ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)


Cite this article as:

Голоколенов А. В. Dynamics of weakly dissipative self-oscillatory system at external pulse influence, which amplitude is depending polynomially on the dynamic variable. Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics, 2019, vol. 27, iss. 3, pp. 86-98. DOI: https://doi.org/10.18500/0869-6632-2019-27-3-86-98

Published online: 
20.06.2019
Language: 
Russian
UDC: 
530.182;517.9

Dynamics of weakly dissipative self-oscillatory system at external pulse influence, which amplitude is depending polynomially on the dynamic variable

Autors: 
Голоколенов Александр Владимирович, Saratov State University
Abstract: 

Topic and aim. In this work, we study the dynamics of the kicked van der Pol oscillator with the amplitude of kicks depending nonlinearly on the dynamic variable. We choose the expansions of the function cos x in a Taylor series near zero, as functions describing this dependence. It is known that such a system demonstrates the existence of a Hamiltonian-type critical point in the case when the dependence of the amplitude of an external force on a dynamic variable is described by a quadratic polynomial, and when choosing a dependence in the form of cos x – a stochastic web in the conservative limit. Investigated models. The investigation is conducted for the original flow system and for an approximate discrete mapping. Results. We have investigated the changes in the structure of the parameter space and the phase space when changing the form of the function of external force. It is shown that the complication of the form of the function leads to an increase in the number of saddle-node bifurcations occurring in the system with a decrease in the dissipation parameter.

DOI: 
10.18500/0869-6632-2019-27-3-86-98
References: 

1. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1990, 240 с.
2. Райхл Л.Е. Переход к хаосу в консервативных классических и квантовых системах. М.: ИКИ; Ижевск: РХД, 2008, 756 с.
3. Zisook A.B. Universal effects of dissipation in two-dimensional mappings // Physical Review A. 1982. T. 24, No 3. P. 1640–1642.

4. Морозов А.Д. Резонансы, циклы и хаос в квазиконсервативных системах. Серия: Современная математика. М.; Ижевск: РХД, 2005. 424 с.

5. Kuznetsov S.P., Kuznetsov A.P., Sataev I.R. Multiparameter critical situations, universality and scaling in two-dimensional period-doubling maps // Journal of Statistical Physics. 2005. T. 121, No 5–6. P. 697–748.

6. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Савин А.В., Савин Д.В. Автоколебательная система с компенсируемой диссипацией: Динамика дискретной модели // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2008. Т. 16, No 5. C. 127–138.

7. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Савин А.В., Савин Д.В. О возможности реализации в автоколебательной системе с внешним периодическим воздействием универсального поведения, характерного для перехода к хаосу через удвоения периода в консервативных системах // Письма в ЖТФ. 2008. T. 34, вып. 22. C. 72–80.
8. Savin D.V., Savin A.V., Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P., Feudel U. The self-oscillating system with compensated dissipation – the dynamics of the approximate discrete map // Dynamical Systems: An International Journal. 2012. Vol. 27. P. 117–129.
9. Feudel U., Grebogi C., Hunt B.R., Yorke J.A. Map with more than 100 coexisting low-period periodic attractors // Physical Review E. 1996. Vol. 54, no. 1. P. 71–81.
10. Feudel U., Grebogi C., Poon L., Yorke J.A. Dynamical properties of a simple mechanical system with a large number of coexisting periodic attractors // Chaos, Solitons & Fractals. 1998. Vol.9, no. 1–2. P. 171–180.
11. Blazejczyk-Okolewska B., Kapitaniak T. Coexisting attractors of impact oscillator // Chaos, Solitons & Fractals. 1998. Vol. 9, no. 8. P. 1439–1443.
12. Feudel U., Grebogi C. Why are chaotic attractors rare in multistable systems? // Physical Review Letters. 2003. Vol. 91, no. 13. 134102.
13. de Freitas A.S.T., Viana R.L., Grebogi C. Multistability, basin boundary structure, and chaotic behavior in a suspension bridge model // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2004. Vol. 14, no. 3. P. 927–950.
14. Rech P., Beims M., Gallas J. Basin size evolution between dissipative and conservative limits //Physical Review E. 2005. Vol. 71, no. 1. 017202.
15. Колесов А.Ю., Розов Н.Х. О природе явления буферности в слабо диссипативных системах // Теоретическая и математическая физика. 2006. Т. 146, No 3. C. 447–466.

16. Кузнецов А.П., Савин А.В., Савин Д.В. Отображение Икеды: от диссипативного к консервативному случаю // Известия вузов. ПНД. 2006. T. 14, No 2. C. 94–106.

17. Кузнецов А.П., Савин А.В., Савин Д.В. Особенности динамики почти консервативного отображения Икеды // Письма в ЖТФ. 2007. T. 33, вып. 3. C. 57–63.

18. Kuznetsov A.P., Savin A.V., Savin D.V. On some properties of nearly conservative dynamics of Ikeda map // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. 2007. Vol. 10, no. 4. P. 393–400.
19. Feudel U. Complex dynamics in multistable systems // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2008. Vol. 18, no. 6. P. 1607–1626.
20. Kuznetsov A.P., Savin A.V., Savin D.V. On some properties of nearly conservative dynamics of Ikeda map and its relation with the conservative case // Physica A. 2008. Vol. 387. no. 7. P. 1464–1474.
21. Мозер Ю. КАМ-теория и проблемы устойчивости. М.; Ижевск: РХД, 2001. 448 с.
22. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука, 1984. 272 с.
23. Савин А.В., Савин Д.В. Структура бассейнов притяжения сосуществующих аттракторов слабодиссипативного «отображения–паутины» // Нелинейный Мир. 2010. T. 8, No 2. C. 70–71.

24. Фельк Е.В. Влияние слабой нелинейной диссипации на структуры типа «стохастическая паутина» // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2013. T. 21, No 3. C. 72–79.
25. Felk E.V., Kuznetsov A.P., Savin A.V. Multistability and transition to chaos in the degenerate Hamiltonian system with weak nonlinear dissipative perturbation // Physica A. 2014. Т. 410. P. 561–572.

Short text (in English):