«Izvestiya VUZ. AND», 2022, Vol. 30, Iss. 2

Warning message

В статье:Джон Хортон Конвей.
Не определен EDN
В статье:Джон Хортон Конвей.
Не определен udk
В статье:Динамика решений одного нелинейного функционально-дифференциального уравнения параболического типа.
Не определен EDN
В статье:Охота на химер в полносвязных сетях нелинейных осцилляторов.
Не определен EDN
В статье:Опыт оценки вариабельности сердечного ритма по сглаженным кардиоинтервалограммам.
Не определен EDN
В статье:Локальная динамика модели цепочки лазеров с оптоэлектронной запаздывающей однонаправленной связью.
Не определен EDN
В статье:Простая и сложная динамика в модели эволюции двух миграционно связанных популяций с непересекающимися поколениями.
Не определен EDN
В статье:Нелинейное усиление сигнала магнитной индукции в магнитомодуляционном датчике с аморфным ферромагнитным сердечником.
Не определен EDN
В статье:Особенности многоэлектродной регистрации эпизодических разрядов слабоэлектрических рыб, у автора: Моллер отсутствует идентификатор автора (authorId) на сайте elibrary.ru
В статье:Особенности многоэлектродной регистрации эпизодических разрядов слабоэлектрических рыб, у автора: МакМагон отсутствует идентификатор автора (authorId) на сайте elibrary.ru
В статье:Особенности многоэлектродной регистрации эпизодических разрядов слабоэлектрических рыб, у автора: Сюэ отсутствует идентификатор автора (authorId) на сайте elibrary.ru
В статье:Особенности многоэлектродной регистрации эпизодических разрядов слабоэлектрических рыб.
Не определен EDN

Full Text (PDF):

and_2022-2_site.pdf

Published online:

31.03.2022

1888 reads

Content

Editorial

Sysoev I. V. John Horton Conway 129

XML для elibrary

<?xml version="1.0" encoding="utf-16" standalone="no"?>
  <journal>
      <titleid>7720</titleid>
      <issn>0869-6632</issn>
      <eissn>2542-1905</eissn>
    <journalInfo lang="RUS">
      <title>Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика</title>
    </journalInfo>
    <journalInfo lang="ENG">
      <title>Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics</title>
    </journalInfo>
    <issue>
      <volume>30</volume>
      <number>2</number>
      <altNumber>!!! Элемент, значение которого число, являющиеся сквозным номером выпуска. !!!</altNumber>
      <part>!!! Элемент, значение которого число, представляющее собой часть выпуска. !!!</part>
      <pages>125-252</pages>
      <dateUni>2022</dateUni>
      <issTitle>!!!Элемент, значение которого содержит название(тему) выпуска. У элемента есть обязательнный атрибут lang.!!!</issTitle>
      <codes>
        <doi>!!!Элемент, значение которого содержит код DOI выпуска!!!</doi>
        <edn>!!!Элемент, значение которого содержит код EDN (eLIBRARY Document Number). Содержит шесть латинских символов.!!!</edn>
      </codes>
      <articles>
        <section>
          <secTitle lang="RUS">От редактора</secTitle>
          <secTitle lang="ENG">Editorial</secTitle>
        </section>
        <article>
          <artType>EDI</artType>
          <langPubl>RUS</langPubl>
          <pages>129-131</pages>
          <authors>
            <author id="128457" num="001">
            <role>!!!Элемент, который содержит роль автора (редактор, рецензент и т.д.). Если элемент отсутствует, то автор просто автор. Значение элемента – это числовой идентификатор. Идентификаторы роли представлены в справочнике typeRole!!!</role>
            <correspondent>!!! Автор-корреспондент !!!</correspondent>
            <authorCodes>
              <researcherid>D-5930-2013</researcherid>
              <scopusid>56118788700</scopusid>
              <orcid>0000-0002-9203-5504</orcid>
            </authorCodes>
            <individInfo lang="RUS">
              <surname>Сысоев</surname>
              <initials>Илья Вячеславович</initials>
              <address>410012, Россия, Саратов, ул. Астраханская, 83</address>
              <town>Саратов</town>
              <otherInfo>!!!Элемент, значение которого содержит другие сведения об авторе!!!</otherInfo>
              <comment>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</comment>
              <commentDate>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</commentDate>
              <orgName>Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского</orgName>
              <email>!!!Элемент, значение которого содержит электронную почту автора (Нужно ли палить почту пользователя?)</email>
            </individInfo>
            <individInfo lang="ENG">
              <surname>Sysoev</surname>
              <initials>Ilya Vyacheslavovich</initials>
              <address>ul. Astrakhanskaya, 83, Saratov, 410012, Russia</address>
              <town>Saratov</town>
              <otherInfo>!!!Элемент, значение которого содержит другие сведения об авторе!!!</otherInfo>
              <comment>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</comment>
              <commentDate>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</commentDate>
              <orgName>Saratov State University</orgName>
              <email>!!!Элемент, значение которого содержит электронную почту автора (Нужно ли палить почту пользователя?)</email>
            </individInfo>
            </author>
          </authors>
          <artTitles>
            <artTitle lang="RUS">Джон Хортон Конвей</artTitle>
            <artTitle lang="ENG">John Horton Conway</artTitle>
          </artTitles>
          <abstracts>
            <abstract lang="RUS">I do have a big ego! As I often say, modesty is my only vice. If I weren’t  so modest, I’d be perfect. /J. H. Conway/  О да, у меня большое эго! Как я часто  говорю, скромность — мой единственный  недостаток. Не будь я таким скромным, я был бы  безупречен. /Д. Х. Конвей/  </abstract>
            <abstract lang="ENG">I do have a big ego! As I often say, modesty is my only vice. If I weren’t  so modest, I’d be perfect. /J. H. Conway/  </abstract>
          </abstracts>
          <text lang="RUS">Джон Хортон Конвей родился 26 декабря 1937  года в Ливерпуле, Великобритания. Джон был  довольно замкнутым интравертным  ребёнком, который с раннего детства  увлекался математикой~\cite{Konv1}.  В 1956 году он поступил в колледж Гонвилля и  Кейса в Кембриджском университете и  неожиданно решил вести себя там  экстравертно. Он и в самом деле нашёл себе  в Кембридже друзей. В частности, он  встретил Майкла Гая, сына математика  Ричарда Гая. Майкл Гай стал лучшим другом  Конвея и соавтором нескольких его работ. В  1964 году Конвей получил степень PhD и  позицию там же в Gonville\&Keyes College на кафедре  чистой математики. Он читал лекции,  которые были очень популярны благодаря  живым и понятным объяснениям, практически  цирковым трюкам и импровизациям. У Конвея  часто не было плана и текста для своих  лекций. Его ученик Эндрю Гласс сделал  подробное, упорядоченное резюме своих  лекций по абстрактным автоматам. Это  резюме было скопировано многими  студентами, а затем и самим лектором,\linebreak  и через несколько лет это резюме стало  первой книгой Конвея <<Регулярная алгебра  и конечные автоматы>>~\cite{Konv2}.  Конвей играл во многие математические  игры с коллегами и студентами и регулярно  их придумывал. Так они изобрели  топологическую игру <<Рассада>>, которая  сразу же завоевала популярность на  кафедре. В целом жизнь Конвея в период  после защиты диссертации была приятной и  беззаботной. Но он не занимался  <<серьёзной>> математической работой, и это  его угнетало.  С того момента, как Джон Конвей открыл и  опубликовал в 1968 году новые спорадические  группы \cite{Konv3}, он больше не беспокоился о  том, достаточно ли серьёзно он относится к  математике \cite{Konv1}. Поэтому он с чистой  совестью приступил к разработке  простейшего возможного клеточного  автомата с нетривиальным,  непредсказуемым поведением, надеясь, что  в этом случае он будет завершён по  Тьюрингу. Команда энтузиастов (Конвей, его  коллеги и студенты) занималась перебором  бесчисленных вариаций правил в поисках  подходящих. Их усилия были вознаграждены,  когда они разработали игру <<Жизнь>>.  Конвей написал об игре <<Жизнь>> в своей  колонке в Scientific American, и эта статья стала  самой популярной из всех статей,  опубликованных в этой колонке. Игра  <<Жизнь>> получила тысячи поклонников по  всей Америке и за рубежом, а ее  изобретатель прославился среди широкой  публики \cite{Konv1}. Вскоре Конвей доказал  тьюринг-полноту игры <<Жизнь>>  (доказательство не было опубликовано).  После этого он практически потерял  интерес к этой теме.  Годы изобретения и обдумывания игр не  прошли даром. Когда Ричард Гай и  американский математик Элвин Берлекэмп  задумали книгу по играм, они пригласили  Конвея стать их соавтором~\cite{Konv4}. Пока шла  работа над книгой, получившей название  <<Выигрышные стратегии для ваших  математических игр>>, Конвей продолжал  исследовать игры и обнаружил, что позиции  в так называемых пристрастных играх могут  быть выражены числами, причём множество  необходимых для этого чисел включает не  только целые и действительные числа, но и  некоторые новые числа. Дональд Кнут  назвал эти числа сюрреальными. Конвей  считал сюрреальные числа своим главным  поводом для гордости \cite{Konv5}. В 1976 году  Конвей быстро написал и выпустил  собственную книгу\linebreak  <<О числах и  играх>> \cite{Konv6}, посвящённую пристрастным  играм и сюрреальным числам. Когда он  сообщил об этом Берлекэмпу, тот был крайне  недоволен и едва не рассорился с  кембриджским соавтором, и только Гай смог  помирить их. Книга «Выигрышные стратегии»  в итоге была дописана только в 1981 году; на  следующий год книга вышла в свет и стала  бестселлером.  В начале 1970-х Джон Конвей решил составить  каталог конечных групп. Эта будущая книга  получила название <<Атлас конечных групп>>.  Работа заняла много лет. Только в~1984~году  атлас был окончательно завершён.  Потребовался ещё один год, чтобы  подготовить его к печати. Его публикация  стала долгожданным событием для работы в  области теоретических групп математиков  по всему миру \cite{Konv7}.  В 1970-е годы параллельно с составлением  каталога конечных групп Конвей продолжал  работать над спорадическими группами. В  частности, он поучаствовал в определении  размера <<монстра>> (и придумал это  название для группы). К 1978 году другими  специалистами по теории групп были  вычислены таблицы характеров монстра  (построена эта группа, однако, ещё не была).  И в этот момент Джон Маккей заметил, что  размерность одного из представлений  монстра, 196883, лишь на единицу отличается  от линейного коэффициента  фурье-разложения $j$-инварианта, равного  196884. Конвей и Нортон собрали это и другие  наблюдения от разных авторов и  сформулировали гипотезу о глубокой связи  между модулярными функциями и конечными  группами, назвав её <<гипотезой  чудовищного вздора>> \cite{Konv1}.  1986--1987 учебный год Джон Конвей провёл в  Принстонском университете (США), временно  занимая по приглашению тогдашнего главы  кафедры математики Элиаса Стайна только  что учреждённую позицию Фоннеймановского  профессора прикладной и вычислительной  математики. Конвею было предложено  остаться на этой должности на постоянной  основе. Он сильно колебался,\linebreak  но в  итоге мнение жены, б\'{о}льшая зарплата,  уход из Кембриджа многих  коллег-математиков и общее желание  перемен склонили его принять предложение  \cite{Konv1}. В Принстоне Конвей тоже  прославился харизмой и эксцентричностью.  Время от времени Конвей, рассказывая на  различных выступлениях о тех или иных  интересных нерешённых задачах, предлагал  денежные призы за их решение.  Конвей ушёл на должность  эмерит-профессора в 2013 году. В первые годы  после формальной отставки он продолжил  работать едва ли не активнее, чем до неё ---  выступать на конференциях, выпускать  новые работы, преподавать в  математических лагерях для школьников  \cite{Konv1}. Последние публикации за  авторством Конвея вышли в 2017 году. В 2018  году он пережил обширный инсульт. Джон  Хортон Конвей скончался в Нью-Брансуике 11  апреля 2020 года в возрасте 82 лет от  осложнений на фоне коронавирусной  инфекции COVID-19 \cite{Konv8}. </text>
            <codes>
              <doi>10.18500/0869-6632-2022-30-2-129-131</doi>
              <bbk>!!!Элемент, значение которого содержит код ББК</bbk>
              <jel>!!!Элемент, значение которого содержит код JEL </jel>
              <msc>!!!Элемент, значение которого содержит код MSC</msc>
              <pacs>!!!Элемент, значение которого содержит код PACS</pacs>
              <anycode>!!!Элемент, значение которого содержит другие коды статьи. ВНИМАНИЕ! К другим кодам не относятся рубрики ГРНТИ. Для рубрик есть отдельный контейнер rubrics. </anycode>
            </codes>
            <keywords>
              <kwdGroup lang="RUS">
                <keyword>-</keyword>
              </kwdGroup>
              <kwdGroup lang="ENG">
                <keyword>-</keyword>
              </kwdGroup>
            </keywords>
            <references>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Roberts S. Genius At Play: The Curious Mind of John Horton Conway. USA: Bloomsbury, 2015. 480 p.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Conway J. H. Regular Algebra and Finite Machines. London: Chapman and Hall, 1971. 147 p.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Conway J. H. A perfect group of order 8,315,553,613,086,720,000 and the sporadic simple groups // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 1968. Vol. 61, no. 2. P. 398–400. DOI: 10.1073/pnas.61.2.398.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Berlekamp E. R., Conway J. H., Guy R. K. Winning Ways for Your Mathematical Plays. New York: Academic Press, 1982.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Siegel A. N. Combinatorial Game Theory. Vol. 146. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 2013. 523 p.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Conway J. H. On Numbers and Games. New York: Academic Press, 1976. 242 p.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Conway J. H., Curtis R. T., Norton S. P., Parker R. A., Wilson R. A. ATLAS of Finite Groups. Oxford: Oxford University Press, 1986. 250 p.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Воронцов Н. Создатель игры «Жизнь» математик Джон Конвей умер от COVID-19 [Электронный ресурс] // N + 1. 12 апреля 2020. Режим доступа: https://nplus1.ru/news/2020/04/12/conway-died.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
            </references>
            <files>
              <file desc="Атрибут desc, значение которого содержит тип файла (см. справочник typeDesc)">1-red_129-131.pdf</file>
              <furl lang="">Элемент, значение которого содержит ссылку на полный текст на внешнем сайте</furl>
            </files>
              <rubrics>
                <rubric>Элемент, значение которого содержит код рубрики</rubric>
              </rubrics>
            <dates>
              <dateReceived>25.05.2020</dateReceived>
              <dateAccepted>!!!Элемент, значение которого содержит дату принятия статьи в печать. Дата должна быть следующего формата «дд.мм.гггг» </dateAccepted>
            </dates>
        </article>
        <section>
          <secTitle lang="RUS">Бифуркации в динамических системах. Детерминированный хаос. Квантовый хаос.</secTitle>
          <secTitle lang="ENG">Bifurcation in Dynamical Systems. Deterministic Chaos. Quantum Chaos.</secTitle>
        </section>
        <article>
          <artType>RAR</artType>
          <langPubl>RUS</langPubl>
          <pages>132-151</pages>
          <authors>
            <author id="890574" num="001">
            <role>!!!Элемент, который содержит роль автора (редактор, рецензент и т.д.). Если элемент отсутствует, то автор просто автор. Значение элемента – это числовой идентификатор. Идентификаторы роли представлены в справочнике typeRole!!!</role>
            <correspondent>!!! Автор-корреспондент !!!</correspondent>
            <authorCodes>
            </authorCodes>
            <individInfo lang="RUS">
              <surname>Корнута</surname>
              <initials>Анжелика Александровна</initials>
              <address>95000 пр-кт Академика Вернадского, 4, Симферополь</address>
              <town>Симферополь</town>
              <otherInfo>!!!Элемент, значение которого содержит другие сведения об авторе!!!</otherInfo>
              <comment>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</comment>
              <commentDate>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</commentDate>
              <orgName>Крымский федеральный университет имени В.И. Вернадского</orgName>
              <email>!!!Элемент, значение которого содержит электронную почту автора (Нужно ли палить почту пользователя?)</email>
            </individInfo>
            <individInfo lang="ENG">
              <surname>Kornuta</surname>
              <initials>Anshelika Alexandrovna</initials>
              <address>pr-kt Academician Vernadsky, 4, Simferopol, 95000</address>
              <town>Simferopol</town>
              <otherInfo>!!!Элемент, значение которого содержит другие сведения об авторе!!!</otherInfo>
              <comment>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</comment>
              <commentDate>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</commentDate>
              <orgName>Crimean Federal University named after V.I. Vernadsky</orgName>
              <email>!!!Элемент, значение которого содержит электронную почту автора (Нужно ли палить почту пользователя?)</email>
            </individInfo>
            </author>
            <author id="885978" num="002">
            <role>!!!Элемент, который содержит роль автора (редактор, рецензент и т.д.). Если элемент отсутствует, то автор просто автор. Значение элемента – это числовой идентификатор. Идентификаторы роли представлены в справочнике typeRole!!!</role>
            <correspondent>!!! Автор-корреспондент !!!</correspondent>
            <authorCodes>
              <researcherid>O-8917-2017</researcherid>
              <scopusid>56809277700</scopusid>
              <orcid>0000-0001-5271-031X</orcid>
            </authorCodes>
            <individInfo lang="RUS">
              <surname>Лукьяненко</surname>
              <initials>Владимир Андреевич</initials>
              <address>95000 пр-кт Академика Вернадского, 4, Симферополь</address>
              <town>Симферополь</town>
              <otherInfo>!!!Элемент, значение которого содержит другие сведения об авторе!!!</otherInfo>
              <comment>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</comment>
              <commentDate>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</commentDate>
              <orgName>Крымский федеральный университет имени В.И. Вернадского</orgName>
              <email>!!!Элемент, значение которого содержит электронную почту автора (Нужно ли палить почту пользователя?)</email>
            </individInfo>
            <individInfo lang="ENG">
              <surname>Lukianenko </surname>
              <initials>V. A.</initials>
              <address>pr-kt Academician Vernadsky, 4, Simferopol, 95000</address>
              <town>Simferopol</town>
              <otherInfo>!!!Элемент, значение которого содержит другие сведения об авторе!!!</otherInfo>
              <comment>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</comment>
              <commentDate>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</commentDate>
              <orgName>Crimean Federal University named after V.I. Vernadsky</orgName>
              <email>!!!Элемент, значение которого содержит электронную почту автора (Нужно ли палить почту пользователя?)</email>
            </individInfo>
            </author>
          </authors>
          <artTitles>
            <artTitle lang="RUS">Динамика решений одного нелинейного функционально-дифференциального уравнения параболического типа</artTitle>
            <artTitle lang="ENG">Dynamics of solutions of nonlinear functional differential equation of parabolic type</artTitle>
          </artTitles>
          <abstracts>
            <abstract lang="RUS">Целью работы является исследование  начально-краевой задачи для  параболического  функционально-дифференциального  уравнения в кольцевой области, которое  описывает динамику фазовой модуляции  световой волны, прошедшей тонкий слой  нелинейной среды керровского типа в  оптической системе с контуром обратной  связи, с преобразованием поворота  (отвечает оператор инволюции) и условиями  Неймана на границе в классе периодических  функций. Более подробно исследуются  пространственно-неоднородные  стационарные решения, бифурцирующие из  пространственно-однородного  стационарного решения в результате  бифуркации типа «вилка» и периодические  по времени решения типа «бегущая волна».  Методы. Для представления исходного  уравнения в виде нелинейных интегральных  уравнений используется функция Грина.  Применяется метод центральных  многообразий для доказательства теоремы  о существовании в окрестности  бифуркационного параметра решений  указанного уравнения и исследования их  асимптотической формы. Численное  моделирование  пространственно-неоднородных решений и  бегущих волн проведено с использование  метода Галёркина. Результаты. Получены  интегральные представления  рассматриваемой задачи в зависимости от  вида линеаризованного оператора. С  использованием метода центральных  многообразий доказана теорема о  существовании и асимптотической форме  решений начально-краевой задачи для  функционально-дифференциального  уравнения параболического типа с  оператором инволюции на кольце. В  результате численного моделирования,  основанного на галёркинских  аппроксимациях, в рассматриваемой задаче  построены приближенные  пространственно-неоднородные  стационарные решения и периодические по  времени решения типа бегущей волны.  Заключение. Предложенная схема применима  не только к инволютивным операторам  поворота и условиям Неймана на границе  кольца, но и к другим краевым условиям и  круговым областям. Представление  исходной начально-краевой задачи в виде  нелинейных интегральных уравнений  второго рода позволяет более просто  находить коэффициенты асимптотических  разложений, доказывать теоремы  существования и единственности, а также  использовать различное число  коэффициентов разложения нелинейной  составляющей в правой части исходного  уравнения в окрестности выделенного  решения (например, стационарного).  Визуализация численного решения  подтверждает теоретические выкладки и  показывает возможность формирования  сложных фазовых структур.  </abstract>
            <abstract lang="ENG">Purpose of this work is to study the initial-boundary value problem for a  parabolic functional-differential equation in an annular region, which  describes the dynamics of phase modulation of a light wave passing through a  thin layer of a nonlinear Kerr-type medium in an optical system with a  feedback loop, with a rotation transformation (corresponds the involution  operator) and the Neumann conditions on the boundary in the class of periodic  functions. A more detailed study is made of spatially inhomogeneous  stationary solutions bifurcating from a spatially homogeneous stationary  solution as a result of a bifurcation of the “fork” type and  time-periodic solutions of the “traveling wave” type. Methods. To  represent the original equation in the form of nonlinear integral equations,  the Green’s function is used. The method of central manifolds is used to  prove the theorem on the existence of solutions of the indicated equation in  a neighborhood of the bifurcation parameter and to study their asymptotic  form. Numerical modeling of spatially inhomogeneous solutions and traveling  waves was carried out using the Galerkin method. Results. Integral  representations of the considered problem are obtained depending on the form  of the linearized operator. Using the method of central manifolds, a theorem  on the existence and asymptotic form of solutions of the initial-boundary  value problem for a functional-differential equation of parabolic type with  an involution operator on an annulus is proved. As a result of numerical  modeling based on Galerkin approximations, in the problem under  consideration, approximate spatially inhomogeneous stationary solutions and  time-periodic solutions of the traveling wave type are constructed.  Conclusion. The proposed scheme is applicable not only to involutive rotation  operators and Neumann conditions on the boundary of the ring, but also to  other boundary conditions and circular domains. The representation of the  initial-boundary value problem in the form of nonlinear integral equations of  the second kind allows one to more simply find the coefficients of asymptotic  expansions, prove existence and uniqueness theorems, and also use a different  number of expansion coefficients of the nonlinear component in the right-hand  side of the original equation in the neighborhood of the selected solution  (for example, stationary). Visualization of the numerical solution confirms  the theoretical calculations and shows the possibility of forming complex  phase structures.  </abstract>
          </abstracts>
          <text lang="RUS">\section*{Введение}  В~последние несколько десятилетий  внимание исследователей привлекают  математические модели нелинейной оптики.  Они обладают богатой динамикой  самоорганизующихся систем,  а~варьирование параметров позволяет  управлять такой динамикой и наблюдать  экспериментально широкий спектр  изменения светового поля. Характерной  является оптическая система, состоящая  из~тонкого слоя нелинейной среды  керровского типа и различным образом  организованного внешнего контура  двумерной обратной связи  \cite{achmanov,razgul2006,razgulin08}. В~зависимости  от~реализации обратной связи  рассматриваются модели, которые  описываются обыкновенными  дифференциальными уравнениями или  параболическими  функционально-дифференциальными  уравнениями с~преобразованием  пространственных переменных искомой  функции \cite{achmanov-voronzov,vorontzov-razgulin}. Более общим является случай учёта  запаздывания  в~системе~\cite{achmanov-voronzov,chesnokov,iroshnikov,razgulin2000}. В~этом случае  функционально-дифференциальное  уравнение \begin{align*}\label{in.1}        \tau_1\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}+u(x,t)=\mu\triangle u(x,t) +  K(1+\gamma\cos Qu(x,t-\tau)), \quad x\in S, \quad t\geq0      \end{align*} описывает фазовую модуляцию световой  волны $u(x,t)$ в~тонком слое нелинейной среды  керровского типа в~пределах апертуры  $S\subset \mathbb{R}^2$.   Указанное уравнение дополняется  краевыми условиями на~границе $\partial S$, а  также начальными условиями при~$(x,t)\in  S\times[-\tau,0]$. В уравнении   $\triangle$ --- оператор Лапласа,  $\mu>0$ --- коэффициент диффузии частиц  нелинейной среды, $K > 0$ --- коэффициент нелинейности,  пропорциональный интенсивности входного  поля, $\gamma\;  (0<\gamma<1)$ --- видность  (контрастность) интерференционной  картины, $Qu(x,t)=u(q(x),t)$, $q(x)$~---~гладкое  обратимое преобразование  пространственной переменной (например,  отражение, поворот).  Исследования  функционально-дифференциальных  уравнений имеет большую историю, начиная  с~работ А.\,Д.~Мышкиса~\cite{myschkis}, Р.~Беллмана,  К.\,Кука~\cite{bellman}, классической работы  Дж.~Хейла~\cite{hale}, цикла работ  А.\,Л.~Скубачевского и его  учеников~\cite{skubathevskiy},  В.\,М.~Варфоломеева~\cite{varfolomeev1,varfolomeev2},  А.\,Б.~Муравника~\cite{muravnik2003,muravnik2014}, работ  А.\,В.~Разгулина и его  учеников~\cite{razgulin1993,razgulin13,romanenko},  Е.\,П.~Белана~\cite{belan2004,belan2005} и его  учеников~\cite{belan-haz,belan-shian,kornuta},  О.\,Б.~Лыковой~\cite{belan-lyk} и других авторов.  Выявление бегущих волн, вращающихся волн,  фронтов представляет практический  интерес. Бифуркация  Андронова\hspace{1pt}--\hspace{1pt}Хопфа приводит  к~рождению вращающихся волн  на~ок\-ружности в~случае преобразования  поворота пространственных  аргументов~\cite{larithev,razgulin13,grigorieva,vorontzov-razgulin}.   Их~взаимодействие на~окружности  изучалось в~работах~\cite{belan2004,belan2005}, а  двумерные вращающиеся волны в~круге  с~преобразованием поворота  рассматривались в~\cite{belan-lyk}.   Задача моделирования явлений  структурообразования, проявляющихся  в~экспериментах, таких как бегущие  (вращающиеся) волны, далека от завершения.  Здесь существенную роль играют апертура  области, параметры задачи, организация  обратной связи, краевые условия, а также  выбор бифуркационного параметра.   В отличие от многих исследований в данной  работе таким параметром является  коэффициент диффузии $\mu.$   В работах С.\,Д.~Глызина, А.\,Ю.~Колесова,  Н.\,Х.~Розова\linebreak  (в частности,~\cite{glyzin})  для динамических систем типа  реакция\hspace{1pt}--\hspace{1pt}диффузия при  условии уменьшения коэффициента диффузии  рассмотрен феномен многомодового  диффузионного хаоса.    Исследование указанных задач актуально  как с позиций теории нелинейных  функционально-дифференциальных  уравнений параболического типа, так и  в~связи с разнообразными приложениями  в~нелинейной оптике.  \section{Постановка задачи}   На~кольце $S=\{(r, \theta)|\;00}$~--- коэффициент  диффузии частиц нелинейной среды,  преобразование поворота на угол  ${h=({2\pi})/{p}}$ определяет оператор ${Q=Q_h,}$  который является оператором инволюции  ${Q^p=I}$~\cite{samko}, ${K>0}$~--- коэффициент,  пропорциональный интенсивности  входящего потока, ${\gamma\,(0<\gamma<1)}$~---  коэффициент видности (контрастности)  интерференционной картины.  При~исследовании задачи~\eqref{1-3.15}--\eqref{1-3.18}  используются следующие пространства: функциональное пространство $H=L_2^r(r_1,r_2)\times  (0,2\pi)$~--- пространство функций из~$L^2$  квадратично интегрируемых с весом $r$, со  скалярным произведением и нормой,  соответственно \begin{equation*}\label{Sp.1} \langle{u,v}\rangle_H=\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_{r_1}^{r_2}u(r,\theta)\overline{v(r,\theta)}rdrd\theta,\quad \|u\|^2_H=\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_{r_1}^{r_2}|u(r,\theta)|^2rdrd\theta; \end{equation*} функциональное пространство $H^2$~---  соболевское пространство  комплекснозначных функций двух  вещественных переменных со~скалярным  произведением и нормой, соответственно \begin{equation*}\label{Sp.2} \langle{u,v}\rangle_{H^2}=\langle{u,v}\rangle_{H}+\langle{-\triangle  u,-\triangle v}\rangle_{H},\quad \|u\|^2_{H^2}=\sqrt{\langle{u,u}\rangle_{H^2}}; \end{equation*} функциональное пространство   $H^2_{2\pi}=\{u|u(\theta+2\pi)=u(\theta)\}$~--- замкнутое  пространство $2\pi$-периодичных функций из  $H^2.$  Корректность начально-краевой  задачи~\eqref{1-3.15}--\eqref{1-3.18} для кольца $S$  может быть доказана по аналогии с задачей  для круга $00,$ то решение $v$  неустойчивое~\cite[стр.~29]{arnold}. \end{lemma}  Действительная часть  $\alpha_{n,m}=-1-\mu\lambda_{n,m}^2+\Lambda\cos ({2\pi n}/{p})$ содержит параметры $K, \gamma, w, \mu,$ из~которых  в~общем случае значимыми являются $K$ и $\mu.$ Выберем в~качестве бифуркационного  параметра коэффициент диффузии $\mu$,  зафиксировав при~этом $\Lambda.$  В общем случае, для  $Q_h\Phi(\theta)=\Phi\left(\theta+{2\pi}/{p}\right)$ справедливо  следующее утверждение.  \begin{statement} Решение линеаризованной задачи,  соответствующей~\eqref{1-3.23}--\eqref{1-3.26}, может  быть представлено в~виде \begin{equation*}%\label{1-3.88-2} \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\sum\limits_{m=0}^{+\infty} C_{n,m}R_{n,m}(r)\exp\left[-in\theta\right] \exp\left[\left(-1-\mu\lambda_{n,m}^2+\Lambda\exp\left[i\dfrac{2\pi  n}{p}\right]\right)t\right]. \end{equation*} \end{statement}  В~зависимости от~значений действительной  и мнимой частей $\lambda$ могут быть получены  различные типы решений, в частности,  при~$\Re \lambda\neq0,$ $\Im \lambda=0$ получаем  стационарные решения~\eqref{1-3.23}--\eqref{1-3.26},  при~$\Re \lambda=0,$ $\Im \lambda\neq0$ получаем чисто  периодические решения~\eqref{1-3.23}--\eqref{1-3.26} \begin{equation*}%\label{1-3.88-4} A_{n,m}(r)\exp\left[-i\left(n\theta+\Lambda\sin\dfrac{2\pi  n}{p}t\right)\right]. \end{equation*}   \subsection{Метод центральных многообразий.