Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)

Для цитирования:

Кедров А. А., Щербинин С. А. Исследование устойчивости колебательной π-моды в возмущенной цепочке Тоды // Известия вузов. ПНД. 2026. Т. 34, вып. 2. С. 206-222. DOI: 10.18500/0869-6632-003202, EDN: NRVWDG

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Полный текст в формате PDF(Ru):
Иконка PDF and_2026-2_kedrov_shcherbinin_206-222.pdf
(загрузок: 21)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
Бифуркации в динамических системах. Детерминированный хаос. Квантовый хаос.
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
530.182
DOI: 
10.18500/0869-6632-003202
EDN: 
NRVWDG

Исследование устойчивости колебательной π-моды в возмущенной цепочке Тоды

Авторы: 
Кедров Александр Алексеевич, Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (СПбПУ)
Щербинин Степан Александрович, Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (СПбПУ)
Аннотация: 

Цель настоящей работы — исследовать устойчивость периодического режима, соответствующего моде с наименьшей длиной волны (так называемой π-моде) в цепочке Тоды с кубическим возмущением в потенциале межчастичного взаимодействия.

Методы. Исследование устойчивости проводилось на основе стандартного метода Флоке. Возникающая при этом вариационная система расщепляется на независимые двумерные подсистемы, что позволяет делать выводы об устойчивости π-моды для цепочки из произвольного числа частиц. Расщепление осуществлялось как с помощью общего теоретико-группового метода, так и с помощью предложенного в настоящей работе метода, основанного на использовании дискретного преобразования Фурье.

Результаты. Получены диаграммы устойчивости исследуемого режима, позволяющие сделать вывод о его устойчивости в зависимости от амплитуды колебаний и числа частиц цепочки. Установлено соответствие между диаграммами устойчивости возмущенной цепочки Тоды при сильном возмущении потенциала и цепочки Ферми–Паста–Улама–Цингу-α. Для классической цепочки Тоды обнаружено, что её интегралы движения оказываются функционально зависимыми в окрестности рассматриваемого режима. Это нарушает условия теоремы Пуанкаре о тождественном равенстве единице соответствующих мультипликаторов Флоке. Несмотря на это, режим оказывается устойчивым при любой длине цепочки для рассмотренного диапазона амплитуд колебаний π-моды в классической цепочке Тоды.

Заключение. Была исследована устойчивость π-моды в цепочке Тоды с кубическим возмущением в потенциале межчастичного взаимодействия. Исследование было проведено для произвольного числа частиц в цепочке. Это стало возможным благодаря расщеплению вариационной системы на независимые двумерные подсистемы, которое осуществлялось с помощью известного общего теоретико-группового метода. Кроме того, был предложен новый аналогичный метод расщепления на основе использования дискретного преобразования Фурье. Предложенный подход может в дальнейшем быть применён для исследования устойчивости любых нелинейных режимов, обладающих временной и пространственной периодичностью. 

