to nano-structural dynamics // Arch. Computat. Methods Eng. 2021. Vol. 28. P. 4781–4813. DOI: 10.1007/s11831- 021-09550-5.
  13.  Gromov V. A. On an approach to solve nonlinear elliptic equations of von Karman type // Вiсник Днiпропетровського унiверситету Серiя Моделювання. 2017. Т. 25, № 8. С. 122–141. DOI: 10.15421/141707.
  14.  Gromov V. A. Postcritical Behaviour and Solution Branching for the Cylindrical Shell Theory Nonlinear Problems. PHD Thesis. Dnepropetrovsk: Dnepropetrovsk State University, 2006.
  15.  Колмогоров A. Н. О представлении непрерывных функций нескольких переменных суперпозициями непрерывных функций меньшего числа переменных // Докл. АН СССР. 1957. Т. 108. С. 179–182.
  16.  Maiorov V., Pinkus A. Lower bounds for approximation by MLP neural networks // Neurocomputing. 1999. Vol. 25, iss. 1–3. P. 81–91. DOI: 10.1016/S0925-2312(98)00111-8.
  17.  Sprecher D. A. A numerical implementation of Kolmogorov’s superpositions // Neural Netw. 1996. Vol. 9, no. 5. P. 765–772. DOI: 10.1016/0893-6080(95)00081-x.
  18.  Sprecher D. A. A numerical implementation of Kolmogorov’s superpositions II // Neural Netw. 1997. Vol. 10, no. 3. P. 447–457. DOI: 10.1016/s0893-6080(96)00073-1.
  19.  Shapiro H. S. Topics in Approximation Theory. Berlin: Springer, 1971. 278 p. DOI: 10.1007/ BFb0058976.
  20.  Doss R. Representations of continuous functions of several variables // American Journal of Mathematics. 1976. Vol. 98, no. 2. P. 375–383. DOI: 10.2307/2373891.
  21.  Витушкин А. Г. О многомерных вариациях. M.: Гостехиздат, 1955. 220 с.
  22.  Bratu G. Sur les equations integrales non lineaires // Bulletin de la Soci  et  e Math  ematique de France. 1914. Vol. 42. P. 113–142. DOI: 10.24033/bsmf.943.
  23.  Koppen M.  On the training of a Kolmogorov network // In: Dorronsoro J. R. (ed) Artificial Neural Networks – ICANN 2002. Lecture Notes in Computer Science, vol. 2415. Berlin: Springer, 2002. P. 474–479. DOI: 10.1007/3-540-46084-5_77.
  24.  Actor J. Computation for the Kolmogorov Superposition Theorem. PhD Thesis. Houston: Rice University, 2018. 148 p.
  25.  Liu Z., Wang Y., Vaidya S., Ruehle F., Halverson J., Soljaci  c M., Hou T. Y., Tegmark M.  KAN: Kolmogorov-Arnold networks // arXiv:2404.19756. ArXiv Preprint, 2024. DOI: 10.48550/ arXiv.2404.19756.
  26.  Lorentz G. G. Approximation of Functions. New York: Holt, Rinehart and Winston, 1966. 188 p.
  27.  Nguyen V. P., Rabczuk T., Bordas S., Duflot M. Meshless methods: A review and computer implementation aspects // Mathematics and Computers in Simulation. 2008. Vol. 79, iss. 3. P. 763–813. DOI: 10.1016/j.matcom.2008.01.003.
  28.  Железко И. П., Ободан Н. И. Вторичные ветвления и закритическое поведение тонкостенных оболочек при неоднородной деформации // ПММ. 1997. Т. 61, № 2. С. 344–349.
  29.  Poston T., Stewart I. Catastrophe Theory and Its Applications. Gloucester: Courier Corporation, 2014. 512 p.
  30.  Gromov V. A., Borisenko E. A. Predictive clustering on non-successive observations for multi-step ahead chaotic time series prediction // Neural Comput. Applic. 2015. Vol. 26. P. 1827–1838. DOI: 10.1007/s00521-015-1845-8.
  31.  Андреев Л. В., Ободан Н. И., Лебедев A. Г. Устойчивость оболочек при неосесимметричной деформации. М.: Наука, 1988. 208 с.
  32.  Фомин С., Алексеев В., Тихомиров В. Оптимальное управление. М.: Физматлит, 2005. 385 с.
  33.  Odejide S. A., Aregbesola Y. A. S. A note on two dimensional Bratu problem // Kragujevac Journal of Mathematics. 2006. Vol. 29. P. 49–56.
  34.  Temimi H., Ben-Romdhane M., Baccouch M., Musa M. O. A two-branched numerical solution of the two-dimensional Bratu’s problem // Applied Numerical Mathematics. 2020. Vol. 153. P. 202–216. DOI: 10.1016/j.apnum.2020.02.010.
  35.  Boyd J. P. An analytical and numerical study of the two-dimensional Bratu equation // J. Sci. Comput. 1986. Vol. 1. P. 183–206. DOI: 10.1007/BF01061392.
  36.  Витушкин A. Г., Хенкин Г. M. Линейные суперпозиции функций // УМН. 1967. Т. 22, № 1. С. 77–124.
  37.  Gromov V. A. Catastrophes of cylindrical shell // In: Dutta H. (ed) Mathematical Modelling: Principle and Theory. Providence: American Mathematical Society, 2023. P. 215–244. DOI:10.1090/ conm/786/15798.
  38.  Courant R., Hilbert D. Methods of Mathematical Physics. Vol. 1. N.Y.: Wiley, 2008. 575 p.
  39.  Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 527 с.
  40.  Agapov M. S., Kuznetsov E. B., Shalashilin V. I. Numerical modeling of the problem of strong nonlinear deformation in Eulerian coordinates // Math. Models Comput. Simul. 2009. Vol. 1. P. 263–273. DOI: 10.1134/S2070048209020094.
Поступила в редакцию: 
12.09.2024
Принята к публикации: 
24.01.2025
Опубликована онлайн: 
29.01.2025
Опубликована: 
31.07.2025
  • 2011 просмотров