} Для исследования бифуркационных явлений  используем принятую методику, основанную  на построении иерархии упрощенных  моделей в окрестности точек  бифуркации~\cite{henry,belan2004}.  Далее рассмотрим случай $\Re\lambda\neq0.$ Используя линеаризацию уравнения~\eqref{1-3.23}  на выделенном стационарном  пространственно-однородном решении  $w(K,\gamma),$ выполним замену $u = v+w$ и  рассмотрим одну из~модельных задач  задачи~\eqref{1-3.23}--\eqref{1-3.26}: \begin{equation}\label{1-3s.35} \begin{gathered}   \frac{\partial v}{\partial t}+v=\mu\triangle v-K\gamma\sin w\cdot  Q_hv-\frac{K\gamma\cos w}{2!}\cdot Q_hv^2+\frac{K\gamma\sin w}{3!}\cdot  Q_hv^3,\\[5pt]   00$, такое что при~фиксированном значении  $m=1$ и для~любых значений параметра  $\mu$\hspace{1pt}, удовлетворяющих неравенству ${\mu_1-\delta<\mu<\mu_1,}$ где  $\mu_{s}=(-1-(-1)^{s}\Lambda)/\lambda^2_{3s,m}$, $s=1,2,\ldots,$ существует непрерывная ветвь  стационарных точек $z(\mu)>0$ уравнения   \begin{equation}   \begin{gathered}   \label{mcm16}   \dot z= \lambda_3(\mu) z +\frac{1}{2d^2_{3,1}}\left(\dfrac{\Lambda  \gamma_1}{4}-\frac{\Omega^2\gamma^2_2}{\big(2\lambda_3-\lambda_6\big)d^2_{6,1}}\right)z^3+\dots,\\ \end{gathered} \end{equation} которой соответствует стационарное  решение $v=\varphi(r,\theta,\mu)$  уравнения~(22),  определяемое равенством \begin{equation}   \label{mcm11} \begin{gathered} \varphi(r,\theta,\mu)=zR_{3,1}(r)\cos3\theta+z^{2}P_{6}(r,\mu)\cos6\theta +z^{3}P_{9}(r,\mu)\cos9\theta+\xi(z,r,\theta,\mu)\mid_{z=z(\mu)}, \end{gathered} \end{equation} \begin{equation}   \label{mcm12} P_{6}(r,\mu)=\frac{\Omega\gamma_2}{2\left(2\lambda_3-\lambda_6\right)d^2_{6,1}}\cdot  R_{6,1}(r), \end{equation} \begin{equation}   \label{mcm13} P_{9}(r,\mu)= \frac{1}{2\left(3\lambda_3-\lambda_9\right)d^2_{9,1}} \left[-\frac{\Omega^2\gamma_2\gamma_3}{\left(2\lambda_3-\lambda_6\right)d^2_{6,1}} +\frac{\Lambda\gamma_4}{12}\right]\cdot R_{9,1}(r), \end{equation} где $\xi(z,r,\theta,\mu)=O(|z|^{4})$, $R_{3s,1}$ и $d^2_{3s,1},  \,s=1,2,3$ определяются равенствами~\eqref{1-3.27-2}  и~\eqref{1312}, соответственно, \begin{equation}   \begin{gathered}   \label{mcm16-2-2}   \gamma_1=\int\limits_{r_1}^{r_2}rR_{3,1}^4(r)dr,\quad   \gamma_2=\int\limits_{r_1}^{r_2}rR_{3,1}^2(r)R_{6,1}(r)dr,\\ \gamma_3=\int \limits_{r_1}^{r_2}rR_{3,1}(r)R_{6,1}(r)R_{9,1}(r)dr,\quad   \gamma_4=\int\limits_{r_1}^{r_2}rR_{3,1}^3(r)R_{9,1}(r)dr. \end{gathered} \end{equation}  Решение $\varphi(r,\theta,\mu)$~--- орбитально  устойчиво. \end{theorem}  \begin{proof} Согласно теореме 5.1.1 работы \cite{henry} и  Леммам 1, 2, если $\Lambda>1$, то нулевое  решение~\eqref{1-3s.43} неустойчиво для~любых  $\mu>0$. Если $-1<\Lambda<1,$ то нулевое решение~\eqref{1-3s.43}  является асимптотически устойчивым  для~любых $\mu>0$. Интерес представляет случай $\Lambda <-1.$ Выберем теперь $K$ так, чтобы выполнялось  условие: $\Lambda=\Lambda\left(K\right)<-1.$  Здесь $\mu_{s}=(-1-(-1)^{s}\Lambda)/\lambda^2_{3s,m}$, $s=1,2,\ldots.$ Если $\mu>\mu_{1}$, то согласно Лемме~2 нулевое  решение задачи~\eqref{1-3s.43} является  устойчивым. При убывании параметра $\mu$ и его  прохождении через значение $\mu_{1}$  одно  собственное значение $\lambda_3$ проходит  через~мнимую ось.  Если $\mu_{2}<\mu<\mu_{1}$, то индекс  неустойчивости нулевого решения равен 1. Индекс неустойчивости нулевого решения  повышается на~единицу при~уменьшении $\mu$ и  его прохождении через $\mu_{s}$, $s=2,3,\ldots.$  В~окрестности $v=0$ для $\mu,$ удовлетворяющих  неравенству ${\mu_1-\delta<\mu<\mu_1}$, существует  центральное многообразие~\cite{henry},  представимое в~виде \begin{equation}   \label{mcm16-3} \begin{split} \varphi(r,\theta,\mu)=zR_{3,1}(r)\cos3\theta +z^{2}P_{6}(r,\mu)\cos6\theta +z^{3}P_{9}(r,\mu)\cos9\theta+\xi(z,r,\theta,\mu)\mid_{z=z(\mu)}, \end{split} \end{equation} где $P_{6}(r,\mu)$, $P_{9}(r,\mu),\dots$ функции  из~пространства $L_{2}^{r}[r_1, r_2].$ На~многообразии~\eqref{mcm16-3}  уравнение~\eqref{1-3s.41} принимает вид \begin{equation}\label{mcm17} \dot z=\lambda_3(\mu)z+C_{2} z^2+C_{3} z^3. \end{equation} Найдём коэффициенты разложений~\eqref{mcm16-3}  и~\eqref{mcm17}. Для~этого подставим~\eqref{mcm16-3} и~\eqref{mcm17}  в~уравнение~\eqref{1-3s.41}: \begin{equation}   \begin{gathered}   \label{mcm18} \bigg(\lambda_3(\mu)z+C_{2} z^2+C_{3} z^3\bigg) \bigg(zR_{3,1}(r)\cos 3\theta+2zP_6(r,\mu)\cos6\theta +3z^2P_9(r,\mu)\cos9\theta\bigg)= \\[5pt] =\mu\bigg(zR_{3,1}^{''}(r)\cos 3\theta+z^2P_6^{''}(r,\mu)\cos6\theta   +z^3P_9^{''}(r,\mu)\cos9\theta+   \\[5pt]    +\frac{zR_{3,1}^{'}(r)\cos  3\theta}{r}+\frac{z^2P_6^{'}(r,\mu)\cos6\theta}{r}   +\frac{z^3P_9^{'}(r,\mu)\cos9\theta}{r}-   \\[5pt]    -\frac{9zR_{3,1}^{''}(r)\cos  3\theta}{r^2}-\frac{36z^2P_6^{''}(r,\mu)\cos6\theta}{r^2}-\frac{81z^3P_9^{''}(r,\mu)\cos9\theta}{r^2}\bigg)+ \end{gathered} \end{equation}\vspace{-0.6\baselineskip}   \begin{equation*}   \begin{array}{c}   \label{mcm18_2} +\Lambda\bigg(-zR_{3,1}(r)\cos  3\theta+z^2P_6(r,\mu)\cos6\theta-z^3P_9(r,\mu)\cos9\theta\bigg)+ \\[8pt] +\Omega\bigg(-zR_{3,1}(r)\cos  3\theta+z^2P_6(r,\mu)\cos6\theta-z^3P_9(r,\mu)\cos9\theta\bigg)^2-\\[8pt] \hspace{3cm}-\dfrac{\Lambda}{6}\bigg(-zR_{3,1}(r)\cos  3\theta+z^2P_6(r,\mu)\cos6\theta-z^3P_9(r,\mu)\cos9\theta\bigg)^3. \end{array} \end{equation*}  В~силу ортогональности системы  собственных функций $\cos 3s\theta,\, s=1,2,3$  приравняем коэффициенты при указанных  функциях в~левой и правой частях  равенства~\eqref{mcm18}. При~$\cos 3\theta$ получим \begin{equation*} \label{mcm22-2} \begin{array}{l} R_{3,1}(r)\bigg[z\bigg(\lambda_3+1+\Lambda\bigg)+C_2z^2(t)+C_3z^3\bigg]=\\[15pt] \qquad\qquad=\mu  z\bigg(R_{3,1}^{''}(r)+\dfrac{R_{3,1}^{'}(r)}{r}-\dfrac{9R_{3,1}(r)}{r^2}\bigg) -\Omega z^3R_{3,1}(r)P_6(r,\mu)+\dfrac{\Lambda z^3R_{3,1}^3(r)}{8}. \end{array} \end{equation*} Так как $R_{3,1}(r)$~--- решение краевой задачи  уравнения Бесселя~\eqref{1-3.29}, то \begin{equation*}%\label{mcm24} \begin{array}{l} R_{3,1}(r)\bigg[z\bigg(\lambda_3+1+\Lambda+\mu\lambda^2_{3,1}\bigg)+C_2z^2+C_3z^3\bigg]=\\[15pt] \qquad\qquad\qquad\qquad=-\Omega z^3R_{3,1}(r)P_6(r,\mu)+\dfrac{\Lambda  z^3R_{3,1}^3(r)}{8}. \end{array} \end{equation*} Так как $\lambda_3=-1-\mu\lambda^2_{3,1}-\Lambda,$ то $C_2=0,\,$  $C_3R_{3,1}(r)=-\Omega R_{3,1}(r)P_6(r,\mu)+\dfrac{\Lambda R_{3,1}^3(r)}{8}$. Следовательно, \begin{equation}\label{mcm25} \begin{gathered} C_3=\frac{1}{d^2_{3,1}}\left(-\Omega  \int\limits_{r_1}^{r_2}rR^2_{3,1}(r)P_6(r,\mu)dr+\dfrac{\Lambda  \gamma_1}{8}\right), \end{gathered} \end{equation} где $\gamma_1=\int\limits_{r_1}^{r_2}rR_{3,1}^4(r)dr, P_6(r,\mu)=\dfrac{\gamma _2 \Omega  R_{6,1}(r)}{2 d^2_{6,1} \left(2 \lambda  _3-\lambda _6\right)}.$  \renewcommand{\baselinestretch}{1.02}\normalsize{    \par}  Исходя из условия $\Lambda<-1$ и  равенства~\eqref{1-3s.44}, очевидно, что $C_3<0$,   тогда имеет место суперкритическая  бифуркация типа «вилка» (см.~\cite{henry}, гл.~6.~3)  и от тривиальной особой точки  уравнения~\eqref{mcm16} ответвляются две  устойчивые стационарные точки.  Проводя аналогичные (громоздкие) выкладки  для $s=2, 3$, получим утверждения Теоремы.  Таким образом, в~некоторой окрестности  $\mu_1$ существует стационарное решение  $v=\linebreak =\varphi(r,\theta,\mu)$  уравнения~\eqref{1-3s.41},  определяемое равенствами~\eqref{mcm11}--\eqref{mcm13}.   Решение $\varphi(r,\theta,\mu)$~--- орбитально\linebreak   устойчиво. \end{proof}  Теорема носит локальный характер.  При использовании пакета <> для $\Lambda=-{3}/{2}$,  $h={\pi}/{3}$ построены полученные в Теореме  приближённые решения~\eqref{mcm16-3} для  различных значений бифуркационного  параметра $\mu$ (рис.~\ref{ris1}). \begin{figure}[t!] %\begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth} %\centering \includegraphics[width=.49\linewidth]{fig1a}~ %\end{minipage} %\hfill %\begin{minipage}[h!]{0.47\linewidth} \includegraphics[width=.49\linewidth]{fig1b}\\[-5pt] \textit{a}\hspace{8cm}\textit{b}\\[-10pt] \caption{Приближённое стационарное  решение~\eqref{mcm16-3} для $\Lambda=-{3}/{2}$, $h={\pi}/{3}$ в  цилиндрической системе координат при  $\mu=0.1$~(\textit{a}) и $\mu=0.01$~(\textit{b})\\[5pt] Fig.~1.~Approximate stationary solution of~(30) for $\Lambda=-{3}/{2}$,  $h={\pi}/{3}$ in a cylindrical coordinate system for $\mu=0.1$~(\textit{a})  and $\mu =0.01$~(\textit{b})} \label{ris1} \end{figure}    \begin{corollary} {\rm Полученные результаты согласуются с  одномерным случаем, когда узкое кольцо  можно заменить окружностью. При~$h=\pi/3$, $\Lambda<-1$, существует $\delta>0$ и  ${\mu_1=(-1-\Lambda)/9,}$ такое что для~любых  значений параметра $\mu$\hspace{1pt},  удовлетворяющих неравенству  $\mu_1-\delta<\mu<\mu_1,$ существует непрерывная ветвь стационарных точек  $z(\mu)>0$ уравнения\vspace{0.2\baselineskip}   \begin{equation*}   \begin{gathered}   \label{mcm16-s}   \dot z= \lambda_3(\mu) z+\frac{1}{2}\left(\dfrac{\Lambda  }{4}-\frac{\Omega^2}{\big(2\lambda_3-\lambda_6\big)}\right)z^3+\dots, \end{gathered}\vspace{0.2\baselineskip} \end{equation*} которой соответствует стационарное  решение $v{=}\varphi_1(\theta,\mu)$   уравнения~\eqref{1-3s.41} на~окружности $S\,(r_1{=}r_2)$  с~условием $2\pi$-периодичности,  определяемое равенством\vspace{0.2\baselineskip} \begin{equation*}   \label{mcm11-s} \begin{array}{l} \varphi_1(\theta,\mu)=z\cos3\theta+z^{2}\dfrac{\Omega}{2\left(2\lambda_3-\lambda_6\right)}\cos6\theta+\\[15pt] \qquad\qquad\qquad\qquad\;+z^{3}\dfrac{1}{2\left(3\lambda_3-\lambda_9\right)} \left[-\dfrac{\Omega^2}{\left(2\lambda_3-\lambda_6\right)} +\dfrac{\Lambda}{12}\right]\cos9\theta+\xi(z,\theta,\mu)\mid_{z=z(\mu)}, \end{array}\vspace{0.5\baselineskip} \end{equation*} где $\xi(z,\theta,\mu)=O(|z|^{4})$,~  $\lambda_{3s}=-1+(-1)^s\Lambda-(3s)^2\mu$,~  $s=1,2,3$.\vspace{0.2\baselineskip}  Решение $\varphi_1(\theta,\mu)$~--- орбитально  устойчиво.  } \end{corollary}  \renewcommand{\baselinestretch}{1}\normalsize{    \par}  \vspace{0.2\baselineskip} \subsection{Метод Галёркина.} Для того чтобы провести исследование  асимптотики стационарных решений   задачи~\eqref{1-3s.35}--\eqref{1-3s.38} при уменьшении  бифуркационного~параметра $\mu$ и его  отходе\linebreak \newpage \noindent от критического значения $\mu_1$,  воспользуемся методом Галёркина, в  соответствии с которым приближённые  решения представим в~виде   \begin{equation}   \label{GR1} \varphi^*(r,\theta)=\sum_{k=1}^{N}\left(z_{k}\exp[ik\theta]+\overline{z}_{k}\exp[-ik\theta]  \right)R_{k,1}(r), \end{equation} здесь $z_{k}, \overline{z}_{k}$ --  комплексно-сопряжённые выражения.  Требуя, чтобы функция $\varphi^*(r,\theta)$,  определяемая равенством~\eqref{GR1},  удовлетворяла уравнению~\eqref{1-3s.35}, получим  систему обыкновенных дифференциальных  уравнений \begin{equation}   \label{GR2}   \begin{gathered} \dot{z}_{k}=\lambda_{k}z_{k}+\sigma_{k}(z, \overline{z}),\\ \dot{\overline{z}}_{k}=\overline{\lambda}_{k}\overline{z}_{k}+\overline{\sigma}_{k}(z,  \overline{z}), \end{gathered} \end{equation} где ${\lambda_{k}(\mu)=-1-\mu\lambda^2_{k,1}+\exp[i k h]\Lambda,}$~  ${\overline{\lambda}_{k}(\mu)=-1-\mu\lambda^2_{k,1}+\exp[-i k h]\Lambda,}$  ${\sigma_{k}(z, \overline{z}),}$~ ${\overline{\sigma}_{k}(z,  \overline{z})}$~--- формы третьей степени от $z_k,  \overline{z}_k$,~ $k=1, 2,\ldots, N$.   Одним из решений системы~\eqref{GR2} является  нулевое решение, устойчивость которого  определяется спектром  $\{\lambda_{k}(\mu),\;\overline{\lambda}_{k}(\mu)\}$  соответствующей матрицы устойчивости.  Как и выше, считаем, что выполняется  условие ${\Lambda<-1.}$  Пусть $h={\pi}/{3},$ тогда первое критическое  значение бифуркационного параметра, при  котором нулевое стационарное решение  системы~\eqref{GR2} теряет устойчивость,  ${\mu_1=({-\Lambda -1})/{\lambda _{3,1}^2}}.$    В~результате этого происходит  бифуркация типа <<вилка>> и при $\mu<\mu_1$  рождается пара устойчивых стационарных  точек $\pm z^*(\mu)=\{0,0,\pm z_3^*,0,0,\pm z_6^*,\ldots\},$  являющихся решениями алгебраической  системы уравнений \begin{equation}   \label{GR3} \lambda_{k}z_{k}+\varepsilon_{k}(z_{l})=0, \quad k,l=1,2,\ldots, N, \end{equation} где $\varepsilon_{k}(z_{l})$ -- полином третьей  степени, содержащий вторую и третью  степень $z_{l}.$  Исходя из этого, с учётом~\eqref{GR1},  пространственно-неоднородное  стационарное решение  задачи~\eqref{1-3s.35}--\eqref{1-3s.38} определяется  асимптотическим равенством   \begin{equation}   \label{GR4} \varphi^*(r,\theta,\mu)=\sum_{k=1}^{[N/3]}z_{3k}(\mu)\cos[3k\theta]R_{3k,1}(r). \end{equation}  Например, при $N=3$ решение $z^*(\mu)$  определяется системой \begin{equation*}    \begin{array}{l} \displaystyle\lambda_{3}z_{1} +\dfrac{1}{8d^2_3}\left[\Lambda\left(\beta_3z_1^3+2\delta_{36}z_2^2z_1+2\delta  _{39}z_3^2z_1+\zeta_{39}z_1^2z_3+\xi_{639}z_2^2z_3\right)-8 \Omega  z_2\left(\delta_{369}z_3+\xi _{36}z_1\right)\right]=0, \\[10pt]   \displaystyle\lambda _6 z_2+\dfrac{1}{8d^2_6}\left[-\Lambda z_2\left(\beta  _6z_2^2+2\delta_{36}z_1^2+2\delta _{69}z_3^2+2\xi _{639}z_1 z_3\right)+\Omega  z_1\left(8\delta _{369}z_3+4\xi _{36} z_1\right)\right]=0, \\[10pt] \displaystyle\lambda _9z_3+\dfrac{1}{24d^2_9}\left[3\Lambda\left(\beta_9  z_3^3+2\delta_{39}z_1^2z_3+2\delta _{69}z_2^2z_3+\zeta_{39}\Lambda  z_1^3+\xi_{639}z_2^2z_1\right)-24\delta _{369} \Omega z_2 z_1\right]=0,   \end{array} \end{equation*} где \begin{equation}    \begin{array}{l}    \label{GR4.1} \displaystyle \beta_k=\int\limits_{r_1}^{r_2}rR_{k,1}^4(r)dr, k=3,6,9;\quad   \delta_{kl}=\int\limits_{r_1}^{r_2}rR_{k,1}^2(r)R_{l,1}^2(r)dr,\quad  k,l=3,6,9 (k\mu^*$ нулевое решение системы~\eqref{GR3}  устойчиво. \item При уменьшении параметра $\mu$ и  прохождении критического значения $\mu^*$  одно собст\-венное значение спектра  матрицы устойчивости нулевого решения  $\lambda_3$ проходит через\linebreak  нуль и  становится положительным. В результате происходит бифуркация типа  <<вилка>>\linebreak   и от теряющего  устойчивость нулевого решения  ответвляется пара устойчивых  стацио\-нарных решений. В частности, при $\mu=0.11331$ решение  системы~\eqref{GR3}  $z^*(\mu)=$\linebreak$=\{0, 0, \pm0.0481462,0, 0,  \pm0.0000198428, 0, \ldots\}.$ \item При дальнейшем уменьшении параметра $\mu$  собственное значение $\lambda_3$ остаётся  положительным. \item Спектр матрицы устойчивости решения  $z^*(\mu)$ лежит на отрицательной полуоси. \end{enumerate}\vspace{-.5\baselineskip}  В пакете <> для различных значений  бифуркационного параметра $\mu$ построены  полученные с применением метода  Галёркина приближённые решения  $\varphi(r,\theta,\mu),$   определяемые  равенством~\eqref{GR4}  (рис.~\ref{ris2}). \begin{figure}[t!] %\centering \includegraphics[width=.48\linewidth]{fig2a} \quad \includegraphics[width=.48\linewidth]{fig2b}\\[-5pt] \textit{a}\hspace{8cm}\textit{b}\\[-10pt] \caption{Приближённое решение~\eqref{mcm16-3},  полученное с применением метода  Галёркина, для $\Lambda=-{3}/{2}$, $h={\pi}/{3}$ в  цилиндрической системе координат  при  $\mu=0.1$~(\textit{a}) и $\mu=0.01$~(\textit{b})\\[5pt] Fig.~2.~Approximate solution~(30) obtained using the Galerkin method for  $\Lambda=-{3}/{2}$, $h={\pi}/{3}$ in a cylindrical coordinate system for  $\mu=0.1$~(\textit{a}) и $\mu=0.01 $~(\textit{b})} \label{ris2} \end{figure}  Приближённые решения  задачи~\eqref{1-3s.35}--\eqref{1-3s.38}, построенные с  применением метода центральных  многообразий и метода Галёркина,  практически совпадают.  \subsection{Бегущая волна.} Заметим, что в отличие от результатов,  полученных выше, наличие поворота  пространственных координат может  моделировать ситуацию, когда  пространственно-однородное решение при  изменении параметров в задаче $(\mu, K)$  теряет устойчивость колебательным  образом. В этом случае возникает бегущая волна.  Далее, используя представление  решения~\eqref{GR1} задачи~\eqref{1-3s.35}--\eqref{1-3s.38} в  методе Галёркина, построим двухмодовую  аппроксимацию её периодического решения  типа <<бегущая волна>>, которое рождается в  результате бифуркации  Андронова\hspace{1pt}--\hspace{1pt}Хопфа при  наибольшем критическом значении  параметра $\mu=\mu^*:  \left\{\Re\lambda(\mu^*)=0\right\}$~\eqref{1-3s.44} от теряющего  колебательным образом устойчивость  нулевого решения системы~\eqref{GR2}.  Указанное решение ищем в  виде\vspace{-.5\baselineskip} \begin{equation}   \label{GR5}   \begin{array}{l} z_1(t)=\rho_1\exp[i\theta_1],\quad z_2(t)=0,\quad  z_3(t)=\rho_3\exp[i(3\theta_1+\alpha_3)];\\[5pt] \overline{z}_1(t)=\rho_1\exp[-i\theta_1],\quad  \overline{z}_2(t)=0,\quad\overline{z}_3(t)=\rho_3\exp[-i(3\theta_1+\alpha_3)],   \end{array}   \end{equation} где $\rho_k=\rho_k(t,\mu)>0,$ $\theta_k=\theta_k(t,\mu),\;k=1, 3.$  \renewcommand{\baselinestretch}{1.03}\normalsize{    \par}   Считаем $\theta_1(t,\mu)=\omega(\mu) t.$ Подставим~\eqref{GR5} в~\eqref{GR2}, получим систему  для определения $\rho_k, \alpha_3:$\vspace{.5\baselineskip} \begin{equation}   \label{GR6}   \begin{array}{l} \rho_1(\lambda^*_1d^2_1-i\omega)-\dfrac{1}{2}\Lambda\exp[i  h]\left[\xi_{13}\exp[i \alpha  _3]\rho_3\rho_1^2-\beta_1\rho_1^3-2\delta_{13}\rho_3^2\rho_1\right]=0, \\[15pt] \rho_1(\hat{\lambda}^*_1d^2_1+i\omega)-\dfrac{1}{2}\Lambda\exp[-i  h]\left[\xi_{13}\exp[-i\alpha_3]\rho_3\rho_1^2-\beta_1\rho_1^3-2\delta_{13}\rho_3^2\rho_1\right]=0, \\[15pt] \rho_3(\lambda ^*_3d^2_3-3  i\omega)-\dfrac{1}{6}\Lambda\exp[3ih]\left[\xi_{13}\exp[-i\alpha_3]\rho_1^3-3\beta_3\rho_3^3-6\delta_{13}\rho_3\rho_1^2\right]=0, \\[15pt] \rho_3(\hat{\lambda}^*_3d^2_3+3i\omega)-\dfrac{1}{6}\Lambda\exp[-3ih]\left[\xi_{13}\exp[i\alpha_3]\rho_1^3-3\beta_3\rho_3^3-6\delta_{13}\rho_3\rho_1^2\right]=0.   \end{array}\vspace{.5\baselineskip}   \end{equation} Здесь $d^2_k (k=1,3)$ определяется  равенством~\eqref{1312}, $\beta_k (k=1,3),\, \delta_{13}$  определяются равенствами~\eqref{GR4.1},  $\xi_{13}=\int\limits_{r_1}^{r_2}rR_{1,1}^3(r)R_{3,1}(r)dr.$   При $\mu>\mu^*$ система имеет только нулевое  $(\rho_1=0, \rho_3=0)$ устойчивое решение. При уменьшении параметра  $\mu$  и  прохождении критического значения $\mu^*$  нулевое решение теряет устойчивость и при  этом происходит рождение решения  вида:\vspace{.5\baselineskip} \begin{equation}   \label{GR7}   \begin{array}{l} \rho^2_1(\mu)=\dfrac{6\Psi^c_3}{\Lambda\left(\Psi^c_1\left(3\gamma_1(\Psi^c_3)^2-4\delta  _{13}\Psi^c_3-\gamma_3\Psi^c_1\right)\right)}  \Bigg[\omega\left(3\omega\sin4h+d^2_3\Upsilon^c_{13}\right)+ \\[15pt] \qquad\qquad+\left(d^2_1\left(3\omega\Upsilon^c_{31} +d^2_3\left(\Lambda\sin3h\left(1+\mu\lambda^2_{3,1}\right)-\Upsilon^s\left(1+\mu\lambda^2_{1,1}\right)\right)\right)\right)\Bigg] , \\[15pt] \sin^2\alpha_3(\mu)=-\dfrac{12\Psi^c_1  \Psi^c_3}{\Lambda^2\xi^2_{13}\rho_1(\mu)^4},\; \\[15pt] \cos  \alpha_3(\mu)=\dfrac{\sin\alpha_3(\mu)\left(\gamma_1\Lambda\rho^2_1(t)-2d^2_1\Lambda\right)\Psi^s}{2\Psi^c_1} +\dfrac{4\delta_{13}\Psi^c_1}{\Lambda\xi_{13}^2\sin\alpha_3(\mu)\rho^2_1(t)}, \\[15pt] \rho_3(\mu)=\dfrac{-2\Psi^c_1}{\Lambda\xi_{13} \sin\alpha_3(\mu)\rho_1(\mu)},   \end{array}\vspace{.5\baselineskip}   \end{equation} где ${\Psi^c_k=k\omega\cos( k h)-d^2_k\sin( k h)(\mu\lambda _{k,1}^2+1)}$,  ${k=1,3,}$ ${\Psi^s=\omega\sin h+d^2_1\cos h(\mu\lambda _{1,1}^2+1)}$, $\Upsilon^c_{jk}=\linebreak \\[-12pt] =-\Lambda\cos jh+\cos4h(\mu\lambda  _{k,1}^2+1)$,   ${(j, k=1,3, j\neq k)}$, ${\Upsilon^s=-\Lambda\sin h+\sin4h\left(\mu\lambda _{3,1}^2+1\right)}$,  значение $\omega$ определяется из основного  тригонометрического тождества для  $\alpha_3(\mu)$, знак $\sin\alpha_3(\mu)$ выбирается  противоположным знаку $\Psi^c_1.$  Следовательно, система~\eqref{GR2} при $\mu<\mu^*$  имеет решение\vspace{.3\baselineskip} \begin{equation}   \label{GR8}   \begin{array}{l} z_1(t,\mu)=\rho_1(\mu)\exp[i\theta_1(\mu)t],\quad z_2(t)=0,\quad  z_3(t,\mu)=\rho_3(\mu)\exp[i(3\theta_1(\mu)t+\alpha_3(\mu))];\\[7pt] \overline{z}_1(t,\mu)=\rho_1(\mu)\exp[-i\theta_1(\mu)],\quad  \overline{z}_2(t)=0,\;\overline{z}_3(t,\mu)=\rho_3(\mu)\exp[-i(3\theta_1(\mu)t+\alpha_3(\mu))].   \end{array}\vspace{.3\baselineskip}   \end{equation}  Подставив~\eqref{GR8} в~\eqref{GR1}, получаем  периодическое решение $\varphi^*(r,\theta,t,\mu)$  задачи~\eqref{1-3s.35}--\eqref{1-3s.38}.  Указанное решение рождается устойчивым.  Численное моделирование проводилось для  $h={2\pi}/{3}$ при фиксированных значениях  параметров $\Lambda=-{3}/{2}$, $\Omega=0.129264$, которые  соответствуют параметрам ${K=2}$, $\gamma=0.761058$,  $w=1.74147$ исходной задачи. В пакете <> для различных значений  бифуркационного параметра $\mu$ при $N=5$ были  построены галёркинские аппроксимации  периодических решений $\varphi^*(r,\theta,t,\mu)$  (рис.~\ref{ris3}). \begin{figure}[t!] \includegraphics[width=.48\linewidth]{fig3a} \quad~ \includegraphics[width=.48\linewidth]{fig3b}\\[-15pt] \hspace*{.3cm}\textit{a}\hspace{8cm}\textit{b}\\[-10pt] \caption{Приближённое решение~\eqref{mcm16-3} типа  <<бегущая волна>>, полученное с применением  метода Галёркина, для $\Lambda=-{3}/{2}$,  $h={2\pi}/{3}$   при $\mu=0.1$~(\textit{a}) и $\mu=0.01$~(\textit{b})\\[5pt] Fig.~3.~An approximate solution~(30) of the ``traveling wave'' type obtained  using the Galerkin method for $\Lambda=-{3}/{2}$, $h={2\pi}/{3}$ for  $\mu=0.1$~(\textit{a}) and $\mu=0.01$~(\textit{b})} \label{ris3} \end{figure}  \renewcommand{\baselinestretch}{1.03}\normalsize{    \par}  %\vspace{-1\baselineskip} \section*{Заключение} В работе рассмотрена начально-краевая  задача для параболического  функционально-диф\-фе\-рен\-циаль\-ного  уравнения в~кольцевой области, которое  описывает динамику фазовой модуляции  световой волны, прошедшей тонкий слой  нелинейной среды керровского типа  в~оптической системе с~контуром обратной  связи, с~оператором инволюции и условиями  Неймана на~границе в~классе периодических  функций. С использованием функции Грина получено  интегральное представление  рассматриваемого уравнения, что  позволяет более просто находить  коэффициенты асимптотических разложений,  доказывать теоремы существования и  единственности (аналогично \cite{hazova-luk}), а  также использовать различное число  коэффициентов разложения нелинейной  составляющей в~правой части исходного  уравнения в~окрестности выделенного  решения (например, стационарного).  С применением метода центральных  многообразий доказана теорема о  существовании в окрестности  бифуркационного значения параметра $\mu$  (коэффициента диффузии)  пространственно-неоднородного решения,  которое ответвляется от  пространственно-однородного решения. С помощью метода Галёркина проведено  численное моделирование бифурцирующих  пространственно-неоднородных  стационарных решений и бегущих волн при  фиксированных значениях параметров.  Рассмотренная математическая модель  соответствует оптической схеме, в которой  за счёт керровской нелинейности  происходит визуализация фазы световой  волны. Распределению фазы соответствует  распределение интенсивности в поперечном  сечении. Визуализация численного решения  подтверждает теоретические выкладки и  показывает возможность формирования  сложных фазовых структур. </text>
            <codes>
              <doi>10.18500/0869-6632-2022-30-2-132-151</doi>
              <udk>517.957</udk>
              <bbk>!!!Элемент, значение которого содержит код ББК</bbk>
              <jel>!!!Элемент, значение которого содержит код JEL </jel>
              <msc>!!!Элемент, значение которого содержит код MSC</msc>
              <pacs>!!!Элемент, значение которого содержит код PACS</pacs>
              <anycode>!!!Элемент, значение которого содержит другие коды статьи. ВНИМАНИЕ! К другим кодам не относятся рубрики ГРНТИ. Для рубрик есть отдельный контейнер rubrics. </anycode>
            </codes>
            <keywords>
              <kwdGroup lang="RUS">
                <keyword>оптическая система</keyword>
                <keyword>нелинейная среда керровского типа</keyword>
                <keyword>параболическое нелинейное уравнение</keyword>
                <keyword>оператор инволюции</keyword>
                <keyword>устойчивость решений</keyword>
              </kwdGroup>
              <kwdGroup lang="ENG">
                <keyword>optical system</keyword>
                <keyword>Kerr-type nonlinear medium</keyword>
                <keyword>parabolic nonlinear equation</keyword>
                <keyword>involution operator</keyword>
                <keyword>stability solved</keyword>
              </kwdGroup>
            </keywords>
            <references>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Ахманов С. А., Воронцов М. А., Иванов В.Ю. Генерация структур в оптических системах с двумерной обратной связью: на пути к созданию нелинейно-оптических аналогов нейронных сетей // В кн.: Новые физические принципы оптической обработки информации. М.: Наука, 1990. С. 263–325.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Разгулин А. В. Задача управления двумерным преобразованием пространственных аргументов в параболическом функционально-дифференциальном уравнении // Дифференциальные уравнения. 2006. T. 42, № 8. С. 1078–1091.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Разгулин А. В. Нелинейные модели оптической синергетики. М.: МАКС Пресс, 2008. 203 с.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Akhmanov S. A., Vorontsov M. A., Ivanov V. Y., Larichev A. V., Zheleznykh N. I. Controlling transverse-wave interactions in nonlinear optics: generation and interaction of spatiotemporal structures // J. Opt. Soc. Am. B. 1992. Vol. 9, no. 1. P. 78–90. DOI: 10.1364/JOSAB.9.000078.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Vorontsov M. A., Razgulin A. V. Properties of global attractor in nonlinear optical system having nonlocal interactions // Photonics and Optoelectronics. 1993. Vol. 1, no. 2. P. 103–111.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Chesnokov S. S., Rybak A. A. Spatiotemporal chaotic behavior of time-delayed nonlinear optical systems // Laser Physics. 2000. Vol. 10, no. 5. P. 1061–1068.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Iroshnikov N. G., Vorontsov M. A. Transverse rotating waves in the non-linear optical system with spatial and temporal delay // In: Frontiers in Nonlinear Optics: The Sergei Akhmanov Memorial Volume / Ed. by Walther H., Koroteev N., Scully M. O. Boca Raton: CRC Press, 1993. P. 261–278.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Razgulin A. V. Finite-dimensional dynamics of distributed optical systems with delayed feedback // Computers and Mathematics with Applications. 2000. Vol. 40, no. 12. P. 1405–1418. DOI: 10.1016/S0898-1221(00)00249-2.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Каменский Г. А., Мышкис А. Д., Скубачевский А. Л. О минимуме квадратичного функционала и о линейных краевых задачах эллиптического типа с отклоняющимися аргументами // УМН. 1979. T. 34, № 3(207). С. 197–198.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М: Мир, 1967. 548 с.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 424 с.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Скубачевский А. Л. О бифуркации Хопфа для квазилинейного параболического функционально-дифференциального уравнения // Дифференциальные уравнения. 1998. T. 34, № 10. С. 1394–1401.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Варфоломеев Е. М. О бифуркации Андронова–Хопфа для квазилинейных параболических функционально-дифференциальных уравнений с преобразованиями пространственных переменных // УМН. 2007. T. 62, № 2(374). С. 173–174. DOI: 10.4213/rm6389.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Варфоломеев Е. М. О некоторых свойствах эллиптических и параболических функционально-дифференциальных операторов, возникающих в нелинейной оптике // Современная математика. Фундаментальные направления. 2007. T. 21. С. 5–36.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Муравник А. Б. О задаче Коши для некоторых неоднородных дифференциально-разностных параболических уравнений // Математические заметки. 2003. T. 74, № 4. С. 538–548. DOI: 10.4213/mzm288.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Муравник А. Б. Функционально-дифференциальные параболические уравнения: интегральные представления и качественные свойства решений задачи Коши // Современная математика. Фундаментальные направления. 2014. T. 52. С. 3–141.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Разгулин А. В. Ротационные волны в оптической системе с двумерной обратной связью // Математическое моделирование. 1993. T. 5, № 4. С. 105–119.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Разгулин А. В., Романенко Т. Е. Вращающиеся волны в параболическом функционально-дифференциальном уравнении с поворотом пространственного аргумента и запаздыванием // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2013. T. 53, № 11. С. 1804–1821. DOI: 10.7868/S0044466913110136.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Романенко Т. Е. Двумерные вращающиеся волны в функционально-дифференциальном уравнении диффузии с поворотом пространственных аргументов и запаздыванием // Дифференциальные уравнения. 2014. T. 50, № 2. С. 260–263. DOI: 10.1134/S0374064114020149.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Белан Е. П. О взаимодействии бегущих волн в параболическом функционально-дифференциальном уравнении // Дифференциальные уравнения. 2004. T. 40, № 5. С. 645–654.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Белан Е. П. О динамике бегущих волн в параболическом уравнении с преобразованием сдвига пространственной переменной // Журнал математической физики, анализа, геометрии. 2005. T. 1, № 1. C. 3–34.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Белан Е. П., Хазова Ю. А. Динамика стационарных структур в параболической задаче на окружности с отражением пространственной переменной // Динамические системы. 2014. T. 4, № 1–2(32). C. 43–57.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Белан Е. П., Шиян О. В. Автоколебательные режимы горения вдоль полосы // Динамические системы. 2009. № 27. C. 3–16.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Корнута А. А. Метаустойчивые структуры в параболическом уравнении на окружности с поворотом пространственной переменной // Динамические системы. 2014. T. 4, № 1–2(32). С. 59–75.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Белан Е. П., Лыкова О. Б. Вращающиеся структуры в параболическом функционально-дифференциальном уравнении // Дифференциальные уравнения. 2004. T. 40, № 10. С. 1348–1357.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Ларичев А. В. Динамические процессы в нелинейных оптических системах с двумерной обратной связью: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.04.21. М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 1995. 108 с.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Grigorieva E. V., Haken H., Kashchenko S. A., Pelster A. Travelling wave dynamics in a nonlinear interferometer with spatial field transformer in feedback // Physica D. 1999. Vol. 125, no. 1–2. P. 123–141. DOI: 10.1016/S0167-2789(98)00196-1.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Диффузионный хаос и его инвариантные числовые характеристики // Теоретическая и математическая физика. 2020. T. 203, № 1. C. 10–25. DOI: 10.4213/tmf9824.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Карапетянц Н. К., Самко С. Г. Уравнения с инволютивными операторами и их приложения. Ростов: Издательство Ростовского университета, 1988. 187 с.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Хазова Ю. А., Лукьяненко В. А. Применение интегральных методов для исследования одной параболической задачи // Известия вузов. ПНД. 2019. T. 27, № 4. С. 85–98. DOI: 10.18500/0869-6632-2019-27-4-85-98.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Корнута А. А., Лукьяненко В. А. Функционально-дифференциальные уравнения параболического типа с оператором инволюции // Динамические системы. 2019. T. 9(37), № 4. С. 390–409.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / Под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. М.: Наука, 1979. 832 с.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Мищенко Е. Ф., Садовничий В. А., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией. М.: Физматлит, 2005. 430 с.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Arecchi F. T., Boccaletti S., Ducci S., Pampaloni E., Ramazza P. L., Residori S. The liquid crystal light valve with optical feedback: A case study in pattern formation // Journal of Nonlinear Optical Physics &amp; Materials. 2000. Vol. 9, no. 2. P. 183–204. DOI: 10.1142/S0218863500000170.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения // Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». Динамические системы – 1. M.: ВИНИТИ, 1985. С. 7–140.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. M.: Мир, 1985. 376 c.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т. 2. Преобразования Бесселя. Интегралы от специальных функций. М.: Наука, 1970. 328 с. </text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