Ключевые слова: 
нелинейная динамика
цепочка Тоды
модуляционная неустойчивость
π-мода
теоретико-групповые методы
Благодарности: 
В данной работе представлены результаты проекта «FR-2025-75», выполненного в рамках Программы фундаментальных исследований НИУ ВШЭ в 2025 году.
Список источников: 
  1. Fermi E., Pasta P., Ulam S., Tsingou M. Studies of Nonlinear Problems // Report LA-1940. New Mexico: Los Alamos Scientific Laboratory, 1955. 22 p. DOI: 10.2172/4376203.
  2. Chechin G.M., Novikova N.V., Abramenko A.A. Bushes of vibrational modes for Fermi–Pasta–Ulam chains // Physica D. 2002. Vol. 166, no. 3–4. P. 208–238. DOI: 10.1016/S0167-2789(02)00430-X.
  3. Chechin G.M., Ryabov D.S., Zhukov K.G. Stability of low-dimensional bushes of vibrational modes in the Fermi–Pasta–Ulam chains // Physica D. 2005. Vol. 203, no. 3–4. P. 121–166. DOI: 10.1016/j.physd.2005.03.009.
  4. Dauxois Th., Khomeriki R., Piazza F., Ruffo S. The anti-FPU problem // Chaos. 2005. Vol. 15, no. 1. P. 015110. DOI: 10.1063/1.1854273.
  5. Flach S., Gorbach A.V. Discrete breathers — advances in theory and applications // Physics Reports. 2008. Vol. 467, no. 1–3. P. 1–116. DOI: 10.1016/j.physrep.2008.05.002.
  6. Дмитриев С.В., Корзникова Е.А., Баимова Ю.А., Веларде М.Г. Дискретные бризеры в кристаллах // УФН. 2016. Т. 186, № 5. С. 471–488. DOI: 10.3367/UFNr.2016.02.037729.
  7. Gomez-Rojas A., Halevi P. Discrete breathers in an electric lattice with an impurity: Birth, interaction, and death // Phys. Rev. E. 2018. Vol. 97, iss. 2. P. 022225. DOI: 10.1103/PhysRevE.97.022225.
  8. Saadatmand D., Xiong D., Kuzkin V.A., Krivtsov A.M., Savin A.V., Dmitriev S.V. Discrete breathers assist energy transfer to ac-driven nonlinear chains // Phys. Rev. E. 2018. Vol. 97, iss. 2. P. 022217. DOI: 10.1103/PhysRevE.97.022217.
  9. Kolesnikov I.D., Shcherbinin S.A., Bebikhov Yu.V., Korznikova E.A., Shepelev I.A., Kudreyko A.A., Dmitriev S.V. Chaotic discrete breathers in bcc lattice // Chaos, Solitons and Fractals. 2024. Vol. 178. P. 114339. DOI: 10.1016/j.chaos.2023.114339.
  10. Bachurin D.V., Murzaev R.T., Abdullina D.U., Semenova M.N., Bebikhov Yu.V.,linebreak Dmitriev S.V. Chaotic discrete breathers in bcc lattice: Effect of the first- and second-neighbor interactions // Physica D. 2024. Vol. 470. P. 134344. DOI: 10.1016/j.physd.2024.134344.
  11. Xiong D., Zhang J. Discrete breathers: possible effects on heat transport // Lett. Mater. 2016. Vol. 6, no. 1. P. 27–30. DOI: 10.22226/2410-3535-2016-1-27-30.
  12. Manley M.E. Impact of intrinsic localized modes of atomic motion on materials properties // Acta Materialia. 2010. Vol. 58, no. 8. P. 2926–2935. DOI: 10.1016/j.actamat.2010.01.021.
  13. Singh M., Morkina A.Y., Korznikova E.A., Dubinko V.I., Terentiev D.A., Xiong D., Naimark O.B., Gani V.A., Dmitriev S.V. Effect of discrete breathers on the specific heat of a nonlinear chain // J. Nonlinear Sci. 2021. Vol. 31. P. 12. DOI: 10.1007/s00332-020-09663-4.
  14. Korznikova E.A., Morkina A.Y., Singh M., Krivtsov A.M., Kuzkin V.A., Gani V.A., Bebikhov Yu.V., Dmitriev S.V. Effect of discrete breathers on macroscopic properties of the Fermi-Pasta-Ulam chain // Eur. Phys. J. B. 2020. Vol. 93, no. 7. P. 123. DOI: 10.1140/epjb/e2020-10173-7.
  15. Archilla J.F.R., Coelho S.M.M., Auret F.D., Dubinko V.I., Hizhnyakov V. Long range annealing of defects in germanium by low energy plasma ions // Physica D. 2015. Vol. 297. P. 56–61. название одной статьи, данные от другой статьи. непонятно. DOI: 10.1016/j.physd.2015.01.001.
  16. Dubinko V.I., Dubinko A.V. Modification of reaction rates under irradiation of crystalline solids: Contribution from intrinsic localized modes // Nucl. Instrum. Meth. Phys. Res. B. 2013. Vol. 303. P. 133–135. DOI: 10.1016/j.nimb.2012.10.014.
  17. Terentyev D.A., Dubinko A.V., Dubinko V.I., Dmitriev S.V., Zhurkin E.E., Sorokin M.V. Interaction of discrete breathers with primary lattice defects in bcc Fe // Modelling Simul. Mater. Sci. Eng. 2015. Vol. 23, no. 8. P. 085007. DOI: 10.1088/0965-0393/23/8/085007.
  18. Korznikova E.A., Shcherbinin S.A., Ryabov D.S., Chechin G.M., Ekomasov E.G., Barani E., Zhou K., Dmitriev S.V. Delocalized nonlinear vibrational modes in graphene: Second harmonic generation and negative pressure // Physica Status Solidi (B): Basic Solid State Physics. 2019. Vol. 256, no. 1. P. 1800061. DOI: 10.1002/pssb.201800061.
