Цель настоящей работы — исследовать устойчивость периодического режима, соответствующего моде с наименьшей длиной волны (так называемой π-моде) в цепочке Тоды с кубическим возмущением в потенциале межчастичного взаимодействия.

Методы. Исследование устойчивости проводилось на основе стандартного метода Флоке. Возникающая при этом вариационная система расщепляется на независимые двумерные подсистемы, что позволяет делать выводы об устойчивости π-моды для цепочки из произвольного числа частиц. Расщепление осуществлялось как с помощью общего теоретико-группового метода, так и с помощью предложенного в настоящей работе метода, основанного на использовании дискретного преобразования Фурье.

Результаты. Получены диаграммы устойчивости исследуемого режима, позволяющие сделать вывод о его устойчивости в зависимости от амплитуды колебаний и числа частиц цепочки. Установлено соответствие между диаграммами устойчивости «возмущенной» цепочки Тоды при сильном возмущении потенциала и цепочки Ферми–Паста–Улама–Цингу-α. Для классической цепочки Тоды обнаружено, что её интегралы движения оказываются функционально зависимыми в окрестности рассматриваемого режима. Это нарушает условия теоремы Пуанкаре о тождественном равенстве единице соответствующих мультипликаторов Флоке. Несмотря на это, режим оказывается устойчивым при любой длине цепочки для рассмотренного диапазона амплитуд колебаний π-моды в классической цепочке Тоды.

Заключение. Была исследована устойчивость π-моды в цепочке Тоды с кубическим возмущением в потенциале межчастичного взаимодействия. Исследование было проведено для произвольного числа частиц в цепочке. Это стало возможным благодаря расщеплению вариационной системы на независимые двумерные подсистемы, которое осуществлялось с помощью известного общего теоретико-группового метода. Кроме того, был предложен новый аналогичный метод расщепления на основе использования дискретного преобразования Фурье. Предложенный подход может в дальнейшем быть применён для исследования устойчивости любых нелинейных режимов, обладающих временной и пространственной периодичностью.