            </references>
            <files>
              <file desc="Атрибут desc, значение которого содержит тип файла (см. справочник typeDesc)">2-kornuta_132-151.pdf</file>
              <furl lang="">Элемент, значение которого содержит ссылку на полный текст на внешнем сайте</furl>
            </files>
              <rubrics>
                <rubric>Элемент, значение которого содержит код рубрики</rubric>
              </rubrics>
            <dates>
              <dateReceived>15.10.2020</dateReceived>
              <dateAccepted>!!!Элемент, значение которого содержит дату принятия статьи в печать. Дата должна быть следующего формата «дд.мм.гггг» </dateAccepted>
            </dates>
        </article>
        <section>
          <secTitle lang="RUS">Бифуркации в динамических системах. Детерминированный хаос. Квантовый хаос.</secTitle>
          <secTitle lang="ENG">Bifurcation in Dynamical Systems. Deterministic Chaos. Quantum Chaos.</secTitle>
        </section>
        <article>
          <artType>RAR</artType>
          <langPubl>RUS</langPubl>
          <pages>152-175</pages>
          <authors>
            <author id="749418" num="001">
            <role>!!!Элемент, который содержит роль автора (редактор, рецензент и т.д.). Если элемент отсутствует, то автор просто автор. Значение элемента – это числовой идентификатор. Идентификаторы роли представлены в справочнике typeRole!!!</role>
            <correspondent>!!! Автор-корреспондент !!!</correspondent>
            <authorCodes>
              <researcherid> F-2323-2014</researcherid>
              <scopusid>57214325467</scopusid>
              <orcid>0000-0002-0701-622X</orcid>
            </authorCodes>
            <individInfo lang="RUS">
              <surname>Глызин</surname>
              <initials>Дмитрий Сергеевич</initials>
              <address>150000 Ярославль, ул.Советская, 14;101000, Россия, Москва, ул. Мясницкая, 20</address>
              <town>Ярославль;Москва</town>
              <otherInfo>!!!Элемент, значение которого содержит другие сведения об авторе!!!</otherInfo>
              <comment>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</comment>
              <commentDate>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</commentDate>
              <orgName>Ярославский государственный университет имени П.Г.Демидова (ЯрГУ); Высшая школа экономики</orgName>
              <email>!!!Элемент, значение которого содержит электронную почту автора (Нужно ли палить почту пользователя?)</email>
            </individInfo>
            <individInfo lang="ENG">
              <surname>Glyzin</surname>
              <initials>Dmitriy Sergeyevich</initials>
              <address>150000 Yaroslavl, Sovetskaya str., 14;ul. Myasnitskaya 20, Moscow, 101000, Russia</address>
              <town>Yaroslavl;Moscow</town>
              <otherInfo>!!!Элемент, значение которого содержит другие сведения об авторе!!!</otherInfo>
              <comment>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</comment>
              <commentDate>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</commentDate>
              <orgName>P. G. Demidov Yaroslavl State University; National Research University "Higher School of Economics"</orgName>
              <email>!!!Элемент, значение которого содержит электронную почту автора (Нужно ли палить почту пользователя?)</email>
            </individInfo>
            </author>
            <author id="35140" num="002">
            <role>!!!Элемент, который содержит роль автора (редактор, рецензент и т.д.). Если элемент отсутствует, то автор просто автор. Значение элемента – это числовой идентификатор. Идентификаторы роли представлены в справочнике typeRole!!!</role>
            <correspondent>!!! Автор-корреспондент !!!</correspondent>
            <authorCodes>
              <researcherid>B-2224-2013</researcherid>
              <scopusid>8922584500</scopusid>
              <orcid>0000-0002-6403-4061</orcid>
            </authorCodes>
            <individInfo lang="RUS">
              <surname>Глызин</surname>
              <initials>Сергей Дмитриевич</initials>
              <address>150000 Ярославль, ул.Советская, 14</address>
              <town>Ярославль</town>
              <otherInfo>!!!Элемент, значение которого содержит другие сведения об авторе!!!</otherInfo>
              <comment>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</comment>
              <commentDate>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</commentDate>
              <orgName>Ярославский государственный университет имени П.Г.Демидова (ЯрГУ)</orgName>
              <email>!!!Элемент, значение которого содержит электронную почту автора (Нужно ли палить почту пользователя?)</email>
            </individInfo>
            <individInfo lang="ENG">
              <surname>Glyzin</surname>
              <initials>Sergey Dmitrievich</initials>
              <address>150000 Yaroslavl, Sovetskaya str., 14</address>
              <town>Yaroslavl</town>
              <otherInfo>!!!Элемент, значение которого содержит другие сведения об авторе!!!</otherInfo>
              <comment>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</comment>
              <commentDate>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</commentDate>
              <orgName>P. G. Demidov Yaroslavl State University</orgName>
              <email>!!!Элемент, значение которого содержит электронную почту автора (Нужно ли палить почту пользователя?)</email>
            </individInfo>
            </author>
            <author id="5544" num="003">
            <role>!!!Элемент, который содержит роль автора (редактор, рецензент и т.д.). Если элемент отсутствует, то автор просто автор. Значение элемента – это числовой идентификатор. Идентификаторы роли представлены в справочнике typeRole!!!</role>
            <correspondent>!!! Автор-корреспондент !!!</correspondent>
            <authorCodes>
              <orcid>0000-0001-5066-0881</orcid>
            </authorCodes>
            <individInfo lang="RUS">
              <surname>Колесов</surname>
              <initials>А. Ю.</initials>
              <address>150000 Ярославль, ул.Советская, 14</address>
              <town>Ярославль</town>
              <otherInfo>!!!Элемент, значение которого содержит другие сведения об авторе!!!</otherInfo>
              <comment>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</comment>
              <commentDate>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</commentDate>
              <orgName>Ярославский государственный университет имени П.Г.Демидова (ЯрГУ)</orgName>
              <email>!!!Элемент, значение которого содержит электронную почту автора (Нужно ли палить почту пользователя?)</email>
            </individInfo>
            <individInfo lang="ENG">
              <surname>Kolesov</surname>
              <initials>A. Yu.</initials>
              <address>150000 Yaroslavl, Sovetskaya str., 14</address>
              <town>Yaroslavl</town>
              <otherInfo>!!!Элемент, значение которого содержит другие сведения об авторе!!!</otherInfo>
              <comment>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</comment>
              <commentDate>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</commentDate>
              <orgName>P. G. Demidov Yaroslavl State University</orgName>
              <email>!!!Элемент, значение которого содержит электронную почту автора (Нужно ли палить почту пользователя?)</email>
            </individInfo>
            </author>
          </authors>
          <artTitles>
            <artTitle lang="RUS">Охота на химер в полносвязных сетях нелинейных осцилляторов</artTitle>
            <artTitle lang="ENG">Hunt for chimeras in fully coupled networks of nonlinear oscillators</artTitle>
          </artTitles>
          <abstracts>
            <abstract lang="RUS">Целью работы является изучение  динамических свойств решений специальных  систем обыкновенных дифференциальных  уравнений, называемых полносвязными  сетями нелинейных осцилляторов. Методы.  Предлагается новый подход к отысканию в  этих системах периодических режимов  химерного типа, суть которого состоит в  следующем. Сначала в случае симметричной  сети решается более простой вопрос о  существовании и устойчивости  квазихимерных решений — периодических  режимов двухкластерной синхронизации.  Для каждого из таких режимов множество  осцилляторов распадается на два  непересекающихся класса. В пределах  данных классов наблюдается полная  синхронизация колебаний, а каждые два  осциллятора из разных классов колеблются  асинхронно. Результаты. На основе  предложенных методов отдельно  устанавливается, что при переходе от  симметричной системы к сети общего вида  периодические режимы двухкластерной  синхронизации могут трансформироваться в  химеры. Заключение. Основные утверждения  работы, касающиеся возникновения химер,  получены аналитически на основе  асимптотического исследования  модельного примера. Для этого примера  введено понятие канонической химеры и  доказано утверждение о существовании и  устойчивости решений химерного типа в  случае несимметричности сети. Все  приведённые результаты распространены на  непрерывный аналог соответствующей  системы. Полученные результаты  проиллюстрированы численно.  </abstract>
            <abstract lang="ENG">The purpose of this work is to study the dynamic properties of solutions to  special systems of ordinary differential equations, called fully connected  networks of nonlinear oscillators. Methods. A new approach to obtain periodic  regimes of the chimeric type in these systems is proposed, the essence of  which is as follows. First, in the case of a symmetric network, a simpler  problem is solved of the existence and stability of quasi-chimeric solutions  — periodic regimes of two-cluster synchronization. For each of these modes,  the set of oscillators falls into two disjoint classes. Within these classes,  full synchronization of oscillations is observed, and every two oscillators  from different classes oscillate asynchronously. Results. On the basis of the  proposed methods, it is separately established that in the transition from a  symmetric system to a general network, the periodic regimes of two-cluster  synchronization can be transformed into chimeras. Conclusion. The main  statements of the work concerning the emergence of chimeras were obtained  analytically on the basis of an asymptotic study of a model example. For this  example, the notion of a canonical chimera is introduced and the statement  about the existence and stability of solutions of chimeric type in the case  of asymmetry of the network is proved. All the results presented are extended  to a continuous analogue of the corresponding system. The obtained results  are illustrated numerically.  </abstract>
          </abstracts>
          <text lang="RUS">\section{Общая стратегия охоты на химер}\label{s1} Полносвязной сетью нелинейных  осцилляторов или просто полносвязной  сетью назовем систему вида \begin{equation}\label{eq1.1} \dot{x}_j=F_j(x_j, u_j),\quad j=1, 2, \ldots, m. \end{equation} Здесь $m\ge 2$,\,  $x_j=x_j(t)\in\mathbb{R}^n$,\, $n\ge 2$,\, точка  --- дифференцирование по $t,$ \begin{equation}\label{eq1.2} u_j=\sum_{\begin{subarray} \\ s=1\\ s\ne j \end{subarray}}^{m}G_s(x_s), \end{equation} а вектор-функции $F_j(x, u)$,\, $G_j(x)$,\,  $j=1, 2, \ldots,  m$, со значениями в $\mathbb{R}^n$ бесконечно  дифференцируемы по своим переменным $(x,  u)\in\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n$ и $x\in\mathbb{R}^n$. Как  правило, каждая из отвечающих сети  \eqref{eq1.1}, \eqref{eq1.2} парциальных систем \begin{equation}\label{eq1.3} \dot{x}=F_j(x, 0),\quad j=1, 2, \ldots, m \end{equation} допускает экспоненциально орбитально  устойчивый цикл, то есть представляет  собой нелинейный осциллятор. Мы же  рассматриваем ситуацию, когда $m$   осцилляторов \eqref{eq1.3} взаимодействуют  друг с другом по принципу <<каждый со  всеми>>.  В частном случае, когда $$ F_j(x, u)=F_j(x)+D_j(x)u,\quad j=1, 2, \ldots, m, $$ где $D_j(x)$ --- квадратные матрицы размера  $n{\times} n,$ система \eqref{eq1.1}, \eqref{eq1.2}  приобретает вид \begin{equation}\label{eq1.4} \dot{x}_j=F_j(x_j)+D_j(x_j)\sum_{\begin{subarray} \\ s=1\\ s\ne j \end{subarray}}^{m}G_s(x_s),\quad j=1, 2, \ldots, m. \end{equation} Данная ситуация заслуживает отдельного  упоминания в связи с тем, что именно  системы \eqref{eq1.4} наиболее часто  встречаются в приложениях.  Следует отметить, что цепочки и решетки  связанных идентичных нелинейных  осцилляторов используются в качестве  математических моделей в различных  областях естествознания: биофизике,  экологии, оптике, химической кинетике,  нейродинамике, генной инженерии и т.\,д.  При этом в подавляющем большинстве работ,  посвященных системам связанных  нелинейных осцилляторов, изучаются  специальные стационарные режимы  упомянутых систем~--- так называемые  химеры. Универсального математического  определения химеры не существует. На  эвристическом же уровне строгости одна из  возможных ситуаций, когда мы имеем дело с  химерой, состоит в следующем. Пусть $m$ ---  количество осцилляторов в системе,\linebreak   а $m_1, m_2: m_1>  во избежание недоразумений мы  понимаем выполнение равенств вида  $x_1=x_2=\ldots=x_{m_1}, x_{m_2+1}=x_{m_2+2}=\ldots=x_m.$ Любые же  два осциллятора с номерами $j_1, j_2: m_1>.  Упомянутый подход состоит из двух этапов.  На первом этапе мы рассматриваем  аналогичную \eqref{eq1.1}, \eqref{eq1.2} симметричную  полносвязную сеть \begin{equation}\label{eq1.5} \dot{x}_j=F(x_j, u_j),\quad u_j=\sum_{\begin{subarray} \\ s=1\\ s\ne j \end{subarray}}^{m}G(x_s),\quad j=1, 2, \ldots, m, \end{equation} где, как и выше, $F(x, u)\in  C^{\infty}(\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n),$ $G(x)\in C^{\infty}(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n).$ Далее, нас  будут интересовать периодические режимы  системы \eqref{eq1.5},  которые можно  квалифицировать как квазихимеры. В  описанной выше ситуации им соответствует  случай $m_1=m_2,$ когда отсутствует зона  некогерентного поведения осцилляторов, а  есть только две зоны когерентности.  Такого типа периодические решения  естественно назвать режимами  двухкластерной синхронизации. Простейший  из них имеет вид\vspace{-.3\baselineskip} \begin{equation}\label{eq1.6} C:\quad x_1=x_2=\ldots=x_k=v_{(k)}(t),\quad x_{k+1}=x_{k+2}=\ldots=x_m=w_{(k)}(t),\vspace{.3\baselineskip} \end{equation} где $k: 1\le k\le m$ --- некоторое фиксированное  натуральное число, а $v_{(k)}(t),$ $w_{(k)}(t)$ ---  периодичес\-кие вектор-функции.  Предположим, что данный цикл в системе  \eqref{eq1.5} существует и экспоненциально  орбитально устойчив.  \renewcommand{\baselinestretch}{1}\normalsize{    \par}  На втором этапе перейдем от \eqref{eq1.5} к  несимметричной сети \begin{equation}\label{eq1.7} \dot{x}_j=F_j(x_j, u_j, \varepsilon),\quad u_j=\sum_{\begin{subarray} \\ s=1\\ s\ne j \end{subarray}}^{m}G_s(x_s, \varepsilon),\quad j=1, 2, \ldots, m, \end{equation} где \begin{equation}\label{eq1.8} \begin{gathered} F_j(x, u, \varepsilon)=F(x, u)+\varepsilon\Delta_{1, j}(x, u),\quad G_j(x, \varepsilon)=G(x)+\varepsilon\Delta_{2, j}(x),\\[5pt] \Delta_{1, j}(x, u)\in C^{\infty}(\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n;  \mathbb{R}^n),\quad \Delta_{2, j}(x)\in C^{\infty}(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n),\quad j=1, 2,  \ldots, m, \end{gathered} \end{equation} а $\varepsilon>0$ --- малый параметр. Ясно, что  система \eqref{eq1.7} допускает асимптотически  близкий к \eqref{eq1.6} устойчивый цикл  $C(\varepsilon),$ который при подходящих  возмущениях $\Delta_{1, j},$ $\Delta_{2, j}$ из \eqref{eq1.8}  может стать химерой.  Действительно, фиксируем натуральные $m_1,  m_2: m_10,$ удовлетворяющее требованию  неоднородности \begin{equation}\label{eq1.16} v_{(k)}(t)\not\equiv w_{(k)}(t). \end{equation} \end{cond}  Сформулированное условие гарантирует  существование у исходной системы~\eqref{eq1.5} целого семейства циклов  $\mathscr{U}_k.$ Все циклы из этого семейства  задаются равенствами \eqref{eq1.11}, \eqref{eq1.12} при \begin{equation}\label{eq1.17} v=v_{(k)}(t),\quad w=w_{(k)}(t), \end{equation} а их количество равно, очевидно, $C_m^k.$  Добавим еще, что в силу условия  неоднородности \eqref{eq1.16} они представляют  собой режимы двухкластерной  синхронизации.  Для исследования устойчивости циклов  \eqref{eq1.11}, \eqref{eq1.12}, \eqref{eq1.17} системы \eqref{eq1.5} нам потребуется серия  $T_{(k)}$-периодических по $t$ матриц $A_s(t),$ $B_s(t),$ $s=1, 2, 3$ размера $n{\times} n.$ Упомянутые  матрицы зададим равенствами \begin{eqnarray} &&A_1(t)=\left.\frac{\partial F}{\partial x}(x, u) \right|_{x=v_{(k)}(t),\, u=u_{k,1}(t)},\label{eq1.18}\\[5pt] &&A_2(t)=\left.\frac{\partial F}{\partial u}(x, u) \right|_{x=v_{(k)}(t),\, u=u_{k,1}(t)}\cdot  G'_x(v_{(k)}(t)),\label{eq1.19}\\[5pt] &&A_3(t)=\left.\frac{\partial F}{\partial u}(x, u) \right|_{x=v_{(k)}(t),\, u=u_{k,1}(t)}\cdot  G'_x(w_{(k)}(t)),\label{eq1.20}\\[5pt] &&B_1(t)=\left.\frac{\partial F}{\partial x}(x, u) \right|_{x=w_{(k)}(t),\, u=u_{k,2}(t)},\label{eq1.21}\\[5pt] &&B_2(t)=\left.\frac{\partial F}{\partial u}(x, u) \right|_{x=w_{(k)}(t),\, u=u_{k,2}(t)}\cdot  G'_x(v_{(k)}(t)),\label{eq1.22}\\[5pt] &&B_3(t)=\left.\frac{\partial F}{\partial u}(x, u) \right|_{x=w_{(k)}(t),\, u=u_{k,2}(t)}\cdot G'_x(w_{(k)}(t)),\label{eq1.23} \end{eqnarray} где \begin{equation*} \begin{split} u_{k,1}(t)&=(k-1)G(v_{(k)}(t))+(m-k)G(w_{(k)}(t)),\\[5pt] u_{k,2}(t)&=k\,G(v_{(k)}(t))+(m-k-1)G(w_{(k)}(t)). \end{split} \end{equation*}   \renewcommand{\baselinestretch}{.97}\normalsize{    \par}  \noindent Далее, введем в рассмотрение  линейные системы \begin{eqnarray} &&\label{eq1.24}\hspace{-.2cm}\begin{array}{l} \dot{c}_1=(A_1(t)+(k-1)A_2(t))c_1+(m-k)A_3(t)c_2,\\[5pt] \dot{c}_2=k\,B_2(t)c_1+(B_1(t)+(m-k-1)B_3(t))c_2, \end{array}\\[5pt] &&\label{eq1.25} \dot{c}~\, =(A_1(t)-A_2(t))c,\quad  \dot{c}=(B_1(t)-B_3(t))c,\\[-20pt]\nonumber \end{eqnarray} где $c_1, c_2, c\in\mathbb{R}^n.$  %\renewcommand{\baselinestretch}{.95}\normalsize{    \par}  Из формул \eqref{eq1.18}--\eqref{eq1.23}  непосредственно следует, что система  \eqref{eq1.24} представляет собой линеаризацию  вспомогательной системы \eqref{eq1.13}, \eqref{eq1.14}  на цикле \eqref{eq1.15}. Тем самым, она заведомо  имеет единичный мультипликатор. В  дальнейшем считаем, что этот  мультипликатор является простым. Более  того, предположим, что выполнено  очередное  \vspace{-.2\baselineskip} \begin{cond}\label{cond2} Все мультипликаторы систем \eqref{eq1.24},  \eqref{eq1.25} {\rm(}за исключением простого  единичного в случае системы \eqref{eq1.24}{\rm)} по  модулю строго меньше единицы. \end{cond}\vspace{-.2\baselineskip}  Сформулированные ограничения позволяют  доказать  следующий базовый  результат.\vspace{-.2\baselineskip}  \begin{theorem}\label{thm1} При условиях {\rm\ref{cond1}, \ref{cond2}} система  \eqref{eq1.5} допускает семейство $\mathscr{U}_k$  периодических режимов двухкластерной  синхронизации, количество которых равно $C_m^k.$ Все эти циклы экспоненциально  орбитально устойчивы.\vspace{-.2\baselineskip} \end{theorem}\vspace{-.2\baselineskip}  \begin{proof} Как уже отмечалось выше, существование у  системы \eqref{eq1.5} семейства циклов $\mathscr{U}_k$  гарантируется условием~\ref{cond1}. Поэтому  перейдем сразу к вопросу об устойчивости  данных циклов. В~связи с этим сделаем два  полезных наблюдения.  Во-первых, несложная проверка показывает,  что система \eqref{eq1.5} инвариантна  относительно замен\vspace{-.2\baselineskip} \begin{equation}\label{eq1.26} (x_1, x_2, \ldots, x_m)\to (x_{j_1}, x_{j_2}, \ldots, x_{j_m}), \end{equation} где $(j_1, j_2,\ldots, j_m)$ --- произвольная  перестановка набора индексов $(1,2, \ldots, m).$ Во-вторых, периодические режимы из  семейства $\mathscr{U}_k$ допускают кодирование  с помощью бинарных векторов \begin{equation}\label{eq1.27} (\vartheta_1, \vartheta_2, \ldots,  \vartheta_m):\,\,\vartheta_j=1\text{\,\,\,\,или\,\,\,\,}0, \quad j=1,  2,\ldots, m. \end{equation} Точнее говоря, предполагаем, что $j$-я  координата вектора \eqref{eq1.27} равна $1$ или $0$  при $j\in\mathscr{A}$ или $j\in\mathscr{B}$,  соответственно. В этом случае между  векторами \eqref{eq1.27}, содержащими $k$ единиц и  $m-k$ нулей, и циклами семейства $\mathscr{U}_k$  имеет место взаимно однозначное  соответствие.  Суммируя вышесказанное, убеждаемся в том,  что любые два цикла из $\mathscr{U}_k$ переходят  друг в друга под действием замен \eqref{eq1.26},  а значит, имеют одинаковые свойства  устойчивости. Таким образом, проблема  устойчивости всех режимов семейства  $\mathscr{U}_k$ сводится к исследованию  устойчивости только одного цикла,  соответствующего бинарному  вектору\vspace{-.2\baselineskip} $$ (\,\underbrace{1,\ldots, 1}_{k}, \underbrace{0,\ldots,  0}_{m-k}\,).\vspace{-.2\baselineskip} $$ Линеаризуя исходную систему \eqref{eq1.5} на  указанном цикле, приходим к линейной  системе вида\vspace{-.2\baselineskip} \begin{align} \dot{h}_j&=A_1(t)h_j+\sum_{\begin{subarray} \\ s=1\\ s\ne j \end{subarray}}^{k}A_2(t)h_s+\sum_{s=k+1}^mA_3(t)h_s,\quad1\le j\le  k,\label{eq1.28}\\[-2pt] \dot{h}_j&=B_1(t)h_j+\sum_{s=1}^kB_2(t)h_s+\sum_{\begin{subarray}{c} \\ s=k+1\\ s\ne j \end{subarray}}^{m}B_3(t)h_s,\quad k+1\le j\le m,\label{eq1.29} \end{align} где $A_s(t)$, $B_s(t)$, $s=1, 2, 3$ --- матрицы  \eqref{eq1.18}--\eqref{eq1.23}, $h_j\in\mathbb{R}^n,$ $j=1, 2, \ldots, m.$  \renewcommand{\baselinestretch}{1}\normalsize{    \par}  Как оказывается, при подходящей замене  переменных система \eqref{eq1.28}, \eqref{eq1.29} принимает блочную структуру: распадается  на одну $2n$-мерную подсистему и $m-2$  подсистем размерности $n.$    Действительно, введем в рассмотрение  серию матриц размера $nm\times n,$ задающихся в  виде матричных столбцов\vspace{-.3\baselineskip} \begin{equation}\label{eq1.30} e_{1,0}=(\,\underbrace{I,I,\ldots, I}_{k}, \underbrace{O,O,\ldots,  O}_{m-k}\,)^*,\quad e_{2,0}=(\,\underbrace{O,O,\ldots, O}_{k}, \underbrace{I,I,\ldots,  I}_{m-k}\,)^*,\vspace{-.3\baselineskip} \end{equation} \begin{equation}\label{eq1.31} e_{1,s}=(I,O, \ldots,O,\!\!\!\begin{array}[t]{cl} -I\\ s+1 \end{array}\!\!\!,O,\ldots,O)^*,\quad s=1,\ldots,  k-1,\vspace{-.3\baselineskip} \end{equation} \begin{equation}\label{eq1.32} \begin{gathered} e_{2,s}=(O,\ldots,\!\!\!\begin{array}[t]{cl} O\\ k \end{array}\!\!\!, \begin{array}[t]{cl} I\\ k+1 \end{array}\!\!\!, O,\ldots,O,\!\!\! \begin{array}[t]{cl} -I\\ k+1+s \end{array}\!\!\!\!\!\!,\,\, O,\ldots,O)^*,\quad s=1, \ldots, m-k-1. \end{gathered} \end{equation} Здесь $I$ и $O$ --- единичная и нулевая матрицы  размера $n{\times} n,$ $*$ --- операция  транспонирования,  а нижние подписи  обозначают номера позиций, которые  занимают эти $n{\times} n$-блоки в  соответствующих матричных  столбцах~\eqref{eq1.30}--\eqref{eq1.32}.  Опираясь на приведенные матрицы, выполним  в системе \eqref{eq1.28}, \eqref{eq1.29}  замену%\vspace{-.2\baselineskip} \begin{equation}\label{eq1.33} \begin{gathered} \text{colon\,}(h_1, h_2, \ldots, h_m)=e_{1,0}c_{1,0}+e_{2,0}c_{2,0}+ \sum_{s=1}^{k-1}e_{1,s}c_{1,s}+\sum_{s=1}^{m-k-1}e_{2,s}c_{2,s}, \end{gathered} \end{equation} где $c_{1,0}, c_{2,0}, c_{1,s}, c_{2,s}\in\mathbb{R}^n$ --- новые  переменные. В результате приходим к  выводу, что пара компонент $(c_{1,0},  c_{2,0})=(c_{1,0}(t), c_{2,0}(t))$ из \eqref{eq1.33}  удовлетворяет линейной системе \eqref{eq1.24}.  Что же касается компонент $c_{1,s}=c_{1,s}(t),$ $s=1,  \ldots, k-1,$ то все они являются решениями  первой системы из \eqref{eq1.25}. Аналогичным  образом, группа координат $c_{2,s}=c_{2,s}(t),$ $s=1,  \ldots, m-k-1,$ удовлетворяет второй системе из  \eqref{eq1.25}. А отсюда и из Условия~\ref{cond2}  вытекает требуемая экспоненциальная  орбитальная устойчивость всех циклов  семейства $\mathscr{U}_k.$ Теорема~\ref{thm1}  доказана. \end{proof}  Завершая описание общей схемы  исследования проблем существования и  устойчивости периодических режимов  двухкластерной синхронизации, напомним  \cite{14,15}, что ранее такие режимы были  обнаружены в полносвязных нейронных и  генных сетях, содержащих запаздывание по  времени. Однако, как показывают  результаты настоящей работы, факт наличия  или отсутствия запаздывания в данном  вопросе несущественен.  \vspace{-.5\baselineskip} \section{Анализ модельного примера}\label{s2} В настоящем разделе изложенная выше общая  стратегия охоты на химер иллюстрируется  на конкретном модельном примере. А именно  рассматривается такая симметричная  полносвязная сеть \eqref{eq1.5}, для которой все  периодические режимы двухкластерной  синхронизации задаются явными формулами.  Для построения интересующей нас сети  обратимся сначала к двумерной системе,  имеющей в комплексной форме записи  вид%\vspace{-.2\baselineskip} \begin{equation}\label{eq2.1} \dot{z}=z-d_0|z|^2z,\quad z=x+iy,\quad x,y\in\mathbb{R},\quad  d_0=1-ic_0,\quad c_0=\textrm{const\,}>0. \end{equation} Несложно проверить, что эта система  допускает экспоненциально орбитально  устойчивый гармонический цикл $z_0(t)=\exp(ic_0  t),$ то есть является простейшим нелинейным  осциллятором. Рассмотрим далее  полносвязную сеть%\vspace{-.5\baselineskip} \begin{equation}\label{eq2.2} \begin{gathered} \dot{z}_j=z_j-d_0|z_j|^2z_j-\frac{\nu}{m}\, d_1\, \overline{z}_j \sum^m_ {\begin{subarray} \\ s=1\\ s\ne j \end{subarray}} z_s^2,\quad j=1, 2, \ldots, m \end{gathered}%\vspace{-.5\baselineskip} \end{equation} осцилляторов \eqref{eq2.1}, где $z_j=x_j+iy_j,$ $x_j,  y_j\in\mathbb{R},\, j=1, 2, \ldots, m,$ $\nu=\mathrm{const}>0,$ $d_1=1+ic_1,$ $c_1=\mathrm{const}\in\mathbb{R}.$  Как будет показано ниже, сеть \eqref{eq2.2}  обладает интересующим нас свойством: все  ее периодические режимы двухкластерной  синхронизации, а также условия их  устойчивости, выписываются в явном виде.  %\renewcommand{\baselinestretch}{1.05}\normalsize{    \par}  Анализ системы \eqref{eq2.2} начнем с получения  условий ее диссипативности. Для этого нам  потребуется функция%\vspace{-.2\baselineskip} \begin{equation}\label{eq2.3} V(z_1, z_2, \ldots, z_m, \overline{z}_1, \overline{z}_2 \ldots,  \overline{z}_m)= \sum_{j=1}^m|z_j|^2. \end{equation} Справедливо следующее утверждение.  \begin{lemma}\label{lem1} При выполнении неравенства%\vspace{-.5\baselineskip} \begin{equation}\label{eq2.4} \num^2/(m-\nu)$ все траектории нашей системы при  увеличении $t$ втекают в шар \begin{equation*} \Big\{ (z_1, z_2, \ldots, z_m):\quad \sum_{j=1}^{m}|z_j|^2\le  R\Big\},\vspace{.3\baselineskip} \end{equation*} то есть имеет место требуемое свойство  диссипативности. При выполнении же строго  противоположного \eqref{eq2.4} неравенства диссипативность  отсутствует.  Действительно, непосредственная проверка  показывает, что система \eqref{eq2.2} допускает  инвариантное многообразие вида \begin{equation*} z_j=z\exp(i\gamma_j),\quad j=1, 2, \ldots, m, \end{equation*} где вещественные постоянные $\gamma_j$  подчинены условию \begin{equation*} \sum_{j=1}^{m}\exp(2i\gamma_j)=0, \end{equation*} а комплексная переменная $z$ удовлетворяет  уравнению \begin{equation}\label{eq2.7} \dot{z}=z-\bigg(d_0-\frac{\nu}{m}\,d_1\bigg)|z|^2z. \end{equation} Что же касается уравнения \eqref{eq2.7}, то в  случае $\nu>m$ любое его решение $z(t)\ne 0$ определено на конечном полуинтервале  вида $[0, t_0)$ и $|z(t)|\to +\infty$ при $t\to t_0.$  Перейдем теперь к вопросам о  существовании и устойчивости  периодических решений системы \eqref{eq2.2}.  Нетрудно проверить, что рассматриваемая  сеть допускает однородный цикл \begin{equation}\label{eq2.8} z_j=\xi_0\exp(i\omega_0t),\quad j=1, 2, \ldots, m, \end{equation} где \begin{equation}\label{eq2.9} \xi_0=\sqrt{1/(1+\nu (m-1)/m)},\quad \omega_0=\bigg(c_0-\frac{\nu  (m-1)}{m}\,c_1\bigg) \xi_0^2, \end{equation} а также периодические режимы  двухкластерной синхронизации \begin{equation}\label{eq2.10} z_j=\xi_0\exp(i\omega_0t),\quad 1\le j\le k,\quad z_j=-\xi_0\exp(i\omega_0t),\quad k+1\le j\le m \end{equation} при всех $k: 1\le k\le m-1.$ Как уже отмечалось в  разделе~\ref{s1}, каждый из циклов \eqref{eq2.10} порождает, в свою очередь, целое  семейство $\mathscr{U}_k$ режимов  двухкластерной синхронизации. Обозначим  через $\mathscr{U}$ --- объединение циклов из  $\bigcup_{k=1}^{m-1}\mathscr{U}_k$ с однородным циклом  \eqref{eq2.8}. Как оказывается, все эти  периодические режимы устойчивы или нет  одновременно.  \begin{lemma}\label{lem2} Любой цикл из $\mathscr{U}$ экспоненциально  орбитально устойчив при выполнении  неравенств \begin{equation}\label{eq2.11} \frac{\nu(m+1)}{m}<1,\quad \frac{\nu}{m}\,(1+c_1^2)+c_0c_1-1>0 \end{equation} и неустойчив при строгом нарушении хотя  бы одного из них. \end{lemma}  \begin{proof} При обосновании леммы обратим внимание на  два обстоятельства. Во-первых, как  нетрудно увидеть, система \eqref{eq2.2}  инвариантна по отношению к заменам  переменных \begin{equation}\label{eq2.12} (\theta_1z_1, \theta_2z_2, \ldots, \theta_mz_m)\to (z_1, z_2, \ldots, z_m), \end{equation} где множители $\theta_j,$ $j=1, 2, \ldots, m$  независимо друг от друга принимают  значения $1$ или $-1.$ Во-вторых, любые два  цикла семейства $\mathscr{U}$ переходят друг в  друга при некоторой замене вида \eqref{eq2.12}. А  отсюда автоматически следует, что  свойства устойчивости всех циклов из  $\mathscr{U}$ одинаковы. Таким образом,  достаточно разобраться с устойчивостью  лишь одного из них --- однородного  цикла~\eqref{eq2.8},~\eqref{eq2.9}.  Положим в \eqref{eq2.2} $z_j=\xi_0(1+h_j)\exp(i\omega_0t),$  $h_j=h_{1, j}+ih_{2, j},$ $h_{1, j}, h_{2, j}\in \mathbb{R}$ и  отбросим нелинейные по $h_j,$ $\overline{h}_j$  слагаемые. В результате приходим к  линейной системе \begin{equation}\label{eq2.13} \begin{gathered} \dot{h}_j=-d_0\xi_0^2(h_j+\overline{h}_j)+\frac{\nu(m+1)}{m}\,d_1\xi_0^2\,h_j- \frac{\nu(m-1)}{m}\,d_1\xi_0^2\,\overline{h}_j-\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad-\frac{2\nu}{m}\,d_1\xi_0^2\sum_{s=1}^{m}h_s,\quad  j=1, 2, \ldots, m. \end{gathered} \end{equation} Заметим, далее, что получившаяся система  допускает инвариантное подпространство  $h_1=h_2=\linebreak =\ldots=h_m,$ на котором она записывается в виде \begin{equation*} \dot{h}=-\xi_0^2\bigg(d_0+\frac{\nu(m-1)}{m}\,d_1\bigg)(h+\overline{h}),\quad h=\frac{1}{m}\sum_{j=1}^{m}h_j, \end{equation*} а также инвариантное подпространство $(h_1,  h_2, \ldots, h_m): \sum_{j=1}^{m}h_j=0,$ на котором она приобретает вид \begin{equation*} \dot{h}_j=-\xi_0^2\bigg(d_0-\frac{\nu(m+1)}{m}\,d_1\bigg)h_j- \xi_0^2\bigg(d_0+\frac{\nu(m-1)}{m}\,d_1\bigg)\overline{h}_j,\quad j=1, 2,  \ldots, m. \end{equation*} Тем самым спектр устойчивости системы  \eqref{eq2.13} совпадает с собственными  значениями матрицы \begin{equation}\label{eq2.14} B_1=-\xi_0^2 \begin{pmatrix} d_0+\displaystyle\frac{\nu(m-1)}{m}\,d_1&d_0+\displaystyle\frac{\nu(m-1)}{m}\,d_1\\[10pt] \overline{d}_0+\displaystyle\frac{\nu(m-1)}{m}\,\overline{d}_1& \overline{d}_0+\displaystyle\frac{\nu(m-1)}{m}\,\overline{d}_1 \end{pmatrix} \end{equation} и $m-1$ одинаковых матриц \begin{equation}\label{eq2.15} B_2=-\xi_0^2 \begin{pmatrix} d_0-\displaystyle\frac{\nu(m+1)}{m}\,d_1&d_0+\displaystyle\frac{\nu(m-1)}{m}\,d_1\\[10pt] \overline{d}_0+\displaystyle\frac{\nu(m-1)}{m}\,\overline{d}_1& \overline{d}_0-\displaystyle\frac{\nu(m+1)}{m}\,\overline{d}_1 \end{pmatrix}. \end{equation} Остается заметить, что матрица \eqref{eq2.14}  имеет собственные значения $\lambda_1=0$ и  $\lambda_2=-2,$ а матрица \eqref{eq2.15} при условиях  \eqref{eq2.11} является гурвицевой. При строгом  же нарушении хотя бы одного из этих  условий $B_2$ допускает собственное  значение в полуплоскости $\{\lambda\in\mathbb{C}:  \mathrm{Re}\,\lambda>0\}.$ Лемма~\ref{lem2} доказана. \end{proof}  Перейдем теперь от \eqref{eq2.2} к  соответствующей несимметричной сети \begin{equation}\label{eq2.16} \begin{gathered} \dot{z}_j=(1+i\varepsilon\mu_j)z_j-d_0|z_j|^2z_j-\frac{\nu}{m}\, d_1\,  \overline{z}_j \sum^m_ {\begin{subarray} \\ s=1\\ s\ne j \end{subarray}} z_s^2,\quad j=1, 2, \ldots, m, \end{gathered} \end{equation} где $\varepsilon\in\mathbb{R},$ $|\varepsilon|\ll 1,$  $\mu_j=\mathrm{const}\in\mathbb{R},$ $j=1, 2, \ldots, m.