  19. Bachurina O.V., Kudreyko A.A., Dmitriev S.V., Bachurin D.V. Impact of delocalized nonlinear vibrational modes on the properties of NiTi // Phys. Lett. A. 2025. Vol. 555. P. 130769. DOI: 10.1016/j.physleta.2025.130769.
  20. Корзникова E.A., Фомин С.Ю., Соболева Э.Г., Дмитриев С.В. Высокосимметричный дискретный бризер в двумерном кристалле Морзе // Письма в ЖЭТФ. 2016. Т. 103, № 4. С. 303–308.
  21. Shcherbinin S.A., Kazakov A.M., Bebikhov Yu.V., Kudreyko A.A., Dmitriev S.V. Delocalized nonlinear vibrational modes and discrete breathers in beta-FPUT simple cubic lattice // Phys. Rev. E. 2024. Vol. 109, iss. 1. P. 014215. DOI: 10.1103/PhysRevE.109.014215.
  22. Abdullina D.U., Kosarev I.V., Evarestov R.A., Kudreyko A.A., Dmitriev S.V. Phonon spectrum and gap quasi-breathers in B2 (CsCl) structure // Chaos, Solitons and Fractals. 2025. Vol. 199. P. 116724. %. DOI: 10.1016/j.chaos.2025.116724.
  23. Burlakov V.M., Kiselev S.A., Rupasov V.I. Localized vibrations of homogeneous anharmonic chains // Phys. Lett. A. 1990. Vol. 147, no. 2–3. P. 130–134. DOI: 10.1016/0375-9601(90)90880-W.
  24. Korznikova E.A., Bachurin D.V., Fomin S.Yu., Chetverikov A.P., Dmitriev S.V. Instability of vibrational modes in hexagonal lattice // Eur. Phys. J. B. 2017. Vol. 90. P. 23. DOI: 10.1140/epjb/e2016-70595-2.
  25. Poggi P., Ruffo S. Exact solutions in the FPU oscillator chain // Physica D. 1997. Vol. 103, no. 1–4. P. 251–272. DOI: 10.1016/S0167-2789(96)00262-X.
  26. Yoshimura K. Modulational instability of zone boundary mode in nonlinear lattices: Rigorous results // Phys. Rev. E. 2004. Vol. 70, no. 1. P. 016611. DOI: 10.1103/PhysRevE.70.016611.
  27. Kosevich Yu.A., Lepri S. Modulational instability and energy localization in anharmonic lattices at finite energy density // Phys. Rev. B. 2000. Vol. 61, iss. 1. P. 299–307. DOI: 10.1103/PhysRevB.61.299.
  28. Chechin G.M., Ryabov D.S. Stability of nonlinear normal modes in the Fermi-Pasta-Ulam beta chain in the thermodynamic limit // Phys. Rev. E. 2012. Vol. 85, no. 5. P. 056601. DOI: 10.1103/PhysRevE.85.056601.
  29. Toda M. Studies of a non-linear lattice // Physics Reports. 1975. Vol. 18, no. 1. P. 1–123. DOI: 10.1016/0370-1573(75)90018-6.
  30. Fu W., Zhang Y., Zhao H. Universal law of thermalization for one-dimensional perturbed Toda lattices // New J. Phys. 2019. Vol. 21. P. 043009. DOI: 10.1088/1367-2630/ab115a.
  31. Chechin G.M., Zhukov K.G. Stability analysis of dynamical regimes in nonlinear systems with discrete symmetries // Phys. Rev. E. 2006. Vol. 73, no. 3. P. 036216. DOI: 10.1103/PhysRevE.73.036216.
  32. Chechin G.M., Shcherbinin S.A. Delocalized periodic vibrations in nonlinear LC and LCR electrical chains // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2015. Vol. 22, no. 1–3. P. 244–262. DOI: 10.1016/j.cnsns.2014.09.028.
  33. Щербинин С.А., Гончаров П.П., Чечин Г.М. Исследование устойчивости нелинейных нормальных мод в электрических цепях // Известия вузов. ПНД. 2013. Т. 21, № 2. С. 34–51. DOI: 10.18500/0869-6632-2013-21-2-34-51.
  34. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972. 718 c.
  35. Perko L. Differential Equations and Dynamical Systems. New York: Springer, 2001. 557 p. DOI: 10.1007/978-1-4613-0003-8.
  36. Dormand J.R., Prince P.J. A family of embedded Runge-Kutta formulae // Journal of Computational and Applied Mathematics. 1980. Vol. 6, no. 1. P. 19–26. DOI: 10.1016/0771-050X(80)90013-3.
  37. Anderson E., Bai Z., Bischof C., Blackford S., Demmel J., Dongarra J., Du Croz J., Greenbaum A., Hammarling S., McKenney A., Sorensen D. LAPACK Users' Guide. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1999. 407 p. DOI: 10.1137/1.9780898719604.
  38. Poincare H. Les Methodes Nouvelles de la Mecanique Celeste. Vol. I. Paris: Gauthier-Villars, 1892. 408 p.
  39. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики // В кн.: Динамические системы – 3, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления. М.: ВИНИТИ, 1985. С. 5–290.
  40. Henon M. Integrals of the Toda lattice // Phys. Rev. B. 1974. Vol. 9, no. 4. P. 1921–1923. DOI: 10.1103/PhysRevB.9.1921.
  41. Abramowitz M., Stegun I.A. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1964. 1046 p.
Поступила в редакцию: 
18.09.2025
Принята к публикации: 
19.11.2025
Опубликована онлайн: 
19.11.2025
Опубликована: 
31.03.2026
  • 511 просмотров