$  Предполагаем существование таких  натуральных $m_1, m_2: m_11. \end{equation} В этом случае справедливо следующее  утверждение.  \begin{theorem}[о существовании канонической  химеры]\label{thm2} При выполнении сформулированных выше  ограничений и при всех $\varepsilon\in[-\varepsilon_0,  \varepsilon_0],$ где $\varepsilon_0>0$ достаточно мало,  система \eqref{eq2.16} имеет экспоненциально  орбитально устойчивый цикл \begin{equation}\label{eq2.22} z_j=\rho_j(\varepsilon)\exp[i\varphi_j(\varepsilon)+i\omega(\varepsilon)t],\quad j=1, 2, \ldots, m,\quad \sum_{j=1}^{m}\varphi_j(\varepsilon)=0, \end{equation} являющийся при $\varepsilon\ne 0$ канонической  химерой. Здесь вещественные функции  $\rho_j(\varepsilon),$ $\varphi_j(\varepsilon),$ $\omega(\varepsilon)$  аналитически зависят от $\varepsilon$ и при  $\varepsilon\to 0$ допускают асимптотику: \begin{equation}\label{eq2.23} \rho_j(\varepsilon)=\rho_0+\varepsilon\rho_{1, j}+O(\varepsilon^2),\, \varphi_j(\varepsilon)=\varepsilon\varphi_{1, j}+O(\varepsilon^2),\, \omega(\varepsilon)=\omega_0+\varepsilon\omega_1+O(\varepsilon^2), \end{equation} где \begin{equation}\label{eq2.24} \begin{gathered} \rho_0=\xi_0,\quad \rho_{1, j}=\frac{\mathrm{Re}\,\varkappa_j}{\xi_0},\quad \varphi_{1, j}=\frac{\mathrm{Im}\,\varkappa_j}{\xi_0^2},\quad \omega_1=\frac{1}{m}\sum_{s=1}^{m}\mu_s,\\ ~~\,\,\varkappa_j=\frac{\nu  c_1-i(1-\nu/m)}{2\nu[c_0c_1-1+\nu(1+c_1^2)/m]}(\omega_1-\mu_j),\quad j=1, 2, \ldots, m, \end{gathered} \end{equation} а $\xi_0,$ $\omega_0$ --- величины \eqref{eq2.9}. \end{theorem}  \begin{proof} В силу Условий \eqref{eq2.21} и Леммы~\ref{lem2} при  $\varepsilon=0$ однородный цикл \eqref{eq2.8} системы \eqref{eq2.16} экспоненциально  орбитально устойчив. Поэтому при малых по  модулю значениях $\varepsilon$ он переходит в  экспоненциально орбитально устойчивый  цикл вида \begin{equation}\label{eq2.25} z_j=z_j(\varepsilon)\exp[i\omega(\varepsilon)t],\quad j=1, 2, \ldots, m, \end{equation} где комплексные амплитуды $z_j(\varepsilon),$  $z_j(0)=\xi_0$ и частота $\omega(\varepsilon),$ $\omega(0)=\omega_0$  аналитически зависят от $\varepsilon.$ Далее  подставим формулы \eqref{eq2.25} вместе с  разложениями \begin{equation}\label{eq2.26} z_j(\varepsilon)=\xi_0+\varepsilon\xi_{1, j}+\ldots, \quad \omega(\varepsilon)=\omega_0+\varepsilon\omega_1+\ldots \end{equation} в систему \eqref{eq2.16}, сократим результат на  $\exp[i\omega(\varepsilon)t]$ и приравняем  коэффициенты при $\varepsilon$ в левой и правой  частях получившихся соотношений. В  результате для постоянных $\xi_{1, j}\in\mathbb{C},$  $\omega_1\in\mathbb{R}$ из \eqref{eq2.26} приходим к  линейной неоднородной системе \begin{eqnarray*} &&i\omega_1=i\mu_j-d_0\xi_0(\xi_{1, j}+\overline{\xi}_{1, j})+ \frac{\nu(m+1)}{m}\,d_1\xi_0\xi_{1, j}-\\ &&\qquad\qquad~-\frac{\nu(m-1)}{m}\,d_1\xi_0\overline{\xi}_{1,  j}-\frac{2\nu}{m}\,d_1\xi_0\sum_{s=1}^{m}\xi_{1, s},\quad j=1, 2, \ldots, m. \end{eqnarray*} Последняя же, как нетрудно проверить, при  значении $\omega_1,$ определенном  соответствующей формулой из \eqref{eq2.24},  имеет решение \begin{equation}\label{eq2.27} \xi_{1, j}=\frac{\varkappa_j}{\xi_0},\quad j=1, 2, \ldots, m. \end{equation}  Из установленных соотношений \eqref{eq2.26},  \eqref{eq2.27} следует, что цикл \eqref{eq2.25} преобразуется к нужному виду  \eqref{eq2.22}--\eqref{eq2.24}. Необходимо только  заметить, что выполнения фигурирующего в  \eqref{eq2.22} равенства $\sum_{j=1}^{m}\varphi_j(\varepsilon)=0$ всегда можно добиться посредством замены  $t$ на $t+c,$ $c\in\mathbb{R}.$  Добавим, наконец, что при $\varepsilon\ne 0$ цикл  \eqref{eq2.22} является канонической химерой.  Действительно, равенства вида \eqref{eq2.19}  справедливы для него по тем же причинам,  что и аналогичные равенства \eqref{eq1.10} для  цикла $C(\varepsilon)$ системы \eqref{eq1.7} (см.  соответствующее место в разделе~\ref{s1}). Что  же касается требований \eqref{eq2.20}, то их  справедливость при $\varepsilon\ne 0$ гарантируют  условие \eqref{eq2.18} и формулы \eqref{eq2.23},  \eqref{eq2.24}. Теорема~\ref{thm2} доказана. \end{proof}  Обратим внимание на следующее  обстоятельство. Поскольку при $\varepsilon\ne 0$  система \eqref{eq2.16} по-прежнему инвариантна  относительно замен \eqref{eq2.12}, то  каноническая химера \eqref{eq2.22} порождает  целое семейство $\mathscr{U},$ состоящее из $2^m-1$  экспоненциально орбитально устойчивых  циклов. Все эти циклы, получающиеся из  одного цикла \eqref{eq2.22} посредством  указанных замен переменных, будем  называть химероподобными структурами.  Ясно также, что если положить \begin{equation}\label{eq2.28} \mu_j=\mu(s)|_{s=j/m},\quad j=1, 2, \ldots, m, \end{equation} где $\mu(s)$ --- некоторая непрерывная на  отрезке $0\le s\le 1$ функция, то при выполнении  аналогичных \eqref{eq2.21} условий \begin{equation}\label{eq2.29} 0<\nu<1,\quad c_0c_1>1 \end{equation} и при согласованном стремлении $\varepsilon\to 0,$  $m\to+\infty$ количество сосуществующих в  системе \eqref{eq2.16} устойчивых циклов  неограниченно растет. Иными словами,  наблюдается известное явление  буферности. Как показано в  монографиях~\cite{16,17}, данное явление  характерно для широкого класса  динамических систем из различных  областей естествознания.  Завершая обсуждение стратегии охоты на  химер применительно к системе~\eqref{eq2.16},  отметим, что за счет подходящего выбора  коэффициентов $\mu_j$ мы можем гарантировать  существование химеры с заранее  запланированными свойствами.  Действительно, предположим, что массив  индексов $1\le j\le m$ произвольным образом разбит на $k,$ $k\ge 2$  отрезков, то есть \begin{equation}\label{eq2.30} \{1, 2, \ldots, m\}=[1, m_1]\cup[m_1+1, m_2]\cup\ldots\cup[m_s+1, m_{s+1}] \cup\ldots\cup[m_{k-1}+1, m]. \end{equation} Считаем далее, что на каждом из этих  отрезков последовательность $\mu_j$ либо  постоянна, либо нетривиально зависит от  $j,$ и такого рода отрезки чередуются. В  этом случае Теорема~\ref{thm2} остается в силе при условии, что мы  надлежащим образом модифицируем  определение канонической химеры. А именно  в данном случае таковой уместно назвать  химеру, у которой промежутки когерентного  и некогерентного поведения осцилляторов  совпадают с отрезками из \eqref{eq2.30}  постоянства и непостоянства  коэффициентов $\mu_j.$  \section{Непрерывные химеры}\label{s3} В данном разделе установленные выше  результаты для модельной системы~\eqref{eq2.2}  распространяются на ее непрерывный  аналог. А именно исследуется эволюционное  уравнение вида \begin{equation}\label{eq3.1} \dot{z}=z-d_0|z|^2z-\nu d_1\overline{z}\int\limits_0^1z^2(t, s)ds, \end{equation} получающееся из \eqref{eq2.2} при $m\to+\infty.$ Здесь,  как обычно, точкой обозначена производная  по~$t,$ \begin{equation}\label{eq3.2} \begin{gathered} z=x(t, s)+iy(t, s), \,\, t\ge 0, \,\, s\in [0, 1],\,\, x(t, s), y(t, s)\in\mathbb{R},\quad d_0=1-ic_0,\\ c_0=\mathrm{const}>0,\quad \nu=\mathrm{const}>0,\quad d_1=1+ic_1,\quad c_1=\mathrm{const}\in\mathbb{R}. \end{gathered} \end{equation}  Остановимся сначала на вопросе о  разрешимости задачи Коши для уравнения  \eqref{eq3.1} с начальным условием из  подходящего фазового пространства. В  качестве такового возьмем вещественное  банахово пространство $E,$ элементами  которого являются векторы \begin{equation}\label{eq3.3} \xi=(x(s), y(s)): \quad x(s), y(s)\in L_{\infty}(0, 1). \end{equation} Что же касается нормы элемента \eqref{eq3.3}, то  ее зададим формулой \begin{equation}\label{eq3.4} ||\xi||=\underset{0\le s\le 1}{\mathrm{ess\,sup}}\,\sqrt{x^2(s)+y^2(s)}, \end{equation} где $\mathrm{ess\,sup}$ --- существенная точная  верхняя грань. Далее, введем в  рассмотрение абстрактную функцию $\xi(t)=(x(t,  s), y(t, s))$ со значениями в $E,$ где $x(t, s),$ $y(t, s)$  --- функции из \eqref{eq3.2}.\linebreak В~результате  уравнение \eqref{eq3.1} записывается в  абстрактной форме \begin{equation}\label{eq3.5} \dot{\xi}=\mathscr{F}(\xi), \end{equation} где, как нетрудно увидеть, нелинейный  оператор $\mathscr{F}: E\to E$ есть сумма  единичного оператора и слагаемого вида  $\mathscr{G}(\xi, \xi, \xi)$, где $\mathscr{G}(\cdot, \cdot, \cdot)$ ---  непрерывная кубическая форма,  действующая из $E\times E\times E$ в $E.$  Элементы общей теории абстрактных  уравнений вида \eqref{eq3.5} с ограниченной и  гладкой по Фреше правой частью  содержатся, например, в монографии~\cite{18}.  Из этой теории вытекает, в частности,  следующее утверждение.  \begin{lemma}\label{lem3} По любому фиксированному ограниченному  множеству $\Omega\subset E$ можно указать такое  $t_0=t_0(\Omega)>0,$ что при $\forall\,\,\xi_0\in\Omega$ решение  $\xi=\xi(t)$ уравнения \eqref{eq3.5} с начальным условием \begin{equation}\label{eq3.6} \xi|_{t=0}=\xi_0 \end{equation} однозначно определено на отрезке $0\le t\le  t_0.$ \end{lemma}  В дальнейшем нам потребуется еще одно  стандартное утверждение из теории  абстрактных уравнений вида \eqref{eq3.5}. Перед его формулировкой для  решения $\xi=\xi(t)$ задачи Коши \eqref{eq3.5},  \eqref{eq3.6} определим максимальный  полуинтервал существования $[0, t_{\max}),$ где \begin{equation}\label{eq3.7} t_{\max}=\sup \,\{t_0:\,\,\, \xi(t)\,\,\,\text{существует на  отрезке}\,\,\,[0,t_0]\}. \end{equation} Согласно Лемме~\ref{lem3}, множество значений  $t_0,$ по которому берется $\sup$ в \eqref{eq3.7}, заведомо не пусто. Кроме того, любое  решение $\xi(t)$ однозначно продолжается на  свой максимальный полуинтервал. Если же  оказалось, что $t_{\max}<\infty,$ то справедлива  следующая  \begin{lemma}\label{lem4} Предположим, что для некоторого решения  $\xi(t)$ уравнения \eqref{eq3.5} конечна величина  \eqref{eq3.7}. Тогда имеет место предельное  равенство \begin{equation}\label{eq3.8} \lim_{t\to t_{\max}-0}||\xi(t)||=+\infty, \end{equation} где здесь и далее $||\cdot||$ --- норма \eqref{eq3.4}. \end{lemma}  \noindent \textbf{Доказательство}  сформулированной леммы проводится от  противного. Действительно, предположим,  что соотношение \eqref{eq3.8} не выполняется. В  этом случае существуют такая  последовательность моментов времени $t_n,$  $t_n\nearrow t_{\max}$ при $n\to+\infty,$ и такая  постоянная $M>0,$ что $||\xi(t_n)||\le M.$ Далее, в  условиях Леммы~\ref{lem3} в качестве  ограниченного множества $\Omega$ возьмем  $\{\xi(t_n),\, n\ge 1\}.$ Тогда, очевидно, решение  $\xi(t)$ будет определено на отрезках вида  $[t_n, t_n+t_0],$ $n\ge 1,$ где $t_0=t_0(\Omega)>0.$ Ясно также,  что при достаточно больших $n$ выполняется  включение $t_{\max}\in(t_n, t_n+t_0).$ Последнее же  противоречит определению $t_{\max}$ (см.  \eqref{eq3.7}).\hfill $\square$  Перейдем теперь к вопросу о  диссипативности уравнения \eqref{eq3.5}. Как  оказывается, в отличие от дискретного  случая \eqref{eq2.2}, где условие  диссипативности имеет вид \eqref{eq2.4},  непрерывная система \eqref{eq3.1} диссипативна  при каждом $\nu>0.$ Точнее говоря,  справедлива очередная  \begin{lemma}\label{lem5} Существует постоянная $R_0>0$ со следующими  свойствами. По любому ограниченному  множеству $\Omega\subset E$ найдется такое  $t_*=t_*(\Omega)>0,$ что при каждом $\xi_0\in\Omega$  решение $\xi(t)$ соответствующей задачи Коши  \eqref{eq3.5}, \eqref{eq3.6} определено на полуоси $t\ge  0,$ а при всех $t\ge t_*$ удовлетворяет  неравенству \begin{equation}\label{eq3.9} ||\xi(t)||\le R_0. \end{equation} \end{lemma}  \begin{proof} Фиксируем произвольно ограниченное  множество $\Omega$ из $E$ и элемент $\xi_0\in\Omega.$  Далее, обозначим через $\xi(t)$  решение  задачи Коши \eqref{eq3.5}, \eqref{eq3.6}, определенное  на своем максимальном полуинтервале $[0,  t_{\max}),$ где $t_{\max}$ --- величина \eqref{eq3.7}. В  последующем нам потребуется также  представление \begin{equation}\label{eq3.10} \xi(t)=(x(t, s), y(t, s)):\,\,\, x(t, s), y(t, s)\in L_{\infty}(0,  1)\,\,\text{по}\,\,s \,\,\text{при}\,\,\forall\,\,t\in[0, t_{\max}) \end{equation} и связанная с ним функция $z(t, s)=x(t, s)+iy(t, s),$  удовлетворяющая при всех значениях $t\in[0,  t_{\max})$ уравнению \eqref{eq3.1} (почти при всех  $s\in[0, 1]$).  Обоснование Леммы разбивается на два  этапа. На первом из них будет установлена  оценка сверху для функции \begin{equation}\label{eq3.11} V(t)=\int\limits_0^1|z(t, s)|^2ds,\quad 0\le t0 \end{equation*} (случай $V_0=0$ тривиален, поскольку тогда  $\Omega=\{0\}$ и $\xi(t)\equiv 0$). А отсюда, в свою  очередь имеем \begin{equation}\label{eq3.13} V(t)\le V_*(t),\quad 0\le t0.$  Подводя итог, перейдем в неравенстве  \eqref{eq3.19} к существенной точной верхней  грани по $s\in[0, 1].$ В результате, принимая во  внимание способ задания нормы в  пространстве $E$ (см. \eqref{eq3.4}), для функции  \eqref{eq3.10} получаем оценку\vspace{-.2\baselineskip} \begin{equation}\label{eq3.21} ||\xi(t)||^2\le W_*(t),\quad 0\le t\sqrt{1+\nu\,|d_1|}.$ Тем самым, при подходящем выборе  $t_*=t_*(\Omega)>0$ требуемое неравенство \eqref{eq3.9} заведомо выполняется на полуоси $t\ge t_*.$  Лемма~\ref{lem5} доказана. \end{proof}  Вопросы о существовании и устойчивости у  уравнения \eqref{eq3.1} периодических режимов  двухкластерной синхронизации требуют  отдельного рассмотрения. Отметим сразу,  что как и в дискретном случае \eqref{eq2.2},  непрерывная модель \eqref{eq3.1} имеет  однородный цикл \begin{equation}\label{eq3.22} z=\xi_0\exp(i\omega_0t), \end{equation} где \begin{equation}\label{eq3.23} \xi_0=1/\sqrt{1+\nu},\quad \omega_0=(c_0-\nu\,c_1)\xi^2_0. \end{equation} Как оказывается, этот цикл порождает  целое семейство циклов уравнения \eqref{eq3.1}.  \renewcommand{\baselinestretch}{.97}\normalsize{    \par}  Действительно, опираясь на  представление\vspace{-.2\baselineskip} \begin{equation}\label{eq3.24} [0, 1]=\mathscr{A}\cup\mathscr{B},\vspace{-.2\baselineskip} \end{equation} где $\mathscr{A},$ $\mathscr{B}$ --- произвольные  измеримые по Лебегу непересекающиеся  подмножества отрезка $[0, 1]$ положительной  меры, рассмотрим функцию\vspace{-.5\baselineskip} \begin{equation}\label{eq3.25} I_{\mathscr{A},\,\mathscr{B}}(s)=\begin{cases} \,\,\,\,1&\text{\,\,\,при\,\,\,}s\in\mathscr{A},\\ -1&\text{\,\,\,при\,\,\,}s\in\mathscr{B}. \end{cases}\vspace{-.2\baselineskip} \end{equation} Заметим далее, что поскольку уравнение  \eqref{eq3.1} инвариантно относительно  замены\vspace{-.2\baselineskip} \begin{equation}\label{eq3.26} I_{\mathscr{A},\,\mathscr{B}}(s)z\to z,\vspace{-.2\baselineskip} \end{equation} то наряду с циклом \eqref{eq3.22}, \eqref{eq3.23} оно  допускает цикл\vspace{-.2\baselineskip} \begin{equation}\label{eq3.27} z(t,  s)=I_{\mathscr{A},\,\mathscr{B}}(s)\xi_0\exp(i\omega_0t),\vspace{-.2\baselineskip} \end{equation} который и будем называть периодическим  режимом двухкластерной синхронизации.  Все циклы \eqref{eq3.27}, отвечающие любым  разбиениям вида \eqref{eq3.24}, а также  однородный цикл \eqref{eq3.22}, \eqref{eq3.23},  объединим в семейство $\mathscr{U}$  (отождествляя, естественно, циклы,  отличающиеся друг от друга по $s$ лишь на  множестве нулевой меры). Аналогом  Леммы~\ref{lem2} в данном случае является  следующее утверждение.  \vspace{-.2\baselineskip} \begin{lemma}\label{lem6} При условиях \eqref{eq2.29} каждый цикл  семейства $\mathscr{U}$ экспоненциально  орбитально устойчив. При выполнении же  хотя бы одного неравенства $\nu>1$ или $c_0c_1<1$ все циклы данного семейства неустойчивы. \end{lemma}\vspace{-.2\baselineskip}  \begin{proof} Как и при обосновании Леммы~\ref{lem2}, сначала  обратим внимание на тот факт, что любые  два цикла семейства $\mathscr{U}$ переходят  друг в друга под действием некоторой  замены из класса \eqref{eq3.25}, \eqref{eq3.26}. Те самым, свойства их  устойчивости одинаковы, а значит, мы можем  ограничиться рассмотрением лишь  однородного цикла \eqref{eq3.22}, \eqref{eq3.23}.  Добавим еще, что поскольку для  абстрактного уравнения \eqref{eq3.5} очевидным  образом справедлива теорема  Андронова--Витта об устойчивости цикла по  первому приближению, то проблема  устойчивости упомянутого периодического  режима сводится к анализу  соответствующей системы в вариациях.  Полагая в \eqref{eq3.1} $z=\xi_0(1+h(t, s))\exp(i\omega_0t),$  где\vspace{-.1\baselineskip} $$ h(t, s)=h_1(t, s)+ih_2(t, s),\quad h_1(t, s), h_2(t,  s)\in\mathbb{R},\vspace{-.1\baselineskip} $$ и отбрасывая нелинейные по $h,$ $\overline{h}$ слагаемые, приходим к выводу, что  интересующее нас уравнение в вариациях  имеет вид\vspace{-.7\baselineskip} \begin{equation}\label{eq3.28} \dot{h}=-d_0\xi^2_0(h+\overline{h})+\nu\,d_1\xi^2_0(h-\overline{h}) -2\nu\,d_1\xi^2_0\int\limits_0^1h(t, s)ds.\vspace{-.5\baselineskip} \end{equation} Заметим, далее, что фазовое пространство  $E$ уравнения \eqref{eq3.28}, состоящее из пар \begin{equation*} (h_1(s), h_2(s)):\quad h_j(s)\in L_{\infty}(0, 1),\quad j=1, 2, \end{equation*} раскладывается в прямую сумму замкнутых  линейных подпространств $E_1,$ $E_2.$ Первое из  них двумерно и задается равенством \begin{equation}\label{eq3.29} E_1=\{(h_1(s), h_2(s)):\quad h_j(s)\equiv h_j,\quad h_j\in\mathbb{R},\quad  j=1, 2\}, \end{equation} а второе имеет вид\vspace{-.7\baselineskip} \begin{equation}\label{eq3.30} E_2=\bigg\{(h_1(s), h_2(s)):\quad \int\limits_0^1h_j(s)ds=0,\quad j=1,  2\bigg\}. \end{equation} Кроме того, нетрудно проверить, что  подпространства \eqref{eq3.29}, \eqref{eq3.30}  инвариантны для траекторий уравнения  \eqref{eq3.28}.  \renewcommand{\baselinestretch}{1}\normalsize{    \par}  Обозначим через $L: E\to E$ линейный  ограниченный оператор, порожденный  правой частью уравнения \eqref{eq3.28} и  действующий по правилу: \begin{equation*} (h_1(s), h_2(s))\mapsto (\mathrm{Re\,}\mathscr{L}(h, \overline{h}), \mathrm{Im\,}\mathscr{L}(h, \overline{h})), \end{equation*} где\vspace{-1\baselineskip} \begin{equation*} \mathscr{L}(h,  \overline{h})=-d_0\xi^2_0(h+\overline{h})+\nu\,d_1\xi^2_0(h-\overline{h}) -2\nu\,d_1\xi^2_0\int\limits_0^1h(s)ds,\quad h(s)=h_1(s)+ih_2(s). \end{equation*} Из приведенных выше фактов следует, что,  во-первых, $LE_j\subset E_j,$ $j=1, 2;$ во-вторых,  спектры сужений $L|_{E_j},$ $j=1, 2$ совпадают с  собственными значениями матриц $B_1$ и $B_2$,  соответственно, где\vspace{.5\baselineskip} \begin{equation}\label{eq3.31} B_1=-\xi_0^2 \begin{pmatrix} d_0+\nu\,d_1&d_0+\nu\,d_1\\[5pt] %{}\\ \overline{d}_0+\nu\,\overline{d}_1& \overline{d}_0+\nu\,\overline{d}_1 \end{pmatrix},\quad B_2=-\xi_0^2 \begin{pmatrix} d_0-\nu\,d_1&d_0+\nu\,d_1\\[5pt] %{}\\ \overline{d}_0+\nu\,\overline{d}_1& \overline{d}_0-\nu\,\overline{d}_1 \end{pmatrix}.\vspace{.5\baselineskip} \end{equation} Остается добавить, что первая из матриц  \eqref{eq3.31} имеет собственные значения  $\lambda_1=0,$ $\lambda_2=-2,$ а вторая при условиях \eqref{eq2.29}  является гурвицевой. В случае же $\nu>1$ или  $c_0c_1<1$ у $B_2$ существует собственное  значение с положительной действительной  частью. Лемма~\ref{lem6} доказана. \end{proof}  В связи с установленной Леммой обратим  внимание на следующий чисто  бесконечномерный эффект: хотя семейство  $\mathscr{U}$ имеет мощность континуума, но в  фазовом пространстве $E$ любые два  различных цикла этого семейства  располагаются друг от друга на  положительном расстоянии, равном $2\xi_0.$ В  конечномерном случае и даже в случае  бесконечномерного сепарабельного  фазового пространства такая ситуация  заведомо невозможна.  Перейдем теперь к  несимметричной  непрерывной сети\vspace{-.3\baselineskip} \begin{equation}\label{eq3.32} \dot{z}=(1+i\varepsilon\mu(s))z-d_0|z|^2z-\nu  d_1\overline{z}\int\limits_0^1z^2(t, s)ds,\vspace{-.3\baselineskip} \end{equation} получающейся из \eqref{eq2.16} при условиях  \eqref{eq2.28} и при $m\to+\infty.$ Здесь, как и в  дискретном случае, $\varepsilon\in\mathbb{R},$  $|\varepsilon|\ll 1.$ Далее, по аналогии с  требованиями \eqref{eq2.17}, \eqref{eq2.18}   предполагаем существование таких $s_1, s_2:  00.$  Прежде чем перейти непосредственно к  описанию численных экспериментов,  остановимся на характерных особенностях  изучаемой системы. Назовем два ее цикла  эквивалентными, если они переходят друг в  друга под действием  замены переменных  вида \eqref{eq2.12}. Ясно, что свойства их  устойчивости и происходящие с ними  возможные бифуркации одинаковы. В связи с  этим все эквивалентные между собой циклы  уместно объединить в соответствующие  семейства. Одним из таких семейств  является множество химероподобных структур  $\mathscr{U},$ количество которых равно $2^m-1$ (что  при $m=100$ имеет порядок $10^{30}$). Напомним, что  эти химеры получаются из канонической  химеры \eqref{eq2.22} под действием замен  \eqref{eq2.12}. Существуют и другие семейства  эквивалентных периодических режимов,  отличные от  $\mathscr{U}$ и также состоящие не  менее чем из $2^m-1$ элементов. Все это  приводит к реализации так называемого  феномена флуктуационного хаоса. Суть  упомянутого феномена состоит в том, что  ввиду узости бассейнов притяжений   отдельно взятых устойчивых циклов  система <<скользит>> по устойчивым режимам  --- при незначительном изменении начальных  условий происходит переход от одного  аттрактора к другому. Понятно, что в такой  ситуации проследить за эволюцией по  параметру $\varepsilon$ какого-либо одного  цикла или даже отдельно взятого семейства  эквивалентных циклов не представляется  возможным. В связи с этим ниже мы  ограничиваемся лишь некоторой  классификацией реализующихся в системе  \eqref{eq2.16} химероподобных структур.  Перед численным интегрированием системы  \eqref{eq2.16} в ней был осуществлен переход к  полярным координатам\vspace{-.5\baselineskip} $$ z_j=\rho_j\exp(i\varphi_j),\quad\rho_j>0, \quad\varphi_j\in\mathbb{R},\quad  j=1, 2, \ldots, m. $$ Далее, при фиксированных параметрах $c_0=1,$  $c_1=3,$ $\nu=0.5,$  $m=100,$ при \begin{equation*} \mu_j=\mu(s)|_{s=j/m},\quad \mu(s)= \begin{cases} -1&\text{\,\,\,при\,\,\,\,$0\le s\le 1/3,$}\\ 3(2s-1)&\text{\,\,\,при\,\,\,\,$1/3\le s\le 2/3,$}\\ \,\,\,\,\,1&\text{\,\,\,при\,\,\,\,$2/3\le s\le 1$} \end{cases} \end{equation*} и при различных значениях $\varepsilon>0$  вычислялся отрезок траектории  получившейся системы для $\rho_j,$ $\varphi_j,$  отвечающий промежутку  времени $0\le t\le 1000000$ и начальным условиям \begin{equation*} \rho_j(0)=0.2\Big(1+0.01\cdot\frac{j}{j+1}\Big), \quad \varphi_j(0)=0,\quad  j=1,\dots, m. \end{equation*} На этом пути удалось выявить следующие  типы химероподобных структур.   \begin{figure}[b!]\vspace{.5\baselineskip} 	\centering 	\includegraphics[width=6cm]{rhores007}\qquad 	\includegraphics[width=6.4cm]{phires007}\\ 	\parbox{13.5cm}{\textit{a}\hspace{6.8cm}\textit{b}}\\ 	%\vspace{-3.5mm} 	\caption{\textit{a} --- $\rho_j$, \textit{b} --- $\varphi_{j+1} -  \varphi_{j}$;  $\varepsilon=0.07$ 		\protect\\[3pt] 		Fig.~\ref*{res_ep_0_07}. 		\textit{a} --- $\rho_j$, \textit{b} --- $\varphi_{j+1} - \varphi_{j}$;  $\varepsilon=0.07$ 	}\label{res_ep_0_07} \end{figure}   При $0<\varepsilon\lesssim 0.077$  наблюдаются  устойчивые циклы химерного типа,  являющиеся продолжениями по параметру  $\varepsilon$  циклов семейства $\mathscr{U}.$ На  рис.~\ref{res_ep_0_07},~\textit{a} и~\textit{b} при $\varepsilon=0.07$  для одного из химерных циклов  представлены зависимости переменных  $\rho_j(t)$ и $\varphi_{j+1}(t) - \varphi_{j}(t)$ от индекса $1\le  j\le m.$  Подчеркнем, что поскольку данный  цикл имеет автомодельный вид \begin{equation}\label{eq4.1} z_j=z_j^0\exp(i\omega t),\quad z_j^0=\textrm{const}\in\mathbb{C},\quad\omega= \textrm{const}\in\mathbb{R},\quad j=1, 2, \ldots, m, \end{equation} то упомянутые переменные не зависят от  времени. Такую химеру  уместно назвать  стационарной. Добавим еще, что при указанных $\varepsilon$  стационарными являются все химеры из  $\mathscr{U}.$  \begin{figure}[b!]\vspace{.5\baselineskip} 	\centering 	\includegraphics[width=5.8cm]{rhores008}\qquad 	\includegraphics[width=6cm]{phires008}\\ \parbox{13.5cm}{\textit{a}\hspace{6.8cm}\textit{b}}\\[10pt] \parbox{7.5cm}{\caption{\textit{a} --- $\rho_j$, \textit{b} ---  $\varphi_{j+1} - \varphi_{j}$;  $\varepsilon=0.08$, $t=1000000$ 		\protect\\[3pt] 		Fig.~\ref*{res_ep_0_08}.~\,\textit{a} --- $\rho_j$, \textit{b} ---  $\varphi_{j+1} - \varphi_{j}$; $\varepsilon=0.08$, $t=1000000$ 	}\label{res_ep_0_08}}\\[15pt] %\end{figure} %\begin{figure} 	\centering 	\includegraphics[width=6.3cm]{trajectory008} 	\caption{График $\rho_5(t)$ при $\varepsilon=0.08$ 		\protect\\[3pt] 		Fig.~\ref*{res_ep_0_08_2}. Graph of $\rho_5(t)$ for $\varepsilon=0.08$ 	} 	\label{res_ep_0_08_2} \end{figure}  При последующем увеличении параметра  $\varepsilon$ удается обнаружит так называемые двумерные автомодельные торы, имеющие  вид%\vspace{.5\baselineskip} \begin{equation}\label{eq4.2} z_j=z_j^0(t)\exp(i\omega t),\quad z_j^0(t)\in\mathbb{C},\quad\omega= \textrm{const}\in\mathbb{R},\quad j=1, 2, \ldots, m,%\vspace{.5\baselineskip} \end{equation} где $z_j^0(t)$ --- некоторые периодические с  периодом $T>0$ комплекснозначные функции.  Добавим еще, что  торы \eqref{eq4.2} заведомо не  приводятся к виду \eqref{eq4.1}. Такого типа  химероподобные структуры будем называть  квазипериодическими. На  рис.~\ref{res_ep_0_08},~\textit{a},~\textit{b} изображены  зависимости от\linebreak  $1\le j \le m$ отвечающих  одному из этих торов функций $\rho_j(t)$ и  $\varphi_{j+1}(t) - \varphi_{j}(t)$  при $\varepsilon=0.08$ и при  фиксированном $t=1000000.$ Подчеркнем, что в отличие от предыдущего  случая этот химерный режим уже не  является стационарным. В частности, в силу  \eqref{eq4.2} отвечающие ему полярные радиусы  $\rho_j(t)$ периодичны по $t$ с периодом $T.$  График зависимости от $t$ на промежутке   $999500\le\linebreak \le t\le 1000000$ одного из этих  радиусов, а именно  $\rho_5(t),$  представлен на  рис.~\ref{res_ep_0_08_2} (точке ноль на  горизонтальной оси соответствует  значение  $t=999500$).   \begin{figure}[h] 	%\vspace{6mm} 	\centering 	\includegraphics[width=6cm]{rhores018}\qquad 	\includegraphics[width=6.55cm]{phires018}\\ \parbox{13.5cm}{\textit{a}\hspace{6.8cm}\textit{b}}\\[10pt] \parbox{7.5cm}{\caption{\textit{a} --- $\rho_j$, \textit{b} ---  $\varphi_{j+1} - \varphi_{j}$;  $\varepsilon=0.18$, $t=1000000$ 		\protect\\[3pt] 		Fig.~\ref*{res_ep_0_18}. \textit{a} --- $\rho_j$, \textit{b} ---  $\varphi_{j+1} - \varphi_{j}$; $\varepsilon=0.18$, $t=1000000$ 	}\label{res_ep_0_18}}\\[15pt] 	\includegraphics[width=6.5cm]{trajectory018}\vspace{.2\baselineskip} 	\caption{График $\rho_5(t)$ при $\varepsilon=0.18$ 		\protect\\[3pt] 		Fig.~\ref*{res_ep_0_18_2}. Graph of $\rho_5(t)$ for $\varepsilon=0.18$} 	\label{res_ep_0_18_2} %\vspace{.5\baselineskip} \end{figure}     Дальнейшее увеличение параметра $\varepsilon$   приводит к очередному усложнению  динамики. А~именно появляются устойчивые  химероподобные режимы с непериодической  зависимостью компонент $\rho_j(t)$ от $t.$  Такого рода химеры назовем турбулентными.  На рис.~\ref{res_ep_0_18},~\textit{a},~\textit{b} для одной из  турбулентных химер в случае $\varepsilon=0.18$  приведены зависимости   $\rho_j(t)$ и $\varphi_{j+1}(t)  - \varphi_{j}(t)$ от $j$ при $t=1000000,$  а на  рис.~\ref{res_ep_0_18_2}  представлен график    $\rho_5(t)$ на промежутке  $999000\le t\le 1000000$ (точке  ноль на горизонтальной оси соответствует  значение  $t=999000$).     В заключение добавим, что все  перечисленные выше характерные  особенности динамики, связанные с  усложнением химерных режимов при  увеличении параметра $\varepsilon,$ сохраняются  и для непрерывной модели \eqref{eq3.32}. </text>
            <codes>
              <doi>10.18500/0869-6632-2022-30-2-152-175</doi>
              <udk>517.926</udk>
              <bbk>!!!Элемент, значение которого содержит код ББК</bbk>
              <jel>!!!Элемент, значение которого содержит код JEL </jel>
              <msc>!!!Элемент, значение которого содержит код MSC</msc>
              <pacs>!!!Элемент, значение которого содержит код PACS</pacs>
              <anycode>!!!Элемент, значение которого содержит другие коды статьи. ВНИМАНИЕ! К другим кодам не относятся рубрики ГРНТИ. Для рубрик есть отдельный контейнер rubrics. </anycode>
            </codes>
            <keywords>
              <kwdGroup lang="RUS">
                <keyword>полносвязная сеть нелинейных осцилляторов</keyword>
                <keyword>периодические режимы двухкластерной синхронизации</keyword>
                <keyword>охота на химер</keyword>
                <keyword>устойчивость</keyword>
                <keyword>буферность</keyword>
              </kwdGroup>
              <kwdGroup lang="ENG">
                <keyword>fully coupled network of nonlinear oscillators</keyword>
                <keyword>periodic modes of two-cluster synchronization</keyword>
                <keyword>hunting for chimeras</keyword>
                <keyword>stability</keyword>
                <keyword>buffering</keyword>
              </kwdGroup>
            </keywords>
            <references>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Kuramoto Y., Battogtokh D. Coexistence of coherence and incoherence in nonlocally coupled phase oscillators // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. 2002. Vol. 5, no. 4. P. 380–385.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Abrams D. M., Strogatz S. H. Chimera states for coupled oscillators // Phys. Rev. Lett. 2004. Vol. 93, no. 17. P. 174102. DOI: 10.1103/PhysRevLett.93.174102.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Panaggio M. J., Abrams D. M. Chimera states: coexistence of coherence and incoherence in networks of coupled oscillators // Nonlinearity. 2015. Vol. 28, no. 3. P. R67. DOI: 10.1088/0951-7715/28/3/R67.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Sethia G. C., Sen A. Chimera states: The existence criteria revisited // Phys. Rev. Lett. 2014. Vol. 112, no. 14. P. 144101. DOI: 10.1103/PhysRevLett.112.144101.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Schmidt L., Krischer K. Clustering as a prerequisite for chimera states in globally coupled systems // Phys. Rev. Lett. 2015. Vol. 114, no. 3. P. 034101. DOI: 10.1103/PhysRevLett.114.034101.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Laing C. R. Chimeras in networks with purely local coupling // Phys. Rev. E. 2015. Vol. 92, no. 5. P. 050904. DOI: 10.1103/PhysRevE.92.050904.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Laing C. R. Chimeras in networks of planar oscillators // Phys. Rev. E. 2010. Vol. 81, no. 6. P. 066221. DOI: 10.1103/PhysRevE.81.066221.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Zakharova A., Kapeller M., Scholl E. Chimera death: Symmetry breaking in dynamical networks // Phys. Rev. Lett. 2014. Vol. 112, no. 15. P. 154101. DOI: 10.1103/PhysRevLett.112.154101.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Omelchenko I., Zakharova A., Hovel P., Siebert J., Scholl E. Nonlinearity of local dynamics promotes multi-chimeras // Chaos. 2015. Vol. 25, no. 8. P. 083104. DOI: 10.1063/1.4927829.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Omelchenko I., Omelchenko O. E., Hovel P., Scholl E. When nonlocal coupling between oscillators becomes stronger: Patched synchrony or multichimera states // Phys. Rev. Lett. 2013. Vol. 110, no. 22. P. 224101. DOI: 10.1103/PhysRevLett.110.224101.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Sakaguchi H. Instability of synchronized motion in nonlocally coupled neural oscillators // Phys. Rev. E. 2006. Vol. 73, no. 3. P. 031907. DOI: 10.1103/PhysRevE.73.031907.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Hizanidis J., Kanas V., Bezerianos A., Bountis T. Chimera states in networks of nonlocally coupled Hindmarsh–Rose neuron models // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2014. Vol. 24, no. 3. P. 1450030. DOI: 10.1142/S0218127414500308.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Zakharova A. Chimera Patterns in Networks: Interplay between Dynamics, Structure, Noise, and Delay. Berlin: Springer, 2020. 233 p. DOI: 10.1007/978-3-030-21714-3.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Релаксационные автоколебания в сетях импульсных нейронов // УМН. 2015. Т. 70, № 3(423). С. 3–76. DOI: 10.4213/rm9659.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Периодические режимы двухкластерной синхронизации в полносвязных генных сетях // Дифференциальные уравнения. 2016. Т. 52, № 2. С. 157–176. DOI: 10.1134/S0374064116020035.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений. М.: Физматлит, 2004. 408 с.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Мищенко Е. Ф., Садовничий В. А., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией. М.: Физматлит, 2010. 400 с.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. 535 с.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
            </references>
            <files>
              <file desc="Атрибут desc, значение которого содержит тип файла (см. справочник typeDesc)">3-glyzin_152-175.pdf</file>
              <furl lang="">Элемент, значение которого содержит ссылку на полный текст на внешнем сайте</furl>
            </files>
              <rubrics>
                <rubric>Элемент, значение которого содержит код рубрики</rubric>
              </rubrics>
            <dates>
              <dateReceived>21.12.2021</dateReceived>
              <dateAccepted>!!!Элемент, значение которого содержит дату принятия статьи в печать. Дата должна быть следующего формата «дд.мм.гггг» </dateAccepted>
            </dates>
        </article>
        <section>
          <secTitle lang="RUS">Прикладные задачи нелинейной теории колебаний и волн</secTitle>
          <secTitle lang="ENG">Applied Problems of Nonlinear Oscillation and Wave Theory</secTitle>
        </section>
        <article>
          <artType>RAR</artType>
          <langPubl>RUS</langPubl>
          <pages>176-188</pages>
          <authors>
            <author id="1142627" num="001">
            <role>!!!Элемент, который содержит роль автора (редактор, рецензент и т.д.). Если элемент отсутствует, то автор просто автор. Значение элемента – это числовой идентификатор. Идентификаторы роли представлены в справочнике typeRole!!!</role>
            <correspondent>!!! Автор-корреспондент !!!</correspondent>
            <authorCodes>
              <orcid>0000-0003-1548-1583</orcid>
            </authorCodes>
            <individInfo lang="RUS">
              <surname>Никулина</surname>
              <initials>Марина Валентиновна</initials>
              <address>603950 Нижний Новгород, проспект Гагарина, 23;603950, г. Нижний Новгород. ГСП - 120, ул. Ульянова, 46</address>
              <town>Нижний Новгород;Нижний Новгород</town>
              <otherInfo>!!!Элемент, значение которого содержит другие сведения об авторе!!!</otherInfo>
              <comment>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</comment>
              <commentDate>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</commentDate>
              <orgName>Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского (ННГУ); Институт прикладной физики РАН (ИПФ РАН)</orgName>
              <email>!!!Элемент, значение которого содержит электронную почту автора (Нужно ли палить почту пользователя?)</email>
            </individInfo>
            <individInfo lang="ENG">
              <surname>Nikulina</surname>
              <initials>Marina Valentinovna</initials>
              <address>603950 Nizhny Novgorod, Gagarin Avenue, 23;ul. Ul'yanova, 46, Nizhny Novgorod , 603950, Russia</address>
              <town>Nizhny Novgorod;Nizhny Novgorod</town>
              <otherInfo>!!!Элемент, значение которого содержит другие сведения об авторе!!!</otherInfo>
              <comment>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</comment>
              <commentDate>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</commentDate>
              <orgName>Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod; Institute of Applied Physics of the Russian Academy of Sciences</orgName>
              <email>!!!Элемент, значение которого содержит электронную почту автора (Нужно ли палить почту пользователя?)</email>
            </individInfo>
            </author>
            <author id="9024" num="002">
            <role>!!!Элемент, который содержит роль автора (редактор, рецензент и т.д.). Если элемент отсутствует, то автор просто автор. Значение элемента – это числовой идентификатор. Идентификаторы роли представлены в справочнике typeRole!!!</role>
            <correspondent>!!! Автор-корреспондент !!!</correspondent>
            <authorCodes>
              <researcherid>C-6227-2014</researcherid>
              <scopusid>6701599251</scopusid>
              <orcid>0000-0002-8225-8018</orcid>
            </authorCodes>
            <individInfo lang="RUS">
              <surname>Антонец</surname>
              <initials>Владимир Александрович</initials>
              <address>603950, г. Нижний Новгород. ГСП - 120, ул. Ульянова, 46</address>
              <town>Нижний Новгород</town>
              <otherInfo>!!!Элемент, значение которого содержит другие сведения об авторе!!!</otherInfo>
              <comment>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</comment>
              <commentDate>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</commentDate>
              <orgName>Институт прикладной физики РАН (ИПФ РАН)</orgName>
              <email>!!!Элемент, значение которого содержит электронную почту автора (Нужно ли палить почту пользователя?)</email>
            </individInfo>
            <individInfo lang="ENG">
              <surname>Antonets</surname>
              <initials>Vladimir Aleksandrovich</initials>
              <address>ul. Ul'yanova, 46, Nizhny Novgorod , 603950, Russia</address>
              <town>Nizhny Novgorod</town>
              <otherInfo>!!!Элемент, значение которого содержит другие сведения об авторе!!!</otherInfo>
              <comment>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</comment>
              <commentDate>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</commentDate>
              <orgName>Institute of Applied Physics of the Russian Academy of Sciences</orgName>
              <email>!!!Элемент, значение которого содержит электронную почту автора (Нужно ли палить почту пользователя?)</email>
            </individInfo>
            </author>
          </authors>
          <artTitles>
            <artTitle lang="RUS">Опыт оценки вариабельности сердечного ритма по сглаженным кардиоинтервалограммам</artTitle>
            <artTitle lang="ENG">Experience in assessing heart rate variability by smoothed cardiointervalograms</artTitle>
          </artTitles>
          <abstracts>
            <abstract lang="RUS">Цель настоящего исследования — показать  возможность использования метода  сглаживания кардиоинтервалограмм,  представляющего собой сугубо временной  анализ кардиоинтервалограмм, для  разделения и отображения влияния  различных механизмов регулирования  физиологических систем человека на его  сердечный ритм; предложить методические  принципы определения частотно-временных  характеристик вариабельности сердечного  ритма по сглаженной  кардиоинтервалограмме и псевдофазовым  портретам; обнаружить на сглаженных  кардиоинтервалограммах паттерны,  соответствующие маркерам стресса.  Предполагается, что в динамике  регулирования физиологических систем  имеет место иерархия времен, наследуемая  динамикой вариаций сердечного ритма.  Методы. В данной работе применен метод  сглаживания путем вычисления скользящего  среднего с последующей декомпозицией  кардиоинтервалограммы на медленную и  быструю составляющие. Результаты  декомпозиции визуализируются линейными  графиками и псевдофазовыми портретами.  Настройки визуализации позволяют  вычленять уникальные переходные процессы  и определять их временные параметры.  Метод применен к данным, полученным при  разных функциональных состояниях  испытуемого и различающимся по уровню  адаптационных рисков, наличию или  отсутствию стресса. Для анализа выбраны  эпизоды стресса, детектированные с  помощью  информационно-телекоммуникационной  технологии событийно-связанной  телеметрии сердца (ИТТ ССТС). Результаты.  Для числового ряда RR-интервалов получено  четкое разделение на быстрые и медленные  компоненты. Сформулирован и апробирован  алгоритм определения частотного  наполнения вариабельности сердечного  ритма. Предложен способ визуализации,  удобный для сопоставления данных,  получаемых для разных пациентов. Найден  паттерн псевдофазового портрета,  соответствующий моменту наступления  стресса. Предложенный метод уменьшил  дискретность определения момента начала  стресса с 10 секунд до единичных ударов  сердца. Заключение. Продемонстрировано  соответствие результатов  верифицированному методу ИТТ ССТС и  концепции адаптационного риска  Баевского–Черниковой. Это подтверждает  возможность использования метода  временного сглаживания  кардиоинтервалограмм для анализа  вариабельности сердечного ритма.  </abstract>
            <abstract lang="ENG">The objective of this study is to show the possibility of using the smoothing  cardiointervalograms (CIG) method which is solely time domain analysis of CIG  to separate and display the influence of various mechanisms of human  physiological regulation systems on his heart rate. Methods.This paper shows  the possibility of using the method of smoothing the cardiointervalogram by  means of a moving average for its subsequent decomposition into slow and fast  components. Decomposition results are visualized by line graphs and  pseudo-phase portraits. Visualization settings allow us to isolate unique  transients and calculate its timing. The method is applied to data obtained  under different subject functional states and differing in the level of  adaptation risks, the presence or absence of stress. For analysis were  selected stress episodes detected using the information and telecommunication  technology of event-related cardiac telemetry (ITT ERCT) presented by the  Internet resource “StressMonitor”. Results.For the numerical series of  RR-intervals, a clear division into fast and slow components is obtained. An  algorithm for identifying the frequency content of heart rate variability has  been formulated and tested. A visualization method is proposed that is  convenient for comparing data obtained for different patients. A pseudo-phase  portrait pattern corresponding to the moment of stress onset is found. The  proposed method reduced the discreteness of identifying the stress onset  moment from 10 seconds to single heart beats. Conclusion. The correspondence  of the results to the verified ITT ERCT method and the Baevsky–Chernikova  concept of adaptive risk has been demonstrated. This confirms the possibility  of using the time cardiointervalograms smoothing method for the analysis of  heart rate variability.  </abstract>
          </abstracts>
          <text lang="RUS">\section*{Введение}  Более полувека вариабельность сердечного  ритма (ВСР) используется для диагностики и  прогноза здоровья человека. ВСР  отображают как временной ряд RR-интервалов  (интервалов между последовательными  сокращениями сердца, интервалов между R  зубцами электрокардиограммы). Обычно к  нему применяются такие способы обработки,  как статистический анализ и спектральный  анализ на некотором промежутке времени  (обычно 5~минут в стандартных условиях  лаборатории)\cite{Baevskiy2001, Baevskiy2016, Metodrek, Standart}.  В спектре кардиоинтервалограммы (КИГ)  стандартно выделяют частотные диапазоны:  высокой (high frequency, HF), низкой  (low frequency, LF) и  очень низкой частоты (very low frequency, VLF).  Считается, что эти характерные диапазоны  частот соответствуют различным  механизмам регуляции. Поскольку спектр  оказывается не дискретным,  рассчитывают  общую спектральную мощность и ее баланс  для высоких и низких частот, производные  показатели. Спектральный и  статистический методы получили широкое  распространение и успешно применяются  \cite{Baevskiy2001, Baevskiy2016, Metodrek, Standart}.    Из временн\'{о}го анализа используются  гистограмма и скатерограмма (отображение  ВСР на плоскости в координатах $R_i, R_{i+1})$  опять же для некоторого временного  интервала\cite{Metodrek, Standart}. Были предложены и  иные методы временн\'{о}го анализа,  не  получившие дальнейшего развития  \cite{Baevskiy2001}.  \renewcommand{\baselinestretch}{1}\normalsize{    \par}  Еще в середине 19 века Клод Бернар описал  тесную взаимосвязь работы мозга и сердца,  а в середине 30-х годов 20 века П.\,К.~Анохин  сформулировал теорию функциональных  систем, согласно которой центральные  процессы достижения цели неразрывно  связаны с  процессами физиологического  обеспечения ее достижения (по Goldstein)  \cite{Goldstein2017}. Тем не менее мгновенные  изменения ритма сердца при когнитивной  нагрузке и стрессе различной этиологии с  этой точки зрения стали изучаться только  в последнем десятилетии \cite{Polevaya2011}.  Мгновенные --- значит сиюминутные,  возможно преходящие изменения, возможно  переводящие организм на новый уровень  функционирования. При спектральном  анализе они дают размазанность  доминирующих частот или непрерывный  спектр.  Современная парадигма моделей ВСР  предполагает многоконтурность  управления физиологическими функциями  организма --- от двухконтурных моделей,  например Р.\,М.~Баевского \cite{Baevskiy2016}, до  более сложных, например Julian~F.~Thayer  \cite{Thayer2010}. В~обзоре  \cite{Goldstein2017}  описывается разнообразие концептуальных  схем, показывающих механизмы  регулирования. Эти схемы регулирования  отражают иерархическую структуру  вегетативных ответов. Такая иерархия  ответов, очевидно, соответствует иерархии  регуляции и имеет иерархически  организованные характерные времена  адаптационных процессов. Однако эта  иерархическая временная организация   сердечного ритма (СР) недоступна для  анализа, использующего интегральные  показатели, так как они не отражают  и  практически не позволяют выявлять  эпизоды прямого модулирования компонент  ритма \cite{Antonets2021Izh}.  В частности, это  невозможно при непериодической модуляции  СР. Это обстоятельство ограничивает изучение  системных физиологических связей.  Очевидно, что наряду с методами  спектрального анализа ВСР следует  использовать и методы временн\'{о}го  анализа. Руководствуясь соображениями  здравого смысла и предположением о  наличии иерархии времен, мы предложили  метод обработки кардиоритмограмм,  относящийся к временн\'{о}му анализу   \cite{Antonets2021Izh}. Так как каждый уровень в  иерархии управления (центральный,  метасимпатический, гуморальный...)  обладает своим темпом, то разумно сделать  усреднение в окне умеренной  продолжительности, чтобы нивелировались  быстрые компоненты регулирования.   В данной работе мы демонстрируем  полезность такого подхода и сравниваем  его информативность с информативностью  применения скользящего спектрального  анализа \cite{Polevaya2011} для определения  момента наступления острого стресса.  Также мы демонстрируем возможность его  использования для диагностики  функциональных состояний.  %\vspace{-0.3\baselineskip} \section{Методика}%\vspace{-0.3\baselineskip}  Создание каких-либо новых методов не было  целью данной работы. Мы используем  обычный метод цифровой фильтрации,   впервые использованный для анализа  ВСР в  космическом полете в 1965~г. \cite{Sobolev, Kirillov}.  Суть примененного метода состоит в  сглаживании исходной  последовательности  кардиоинтервалов, измеренных в  миллисекундах. Для этого вычисляется простое скользящее  среднее --- среднее значение  из  последующих $m$ значений для некоторого $n$  в исходной КИГ. Обозначим через $RR_{i}$  элемент исходной последовательности  RR-интервалов. Тогда  элемент  сглаженной  последовательности  $RR_{{\rm S}_n}$ вычисляется  по формуле\vspace{-0.2\baselineskip} $$ RR_{{\rm S}_n}=\frac{1}{m} \sum_{n}^{n+m} RR_i, \vspace{-0.2\baselineskip} $$ где $m$ --- количество отсчётов усредняющего  окна. Усреднение в окне скользящего среднего по  $m$ кардиоциклам играет роль фильтра  низкой частоты. Ширина окна эмпирически  устанавливается меньшей, чем  половина  количества отсчетов, сумма длительностей  которых равна времени медленной  регуляции\cite{Antonets2021Izh}. Благодаря этому  получающаяся сглаженная  последовательность  $\{RR_{\rm S}\}$ фиксирует  медленные тренды сердечного ритма.  % \renewcommand{\baselinestretch}{.96}\normalsize{    \par}    \begin{figure}[b!]\vspace{-0.5\baselineskip}   	\centering   	\includegraphics[width=15.7cm]{p1}\vspace{0.1\baselineskip}   	\caption{Снимок экрана программы <>.  Представлены инструменты для  декомпозиции исходного ряда RR-интервалов  на три выборки: $\{RR_{\rm S}\}$, $\{RR_{\rm m}\}$, $\{RR_{\rm  f}\}$ (соответственно вкладки, названные как  низкочастотная, средняя и  высокочастотная составляющие). На рисунке  открыты вкладки медленной и средней  компонент $\left(\{RR_{\rm S}\},~\{RR_{\rm m}\}\right)$. Для  них построены псевдофазовые портреты в  осях [мс] (см. объяснения в тексте)  \cite{Antonets2021Izh} \protect\\[5pt]   		Fig.~\ref*{fig:p1}. Screenshot of <> program. Tools for decomposition of  the initial series of RR intervals into three samples are presented:  $\{RR_{\rm S}\}$, $\{RR_{\rm m}\}$, $\{RR_{\rm f}\}$ (respectively, the tabs:  slow, middle and fast components). The slow and   		middle frequency tabs are open in the figure $\left(\{RR_{\rm  S}\},~\{RR_{\rm m}\}\right)$. Pseudo-phase portraits in the ms axes are  constructed for them (see explanations in the text) \cite{Antonets2021Izh}}   	\label{fig:p1}   \end{figure}    %\renewcommand{\baselinestretch}{.97}\normalsize{    \par}  Мы предполагаем, как уже указывалось выше,  что  существенно различающиеся времена  изменения СР соответствуют  разным  уровням иерархии управления.  Что быстрые  (высокочас\-тотные) процессы изменения  ритма сердца реализуются на фоне  медленных (низкочастотных) процессов  влияния физиологического управления на  сердечный ритм.  Если далее полагать, что   быстрые и медленные механизмы независимы,  то декомпозиция ритмограммы  аддитивна.  Декомпозиция КИГ на медленную $\{RR_{\rm S}\}$ и  быструю $\{RR_{\rm f}\}$  компоненты  производится вычитанием $\{RR_{\rm  f}\}=\{RR_i\}-\{RR_{\rm S}\}$. Мы вычитаем из исходной  КИГ усредненную. Качество усреднения  проверяется по близости к нулю среднего  значения этой разницы. Так убирается  квазипостоянная составляющая.  Отличительной особенностью такого  подхода является то, что значения  сглаженной КИГ $\{RR_{\rm S}\}$ так же, как и  значения $\{RR_i\}$, не теряют привязки к  конкретным моментам времени, что  оказалось важным для применения метода.  Размах получившихся рядов $\{RR_{\rm S}\},\{RR_{\rm  f}\}$ [мс]  характеризует интенсивность  медленного и быстрого регулирования.  Аналогично, усреднение в скользящем окне  применяется к получившемуся ряду $\{RR_{\rm  f}\}$, моделируя фильтр средней частоты.   Получается ряд $\{RR_{\rm m}\}$.  Метод задумывался и реализовался как  интерактивный. Была разработана  простейшая программа <> \cite{Antonets2021Izh},  интерфейс пользователя которой  визуализирует  $RR$-последовательности   линейными графиками и псевдофазовыми  портретами (рис.~\ref{fig:p1}).    \renewcommand{\baselinestretch}{1}\normalsize{    \par}    Каждый портрет строится из пар значений  $(RR_n , RR_{n+L})$ соответствующей  последовательности RR-интервалов,  отстоящих друг от друга на $L$ отсчетов (с  лагом $L$).  Такие портреты позволяют четко  различать виды апериодических режимов  ВСР, а также определять период  интервальной периодической динамики  \cite{Shlu}. В программе реализована  возможность изменения сдвига $L$ (лага). При  сдвиге равном единице, картина  приобретает вид классической  скатерограммы (корреляционной  ритмограммы). Сходство поведения  псевдофазовых портретов с фигурами  Лиссажу подсказало методику определения   времен периодических и непериодических  изменений~СР. Интерфейс программы  позволяет независимо изменять ширину  окон сглаживания исходной КИГ и ее  высокочастотной компоненты, менять лаги  псевдофазовых портретов, ограничивать  размер визуализируемой выборки,  сравнивать вариационный размах рядов. Все  это обеспечивает удобство  визуального  анализа траекторий портретов (см.  рис.~\ref{fig:p1}). Фактически, мы применили известный метод  скатерограмм, но сделали сдвиг между  осями такой, чтобы гарантировать  отсутствие корреляции между отсчетами. В  итоге мы получили очень наглядное  изображение облаков, соответствующих  трем диапазонам частот.    {\small{\sffamily <<Для оценки индивидуальных  рисков на основе анализа ВСР в  космической медицине был предложен  ...методологический подход вероятностной  оценки функциональных резервов (ФР) и  степени напряжения регуляторных систем  (СН)>> \cite{Chern2002, Chern2010patent}. <<По результатам исследования  вегетативной регуляции кровообращения в  условиях космических полетов была  предложена концепция адаптационного  риска, который характеризует  адаптационные возможности организма  с  точки зрения соотношения между  функциональными резервами организма и  текущим напряжением  регуляторных систем  (Chernikova~A.~et~al.,~2012) по данным анализа ВСР>>.   <<Было подтверждено по данным  исследований вегетативной регуляции в  покое и при функциональных нагрузках в  условиях космического полета, что  показатели ФР и СН так же, как и величина  адаптационного риска, не только связаны с  текущим функциональным состоянием..., но и  являются предиктором снижения  адаптационных возможностей...  Адаптационный риск ...представляет...  вероятность развития предшествующих  болезни донозологических и преморбидных  состояний>> \cite{Baevskiy2016}.}} В итоге Баевским и Черниковой была  разработана математическая модель для  распознавания классов физиологических  состояний \cite{Baevskiy2016}.  Разработчики   интернет-ресурса <> на платформе {\itshape  www.cogni-nn.ru}  взяли эту модель за основу для  определения квартиля физиологического  состояния и оценки уровня адаптационного  риска (УАР) у лиц, записи ВСР которых  находятся в базе данных на сервере.  \begin{figure}[h!] 	\centering 	\includegraphics[width=16cm]{p2}\vspace{0.2\baselineskip} 	\caption{Снимок экрана Интернет-ресурса  StressMonitor. Верхний график ---  кардиоритмограмма [мс] с  интервалами  острого стресса, выделенными  вертикальными  полосами. Нижние графики ---  расчетные спектральные показатели  вариабельности ритма сердца (черный цвет  --- общая мощность спектра TP [мс$^2$], серый  цвет --- симпато-вагусный баланс LF/HF). Между графиками --- суммарные значения  показателей за интервал визуализации,  внизу --- значения показателей на момент  времени 22:22:04 \cite{Polevaya2011}\protect\\[5pt] 		Fig.~\ref*{fig:p2}. Screenshot of the StressMonitor web resource. Upper  graph --- heart rate [ms] with acute stress intervals highlighted by vertical  bars. Lower graphs --- calculated spectral indicators of heart rate  variability (black color --- total spectrum power TP [ms$^2$], gray color ---  LF/HF sympathovagal balance). Between the graphs --- the total values of the indicators for the  visualization interval, at the bottom --- the values of the indicators at the  time 22:22:04 \cite{Polevaya2011}} 	\label{fig:p2}\vspace{-1\baselineskip} \end{figure}	  Данные в виде ряда RR-интервалов  передаются в базу посредством  информационно-теле\-ком\-муника\-цион\-ной  технологии событийно-связанной  телеметрии сердца (ИТТ ССТС). Эта  технология разработана на кафедре  психофизиологии Нижегородского  государственного университета имени  Н.\,И.~Лобачевского  \cite{Polevaya2011}. Данная  технология позволяет в прозрачном режиме  (без привлечения внимания обследуемого и  какого-либо ограничения его подвижности)  непрерывно, до 150~часов, записывать  электрокардиосигнал в условиях  естественной деятельности человека.  Для  каждой ритмограммы проводится скользящий  спектральный анализ  методом диcкретного  преобразования Фурье для неравномерных  сигналов. Далее, в соответствии с  принятыми стандартами \cite{Metodrek, Standart }, на  сервере вычисляются спектральная  мощность   в диапазонах частот   VLF  (0.003...0.040~Гц),  LF (0.04...0.15~Гц), HF (0.15...0.4~Гц),  общая мощность спектра TP\,=\,VLF\,+\,LF\,+\,HF и  индекс симпато-вагусного баланса LF/HF.  Вычисляются ФР, СН, УАР, вероятность  квартиля функционального состояния.  Снимок экрана Интернет-ресурса StressMonitor  представлен на рис.~\ref{fig:p2}.  Верхний  график --- кардиоритмограмма [мс] с   интервалами острого стресса, выделенными  вертикальными  полосами (см.~ниже). Нижние  графики --- расчетные спектральные  показатели вариабельности ритма сердца  (черный цвет --- общая мощность спектра TP  [мс$^2$], серый цвет --- симпато-вагусный  баланс LF/HF). Между графиками --- суммарные значения  показателей за интервал визуализации,  внизу --- значения показателей в указанный  момент времени \cite{Polevaya2011}. В отдельном  отчете выводятся ФР, СН, УАР,  вероятностная оценка функционального  состояния.  К моменту написания статьи в базе  находилось около 15 тысяч записей. Мы отобрали записи, с высокой  вероятностью относящиеся к одному из  четырех физиологических состояний: \linebreak a --- состояние физиологической нормы  (ФР\,>\,0, CH\,<\,0); b --- донозологическое  состояние со снижением адаптационных  возможностей (ФР\,>\,0, CH\,>\,0); c ---  преморбидное состояние перенапряжения  (ФР\,<\,0, CH\,>\,0); d --- патологическое состояние  истощения (ФР\,<\,0, CH\,<\,0). Мы построили их  портреты в одинаковом масштабе и  настройках визуализации. Для большей  наглядности  настройки для разных  частотных компонент отличаются. Для  примера, на  рис.~\ref{fig:p3} представлены  скриншоты псевдофазовых портретов $\{RR_{\rm  S}\}$, $\{RR_{\rm m}\}$, $\{RR_{\rm f}\}$ для 20~ритмограмм,  по 5~ритмограмм в каждом квартиле  состояний. Видно изменение площади  облаков (размаха регулирования) с  изменением физиологического состояния.  Наблюдается опережение затухания  медленной и средней компонент  относительно быстрой. Положительное значение функциональных  резервов (ФР) (a,~b) отличается  большей  площадью облака быстрых и средних  компонент, несколько уменьшающейся при  смене знака степени напряжения (СН) с <<$+$>>  на <<$-$>> (от a к b). При смене знака  функциональных резервов с <<$+$>> на <<$-$>> (от b  к с) наблюдается ригидизация во всех  диапазонах частот.{\looseness=-1 	 }  \begin{figure}[t] \centering \includegraphics[width=3.8cm]{p3a}\;\includegraphics[width=3.8cm]{p3b}  \;\includegraphics[width=3.8cm]{p3c}\;\includegraphics[width=3.8cm]{p3d}\\[-15pt] \parbox{16cm}{\textit{a}\hspace*{3.7cm}\textit{b}\hspace*{3.8cm}\textit{c}\hspace*{3.8cm}\textit{d}}\\[5pt] 	\caption{ Псевдофазовые портреты удобны для  сопоставления данных, получаемых для  разных испытуемых (пациентов). Здесь  представлены снимки экрана для каждой из  трех компонент (левая колонка  ---  медленная, центральная  --- средняя, правая  --- быстрая ) для 20 случайных испытуемых,  имеющих различное физиологическое  состояние. Видно изменение площади  облаков (размаха регулирования) с  изменением физиологического состояния:  \textit{a} --- физиологическая норма,\linebreak   \textit{b} --- донозологические состояния,  \textit{c} --- преморбидные состояния, \textit{d} ---  патологические состояния. Наблюдается  опережение затухания медленной и средней  компонент относительно быстрой. Настройки визуализации фазовых  портретов: скользящее окно  усреднения\,=\,30; для медленной  компоненты  лаг\,=\,8, границы осей 400...1100~мс; для средней  компоненты  лаг\,=\,4, границы осей $\pm150$~мс;  для быстрой  компоненты лаг\,=\,8, границы  осей $\pm 300$~мс\protect\\[5pt] 		Fig.~\ref*{fig:p3}. Pseudo-phase portraits are convenient for comparing data obtained for  different subjects (patients). Here are screen shots for each of the three  components (left column --- slow, center --- medium, right --- fast) for 20 random subjects with different physiological states. We can see the  change in the area of clouds (range of regulation) with a change in the  physiological state: \textit{a} --- physiological norm, \textit{b} ---  prenosological conditions, \textit{c} --- premorbid conditions, \textit{d}  --- pathological conditions. There is an pre-attenuation of Slow and Middle  relative to Fast. Phase portrait visualization settings: averaging sliding window\,=\,30; for  the slow component lag\,=\,8, the boundaries of the axes 400...1100\,ms; for the middle component lag\,=\,4, axis boundaries $\pm 150$~ms; for the fast component lag\,=\,8, axis boundaries $\pm 300$~ms} \label{fig:p3}\vspace{-0.5\baselineskip} \end{figure}   Основной целью создания интернет-ресурса  <> было, как следует из названия,  детектирование моментов стресса  \cite{Polevaya2011}. Моменты начала острого  стресса  определяют на основании  трехкомпонентной теории нейрохимических  механизмов стресса С.\,Б.~Парина \cite{Parin2008}  по падению общей мощности спектра  вариабельности сердечного ритма  (ТР)  на  фоне резкого возрастания индекса  симпато-вагусного баланса (LF/HF)  \cite{Polevaya2011,  Polev2014patent, Polev2016patent}.  Дискретность  определения начала стресса~--- 10~с.{\looseness=-1 	 }  Мы выбрали для анализа  7-часовую  ритмограмму спортсмена-супермарафонца,  характе\-ризующуюся полным спектром  функциональных состояний (ФС) и уровней  адаптационного риска (УАР), которые  сменялись в процессе прохождения  дистанции (рис.~\ref{fig:p4}).   Пузырьковая\begin{wrapfigure}{o}{8.5cm}\vspace{0.2\baselineskip} 	\centering 	\includegraphics[width=8.5cm]{p4}\vspace{0.2\baselineskip} 	\caption{Траектория состояний спортсмена  в  пространстве функциональных состояний по  Баевскому \cite{Baevskiy2016} на основе анализа  ВСР.  УАР пропорционален диаметру  пузырьков\protect\\[5pt] 		Fig.~\ref*{fig:p4}. The trajectory of the athlete's states in the space of  functional states according to Baevsky \cite{Baevskiy2016 } based on HRV  analysis. The level of adaptive risk is proportional to the bubbles diameter} 	\label{fig:p4}\vspace{-1\baselineskip} \end{wrapfigure} диаграмма построена основе  анализа этой ритмограммы. Диаметр пузырей  соответствует~УАР. Траектория состояний  спортсмена изображена в пространстве  функциональных состояний по  Р.\,М.~Баевскому \cite{Baevskiy2016}.   Состояние стресса возникало при всех ФС.  Мы отобрали отрезки КИГ, соответствующие  эпизодам стресса,  детектированным  сервисом <>, и  отсортировали их по уровню  адаптационного риска.   Эти отрезки использовались в качестве  входных данных для программы  RRecon (см.  рис.~\ref{fig:p1}). Полученные псевдофазовые  портреты позволили сравнить  размах и  поведение ритмограмм непосредственно до  и во время стресса\linebreak в разных  физиологических состояниях, которые  возникли в процессе экстремальной  деятельности  (рис.~\ref{fig:p5}): в состоянии  физиологической нормы (УАР\,=\,1...2),  донозологическом состоянии со снижением  адаптационных возможностей (УАР\,=\,3...5),  преморбидном состоянии перенапряжения  регуляторных систем (УАР\,=\,6...8),  патологическом состоянии истощения  регуляторных систем (УАР\,=\,9...10). На  рис.~\ref{fig:p5} для 4-х значений УАР в нечетных  столбцах таблицы представлены портреты  во время развившегося стресса, в четных ---  фоновое состояние. УАР увеличивается  сверху вниз. Очевиден больший размах  регулирования при стрессе по всем  компонентам: медленной (slow), быстрой (fast) и  средней (middle), несмотря на падение общей  мощности спектра вариабельности (ТР) при  стрессе. Размах  также уменьшается при  ухудшении физиологического состояния. \begin{figure}[t!] 	\centering 	\includegraphics[width=16cm]{p5}\vspace{0.2\baselineskip} 	\caption{Ригидизация сердечного ритма  (уменьшение размеров облака)  при  увеличении уровня адаптационного риска  (УАР увеличивается сверху вниз)  и  изменение частотной наполненности при  развитии стресса\protect\\[5pt] 		Fig.~\ref*{fig:p5}. Heart rate rigidity (cloud reduction) with an increase  of adaptive risk level (ARL) from top to bottom  and a change in frequency  fullness with the 		development of stress 	} 	\label{fig:p5}%\vspace{-1\baselineskip} \end{figure}   %\vspace{-.5\baselineskip} \section{Результаты}%\vspace{-0.3\baselineskip}  Изменение величины лага $L$ и  границ  отрезка наблюдения позволило графически  вычленить нестационарные колебания. При  изменении лага через интерфейс программы  наблюдается изменение формы  псевдофазового портрета, подобно  модификации фигур Лиссажу при изменении  разности фаз сигналов.  Из вытянутого по  диагонали псевдофазового портрета (при  $L=1$), который соответствует стандартной  скатерограмме,  кривая разворачивается,  наполняется, принимает округлую форму.  При дальнейшем увеличении сдвига, когда  его значение  приближается к четверти  характерного времени регуляции, кривая  становится горизонтальной  (рис.~\ref{fig:p6}).  \begin{figure}[t!] \centering \includegraphics[width=4.8cm]{p6a}  \quad\includegraphics[width=4.8cm]{p6b}\quad\includegraphics[width=4.8cm]{p6c}\\[-15pt] \parbox{16cm}{\hspace*{0cm}\textit{a}\hspace*{5.1cm}\textit{b}\hspace*{5cm}\textit{c}}\\[10pt] 	\parbox{14cm}{\caption{ Изменение формы  псевдофазового портрета  с изменением  величины  лага:  1~(\textit{a}),  8~(\textit{b}),    25~(\textit{c})\protect\\[3pt] 		Fig.~\ref*{fig:p6}. Changing the shape of the table-curve with changing the  lag value: 1~(\textit{a}),  8~(\textit{b}),   25~(\textit{c})} \label{fig:p6}}	\vspace{-0.5\baselineskip}	 \end{figure}  Таким образом, основываясь на этом  признаке и зная величину лага, мы имеем  возможность определить характерные  период и частоты регуляции по простой  формуле $$ {f=1/{(4L \cdot \overline {RR})},} $$ где $ \overline {RR}$ --- среднее арифметическое  RR-интервалов рассматриваемого отрезка  КИГ. В качестве примера в Таблице представлены  некоторые частоты адаптационных реакций,  распознанные\begin{wraptable}{o}{6cm}\vspace{-.5\baselineskip} 	\centering 	\small{ 		{\renewcommand{\arraystretch}{1.00} 			\begin{tabular}{|c|c|} 				\multicolumn{2}{r@{}}{Таблица}\\[5pt] 				\hline	 				Отрезок $RR$ &	Частота, Гц\\ 				\hline 				5--33 & 0.067\\ 				\hline 				14--102 &	0.020\\ 				\hline 				31--71 & 0.017\\ 				\hline 				101--135 & 0.065\\ 				\hline 			\end{tabular} 		} 	} 	%\end{center}% 	%	\vspace{1\baselineskip} \end{wraptable} на соответствующих отрезках  исходной КИГ (УАР\,=\,8) по псевдофазовому  портрету для медленной компоненты (slow) на  рис.~\ref{fig:p1} и рис.~\ref{fig:p6}. В частности, на  участке $RR_{14{-}102}$ для ритмограммы,  представленной на рис.~\ref{fig:p1},  наблюдается затухающее колебание $f =  0.02$~Гц.  \begin{figure}[b!]\vspace{.5\baselineskip} 	\centering 	\includegraphics[width=16cm]{p7}\\[10pt] 	\parbox{8.8cm}{\caption{Паттерн скатерограммы,  соответствующий началу стресса\protect\\[3pt] 			Fig.~\ref*{fig:p7}. Scattergram pattern corresponding to the onset of  stress} 		\label{fig:p7}}\vspace{-.5\baselineskip} \end{figure}    При увеличении размера скользящего окна  усреднения из портрета исчезают  относительно более высокочастотные  элементы.  Формальное сопоставление присущей началу  стресса динамики \cite{Polevaya2011} и  псевдофазовых портретов сглаженных КИГ  на более чем 30 эпизодах для группы  испытуемых, находящихся в различных  функциональных состояниях, решением  прямой и обратной задачи позволило  выявить характерное поведение  скатеротраектории (центральная часть  рис.~\ref{fig:p7}).   Наблюдается резкое  изменение корреляции  в начале стресса. Достаточность данного  графического признака для достоверной  идентификации стресса  требует  дальнейшего изучения.     \renewcommand{\baselinestretch}{.98}\normalsize{    \par}  Вследствие того, что значения сглаженной  КИГ  не теряют привязки к конкретным  моментам времени, мы, зная номер  точки  начала стресса на псевдофазовом портрете,  можем с точностью 1--2 ударов сердца  определить время его начала.  Это  максимально возможная точность, в отличие  от описанного выше метода  информационно-теле\-ком\-муника\-цион\-ной  технологии событийно-связанной  телеметрии сердца, использующего  интегральные показатели и определяющего  наступление таких событий с  дискретностью  10~с.  Предложенный подход позволяет    сопоставлять  форму и размах портретов,  полученных   для разных пациентов.  Рис.~\ref{fig:p3}, \ref{fig:p5} демонстрируют  увеличение ригидности (снижение размаха)   сердечного ритма  с увеличением уровня  адаптационного риска и изменение  частотной наполненности при развитии  стресса.     \vspace{-1\baselineskip} \section*{Заключение}  В итоге простой метод позволил: \vspace{-0.4\baselineskip}\begin{itemize} 	\item    выделить локальные закономерности в  поведении временных рядов RR-интервалов; 	\item  осуществить декомпозицию  кардиоинтервалограммы на медленную и  быструю компоненты;         \item  определить  частоты переходных  процессов; 	\item    максимально  точно локализовать  момент начала острого стресса; 	\item  сравнить параметры разных  кардиоритмограмм. \end{itemize}\vspace{-0.4\baselineskip} Таким образом, мы показали новые  возможности использования  общеизвестного метода. Такой подход  безусловно  полезен и  информативен при  использовании его для анализа  вариабельности сердечного ритма.  Мы  считаем, что  способ  представления  кардиоинтервалограмм в виде  псевдофазовых портретов может иметь  клиническое применение. Предлагаемый  нами метод, в случае доработки программы с  учетом компетенций конечного  пользователя, может применяться для  количественной оценки вегетативного  тонуса в реальном времени при  скрининговых обследованиях населения. </text>
            <codes>
              <doi>10.18500/0869-6632-2022-30-2-176-188</doi>
              <udk>612.176:4, 004.932</udk>
              <bbk>!!!Элемент, значение которого содержит код ББК</bbk>
              <jel>!!!Элемент, значение которого содержит код JEL </jel>
              <msc>!!!Элемент, значение которого содержит код MSC</msc>
              <pacs>!!!Элемент, значение которого содержит код PACS</pacs>
              <anycode>!!!Элемент, значение которого содержит другие коды статьи. ВНИМАНИЕ! К другим кодам не относятся рубрики ГРНТИ. Для рубрик есть отдельный контейнер rubrics. </anycode>
            </codes>
            <keywords>
              <kwdGroup lang="RUS">
                <keyword>вариабельность сердечного ритма</keyword>
                <keyword>иерархия времен кардиорегуляции</keyword>
                <keyword>псевдофазовый портрет</keyword>
                <keyword>стресс</keyword>
                <keyword>сглаживание кардиоинтервалограмм</keyword>
                <keyword>простое скользящее среднее</keyword>
                <keyword>временной анализ вариабельности сердечного ритма</keyword>
                <keyword>визуализация RR-интервалов</keyword>
              </kwdGroup>
              <kwdGroup lang="ENG">
                <keyword>heart rate variability</keyword>
                <keyword>hierarchy of cardioregulatory times</keyword>
                <keyword>pseudo phase portrait</keyword>
                <keyword>stress</keyword>
                <keyword>time domain analysis heart rate variability</keyword>
                <keyword>cardiointervalograms smoothing</keyword>
                <keyword>simple moving average</keyword>
                <keyword>RR-intervals visualization</keyword>
              </kwdGroup>
            </keywords>
            <references>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Баевский Р. М., Иванов Г. Г. Вариабельность сердечного ритма: теоретические аспекты и возможности клинического применения // Ультразвуковая и функциональная диагностика. 2001. № 3. С. 108–127.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Баевский Р. М., Фунтова И. И., Берсенева А. П., Черникова А. Г., Лучицкая Е. С., Прилуцкий Д. А., Семенов Ю. Н., Танк Й., Слепченкова И. Н., Русанов В. Б., Берсенев Е.Ю., Иванов Г. Г. Методы и приборы космической кардиологии на борту Международной космической станции: монография. Москва: Техносфера, 2016. 368 c.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Баевский Р. М., Иванов Г. Г., Чирейкин Л. В., Гаврилушкин А. П., Довгалевский П. Я., Кукушкин Ю. А., Миронова Т. Ф., Прилуцкий Д. А., Семенов А. В., Федоров В. Ф., Флейшман А. Н., Медведев М. М. Анализ вариабельности сердечного ритма при использовании различных электрокардиографических систем (Методические рекомендации, часть 1) // Вестник аритмологии. 2002. № 24. С. 65–87.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Малик М., Биггер Дж. Т., Камм А. Дж., Кляйгер Р. Е., Маллиани А., Мосс А. Дж., Шварц П. Дж. Вариабельность сердечного ритма. Стандарты измерения, физиологической интерпретации и клинического использования // Вестник аритмологии. 1999. № 11. С. 52–77.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Goldstein D. S., Kopin I. J. Homeostatic systems, biocybernetics, and autonomic neuroscience // Autonomic Neuroscience. 2017. Vol. 208. P. 15–28. DOI: 10.1016/j.autneu.2017.09.001.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Полевая С. А., Еремин Е. В., Буланов Н. А., Бахчина А. В., Ковальчук А. В., Парин С. Б. Событийно-связанная телеметрия ритма сердца для персонифицированного дистанционного мониторинга когнитивных функций и стресса в условиях естественной деятельности // Современные технологии в медицине. 2019. Т. 11, № 1. С. 109–115. DOI: 10.17691/stm2019.11.1.13.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Ellis R. J., Thayer J. F. Music and autonomic nervous system (dys)function // Music Perception. 2010. Vol. 27, no. 4. P. 317–326. DOI: 10.1525/mp.2010.27.4.317.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Антонец В. А., Пермяков С. П., Никулина М. В. Применение сглаживания кардиоинтервалограмм для анализа вариабельности сердечного ритма // Материалы VII Всероссийской научно-практической конференции с международным участием «Вариабельность сердечного ритма: теоретические аспекты и практическое применение в спорте и массовой физической культуре». 25-26 мая 2021, УдГУ, Ижевск. Ижевск: УдГУ, 2021. С. 67–74.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Рябыкина Г. В., Соболев А. В. Анализ вариабельности ритма сердца // Кардиология. 1996. Т. 36, № 10. С. 87–97.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Баевский Р. М., Кириллов О. И., Клецкин С. З. Математический анализ изменений сердечного ритма при стрессе. Москва: Наука, 1984. 224 с.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Шлюфман К. В., Фишман Б. Е., Фрисман Е. Я. Особенности динамических режимов одномерной модели Рикера // Известия вузов. ПНД. 2012. Т. 20, № 2. С. 12–28. DOI: 10.18500/0869-6632-2012-20-2-12-28.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Баевский Р. М., Черникова А. Г. Проблема физиологической нормы: математическая модель функциональных состояний на основе анализа вариабельности сердечного ритма // Авиакосмическая и экологическая медицина. 2002. Т. 36, № 6. С. 11–17.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Баевский Р. М., Черникова А. Г. Способ оценки риска развития донозологических, преморбидных и патологических состояний в длительном космическом полете. Патент № 2448644 от 15.09.2010. Заявитель: Институт медико-биологических проблем Российской академии наук.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Парин С. Б. Люди и животные в экстремальных ситуациях: нейрохимические механизмы, эволюционный аспект // Вестник Новосибирского государственного университета. Серия: Психология. 2008. Т. 2, № 2. С. 118–135.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Некрасова М. М., Полевая С. А., Парин С. Б., Шишалов И. С., Бахчина А. В. Способ определения стресса. Патент № 2531443 от 11.11.2013. Заявитель: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского».</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Григорьева К. А., Григорьева В. Н., Полевая С. А. Способ диагностики стресса у человека. Патент № 2624813 от 11.08.2016. Заявитель: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Нижегородская государственная медицинская академия» Министерства здравоохранения Российской Федерации.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
            </references>
            <files>
              <file desc="Атрибут desc, значение которого содержит тип файла (см. справочник typeDesc)">4-nikulina_176-188.pdf</file>
              <furl lang="">Элемент, значение которого содержит ссылку на полный текст на внешнем сайте</furl>
            </files>
              <rubrics>
                <rubric>Элемент, значение которого содержит код рубрики</rubric>
              </rubrics>
            <dates>
              <dateReceived>15.11.2021</dateReceived>
              <dateAccepted>!!!Элемент, значение которого содержит дату принятия статьи в печать. Дата должна быть следующего формата «дд.мм.гггг» </dateAccepted>
            </dates>
        </article>
        <section>
          <secTitle lang="RUS">Прикладные задачи нелинейной теории колебаний и волн</secTitle>
          <secTitle lang="ENG">Applied Problems of Nonlinear Oscillation and Wave Theory</secTitle>
        </section>
        <article>
          <artType>RAR</artType>
          <langPubl>RUS</langPubl>
          <pages>189-207</pages>
          <authors>
            <author id="24668" num="001">
            <role>!!!Элемент, который содержит роль автора (редактор, рецензент и т.д.). Если элемент отсутствует, то автор просто автор. Значение элемента – это числовой идентификатор. Идентификаторы роли представлены в справочнике typeRole!!!</role>
            <correspondent>!!! Автор-корреспондент !!!</correspondent>
            <authorCodes>
            </authorCodes>
            <individInfo lang="RUS">
              <surname>Григорьева</surname>
              <initials>Елена Викторовна</initials>
              <address>220070 Республика Беларусь, Минск, Партизанский проспект, 26</address>
              <town>Минск</town>
              <otherInfo>!!!Элемент, значение которого содержит другие сведения об авторе!!!</otherInfo>
              <comment>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</comment>
              <commentDate>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</commentDate>
              <orgName>Белорусский государственный экономический университет (БГЭУ)</orgName>
              <email>!!!Элемент, значение которого содержит электронную почту автора (Нужно ли палить почту пользователя?)</email>
            </individInfo>
            <individInfo lang="ENG">
              <surname>Grigorieva</surname>
              <initials>Elena Viktorovna</initials>
              <address>Republic of Belarus, 220070 Minsk, Partizansky Prospekt, 26</address>
              <town>Minsk</town>
              <otherInfo>!!!Элемент, значение которого содержит другие сведения об авторе!!!</otherInfo>
              <comment>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</comment>
              <commentDate>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</commentDate>
              <orgName>Belarus State Economic University (BSEU)</orgName>
              <email>!!!Элемент, значение которого содержит электронную почту автора (Нужно ли палить почту пользователя?)</email>
            </individInfo>
            </author>
            <author id="8238" num="002">
            <role>!!!Элемент, который содержит роль автора (редактор, рецензент и т.д.). Если элемент отсутствует, то автор просто автор. Значение элемента – это числовой идентификатор. Идентификаторы роли представлены в справочнике typeRole!!!</role>
            <correspondent>!!! Автор-корреспондент !!!</correspondent>
            <authorCodes>
              <researcherid>F-4208-2014</researcherid>
              <scopusid>57079151400</scopusid>
              <orcid>0000-0002-8777-4302</orcid>
            </authorCodes>
            <individInfo lang="RUS">
              <surname>Кащенко</surname>
              <initials>Сергей Александрович</initials>
              <address>150000 Ярославль, ул.Советская, 14</address>
              <town>Ярославль</town>
              <otherInfo>!!!Элемент, значение которого содержит другие сведения об авторе!!!</otherInfo>
              <comment>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</comment>
              <commentDate>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</commentDate>
              <orgName>Ярославский государственный университет имени П.Г.Демидова (ЯрГУ)</orgName>
              <email>!!!Элемент, значение которого содержит электронную почту автора (Нужно ли палить почту пользователя?)</email>
            </individInfo>
            <individInfo lang="ENG">
              <surname>Kashchenko</surname>
              <initials>Sergej Aleksandrovich</initials>
              <address>150000 Yaroslavl, Sovetskaya str., 14</address>
              <town>Yaroslavl</town>
              <otherInfo>!!!Элемент, значение которого содержит другие сведения об авторе!!!</otherInfo>
              <comment>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</comment>
              <commentDate>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</commentDate>
              <orgName>P. G. Demidov Yaroslavl State University</orgName>
              <email>!!!Элемент, значение которого содержит электронную почту автора (Нужно ли палить почту пользователя?)</email>
            </individInfo>
            </author>
          </authors>
          <artTitles>
            <artTitle lang="RUS">Локальная динамика модели цепочки лазеров с оптоэлектронной запаздывающей однонаправленной связью</artTitle>
            <artTitle lang="ENG">Local dynamics of laser chain model with optoelectronic delayed unidirectional coupling</artTitle>
          </artTitles>
          <abstracts>
            <abstract lang="RUS">Цель. Исследуется локальная динамика  модели цепочки лазеров с оптоэлектронной  запаздывающей однонаправленной связью.  Рассматривается система уравнений,  описывающая динамику замкнутой цепочки  большого числа лазеров с оптоэлектронной  запаздывающей связью между элементами.  Предложена эквивалентная распределенная  интегродифференциальная модель с малым  параметром, обратно пропорциональным  количеству лазеров в цепочке. Для  распределенной модели с периодическими  краевыми условиями получено критическое  значение коэффициента связи, при котором  стационарное состояние в цепочке  становится неустойчивым. Показано, что в  определенной окрестности точки  бифуркации число корней  характеристического уравнения с близкой  к нулю действительной частью  неограниченно возрастает при уменьшении  малого параметра. В этом случае в качестве  нормальной формы построено двумерное  комплексное уравнение Гинзбурга–Ландау  с конвекцией. Его нелокальная динамика  определяет поведение решений исходной  краевой задачи. Методы исследования.  Используются методы изучения локальной  динамики, основанные на построении  нормальных форм на центральных  многообразиях, применительно к  критическим случаям (асимптотически)  бесконечной размерности. Предложен  алгоритм сведения исходной краевой  задачи к уравнению для медленно  меняющихся амплитуд. Результаты. Получены  простейшие однородные периодические  решения уравнения Гинзбурга–Ландау и  соответствующие им неоднородные решения  в виде бегущих волн в распределенной  модели. Такие решения можно  интерпретировать как режимы фазовой  синхронизации в цепочке связанных  лазеров. Определены частоты и амплитуды  колебаний интенсивности излучения  каждого лазера и разность фаз между  соседними осцилляторами.  </abstract>
            <abstract lang="ENG">Purpose. The local dynamics of the laser chain model with optoelectronic  delayed unidirectional coupling is investigated. A system of equations is  considered that describes the dynamics of a closed chain of a large number of  lasers with optoelectronic delayed coupling between elements. An equivalent  distributed integro-differential model with a small parameter inversely  proportional to the number of lasers in the chain is proposed. For a  distributed model with periodic edge conditions, the critical value of the  coupling coefficient is obtained, at which the stationary state in the chain  becomes unstable. It is shown that in a certain neighborhood of the  bifurcation point, the number of roots of the characteristic equation with a  real part close to zero increases indefinitely when the small parameter  decreases. In this case, a two-dimensional complex Ginzburg–Landau equation  with convection is constructed as a normal form. Its nonlocal dynamics  determines the behavior of the solutions of the original boundary value  problem. Research methods. Methods for studying local dynamics based on the  construction of normal forms on central manifolds are used as applied to  critical cases of (asymptotically) infinite dimension. An algorithm for  reducing the original boundary value problem to the equation for slowly  varying amplitudes is proposed. Results. The simplest homogeneous periodic  solutions of Ginzburg–Landau equation and corresponding to them  inhomogeneous solutions in the form of traveling waves in a distributed model  are obtained. Such solutions can be interpreted as phase locking regimes in  the chain of coupled lasers. The frequencies and amplitudes of oscillations  of the radiation intensity of each laser and the phase difference between  adjacent oscillators are determined.  </abstract>
          </abstracts>
          <text lang="RUS">\section*{Введение}\label{sec:1} Кооперативные эффекты в природных  сообществах и в технических устройствах  являются предметом постоянных активных  исследований. Описание разнообразных  проявлений синхронизации в ансамблях  связанных осцилляторов, базовые модели и  классификация функций связей приведены,  например, в \cite{pikovsky-2003,Stankovski-2017}. Отмечалось, что в процессах  функционирования многих сетей  неустранимым фактором может быть  запаздывание вследствие конечности  скорости распространения и  преобразования сигналов между  элементами. Особенности динамики сетей,  обусловленные наличием временных  задержек в линиях связи, обсуждались в  обзоре \cite{Klinshov-2013}. Многие теоретические результаты были  получены на основе локального анализа  модели связанных фазовых осцилляторов  \cite{Kuramoto-1984} или метода сведения к  отображениям при импульсной функции  связи. В том числе были показаны  возможность индуцированной  запаздыванием мультистабильности  синхронных режимов \cite{Schuster-1989},  формирование бегущих волн в замкнутом  кольце осцилляторов \cite{Perlikowski-2010,Klinshov-2017},  кластерных состояний \cite{Dahms-2012}, вымирания  колебаний из-за наличия запаздывающих  связей \cite{Ramana-2000} при учете  амплитудно-фазового взаимодействия.  \renewcommand{\baselinestretch}{1.03}\normalsize{    \par}  Особое внимание привлекают системы  связанных лазеров в связи с  перспективными приложениями таких сетей  в фотонике и информационных технологиях  \cite{Soriano-2013}. Наиболее детально  исследовалась динамика небольшого числа  связанных лазеров. Оптическая связь  осуществляется  посредством взаимной (или  однонаправленной) инжекции генерируемого  излучения в активную среду лазеров. В этом  случае благодаря симметричной связи  сообщалось о полной синхронизации   генерации двух полупроводниковых лазеров  при расстройке их оптических частот  \cite{Wunsche-2005}. В работе \cite{Hohl-1997} продемонстрирована  локализованная синхронизация (с  различной амплитудой) колебаний  интенсивности излучения двух  неидентичных лазеров с несимметричной  силой взаимной связи. Задачи надежной стабилизации излучения  большого числа оптически связанных  лазерных диодов рассматривались в работе  \cite{Otten-2018}.  Оптоэлектронная связь обычно  осуществляется посредством модуляции  тока накачки одного лазера в соответствии  с изменениями интенсивности  генерируемого излучения другого (других)  лазера (лазеров). В работе \cite{Carra-2006} показано, что в модели  двух лазеров, связанных через накачку,  наблюдались синхронизация колебаний,   резонансные эффекты и динамический хаос  даже при отсутствии запаздывания. В работе \cite{ Uchida-2002} численно показана  возможность синхронизации хаоса в двух  лазерах на микрочипах Nd:YVO$_{4}$ или в  двухмодовом лазере \cite{Uchida-2006}. Роль  запаздывания в цепи связи двух лазерных  диодов экспериментально изучалась в  работе \cite{Kim-2005}. В работах \cite{Vicente-2004,Vicente-2006}  рассматривалась модель с двумя взаимно  связанными идентичными лазерами при  условии различных времен запаздывания в  цепях связи. Наблюдался  квазипериодический сценарий перехода к  хаосу при изменении задержки и показана  возможность подавления колебаний в  случае наличия собственной запаздывающей  обратной связи для каждого лазера.  Расширение области устойчивой  синхронизации колебаний в малых сетях  лазеров при наличии собственной обратной  связи отмечалось и в \cite{Schwartz-2007}. Рассматривались также модели динамики  большого числа связанных лазеров.  Численное исследование коллективных  эффектов в цепочке, содержащей до 50  связанных полупроводниковых лазеров с  насыщающимся поглотителем, работающих в  режиме коротких пульсаций под действием  аддитивного шума, представлено в работе  \cite{Perego-2016}. Продемонстрирована устойчивая  временная синхронизация моментов  импульсов и синхронизация по амплитуде  импульсов.  В настоящей работе исследуется локальная  динамика большого числа связанных  лазеров методом построения  нормализованной краевой задачи.  Определены критические значения  параметров, при которых стационарная  генерация (состояние равновесия)  становится неустойчивой. Установлено  соответствие между решениями  квазинормальной формы и решениями  исходной системы для связанных лазеров в  закритической области параметров.  Материал статьи изложен следующим  образом.  В части \ref{sec:2} обсуждается модель  замкнутой (в кольцо) цепочки на основе  скоростных уравнений для отдельного  лазера. Связь предполагается  однонаправленной, осуществляется через  ток накачки. Выбор оптоэлектронной связи  позволяет избежать сложности, связанной с  моделированием многократных отражений и  динамики фазы электрического поля,  которые играет решающую роль при  рассмотрении когерентной оптической  связи. Число лазеров в цепочке  предполагается большим.  Предложена распределенная  интегродифференциальная модель,  содержащая малый параметр, обратно  пропорциональный числу лазеров в цепочке.  В части \ref{sec:3} приводятся результаты  анализа устойчивости состояния  равновесия распределенной модели.  Показано, что при стремлении малого  параметра к нулю число корней  характеристического уравнения с близкой  к нулю действительной частью стремится к  бесконечности. Получены критические  значения коэффициента связи, частоты и  волновые числа возникающих бегущих волн в  линеаризо\-ван\-ной системе.  В~части \ref{sec:4}  построены решения нелинейной системы в  виде рядов по степеням малого параметра.  Для амплитуды первого члена разложения  получена краевая задача с периодическими  граничными условиями --- двумерное  комплексное уравнение  Гинзбурга\hspace{1pt}--\hspace{1pt}Ландау с  конвекцией. Исходя из решения этой  квазинормальной формы находятся  последовательно все остальные члены ряда,  то есть строится решение исходной  нелинейной системы с заданной точностью.  Приводится пример простейших  периодических решений квазинормальной  формы и соответствующих бегущих волн в  исходной интегродифференциальной модели.  О методике исследования. Отличительной  особенностью рассматриваемых здесь задач  является тот факт, что критические случаи  в задаче об устойчивости состояния  равновесия имеют бесконечную  размерность. Стандартные методы изучения,  основанные на применении теории  интегральных инвариантных многообразий и  теории нормальных форм, оказываются  непосредственно неприменимы. В работах  \cite{19,20,21,22,23} был разработан метод  построения квазинормальных форм для бесконечномерных критических  случаев. В настоящей работе этот метод  эффективно применяется при изучении  распределенных лазерных систем.  \section{Модель цепочки лазеров с  однонаправленными связями}\label{sec:2} В качестве базовой модели динамики  отдельного элемента цепочки --- лазера ---  выбрана стандартная система скоростных  уравнений для плотности фотонов $u(t)$ и  инверсии населенностей  активной среды  $y(t)$ в двухуровневом приближении  \cite{Khanin-1999}, \begin{eqnarray} \label{eq:1} \dot{u}\!\!\!&=&\!\!\! v u(y-1), \nonumber\\[5pt] \dot{y}\!\!\!&=&\!\!\!q - y(1+u), \end{eqnarray} где точкой обозначена производная  функции по времени $t$, которое нормировано  на время релаксации инверсии  населенностей; $v$ --- отношение скорости  затухания фотонов в резонаторе к скорости  релаксации населенностей; потери  резонатора нормированы к единице, $q$ ---  нормированная скорость накачки.  Отметим, что при   $q < 1$ (малая скорость  накачки) все решения системы \eqref{eq:1}  стремятся к  единственному устойчивому  состоянию равновесия с нулевой  плотностью излучения, $u=0$, что  соответствует режиму отсутствия  генерации излучения. С увеличением  скорости накачки до значений $q > 1$ нулевое  состояние становится неустойчивым и  появляется устойчивое ненулевое  состояние равновесия, соответствующее  режиму стационарной генерации. При  отклонении начальных условий от  стационара могут наблюдаться слабо  затухающие колебания с  частотой $\omega_R =  \sqrt{v(q-1)}+O(v^{-1})$, что типично для многих  твердотельных и полупроводниковых  лазеров при достаточно большом значении  $v$ \cite{Khanin-1999}.  Рассмотрим цепочку лазеров, связь между  которыми реализуется оптоэлектронными  средствами так, что скорость накачки  каждого лазера зависит от плотности  излучения одного соседнего лазера. Модель    цепочки, замкнутой в кольцо, с  однонаправленной связью принимает вид: \begin{eqnarray}\label{eq:2} \dot{u}_j\!\!\!&=&\!\!\! v u_j  (y_j-1),\nonumber \\[5pt] \dot{y_j}\!\!\!&=&\!\!\!q-y_j (1+u_j)-\gamma u_{j+1}(t-T), \end{eqnarray} где $j=0,\pm1,\pm2,\ldots,\pm N$ --- номер лазера в  цепочке и выполнены условия  $(2N+1)$-периодичности по индексу $j$: $u_{j\pm (2N+1)  }=u_j$; слагаемое $\gamma u_{j+1}(t-T)$ описывает влияние  на накачку $j$-го лазера в текущий момент  времени $t$ интенсивности излучения  соседнего лазера в момент $(t-T)$; \linebreak $ \gamma $ --- коэффициент  связи между  лазерами, который может принимать как  положительные, так и отрицательные  небольшие значения $ |\gamma|<1 $; $T>0$ ---  время  задержки сигнала в оптоэлектронной цепи  связи, которое может  варьироваться от пренебрежимо  малых до больших значений; аргументы  других функций $u_j$, $y_j$, если не указаны,  соответствуют текущему значению $t$.  Модель \eqref{eq:2} цепочки с  однонаправленными связями можно  рассмотреть как частный случай более  общей модели ансамбля лазеров, каждый из  которых связан  со всеми через ток  накачки, \begin{eqnarray}\label{eq:3} \dot{u_j}\!\!\!&=&\!\!\! v u_j(y_j-1),\nonumber \\ \dot{y_j}\!\!\!&=&\!\!\! q-y_j(1+u_j)-\gamma   \sum\limits_{l=-N}^{N}(2N+1)^{-1}g_{lj}u_{j+l}(t-T), \end{eqnarray} где   $g_{lj}$ --- коэффициенты, определяющие  силу связей, причем  $\sum\limits_{l=-N}^{N}(2N+1)^{-1}g_{lj}=1$. Предполагаем, что  $g_{lj}$ зависят от расстояния между  элементами так, что чем больше расстояние,  то~есть~модуль разности индексов $|l-j|$,  тем  меньше сила связи.  Тогда для замкнутой  цепочки с однонаправленной связью все  $g_{lj}$ близки к нулю, кроме коэффициентов  $g_{1j}$, и выполнены условия  $(2N+1)$-периодичности по индексу $j$.  В настоящей работе   рассмотрим цепочку,  количество элементов в которой является  достаточно большим, $N\gg 1$, а затем введем  параметр $\varepsilon = 2\pi(2N+1)^{-1}$, для которого  выполнено условие \begin{equation}\label{eq:4} 0< \varepsilon \ll 1. \end{equation} Параметр $\varepsilon$ можно интерпретировать  как расстояние между лазерами в цепочке  длиной $2\pi$. Тогда значение функций $u_j(t)$,  $y_j(t)$ можно ассоциировать со значением  функций двух переменных $u(t,x)$, $ y(t,x)$,   соответственно, в точках некоторой  окружности с фазовыми координатами  $x_j=\varepsilon j$.   Условие \eqref{eq:4} дает основание перейти от  системы \eqref{eq:3}  к непрерывной  пространственно распределенной системе  для $u(t,x)$, $y(t,x)$, \begin{eqnarray} \label{eq:5} \dfrac{\partial u}{\partial t}\!\!\!&=&\!\!\! vu(y-1), \nonumber\\ \dfrac{\partial y}{\partial t }\!\!\!&=&\!\!\! q-y(1+u)-\gamma  \int\limits_{-\infty}^{\infty}F(s)u(t-T,x+s)ds \end{eqnarray} с периодическими краевыми условиями \begin{equation}\label{eq:6} u(t,x+2\pi)\equiv u(t,x),\quad y(t,x+2\pi)\equiv y(t,x), \end{equation}   где $F(s)$ --- функция Гаусса, \begin{equation}\label{eq:7} F(s)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi} }   \exp\left(-{\frac{(s-\varepsilon)^2}{2\sigma^2}}\right), \quad  \int\limits_{-\infty}^{\infty}F(s)ds = 1. \end{equation} Интегральное слагаемое в системе \eqref{eq:5}  обобщает соответствующие дискретные  выражения, описывающие связь между  элементами  в уравнениях \eqref{eq:3}.  Для  модели цепочки с однонаправленной связью  с соседним элементом удобно выбрать $F(s)$ в  виде функции Гаусса по нескольким  причинам.  Во-первых, функция \eqref{eq:7} описывает  ситуацию, при которой элемент цепочки в  точке $x$ наиболее сильно связан с  элементом в точке $x+\varepsilon$, а сила связи  между другими элементами цепочки  экспоненциально уменьшается с  увеличением расстояния между ними.  Действительно, для каждой фиксированной  функции $W(x)$  при $\sigma\rightarrow 0$ имеет место  асимптотическое равенство \begin{equation}\label{eq:8} \int\limits_{-\infty}^{\infty}F(s)W(x+s)ds = W(x+\varepsilon)+o(1). \end{equation} Параметр $\sigma$ характеризует ширину  пространственной области эффективного  взаимодействия элементов. Эту область  в непрерывной модели  естественно выбрать меньше, чем  расстояние $\varepsilon$ между лазерами в  дискретной модели цепочки. Поэтому далее  вместо $\sigma$ будем рассматривать параметр  $\varepsilon^2 \sigma \ll 1$. Во-вторых, использование интеграла по  бесконечному промежутку для\linebreak   $2\pi$-периодической функции удобнее, чем  интеграла по периоду $2\pi$ для более сложных функций.  В-третьих,  рассматриваемая связь удобна для  аналитического исследования, поскольку  точно вычисляются соответствующие  интегралы от экспоненциальных функций: \begin{equation}\label{eq:9} \int\limits_{-\infty}^{\infty}F(s)\exp(iks)ds =\exp(ik\varepsilon   )\exp(-\sigma^2 \varepsilon^4 k^2/2). \end{equation} Таким образом, далее будем исследовать  решения интегродифференциальной системы  \eqref{eq:5}, \eqref{eq:6} с~бесконечномерным фазовым  пространством  $C_{[0,2\pi]}(R^2)\times C_{[-T,0]}(R^2)$.   \section{Анализ устойчивости состояния  равновесия}\label{sec:3} Система \eqref{eq:5}, \eqref{eq:6} при $q > 1$ имеет  однородное ненулевое состояние  равновесия $u(x,t)\equiv u_s$, $y(x,t)\equiv y_s$, где \begin{equation}\label{eq:10}   u_s=\frac{q-1}{1+\gamma},\quad y_s=1.\vspace{.2\baselineskip} \end{equation}  Для исследования устойчивости состояния  равновесия \eqref{eq:10} удобно в системе  \eqref{eq:5}, \eqref{eq:6} перейти к малым  отклонениям от равновесных значений $ \Delta  u= u - u_s$ и $\Delta y = y- y_s$. В результате, опуская префикс <<$\Delta$>>,  переходим к краевой задаче \begin{eqnarray}\label{eq:11} \dfrac{\partial u}{\partial t}\!\!\!&=&\!\!\! v y(u_s+u), \nonumber \\ \dfrac{\partial y}{\partial t }\!\!\!&=&\!\!\! -y(1+u_s+u)-u-\gamma  \int\limits_{-\infty}^{\infty}F(s)u(t-T,x+s) ds \end{eqnarray} с периодическими граничными условиями \begin{equation}\label{eq:12} u(t,x+2\pi)\equiv u(t,x),\quad y(t,x+2\pi)\equiv y(t,x). \end{equation}  Рассмотрим далее задачу о локальной  динамике системы \eqref{eq:11}, \eqref{eq:12} при  $t\rightarrow\infty$ и при малых $\varepsilon$ с  начальными условиями из некоторой  достаточно малой и независимой от $\varepsilon$  окрестности нуля. Поведение решений этой  краевой задачи во многом определяется поведением  решений линеаризованной системы \begin{eqnarray}\label{eq:13} \dfrac{\partial u}{\partial t}\!\!\!&=&\!\!\! v  u_s y, \nonumber\\ \dfrac{\partial y}{\partial t }\!\!\!&=&\!\!\! -y(1+u_s)-u-\gamma  \int\limits_{-\infty}^{\infty}F(s)u(t-T,x+s)ds . \end{eqnarray}  %\renewcommand{\baselinestretch}{1}\normalsize{    \par}  \noindent С учетом граничных условий \eqref{eq:12}  решения линейной системы \eqref{eq:13} ищем в  виде \begin{equation*} u=u_k\exp\left(ikx+\lambda_k t\right),\quad  y=y_k\exp\left(ikx+\lambda_kt\right),\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots. \end{equation*} Тогда для нахождения значений $\lambda=\lambda_k$  получим характеристическое уравнение \begin{equation*} \det \begin{pmatrix} -\lambda&vu_s\\ -1-\gamma g(z)\exp\left(-\lambda T\right)& -1-u_s-\lambda \end{pmatrix} =0 \end{equation*} или \begin{equation} \label{eq:14} \lambda^2+(1+u_s)\lambda+vu_s\left[1+\gamma g(z)\exp\left(-\lambda  T\right)\right]=0,\vspace{.5\baselineskip} \end{equation}    где $g(z)=\exp\left(iz-\sigma^2 \varepsilon^2 z^2/2\right)$,~  $z=\varepsilon k$,~  $k=0,\pm1,\pm2,\ldots$.\vspace{.3\baselineskip}  Справедливы следующие утверждения общего  характера.  \begin{statement} 	Пусть при всех $z\in (-\infty,\infty)$ все корни  уравнения \eqref{eq:14} имеют отрицательные  вещественный части. Тогда все решения  краевой задачи \eqref{eq:12}, \eqref{eq:13} с  начальными условиями из некоторой  достаточно малой и независимой от $\varepsilon$  окрестности нулевого состояния  равновесия стремятся к нулю при $t\rightarrow  \infty$. \end{statement}  При этом условии задача о локальной  динамике нелинейной системы \eqref{eq:11},  \eqref{eq:12} тривиальна.  \begin{statement} 	Пусть найдется такое $z_0$, что при $z=z_0$  уравнение \eqref{eq:14} имеет корень  с~положительной вещественной частью.  Тогда при всех достаточно малых $\varepsilon$  нулевое решение в~\eqref{eq:12},~\eqref{eq:13}  неустойчиво и в малой его окрестности не  существует аттракторов этой краевой  задачи. \end{statement}  В условии этого Утверждения  задача о  динамике системы \eqref{eq:11}, \eqref{eq:12}  становится нелокальной.    \subsection{Критический случай при $\sigma=0$.} Рассмотрим критический случай в задаче об  устойчивости периодического состояния  равновесия. Пусть характеристическое  уравнение \eqref{eq:14} при всех $z\in (-\infty,\infty)$ не  имеет корней с положительной  вещественной частью и пусть существует  такое $z_0$, что при $z=z_0$ это уравнение имеет  корень с нулевой вещественной частью.  Положив сначала в \eqref{eq:14} формально $\sigma=0$,  приходим к уравнению \begin{equation} \label{eq:15} \lambda^2+(1+u_s)\lambda+vu_s= v u_s\gamma \exp\left(iz-\lambda T\right). \end{equation} Выделим для \eqref{eq:15} критический случай,  когда есть корень $\lambda = i\omega$ и нет корней с положительной  вещественной частью. Введем многочлен \begin{equation*} P(\omega)=-\omega^2+i \omega (1+u_s)+vu_s, \end{equation*}   и пусть\vspace{-.2\baselineskip}   \begin{equation*} \min_{\omega}|P(\omega)|^2 = |P(\omega_0)|^2.\vspace{.2\baselineskip} \end{equation*} При нахождении минимума $|P(\omega)|^2$ приходим  к алгебраическому уравнению четвертой  степени относительно $\gamma$,   \begin{equation} \label{eq:16} (q+\gamma)^2[4v(q-1)(1+\gamma)-(q+\gamma)^2]-4[v(q-1)\gamma(1+\gamma)]^2=0. \end{equation} Действительный корень $\gamma_0 $ уравнения  \eqref{eq:16} определяет коэффициент связи, при  котором стационарное решение теряет  устойчивость. Расчеты показывают, что  существуют два таких корня  $\gamma_{0}^{\pm}$,  положительный и отрицательный,   удовлетворяющие физическому требованию  для коэффициента связи $|\gamma_0^{\pm}|<1$. Далее будем указывать верхние индексы  $^{\pm}$ критических параметров в случае  необходимости и опускать  их в общем  случае.  Значение $\gamma_0$ определяет частоту  колебаний $\omega_0=\omega(\gamma_0)$, где   \begin{equation} \label{eq:17}   \omega_0^2= v u_0-\frac{(1+u_0)^2}{2}, \quad u_0=\frac{q-1}{1+\gamma_0}. \end{equation}  Обозначим фазу  $P(\omega_0)$ в точке экстремума \begin{equation} \label{eq:18} \phi_0 = \arctan{\frac{\omega_0(1+u_0)}{v u_0 -\omega_0^2}} \end{equation} и заметим, что из уравнения \eqref{eq:15}  следует $\phi_{0}^{+}+\pi (2n+1)= z-\omega_{0}^{+} T$ при $\gamma_{0}^{+}>0$ или $\phi_{0}^{-}+2\pi n =\linebreak = z-\omega_{0}^{-} T$ при  $\gamma_{0}^{-}<0$,~  $n=0,\pm 1, \pm 2...$.  Следующее утверждение определяет условия  возникновения критических случаев для  характеристического уравнения  \eqref{eq:14}.   \begin{lemma} 	Характеристическое уравнение \eqref{eq:14}  имеет решение $\lambda = i \omega_0^{+}$ при $\gamma = \gamma_0^{+}$ \linebreak и  $z=z_n^{+}= \phi_0^{+} +\pi(2 n+1) +\omega_0^{+} T$, $n=0,\pm 1, \pm 2$...,  а также решение $\lambda = i \omega_0^{-}$ при  $\gamma = \gamma_0^{-}$ и $z=z_n^{-}=  \phi_0^{-}+ 2\pi n + \omega_0^{-} T$, $n=0,\pm 1, \pm 2$.... \end{lemma}  Поскольку значения параметра $z=\varepsilon k$  связаны с волновыми числами $k$ решений  вида $\exp(ikx+i\omega t)$ линеаризованной системы,  то критическое значение $z$ определяет  <<центральное>>  волновое  число $k\sim  z_n\varepsilon^{-1}$ тех мод, которые возбуждаются  при потере устойчивости стационарного  состояния.  Волновые числа $k$ должны быть  целыми в силу периодических краевых  условий, поэтому введем поправку  $\theta=\theta(\varepsilon)\in[0,1)$, которая  дополняет  величину $z_0\varepsilon^{-1}$ до целого числа.  Тогда в закритической области линейная  система  имеет решения вида $\exp(ik_{mn}x+i\omega_0  t)$ с  волновыми числами $k_{mn}$ из множества  целых чисел $K_{\varepsilon}$, которые можно  представить в виде:   \begin{equation} \label{eq:19} K_{\varepsilon}=\{z_0\varepsilon^{-1}+\theta + 2\pi n \varepsilon^{-1} +m, \  \ n,m=0,\pm1,\pm2,...\}, \end{equation} где  $2\pi n \varepsilon^{-1}=(2 N+1) n$ --- целое число, $z_0=\phi_0^{+}+\pi +\omega_0^{+}T$ при  $\gamma=\gamma_0^{+}>0$  или  $z_0=\phi_0^{-}+\omega_0^{-}T$ при  $\gamma=\gamma_0^{-}<0$.  Введение поправки $\theta$, дополняющей  волновое число до целого, влечет за собой  отклонение параметра $z$ от критического  $z_0$ и частоты $\omega$ от $\omega_0$ в критическом  случае. Соответствующие поправки приведены в  следующем пункте.  \vspace{.3\baselineskip} \subsection{Критический случай при $\sigma \ne 0$.} Здесь получим асимптотическое  представление корней  характеристического уравнения \eqref{eq:14},  которым отвечают собственные функции  $\exp(ik_{mn}x+\lambda t)$ линеаризованной системы с   волновыми числами из   множества целых  чисел $K_{\varepsilon}$, определенных~в~\eqref{eq:19}.  Учтем также $\sigma \ne 0$ и  малое отклонение  параметра связи от критического значения  $\gamma_0$ на величину порядка $\varepsilon^2$, то  есть положим в уравнении \eqref{eq:14}   \begin{equation} \label{eq:20} \gamma=\gamma_{0} + \varepsilon^2\gamma_1, \end{equation} при этом  в \eqref{eq:14}  значение $u_s$  представляется в виде $u_s= u_0-\varepsilon^2\gamma_1 u_0  (1+\gamma_{0})^{-1}+O(\varepsilon^4)$.  Для тех корней $\lambda=\lambda_{m n}(\varepsilon)$,  $n,m=0,\pm1,\pm2,...$,  вещественные части которых  стремятся к нулю при $\varepsilon \rightarrow 0$,   выполнено асимптотическое равенство:   \begin{eqnarray} \label{eq:21} && \lambda_{m n}~\,= i \omega_0 + \varepsilon \lambda_{m n 1}+ \varepsilon^2  \lambda_{m n 2}+..., \\[5pt] &&\lambda_{m n 1} =  i \delta (\theta+m),\nonumber \\[5pt] && \lambda_{m n 2} = -\delta_2 (\theta+m)^2  -\delta\sigma^2 (z_0 +2\pi  n)^2/2 - \gamma_1\delta_3, \nonumber \end{eqnarray} где\vspace{-.3\baselineskip}   \begin{eqnarray*} \label{eq:20.1} &&\delta~\,=\frac{1+ u_0}{2+T(1+u_0)},\quad \delta>0,\\[5pt] &&\delta_2=\delta\big[(1-\delta T)^2/2 + \delta^2 (v u_0  \gamma_0)^{-1}e^{-i\phi_0}\big], \\[5pt] &&\delta_3=\delta\big[ (1+i \omega_0 v^{-1})e^{-i\phi_0}-1\big]  (\gamma_0+\gamma_0^2)^{-1}. \end{eqnarray*}  \vspace{.2\baselineskip}\noindent Для последующей  интерпретации результатов нужно  отметить, что  $\varepsilon \lambda_{mn 1}$ --- чисто  мнимая величина, которая является  поправкой к основной частоте $\omega_0$ при  волновом числе $k_{mn}$.  Из разложения \eqref{eq:21} следует, что при  $\gamma=\gamma_0+ \varepsilon^2\gamma_1$ существует  бесконечно много корней  характеристического уравнения \eqref{eq:14},  вещественные части которых стремятся к  нулю при $\varepsilon\rightarrow 0$. Таким образом,  специфика рассматриваемой задачи состоит  в том, что критические случаи имеют  бесконечную размерность.  \vspace{.2\baselineskip} \subsection{Решения линеаризованной системы  \eqref{eq:13}.}  Каждому характеристическому корню  $\lambda_{mn}(\varepsilon)$ отвечает частное решение  линеаризованной системы \eqref{eq:13}  \begin{equation}\label{eq:22} \begin{pmatrix} u_{mn}\\ y_{mn} \end{pmatrix} = [a_0+ \varepsilon (m+\theta)a_1]\xi_{mn} \exp\big( ik_{mn}x  +\lambda_{mn}t\big),\vspace{.3\baselineskip} \end{equation} где   $\xi_{mn}$ --- амплитуда моды, определяемая  начальными условиями, и\vspace{.3\baselineskip} \begin{equation*} a_0 = \begin{pmatrix} 1\\r\end{pmatrix}, \quad a_1= \begin{pmatrix} 1\\r\left(1+\delta \omega_0^{-1}\right)\end{pmatrix},  \quad r=\frac{i\omega_0}{vu_0}.\vspace{.3\baselineskip} \end{equation*}  Общим решением линейной краевой задачи  \eqref{eq:12}, \eqref{eq:13} является совокупность  найденных частных решений, \begin{equation}\label{eq:23} \begin{pmatrix} u(t,x,\varepsilon)\\ y(t,x,\varepsilon) \end{pmatrix} = \sum_{m,n=-\infty}^{\infty} {[a_0+ \varepsilon (m+\theta)a_1] \xi_{mn}  \exp\big( ik_{mn}x +\lambda_{mn}t\big)}. \end{equation} Это решение можно записать в следующем  виде, учитывая разложения \eqref{eq:21} для  характеристических  корней  $\lambda_{mn}=i\omega_0-\varepsilon i \delta (\theta+m)+ O(\varepsilon^2) $  и выражения для волновых чисел  $k_{mn}$,\vspace{.3\baselineskip} \begin{eqnarray}\label{eq:24} \begin{pmatrix} u(t,x,\varepsilon)\\ y(t,x,\varepsilon) \end{pmatrix} = e^{iR} \sum_{m,n=-\infty}^{\infty} {\left[(a_0+ \varepsilon\theta  a_1)+ \varepsilon  m a_1\right]\xi_{mn} e^{\big( imX + inY +O(\varepsilon^2)t  \big)}},\vspace{.3\baselineskip} \end{eqnarray} где использованы обозначения: $R =\kappa x+\Omega  t$ --- бегущая переменная,  $\kappa  =z_0\varepsilon^{-1}+\theta$ --- главное волновое число,  $\Omega=\omega_0+\varepsilon \delta\theta$ --- основная  частота, и введены переменные $ X=x+\varepsilon \delta t$ и $Y=2\pi \varepsilon^{-1} x$.  Заметим, что выражение\vspace{-.3\baselineskip} \begin{eqnarray*} \sum_{m,n=-\infty}^{\infty} {\xi_{mn} e^{\big( imX + inY \big)}} \end{eqnarray*} можно рассматривать как  разложение Фурье  для функции $\xi(X,Y)$, которая $2\pi$-периодична  по обеим ``квази''пространственным  переменным, $\xi(X,Y)=\xi(X+2\pi,Y)$,~ $\xi(X,Y)=\xi(X,Y+2\pi)$.  Учитывая, что\vspace{-.2\baselineskip} \begin{eqnarray*} \frac{\partial \xi}{\partial X}= \sum_{m,n=-\infty}^{\infty} {im \xi_{mn}  e^{\big( imX + inY \big)}}, \end{eqnarray*} решение  \eqref{eq:24} линеаризованной системы  можно записать в виде\vspace{.2\baselineskip} \begin{eqnarray}\label{eq:25} \begin{pmatrix} u\\ y \end{pmatrix}\!\!\! &=& \!\!\! \Big[(a_0+\varepsilon  a_1 \theta)\xi-\varepsilon i a_1 \frac{\partial \xi}{\partial  X}\Big]e^{iR}e^{O(\varepsilon^2)t} + c.c. \end{eqnarray}  \vspace{.3\baselineskip} \section{Асимптотики решений нелинейной  системы \eqref{eq:11}} \label{sec:4} Решение нелинейной краевой задачи  \eqref{eq:11}, \eqref{eq:12} при $\gamma=\gamma_0+\varepsilon^{2}\gamma_1$  будем искать, используя решение \eqref{eq:25}  линеаризованной системы и предполагая,  что амплитуды $\xi_{m n}$ медленно меняются со  временем.  Введем функцию $\xi(\tau,X,Y)$, которая зависит  от  медленной временной переменной $\tau=  \varepsilon^{2} t$ и которая $2\pi$-периодична по  пространственным переменным $X,Y$. Тогда  решение $u(t,x,\tau,X,Y)$ и $y(t,x,\tau,X,Y)$  нелинейной краевой задачи \eqref{eq:11}, \eqref{eq:12}  представим в виде ряда по степеням  $\varepsilon$\vspace{.2\baselineskip} \begin{eqnarray}\label{eq:26} \begin{pmatrix} u\\ y \end{pmatrix} \!\!\!&=&\!\!\! \varepsilon  \Big[(a_0+\varepsilon a_1 \theta)\xi-\varepsilon i a_1 \frac{\partial  \xi}{\partial X}\Big]e^{iR} + \varepsilon^2 \begin{pmatrix} u_{2}\\ y_{2} \end{pmatrix} +\varepsilon^3 \begin{pmatrix} u_{3}\\ y_{3} \end{pmatrix}+...+ c.c. \end{eqnarray} Здесь функции \begin{eqnarray*} \varepsilon^2 u_2\!\!\!&=&\!\!\!\varepsilon^2(u_{20}+u_{22}e^{i2R}+c.c.),\ \varepsilon^2 y_2=\varepsilon^2(y_{20}+y_{22}e^{i2R}+c.c.),\\[5pt] \varepsilon^3 u_3\!\!\!&=&\!\!\!  \varepsilon^3(u_{31}e^{iR}+u_{32}e^{i2R}+u_{33}e^{i3R}+c.c.),\ ... \end{eqnarray*} обозначают величины второго, третьего и  т\,д. порядка  по степеням $\varepsilon$ и  амплитуды  $u_{2j}(\tau,X,Y)$, $y_{2j}(\tau,X,Y),...$  гармоник основной частоты так же, как и  $\xi(\tau,X,Y)$, медленно зависят от времени и  являются $2\pi$-периодичными по  пространственным переменным $X,Y$.  Подставим \eqref{eq:20} и ряды \eqref{eq:26} в  нелинейную систему \eqref{eq:11}.   Вспомогательные ряды для производных и  интегрального слагаемого приведены в  приложении. Собираем коэффициенты при  одинаковых степенях $\varepsilon$  и гармониках  основной частоты. При этом  последовательно находятся медленные  амплитуды:\vspace{-.5\baselineskip} \begin{eqnarray}\label{eq:27} &u_{20}=0,\quad y_{20}=0 ,&\\[5pt] %\end{eqnarray} %\begin{eqnarray}\label{eq:28} &u_{22}= C \dfrac{r}{ u_0} \xi^2,\quad y_{22}= (2rC-1)\dfrac{r}{ u_0}\xi^2 ,& \end{eqnarray} где\vspace{.1\baselineskip} $$ C =  \frac{1+2i\omega_0} {4i\omega_0 r+2r(1+u_0)+1+\gamma_0 e^{2i\phi_0}}. $$  %\renewcommand{\baselinestretch}{1}\normalsize{    \par}  \noindent Для разрешимости соответствующей  системы относительно $u_{31}$, $y_{31}$ должно  быть выполнено условие существования.  Последнее приводит к следующему  комплексному уравнению для функции  $\xi(\tau,X,Y)$:%\vspace{-.1\baselineskip} \begin{equation}\label{eq:29} \frac{\partial\xi}{\partial\tau}= \alpha\xi +L\xi|\xi|^2  +\upsilon_X\frac{\partial\xi}{\partial X}+  \upsilon_Y\frac{\partial\xi}{\partial Y}+ D_X\frac{\partial^2\xi}{\partial  X^2} + D_Y\frac{\partial^2\xi}{\partial Y^2},\vspace{.5\baselineskip} \end{equation} с периодическими краевыми  условиями\vspace{.3\baselineskip} \begin{eqnarray}\label{eq:30} \xi(\tau,X,Y)=\xi(\tau,X+2\pi,Y), \quad \xi(\tau,X,Y)=\xi(\tau,X,Y+2\pi), \end{eqnarray} где\vspace{-.3\baselineskip} \begin{eqnarray*} &\displaystyle\alpha =  \gamma_1 \delta_3, \quad L=\frac{i\omega_0 (i\omega_0+1)(rC-1)}{u_0^2(2i\omega_0+1+u_0-T\gamma_0  v u_0 e^{i\phi_0})}&\\[5pt] &\displaystyle\upsilon_X =  - 2i\delta_2\theta,\quad \upsilon_Y=  -2i\delta\pi\sigma^2,\quad D_X=\delta_2, \quad D_Y=\delta \sigma^2  2\pi^2&\vspace{.3\baselineskip} \end{eqnarray*} и выражения для $\delta$, $\delta_2$, $\delta_3$  приведены в \eqref{eq:21}. Отметим, что  коэффициент $ \alpha$ при линейном члене  уравнения \eqref{eq:29} определяется величиной  параметра надкритичности $\gamma_1$, причем $\Re  \alpha > 0$, если $\gamma_0^{+}>0$  и $\gamma_1>0$ ($\gamma_0^{-}<0$ и  $\gamma_1<0$). Коэффициенты переноса $\upsilon_X$ и  диффузии  $D_X$ при пространственных производных в  уравнении \eqref{eq:29} являются комплексными и  определяются только критическими  значениями параметров. Коэффициенты  $\upsilon_Y$  и $D_Y$ определяются  параметром $\sigma$, который описывает ширину  области эффективной связи между  элементами кольца лазеров. Используя выражения для $\delta$ и $\delta_2$,  можно показать, что коэффициенты диффузии  имеют положительную действительную  часть:\vspace{-.3\baselineskip} \begin{equation*} \label{eq:20.2} \Re D_X=\delta\frac{8 \omega_0^2}{(2+T(1+u_0))^2(\omega_0^2+(1+u_0)^2/2)} >  0,\quad   \Re D_Y= 2\pi^2\sigma^2\delta > 0,\vspace{.3\baselineskip} \end{equation*} поэтому уравнение \eqref{eq:29} описывает  диссипативную систему.  Краевая задача \eqref{eq:29}, \eqref{eq:30} играет  роль нормальной формы: ее нелокальная  динамика определяет, при достаточно малых  $\varepsilon $, поведение всех решений  нелинейного уравнения \eqref{eq:11} с  начальными условиями из некоторой  достаточно малой и не зависящей от $\varepsilon  $ окрестности нулевого состояния  равновесия. По самому построению краевой  задачи \eqref{eq:29}, \eqref{eq:30} следует связь  между ее решениями и решениями уравнения  \eqref{eq:11}, что устанавливается следующей  теоремой.  \begin{theorem} 	Пусть выполнено условие $\gamma=\gamma_0+\varepsilon^2  \gamma_1$ и пусть краевая задача \eqref{eq:29},  \eqref{eq:30} имеет решение $\xi _{0} (\tau, X,Y)$,  ограниченное при $\tau \to \infty $ и $X\in(0,2\pi]$, $Y\in  (0,2\pi]$. Тогда функции\vspace{.3\baselineskip} \begin{eqnarray}\label{eq:31} &&u(t,x)= \varepsilon  \xi_0(\varepsilon ^{2}t,x+\varepsilon \delta  t,  2\pi\varepsilon^{-1}x)e^{i(z_0\varepsilon^{-1}+\theta)x+i\omega_0 t  }+c.c.,\nonumber \\[5pt] &&y(t,x)= \varepsilon  r \xi_0(\varepsilon ^{2}t,x+\varepsilon\delta t,  2\pi\varepsilon^{-1}x)e^{i(z_0\varepsilon^{-1}+\theta)x+i\omega_0 t  }+c.c.\vspace{.3\baselineskip} \end{eqnarray} удовлетворяют уравнению \eqref{eq:11} с  точностью до $O(\varepsilon^{2}).$ \end{theorem}    \subsection{Периодические решения краевой  задачи \eqref{eq:29}, \eqref{eq:30}.}  Краевая задача \eqref{eq:29}, \eqref{eq:30} является  двумерным  комплексным уравнением  Гинзбурга\hspace{1pt}--\hspace{1pt}Ландау с  конвекцией \cite{Akhromeyeva-1989}.  Здесь рассмотрим простейшие решения при  типичных для лазеров класса В значениях  параметров.  В квазинормальной форме \eqref{eq:29}, \eqref{eq:30}  имеются слагаемые с коэффициентами,  зависящими от параметра $\sigma$. Последний  характеризует размер области  эффективного пространственного  взаимодействия между элементами  распределенной модели кольца \eqref{eq:5}.  Дискретной модели \eqref{eq:3} цепочки лазеров  с однонаправленной связью наиболее  естественно будет соответствовать   квазинормальная форма \eqref{eq:29}, \eqref{eq:30} с  параметром $\sigma\rightarrow 0$, тогда  коэффициенты $\upsilon_Y, D_Y\rightarrow 0$  и приходим  к квазинормальной форме для функции  $\xi(\tau,X)$, зависящей от одной  пространственной  переменной,\vspace{.1\baselineskip} \begin{eqnarray}\label{eq:33} \frac{\partial\xi}{\partial\tau}\!\!\!&=&\!\!\! \alpha\xi +L\xi|\xi|^2  +\upsilon_X\frac{\partial\xi}{\partial X}+ D_X\frac{\partial^2\xi}{\partial  X^2}, \nonumber\\[5pt] & & \xi(\tau,X)=\xi(\tau,X+2\pi).\vspace{.1\baselineskip} \end{eqnarray} Простейшим решением квазинормальной  формы \eqref{eq:33} является однородное в  пространстве и периодическое во времени  решение\vspace{-.2\baselineskip} \begin{equation} \label{eq:34} \xi_0(\tau, X)= \rho e^{i\omega_2\tau+i\psi}, \end{equation}   где\vspace{-.2\baselineskip} $$ \rho^2=- \frac{\Re \alpha}{ \Re L},\quad \omega_2=\Im \alpha + \rho^2 \Im  L  \vspace{.2\baselineskip} $$ и $\psi$ --- начальная фаза колебаний,  определяемая начальными условиями. Коэффициент  при нелинейном слагаемом в  уравнении \eqref{eq:33} является ляпуновской величиной,  определяющей направление бифуркации. Известно, что при  $\Re L < 0$ имеет место  суперкритическая бифуркация, в  результате которой  возникает  устойчивый  цикл малой амплитуды в закритической  области $\Re \alpha >0$. При  $\Re L > 0$ имеет место субкритическая  бифуркация, в результате которой   образуется  неустойчивый цикл  в  докритической области $\Re \alpha <0$. Тогда в исходной системе возможно  наблюдение бистабильности режимов: при  малых отклонениях начальных условий от  стационара система остается устойчивой  или,  при достаточно больших отклонениях,  уходит к другому аттрактору.  Однородному по пространственной  переменной решению \eqref{eq:34}  уравнения  \eqref{eq:33} соответствует неоднородное  решение уравнения \eqref{eq:13} в виде  устойчивой бегущей волны с волновым  числом $\kappa= z_0\varepsilon^{-1}+\theta$:\vspace{-.2\baselineskip} \begin{eqnarray}\label{eq:35} u(t,x)\!\!\!&=&\!\!\! 2 \varepsilon  \rho \cos\big(\kappa x +(\omega_0+\varepsilon\delta\theta+O(\varepsilon^2)) t\big)  +O(\varepsilon^2),\nonumber \\[5pt] y(t,x)\!\!\!&=&\!\!\! 2\varepsilon \frac{\omega_0}{v u_0}  \rho \sin \big(\kappa x +(\omega_0+\varepsilon\delta\theta+O(\varepsilon^2))  t\big) +O(\varepsilon^2),\vspace{.2\baselineskip} \end{eqnarray} причем в силу целого значения $\kappa$  удовлетворены условия $u(t,x)=u(t,x+2\pi)$ и  $y(t,x)=\linebreak =y(t,x+2\pi)$.  В свою очередь, неоднородное решение   \eqref{eq:35} соответствует устойчивому режиму  фазовой синхронизации цепочки связанных  лазеров. Каждый элемент цепочки (лазер)  испытывает колебания интенсивности  излучения с одинаковой для всех элементов  амплитудой и частотой со сдвигом фазы на  величину $z_0+O(\varepsilon)$ относительно  соседнего элемента, $u_j(t)=u(t,\varepsilon j)$.  Приведем пример расчета решений в виде  бегущей волны при следующих значениях  параметров:   скорость накачки $q=1.5$,  скорость  затухания фотонов в резонаторе $v=100$,   запаздывание в цепи оптоэлектронной  связи $T=0.2$ и пусть в цепочке связаны $63$  лазера, тогда $\varepsilon=2\pi/63=0.09973$. Отметим,  что значение $\varepsilon$ нужно вычислять с  высокой точностью, чтобы при большом  волновом числе были удовлетворены  периодические граничные условия.  Учитывая, что параметр $v$ принимает  достаточно большие значения в случае  лазеров класса В, можно использовать оценочные формулы для коэффициентов  квазинормальной формы \eqref{eq:33}. Из уравнения \eqref{eq:16} находим критические  значения коэффициента связи между  лазерами: \begin{equation} \label{eq:16.1} \gamma_{0}^{\pm} =\pm  \frac{q}{\sqrt{v(q-1)}}+O(v^{-1}). \end{equation} Этим значениям коэффициентов связи  соответствуют частоты возникающих  бегущих волн, сопоставимые с частотой  затухающих колебаний $\omega_R=\sqrt{v(q-1)}$ для  уединенного лазера,\vspace{.3\baselineskip} \begin{equation} \label{eq:16.2} \omega_{0}^{\pm} =\omega_R \pm \frac{q}{2}+O(v^{-1})\vspace{.3\baselineskip} \end{equation} в окрестности  (неустойчивого)  стационарного состояния\vspace{.4\baselineskip} \begin{equation} \label{eq:16.0} u_{0}^{\pm} =q-1 \pm \frac{q\sqrt{q-1}}{\sqrt{v}}  +O(v^{-1}).\vspace{.4\baselineskip} \end{equation} Комплексный коэффициент диффузии  представляется как\vspace{.3\baselineskip} \begin{equation} \label{eq:16.4} D_{X}^{\pm} =\frac{2(1+u_{0}^{\pm})-4i(1+u_{0}^{\pm})^2/\omega_{0}^{\pm}}   {[2+T(1+u_{0}^{\pm})]^3}+O(v^{-1}),\vspace{.4\baselineskip} \end{equation} откуда следует, что коэффициент диффузии  всегда имеет положительную  действительную часть и  уменьшается по  модулю с увеличением запаздывания в цепи  связи $T$. Для ляпуновской величины, определяющей  направление бифуркации,  получаем\vspace{.3\baselineskip} \begin{equation} \label{eq:16.5} L^{\pm} =\frac{-5q\pm i(\sqrt{v} q\pm  6\sqrt{v(q-1)})}{18(u_{0}^{\pm})^2[2+T(1+u_{0}^{\pm})]^3} +O(v^{-1/2}),\vspace{.3\baselineskip} \end{equation} откуда следует, что $\Re L^{\pm} < 0$ в случае  большого $v$, что справедливо для лазеров  класса В.   Получаем для положительного значения  критического уровня коэффициента связи  $\gamma_{0}^{+}=\linebreak =0.219$, частота $\omega_{0}^{+}=6.327$,  параметр $\theta^{+}=0.332$,  центральное волновое  число $\kappa^{+}=59$, коэффициент диффузии  $D_{X}^{+}=0.234+0.026i$, ляпуновская величина  $L^{+}=-1.059-6.274i$, параметр надкритичности  $\alpha^{+}=2.719-2.286i$ при $\gamma_1=1$, амплитуда цикла  $\rho^{+}=0.764$, частота возникающих колебаний с  учетом поправки на целое волновое число  $\omega^{+}=6.347$. На~рис.~\ref{fg:1} показано мгновенное  распре\-деление интенсивности излучения  $u_j$, $j= 0,\pm1,...31$  лазе-\begin{wrapfigure}{o}{8.3cm}\vspace{.65\baselineskip} 	\centering 	\includegraphics[width=8cm]{chain1}\vspace{-.3\baselineskip} 	\caption{ 		Мгновенное распределение интенсивности  излучения $u_j$, $j=0,\pm1,...31$ лазеров в цепочке  относительно равновесного уровня $u_s$ при  $\gamma=\gamma_{0}^{+}-\varepsilon^2=0.229$. Разность фаз  между колебаниями соседних элементов  цепочки $z_{0}^{+}=5.87$\protect\\[5pt] 		Fig.~\ref*{fg:1}.~Instantaneous distribution of radiation intensity $u_j$,  $j=\linebreak =0,\pm1,...31$ of lasers in the chain with respect to the  equilibrium level $u_s$ at $\gamma=\gamma_{0}^{+}-\varepsilon^2=0.229$. Phase  dif\-fe\-rence between oscillations of adjacent elements of the chain  $z_{0}^{+}=5.87$}       \label{fg:1}\vspace{-1\baselineskip} \end{wrapfigure}ров в цепочке относительно  равновесного уровня $u_s$, где $u_j= u(\varepsilon j,0)$    согласно формуле \eqref{eq:35}. Разность фаз  между соседними элементами цепочки  составляет $z_{0}^{+}+O(\varepsilon)\approx\linebreak \approx  5.87$. С течением времени  по кольцу  циркулирует бегущая~волна.  %\renewcommand{\baselinestretch}{1}\normalsize{    \par}  Для отрицательного значения  критичес\-кого уровня коэффициента связи  $\gamma_{0}^{-}=\linebreak =-0.204$, частота возникающих  колебаний равна $\omega_{0}^{-}= 7.843$, разность  фаз между соседними элементами цепочки  $z_{0}^{-}=3.04$, параметр $\theta^{-}=0.64$,  центральное  волновое число $\kappa^{+}=31$, коэффициент  диффузии\linebreak  $D_{X}^{-}=0.256+0.027i$, ляпуновская  величина $L^{-}=-0.484-2.436i$, параметр  надкритичности $\alpha^{-}=-3.526- 4249i$ при $\gamma_1=1$,  амплитуда цикла $\rho^{-}= 1.202$, частота  колебаний с учетом поправки на целое  волновое\linebreak  \begin{wrapfigure}{o}{7.8cm}\vspace{.2\baselineskip} 	\centering 	\includegraphics[width=7.8cm]{chain2}\\[5pt]%\vspace{.5\baselineskip} 	\parbox{7.8cm}{ 	\caption{Мгновенное распределение  интенсивности излучения $u_j$, $j=0,\pm1,...31$  лазеров в цепочке относительно  равновесного уровня $u_s$ при  $\gamma=\gamma_{0}^{-}+\varepsilon^2=-0.214 $. Разность фаз  между колебаниями соседних элементов  цепочки $z_{0}^{-}=3.04$\protect\\[5pt] 		Fig.~\ref*{fg:2}.~Instantaneous distribution of radiation intensity $u_j$,  $j=\linebreak =0,\pm1,...31$ of lasers in the chain with respect to the  equilibrium level $u_s$ at $\gamma=\gamma_{0}^{-}-\varepsilon^2=-0.214$.  Phase dif\-fe\-rence between oscillations of adjacent elements of the chain  $z_{0}^{-}=3.04$} 	\label{fg:2}}\vspace{-2\baselineskip} \end{wrapfigure} \noindent число $\omega^{-}=7.89$. На  рис.~\ref{fg:2} показано мгновенное  распределение интенсивности излучения  $u_j$, $j{=}0,\pm1,...31$ лазеров в цепочке  относи\-тельно равновесного уровня $u_s$.  Поскольку разность фаз колебаний  интенсивности соседних лазеров близка к  $\pi$, то можно наблюдать живущие некоторое  время полосатые структуры.  Отметим, что  комплексное уравнение  Гинзбурга\hspace{1pt}--\hspace{1pt}Ландау может  иметь и другие нестационарные  неоднородные решения, включая    диффузионный хаос, которые  рассматривались ранее во многих работах,  например в \cite{Akhromeyeva-1989}. Тогда и решения  распределенной модели цепочки могут быть  существенно сложнее. Требуются  дополнительные исследования  с учетом  конвекции, присутствующей в  нормализованном уравнении, устойчивости  возможных режимов, что представляется  предметом отдельного исследования.    \renewcommand{\baselinestretch}{1.05}\normalsize{    \par}    \section*{Заключение}\label{sec:5} В настоящей работе предложена  распределенная интегродифференциальная  модель с запаздывающим аргументом для  описания динамики цепочки лазеров в  случае, если число элементов является  достаточно большим.  В результате линейного анализа  распределенной модели с учетом малого  параметра, обратно пропорционального  числу лазеров в цепочке, получены критические значения  коэффициента связи, при которых  стационарное состояние в цепочке  становится неустойчивым. Показано, что в определенной окрестности  точки бифуркации число корней  характеристического уравнения с  близкой  к нулю действительной частью  неограниченно возрастает при уменьшении  малого параметра.  Предложен алгоритм  сведения исходной краевой задачи к  уравнению для медленно меняющихся  амплитуд применительно к критическим  случаям (асимптотически) бесконечной  размерности. Получено  двумерное  комплексное уравнение  Гинзбурга\hspace{1pt}--\hspace{1pt}Ландау с  конвекцией и с периодическими граничными  условиями в качестве нормальной формы.  Его нелокальная динамика определяет  поведение решений исходной краевой  задачи.  Получены простейшие однородные  периодические решения уравнения  Гинзбурга\hspace{1pt}--\hspace{1pt}Ландау и  соответствующие им неоднородные решения  в виде бегущих волн в распределенной  модели. Такие решения можно  интерпретировать как режимы фазовой  синхронизации в цепочке связанных  лазеров. Определены частоты и амплитуды колебаний  интенсивности излучения каждого лазера и  разность фаз между соседними  осцилляторами.\vspace{.3\baselineskip}    \renewcommand{\baselinestretch}{1}\normalsize{    \par}  \begin{flushright} 	\textbf{\textit{Приложение}}\vspace{-.8\baselineskip} \end{flushright}    \section*{Вспомогательные ряды для  построения нормальной формы}\vspace{.3\baselineskip} Приведем вспомогательные выражения для  слагаемых в уравнении \eqref{eq:11}. Поскольку $\tau=\varepsilon^2 t$ и $X=x-\varepsilon \delta t$, то $ \xi^{'}_{t}=\varepsilon^2 \xi^{'}_{\tau}-\varepsilon  \delta\xi^{'}_{X}$. Далее, принимая во внимание выражения для  $a_0$ и $a_1$, получаем разложения в ряд по  степеням малого параметра $\varepsilon$ для  производных по времени $t$:{\parfillskip=0pt 	 } \begin{eqnarray}\label{eq:A27} &&\frac{\partial u}{\partial t}=\varepsilon e^{i R} i \omega_0\xi +   \varepsilon^2 \Big[ e^{i R} (\omega_0+\delta)(\xi^{'}_{X}+ i\theta\xi )   +  e^{i 2R} ( i 2 \omega_0) u_{22}\Big] +\nonumber\\ &&\qquad+ \varepsilon^3 e^{i R}\Big[ \big(\xi^{'}_{\tau} + i \delta\xi^{''}_{XX}+2 \delta\theta  \xi^{'}_{X}+i\delta\theta^2\xi \big)  + i\omega_0 u_{31} \Big] +\nonumber \\ &&\qquad\qquad +\varepsilon^3 i\delta(u_{20})^{'}_{X} +\varepsilon^3 e^{i 2R}i\delta\big[ (2\theta u_{22}+(u_{22})_X^{'}) \big] +\varepsilon^4... + c.c. \end{eqnarray} и\vspace{-.2\baselineskip} \begin{eqnarray}\label{eq:A28} &&\frac{\partial y}{\partial t}=\varepsilon e^{i R} r i\omega_0 \xi + \varepsilon^2 \Big[ e^{i R}r  (i\theta (\omega_0+2\delta)\xi  \omega_0\xi^{'}_{X})  + e^{i 2R} ( 2 i  \omega_0) y_{22}\Big] +\nonumber \\ &&\qquad+ \varepsilon^3 e^{i R}\Big[ -i\delta(1+\delta\omega^{-1})\big(i \omega_0\xi^{'}_{\tau}  +\xi^{''}_{XX}-\theta^2\xi \big) +  i\omega_0 y_{31} \Big]+\nonumber\\ &&\qquad\qquad\quad +\varepsilon^3 i\delta(y_{20})^{'}_{X} +\varepsilon^3 e^{i 2R}i\delta\big[ (2\theta y_{22}+(y_{22})_X^{'}) \big] +\varepsilon^4... + c.c.\vspace{.2\baselineskip} \end{eqnarray} Нелинейные слагаемые в системе  представляются в виде ряда \begin{eqnarray}\label{eq:A29} uv &=& \varepsilon^2 e^{2iR}r \xi^2 +\varepsilon^3\delta   (|\xi|^2)^{'}_{X}+\nonumber\\ &+& \varepsilon^3 e^{iR}\big[ \xi(  y_{20}+r u_{20})+ \bar{\xi}(  y_{22}-r u_{22})\big]+\nonumber\\ &+& \varepsilon^3e^{2iR}(\delta+2\omega_0)(\xi \xi^{'}_{X} +i\theta \xi^2)  +\varepsilon^3e^{3iR}...+c.c. \end{eqnarray}  Для разложения в ряд интегрального  слагаемого в системе \eqref{eq:11} воспользуемся  равенством \eqref{eq:9} и разложением функции \begin{eqnarray*} &&u(t-T,x+s)=  \sum_{m,n}{ \varepsilon(1+\varepsilon(m+\theta))\xi_{mn} e^{ik_{mn}(x+s)+i(\omega_0+\varepsilon\delta(m+\theta))(t-T)}}+\\ & &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad +  \varepsilon^2(u_{20}+  e^{i2R}u_{22})+ \varepsilon^3(e^{iR}u_{31}+...) +c.c. \end{eqnarray*} Учтем, что значения амплитуд гармоник,  зависящих от медленного времени  $\tau=\varepsilon^2 t$,  берем в момент $\varepsilon^2 (t-T)$,  тогда\vspace{.2\baselineskip} $$ \xi_{mn}(\tau-\varepsilon^2 T)=\xi_{mn}-\varepsilon^2 T(\xi_{mn})^{'}_{\tau}+  ... . $$ Получаем разложение \begin{eqnarray}\label{eq:A30} && \int_{-\infty}^{\infty}{F(s)u(t-T,x+s)d s}=\varepsilon e^{iR}r \xi  +\nonumber\\ &&\quad\quad + \varepsilon^2 e^{iR}e^{i\phi_0}\Big(r_{1}\xi + r_{2}  \xi^{'}_{X}\Big) +\varepsilon^2 u_{20}+\varepsilon^2  e^{2iR}e^{2i\phi_0}u_{22}(1+\varepsilon^2...)+\nonumber\\ &&\quad\quad+\varepsilon^3  e^{iR}e^{i\phi_0}\Big(-T\xi^{'}_{\tau}+r_3\xi^{'}_{X}+ r_4\xi^{'}_{Y}+r_5\xi+ r_{6} \xi^{''}_{XX}+r_{7} \xi^{''}_{YY}\Big)+\nonumber\\ &&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad+\varepsilon^3  e^{iR}e^{i\phi_0}u_{31}+...+c.c., \end{eqnarray} где $\phi_0=z_0-\omega_0 T$ и \begin{eqnarray*} && r_{1}  =  i\theta(1+T\delta-i), \quad r_{2}=(1+T\delta-i),\\ &&r_{3}  =  i\theta(1+T\delta)(1+T\delta-2i), \quad r_{4}=2i \pi \sigma^2  z_0,\\ &&r_{5}=-[z_0^2\sigma^2+\theta^2(1+T\delta)(1+T\delta-2i)]/2,\\ &&r_{6}  =  (1+T\delta)(1+T\delta-2i)/2, \quad r_7= 2\pi^2\sigma^2. \end{eqnarray*} Подставим \eqref{eq:20} и ряды \eqref{eq:A27}--\eqref{eq:A30}  в нелинейную систему \eqref{eq:11} и будем  собирать коэффициенты при одинаковых  степенях $\varepsilon$  и гармониках основной  частоты.  Коэффициенты при $\varepsilon e^{iR}$ в первом и  втором уравнении системы \eqref{eq:11} дают  верные равенства при критических  значениях параметров, $$ \xi\Big(\omega^2-(1+u_0)i\omega_0-v u_0\xi-\gamma_0 v u_0  \exp(i\phi_0)\Big)=0. $$  На втором шаге, собирая коэффициенты при   $\varepsilon^2 e^{iR}$ в первом уравнении также  получаем верные равенства при  критических параметрах, которые  приводить не будем. Собирая коэффициенты при $\varepsilon^2 e^{0}$,  приходим к системе, $$0=v u_0 y_{20},\quad  0=-(1+u_0)y_{20}-u_{20}-\gamma_0 u_{20},$$  откуда имеем $y_{20}=0$,\, $u_{20}=0$.  Собирая коэффициенты при $\varepsilon^2 e^{2iR}$,  приходим к системе, из которой находим $u_{22}{=} C (r/ u_0) \xi^2$, $  y_{22}= (2rC-1)(r/ u_0)\xi^2$, где\vspace{-.2\baselineskip} $$ C =  \frac{1+2i\omega_0} {4i\omega_0 r+2r(1+u_0)+1+\gamma_0  e^{2i\phi_0}}.\vspace{.2\baselineskip} $$  На третьем шаге, собирая коэффициенты при  $\varepsilon^3 e^{0}$, приходим к системе, из  которой можно исключить амплитуды $u_{31}$,  $y_{31}$, умножая первое уравнение на  $(i\omega_0+1+u_0)$ и второе на $v u_0$, затем  складывая эти уравнения. Для разрешимости  системы необходимо, чтобы функция $\xi$  удовлетворяла уравнению   \eqref{eq:29} для функции $\xi(\tau, X,Y)$. </text>
            <codes>
              <doi>10.18500/0869-6632-2022-30-2-189-207</doi>
              <udk>517.9, 535.8</udk>
              <bbk>!!!Элемент, значение которого содержит код ББК</bbk>
              <jel>!!!Элемент, значение которого содержит код JEL </jel>
              <msc>!!!Элемент, значение которого содержит код MSC</msc>
              <pacs>!!!Элемент, значение которого содержит код PACS</pacs>
              <anycode>!!!Элемент, значение которого содержит другие коды статьи. ВНИМАНИЕ! К другим кодам не относятся рубрики ГРНТИ. Для рубрик есть отдельный контейнер rubrics. </anycode>
            </codes>
            <keywords>
              <kwdGroup lang="RUS">
                <keyword>бифуркационный анализ</keyword>
                <keyword>волновые структуры</keyword>
                <keyword>запаздывание</keyword>
                <keyword>динамика лазеров</keyword>
              </kwdGroup>
              <kwdGroup lang="ENG">
                <keyword>bifurcation analysis</keyword>
                <keyword>wave structures</keyword>
                <keyword>delay</keyword>
                <keyword>laser dynamics</keyword>
              </kwdGroup>
            </keywords>
            <references>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Pikovsky A., Rosenblum M., Kurths J. Synchronization: A Universal Concept in Nonlinear Sciences. Cambridge: Cambridge University Press, 2001. 411 p. DOI: 10.1017/CBO9780511755743.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Stankovski T., Pereira T., McClintock P. V. E., Stefanovska A. Coupling functions: Universal insights into dynamical interaction mechanisms // Rev. Mod. Phys. 2017. Vol. 89, no. 4. P. 045001. DOI: 10.1103/RevModPhys.89.045001.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Клиньшов В. В., Некоркин В. И. Синхронизация автоколебательных сетей с запаздывающими связями // УФН. 2013. Т. 183, № 12. С. 1323–1336. DOI: 10.3367/UFNr.0183.201312c.1323.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Kuramoto Y. Chemical Oscillations, Waves, and Turbulence. Berlin: Springer-Verlag, 1984. 158 p. DOI: 10.1007/978-3-642-69689-3.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Schuster H. G., Wagner P. Mutual entrainment of two limit cycle oscillators with time delayed coupling // Progress of Theoretical Physics. 1989. Vol. 81, no. 5. P. 939–945. DOI: 10.1143/PTP.81.939.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Perlikowski P., Yanchuk S., Popovych O. V., Tass P. A. Periodic patterns in a ring of delay-coupled oscillators // Phys. Rev. E. 2010. Vol. 82, no. 3. P. 036208. DOI: 10.1103/PhysRevE.82.036208.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Klinshov V., Shchapin D., Yanchuk S., Wolfrum M., D’Huys O., Nekorkin V. Embedding the dynamics of a single delay system into a feed-forward ring // Phys. Rev. E. 2017. Vol. 96, no. 4. P. 042217. DOI: 10.1103/PhysRevE.96.042217.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Dahms T., Lehnert J., Scholl E. Cluster and group synchronization in delay-coupled networks // Phys. Rev. E. 2012. Vol. 86, no. 1. P. 016202. DOI: 10.1103/PhysRevE.86.016202.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Ramana Reddy D. V., Sen A., Johnston G. L. Experimental evidence of time-delay induced death in coupled limit-cycle oscillators // Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 85, no. 16. P. 3381–3384. DOI: 10.1103/PhysRevLett.85.3381. </text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Soriano M. C., Garcia-Ojalvo J., Mirasso C. R., Fischer I. Complex photonics: Dynamics and applications of delay-coupled semiconductors lasers // Rev. Mod. Phys. 2013. Vol. 85, no. 1. P. 421–470. DOI: 10.1103/RevModPhys.85.421.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Hohl A., Gavrielides A., Erneux T., Kovanis V. Localized synchronization in two coupled nonidentical semiconductor lasers // Phys. Rev. Lett. 1997. Vol. 78, no. 25. P. 4745–4748. DOI: 10.1103/PhysRevLett.78.4745.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Wunsche H.-J., Bauer S., Kreissl J., Ushakov O., Korneyev N., Henneberger F., Wille E., Erzgraber H., Peil M., Elsaßer W., Fischer I. Synchronization of delay-coupled oscillators: A study of semiconductor lasers // Phys. Rev. Lett. 2005. Vol. 94, no. 16. P. 163901. DOI: 10.1103/PhysRevLett.94.163901.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Otten J., Muller J., Monnigmann M. Bifurcation-aware optimization and robust synchronization of coupled laser diodes // Phys. Rev. E. 2018. Vol. 98, no. 6. P. 062212. DOI: 10.1103/PhysRevE.98.062212.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Carra T. W., Taylor M. L., Schwartz I. B. Negative-coupling resonances in pump-coupled lasers // Physica D. 2006. Vol. 213, no. 2. P. 152–163. DOI: 10.1016/j.physd.2005.10.015.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Uchida A., Matsuura T., Kinugawa S., Yoshimori S. Synchronization of chaos in microchip lasers by using incoherent feedback // Phys. Rev. E. 2002. Vol. 65, no. 6. P. 066212. DOI: 10.1103/PhysRevE.65.066212.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Uchida A., Mizumura K., Yoshimori S. Chaotic dynamics and synchronization in microchip solid-state lasers with optoelectronic feedback // Phys. Rev. E. 2006. Vol. 74, no. 6. P. 066206. DOI: 10.1103/PhysRevE.74.066206.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Kim M.-Y., Roy R., Aron J. L., Carr T. W., Schwartz I. B. Scaling behavior of laser population dynamics with time-delayed coupling: Theory and experiment // Phys. Rev. Lett. 2005. Vol. 94, no. 8. P. 088101. DOI: 10.1103/PhysRevLett.94.088101.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Vicente R., Tang S., Mulet J., Mirasso C. R., Liu J.-M. Dynamics of semiconductor lasers with bidirectional optoelectronic coupling: Stability, route to chaos, and entrainment // Phys. Rev. E. 2004. Vol. 70, no. 4. P. 046216. DOI: 10.1103/PhysRevE.70.046216.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Vicente R., Tang S., Mulet J., Mirasso C. R., Liu J.-M. Synchronization properties of two self-oscillating semiconductor lasers subject to delayed optoelectronic mutual coupling // Phys. Rev. E. 2006. Vol. 73, no. 4. P. 047201. DOI: 10.1103/PhysRevE.73.047201.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Schwartz I. B., Shaw L. B. Isochronal synchronization of delay-coupled systems // Phys. Rev. E. 2007. Vol. 75, no. 4. P. 046207. DOI: 10.1103/PhysRevE.75.046207.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Perego A. M., Lamperti M. Collective excitability, synchronization, and array-enhanced coherence resonance in a population of lasers with a saturable absorber // Phys. Rev. A. 2016. Vol. 94, no. 3. P. 033839. DOI: 10.1103/PhysRevA.94.033839.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Кащенко С. А. О квазинормальных формах для параболических уравнений с малой диффузией // Доклады Академии наук СССР. 1988. Т. 299, № 5. С. 1049–1052.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Kaschenko S. A. Normalization in the systems with small diffusion // International Journal of Bifurcation and Chaos. 1996. Vol. 6, no. 6. P. 1093–1109. DOI: 10.1142/S021812749600059X.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Кащенко С. А. Асимптотика пространственно-неоднородных структур в когерентных нелинейно-оптических системах // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1991. Т. 31, № 3. С. 467–473.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Grigorieva E. V., Haken H., Kaschenko S. A. Theory of quasiperiodicity in model of lasers with delayed optoelectronic feedback // Optics Communications. 1999. Vol. 165, no. 4–6. P. 279–292. DOI: 10.1016/S0030-4018(99)00236-9.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Kashchenko S. A. Dynamics of advectively coupled Van der Pol equations chain // Chaos. 2021. Vol. 31, no. 3. P. 033147. DOI: 10.1063/5.0040689.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Ханин Я. И. Основы динамики лазеров. М.: Наука, 1999. 368 с. </text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Akhromeyeva T. S., Kurdyumov S. P., Malinetskii G. G., Samarskii A. A. Nonstationary dissipative structures and diffusion-induced chaos in nonlinear media // Phys. Rep. 1989. Vol. 176, no. 5–6. P. 189–370. DOI: 10.1016/0370-1573(89)90001-X.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
            </references>
            <files>
              <file desc="Атрибут desc, значение которого содержит тип файла (см. справочник typeDesc)">5-grigorieva_189-207.pdf</file>
              <furl lang="">Элемент, значение которого содержит ссылку на полный текст на внешнем сайте</furl>
            </files>
              <rubrics>
                <rubric>Элемент, значение которого содержит код рубрики</rubric>
              </rubrics>
            <dates>
              <dateReceived>10.01.2022</dateReceived>
              <dateAccepted>!!!Элемент, значение которого содержит дату принятия статьи в печать. Дата должна быть следующего формата «дд.мм.гггг» </dateAccepted>
            </dates>
        </article>
        <section>
          <secTitle lang="RUS">Прикладные задачи нелинейной теории колебаний и волн</secTitle>
          <secTitle lang="ENG">Applied Problems of Nonlinear Oscillation and Wave Theory</secTitle>
        </section>
        <article>
          <artType>RAR</artType>
          <langPubl>RUS</langPubl>
          <pages>208-232</pages>
          <authors>
            <author id="170285" num="001">
            <role>!!!Элемент, который содержит роль автора (редактор, рецензент и т.д.). Если элемент отсутствует, то автор просто автор. Значение элемента – это числовой идентификатор. Идентификаторы роли представлены в справочнике typeRole!!!</role>
            <correspondent>!!! Автор-корреспондент !!!</correspondent>
            <authorCodes>
              <researcherid>P-6776-2016</researcherid>
              <spin>1562-3306</spin>
              <scopusid>55646438400</scopusid>
              <orcid>0000-0002-7060-2731</orcid>
            </authorCodes>
            <individInfo lang="RUS">
              <surname>Кулаков</surname>
              <initials>Матвей Павлович</initials>
              <address>679016, Россия, Еврейская автономная область, Биробиджан, ул. Шолом-Алейхема, 4</address>
              <town>Биробиджан</town>
              <otherInfo>!!!Элемент, значение которого содержит другие сведения об авторе!!!</otherInfo>
              <comment>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</comment>
              <commentDate>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</commentDate>
              <orgName>Институт комплексного анализа региональных проблем Дальневосточного отделения Российской академии наук</orgName>
              <email>!!!Элемент, значение которого содержит электронную почту автора (Нужно ли палить почту пользователя?)</email>
            </individInfo>
            <individInfo lang="ENG">
              <surname>Kulakov</surname>
              <initials>Matvej Pavlovich</initials>
              <address>ul. Sholom-Aleikhema, 4, Birobidzhan, 679016, Russia</address>
              <town>Birobidzhan</town>
              <otherInfo>!!!Элемент, значение которого содержит другие сведения об авторе!!!</otherInfo>
              <comment>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</comment>
              <commentDate>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</commentDate>
              <orgName>Institute for Complex Analysis of Regional Problems of Russian Academy of Sciences, Far Eastern Branch</orgName>
              <email>!!!Элемент, значение которого содержит электронную почту автора (Нужно ли палить почту пользователя?)</email>
            </individInfo>
            </author>
            <author id="1986" num="002">
            <role>!!!Элемент, который содержит роль автора (редактор, рецензент и т.д.). Если элемент отсутствует, то автор просто автор. Значение элемента – это числовой идентификатор. Идентификаторы роли представлены в справочнике typeRole!!!</role>
            <correspondent>!!! Автор-корреспондент !!!</correspondent>
            <authorCodes>
              <orcid>0000-0003-1629-2610</orcid>
            </authorCodes>
            <individInfo lang="RUS">
              <surname>Фрисман</surname>
              <initials>Ефим Яковлевич</initials>
              <address>679016, Россия, Еврейская автономная область, Биробиджан, ул. Шолом-Алейхема, 4</address>
              <town>Биробиджан</town>
              <otherInfo>!!!Элемент, значение которого содержит другие сведения об авторе!!!</otherInfo>
              <comment>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</comment>
              <commentDate>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</commentDate>
              <orgName>Институт комплексного анализа региональных проблем Дальневосточного отделения Российской академии наук</orgName>
              <email>!!!Элемент, значение которого содержит электронную почту автора (Нужно ли палить почту пользователя?)</email>
            </individInfo>
            <individInfo lang="ENG">
              <surname>Frisman</surname>
              <initials>Efim Yakovlevich</initials>
              <address>ul. Sholom-Aleikhema, 4, Birobidzhan, 679016, Russia</address>
              <town>Birobidzhan</town>
              <otherInfo>!!!Элемент, значение которого содержит другие сведения об авторе!!!</otherInfo>
              <comment>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</comment>
              <commentDate>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</commentDate>
              <orgName>Institute for Complex Analysis of Regional Problems of Russian Academy of Sciences, Far Eastern Branch</orgName>
              <email>!!!Элемент, значение которого содержит электронную почту автора (Нужно ли палить почту пользователя?)</email>
            </individInfo>
            </author>
          </authors>
          <artTitles>
            <artTitle lang="RUS">Простая и сложная динамика в модели эволюции двух миграционно связанных популяций с непересекающимися поколениями</artTitle>
            <artTitle lang="ENG">Simple and complex dynamics in the model of evolution of two populations coupled by migration with non-overlapping generations</artTitle>
          </artTitles>
          <abstracts>
            <abstract lang="RUS">Цель работы — исследование механизмов,  приводящих к возникновению генетической  дивергенции (устойчивых генетических  различий между двумя популяциями,  связанными миграцией). Рассматривается  «классическая» модельная  ситуация: панмиктичные популяции с  менделевскими правилами наследования, в  которых действие естественного отбора  (различия по приспособленностям)  одинаково и определяется генотипами  только одного диаллельного локуса.  Предполагается, что смежные поколения не  перекрываются и эволюционные  преобразования можно отслеживать моделью  с дискретным временем. Эта модель  описывает изменение концентрации одного  из аллелей в каждой популяции, а также  отношение численностей популяций к общей  численности. Методы. На основе аналога  карт седел построены параметрические  портреты, показывающие области  параметров качественно разных режимов  динамики. Исследование дополнено  фазовыми портретами, бассейнами  притяжения и бифуркационными  диаграммами. Результаты. Обнаружено, что  режимы динамики рассматриваемой модели  качественно совпадают с режимами  аналогичной модели с непрерывным  временем, но только в случае слабой  миграционной связи. В случае сильной  связи возможны колебания фазовых  переменных. Показано, что дивергенция,  возможная лишь при пониженной  приспособленности гетерозигот, является  результатом ряда бифуркаций: бифуркации  вил, удвоения периода или седлоузловой  бифуркации. После этих качественных  перестроек динамика становится  бистабильной или квадростабильной. В  первом случае соответствующие  дивергенции решения неустойчивы и  возможны лишь как часть переходного  процесса. Во втором случае они устойчивы,  и при сильной связи дивергенция  проявляется в виде колебаний с периодом 2.  Заключение. В области биологически  значимых параметров движение к одной из  предельных генетических структур  (мономорфизм, полиморфизм или  дивергенция) в смежных популяциях может  быть строго монотонным, либо в виде  затухающих колебаний, либо устойчивых  колебаний с периодом 2. Вне этой области  возникают сложные режимы динамики,  которые состоят из серии расходящихся  колебаний вокруг неподвижных точек и  квазислучайных переходов между ними.  </abstract>
            <abstract lang="ENG">Purpose is to study the mechanisms leading to genetic divergence (stable  genetic differences between two adjacent populations). We considered the  following classical model situation. Populations are panmictic with Mendelian  rules of inheritance. The action of natural selection (differences in  fitness) on each of population is the same and is determined by the genotypes  of only one diallel locus. We assume that adjacent generations do not overlap  and genetic transformations can be described by a discrete time model. This  model describes the change in the concentration of one of the alleles in each  population and the ratio (weight) of first population to the total size.  Methods. We used the analogue of saddle charts to construct parametric  portraits showing the domains of qualitatively different dynamic modes. The  study is supplemented with phase portraits, basins of attraction and  bifurcation diagrams. Results. We found that the model dynamic regimes  qualitatively coincide with the regimes of a similar model with continuous  time, but only for a weak migration. With a strong coupling, fluctuations of  the phase variables are possible. We showed that the genetic divergence is  possible only with reduced fitness of heterozygotes and is the result of a  series of bifurcations: pitchfork bifurcation, period doubling, or  saddle-node bifurcation. After these qualitative changes, the dynamics become  bi- or quadstable. In the first case, the solutions corresponding to the  genetic divergence are unstable and are just a part of the transient process  to monomorphic state. In the second case, the divergence is stable and  appears as 2-cycle for a strong migration coupling. Conclusion. In  neighboring populations, movement towards an asymptotic genetic structure  (monomorphism, polymorphism or divergence) can be strictly monotonous or in  the form of damped unstable or undamped stable fluctuations with a period of  2 for biologically significant parameters. For insignificant parameters, we  found a complex dynamics (chaos) that consist of divergent fluctuations  around fixed points and quasi-random transitions between them.  </abstract>
          </abstracts>
          <text lang="RUS">\section*{Введение}  Теоретическое изучение эволюции и  микроэволюции биологических популяций, находящихся под действием естественного  отбора, имеет давнюю и богатую историю \cite{Haldane,Fisher,Wright}. Одна из  интереснейших задач связана с поиском базовых  механизмов видообразования, а ее  сложность определяется следующими  обстоятельствами. С одной стороны, под  действием отбора в популяции происходит  закрепление (фиксация) такого признака (генотипа), который обеспечивает  наибольшую приспособленность особей и,  как следствие, наибольшую скорость  воспроизводства. В результате в  изолированных популяциях такой генотип фиксируется, а  иные пропадают или растворяются среди гетерозигот, и никакая последующая  эволюция, предшествующая новому видообразованию, не происходит. С другой,  при наличии географической изолированности между первоначально  сходными по генотипам совокупностям особей (популяциями) могут возникать  выраженные наследственные различия генетических структур этих популяций:  первичная генетическая дивергенция.  \renewcommand{\baselinestretch}{1}\normalsize{    \par}  Важно понять, при каких условиях  первичная генетическая дивергенция будет устойчивой и сохранится при нарушении  пространственной изоляции между популяциями.  Эта задача рассматривалась многими  исследователями \cite{Frisman1977,Svirezev1982,Frisman1986,Burger}, которыми было  показано, что для достижения дивергенции между  разными популяциями недостаточно только лишь генетических механизмов --- необходим  еще сильный экологический механизм, обеспечивающий регулирование  роста численности и  существенно влияющий  на эволюционные процессы. Кроме того  генетические и экологические процессы должны  действовать с сопоставимыми скоростями \cite{Carroll,Pelletier}. Ограничения роста могут  быть связаны с разнообразными механизмами  самолимитирования внутри популяции \cite{Yeaman,Bertram,Neverova,Zhdanova} или межвидовыми взаимодействиями \cite{Telschow,Fussmann,Tellier}. По  всей видимости, это верно и для более общего  случая, когда отбор идет по двум или более признакам (генотипам)  \cite{Nagylaki,Akerman,Passekov}.  Настоящая работа продолжает начатое в  \cite{Frisman2021} описание механизмов и исследование условий возникновения  первичной генетической дивергенции. Рассматривается математическая модель с  дискретным временем, основанная на рекуррентных уравнениях (отображениях) и  описывающая изменение частот аллелей и соотношения численностей в  системе двух смежных панмиктичных популяций, связанных миграцией. С  содержательной, биологической точки зрения, модели с дискретным временем  оказываются более адекватными, чем модели, основанные на дифференциальных  уравнениях, в случаях, когда рассматриваются популяции биологических  видов, имеющих фиксированный сезон размножения, занимающий весьма небольшой  период жизненного цикла \cite{Frisman2021b}. В~частности, это обычно характерно для  видов с выраженными стадиями развития, метаморфозом и  неперекрывающимися поколениями, когда  все участвующие в размножении особи не  доживают до следующего сезона размножения.  В данной работе методами бифуркационного  анализа исследуются возможности, условия  и механизмы формирования устойчивого  различия генетических структур рассматриваемых популяций. Исследуемая  модель, являясь дискретным аналогом модели из работы \cite{Frisman2021}, имеет ряд  особенностей динамики, связанных с колебаниями и сложными режимами (хаос).  Их исследование, в какой-то мере, выходит за рамки содержательной части  задачи, однако оно может быть интересно для специалистов по теории  динамических систем.   \section{Краткое описание модели}  Как и в предыдущей работе \cite{Frisman2021},  ограничимся описанием простейшей ситуации, когда все разнообразие в  популяции определяется одним диаллельным локусом с аллеломорфами $A$ и $a$. Для  описания действия естественного отбора каждому генотипу --- $AA$, $Aa$ и $aa$ --- можно  поставить в соответствие по одному коэффициенту $w_{AA}$,  $w_{Aa}$ и $w_{aa}$, называемому приспособленностью. Этот коэффициент  равен половине отношения числа гамет, которые вошли в зиготы потомков данного  генотипического класса, выживших и приступивших к миграции и  гаметопродукции (размножению), к общему  числу рожденных организмов данного  генетического класса. Примем, что  существует локальная панмиксия, то есть в каждой  популяции происходит свободное  скрещивание особей с различными генотипами. Несложно  показать, что в случае панмиксии для описания динамики генетической структуры  локальной популяции достаточно следить за одной-единст\-венной величиной $q$ ---  концентрацией гамет, несущих, например, аллель $A$, поскольку между концентрациями  оплодотворенных зигот (особей), несущих генотипы $AA$, $Aa$ и $aa$, и  концентрациями аллелей $A$ и $a$, присутствовавших в сформировавших их  гаметах особей, в этом случае выполняются соотношения, следующие из закона  Харди--Вайнберга.  \renewcommand{\baselinestretch}{1.02}\normalsize{    \par}  В случае локальной популяции с  непересекающимися поколениями  концентрация гамет с аллелем $A$, а также общая  численность $N$ популяции, определяются следующими классическими уравнениями  \cite{Frisman1977,Svirezev1982,Frisman1986}, которые связывают их значения в смежных  поколениях: \begin{eqnarray} \label{eq1} \left\{ 	{ 		{\begin{array}{l} 		  q(t+1)=q_n \Big(w_{AA}q(t)+w_{Aa}\big(1-q(t)\big)\Big)/\bar{w}(t),  \\[5pt] 		  N(t+1)=\bar{w}(t)N(t), \\ 		\end{array} } 	}\right. \end{eqnarray} где $t=0,1,2,\ldots$ --- номер поколения, $\bar{w}(t)=w_{AA}q^2(t)+2w_{Aa}q(t)(1-q(t))+w_{aa}(1-q(t))^2$ ---  средняя приспособленность популяции. Первое  уравнение системы (\ref{eq1}) не зависит от второго и описывает изменение  концентрации аллеля $A$ под действием естественного отбора. Различные  соотношения параметров $w_{AA}$, $w_{Aa}$ и $w_{aa}$ определяют конкретный тип отбора в  популяции. Поскольку модель достаточно агрегированная, то для  понимания качественных свойств  модели~(\ref{eq1}) важны не столь абсолютные  значения  параметров, сколько их соотношение. В  случае так называемого движущего отбора  $w_{AA}>w_{Aa}>w_{aa}>0$ ($w_{aa}>w_{Aa}>w_{AA}>0$) устойчива только  неподвижная точка $\bar{q}=1$ ($\bar{q}=0$). Других неподвижных точек нет. В  результате концентрация аллеля $A$ растет (падает) по  логистическому закону из любого начального состояния $0{>}q(0){>}1$,\linebreak а в  популяции остаются только гомозиготы с аллелями $AA$ ($aa$), а вторые гомозиготы и  гетерозиготы неизбежно гибнут. В случае, когда приспособленность  гетерозигот лежит вне диапазона приспособленностей гомозигот, между  неподвижными точками 0 и 1 появляется дополнительная точка  $q^\ast=(w_{aa}-w_{Aa})/(w_{AA}-2w_{Aa}+w_{aa})$. При $w_{Aa}>w_{AA}$ и $w_{Aa}>w_{aa}$ она устойчива, и со  временем в популяции устанавливается устойчивый полиморфизм,  при котором сосуществуют все три генотипа с постоянным значением как их  концентраций, так и частот аллелей их  составляющих. При $w_{Aa}q(0)>q^{\ast}$ частота аллеля $A$ падает  до 0, а при $q^{\ast}>q(0)>1$ растет до 1. Впрочем, полиморфизм  в этом случае может сохраняться в популяции достаточно  продолжительное время (во время переходного процесса), если $q(0)$ близко к  $q^{\ast}$ (но строго не равно этому значению).{\parfillskip=0pt 	 }  В любом из этих трех случаев средняя  приспособленность $\bar{w}(t)$ может только расти по мере того как  генетическая структура (величина $q(t)$) будет стремиться к одному  из возможных стационарных состояний (неподвижным  точкам 0, 1 или $0w_{Aa}>w_{aa}$ или $w_{aa}>w_{Aa}>w_{AA}$,  здесь явно не подходит. Значит надо разбирать ситуацию,  когда приспособленность гетерозиготы лежит вне диапазона приспособленностей  гомозигот. Ограничимся рассмотрением <<симметричного>> случая $w_{AA}=w_{aa}$ и,  поскольку без учета уравнения, описывающего динамику численности, важны  лишь соотношения этих параметров,  положим, что $w_{AA}=w_{aa}=1$, $w_{Aa}=1+s>0$, где $s>-1$ ---  коэффициент отбора для гетерозигот \cite{Yeaman,Altrock,Laruson}. Учитывая  это, перепишем уравнения~(\ref{eq2}) следующим  образом: \begin{eqnarray} \label{eq3}    \left\{ 	{\begin{array}{ll}   	 q_1(t+1)=&\dfrac{1}{G_1(t)}   	  		\Bigg(\big(1-m\big)q_1(t)\Big(1+s\big(1-q_1(t)\big)\Big)+ \\   	 & \phantom{\dfrac{1}{G_1(t)}}   	 		+m{\displaystyle\frac{1-p(t)}{p(t)}}   	 			q_2(t)\Big(1+s\big(1-q_2(t)\big)\Big)\Bigg), \\[11pt] 	 q_2(t+1)=&\dfrac{1}{G_2(t)} 	 		\Bigg(\big(1-m\big)q_2(t)\Big(1+s\big(1-q_2(t)\big)\Big)+ \\ 	 & \phantom{\dfrac{1}{G_2(t)}} 			+m\dfrac{p(t)}{1-p(t)} 				q_1(t)\Big(1+s\big(1-q_1(t)\big)\Big)\Bigg), \\[11pt]   	p(t+1)=&\displaystyle{\frac{G_1(t)}{G(t)}}p(t). \\ 	\end{array} } \right. \end{eqnarray} Здесь средние приспособленности равны  следующим величинам: $G_1(t)=(1-m)(1+2sq_1(t)\times\linebreak  \times\,(1-q_1(t)))+m\dfrac{1-p(t)}{p(t)}(1+2sq_2(t)(1-q_2(t)))$,~ $G_2(t)=(1-m)(1+2sq_2(t)(1-q_2(t)))+\linebreak  +\,m\dfrac{p(t)}{1-p(t)}(1+2sq_1(t)(1-q_1(t)))$ и $G(t)=1+2s(p(t)q_1(t)(1-q_1(t))+(1-p(t))q_2(t)(1-q_2(t)))$.  Численность, как и прежде, можно найти из уравнения:  $N(t+1)=G(t)N(t)$. Из биологических соображений имеет смысл говорить только о тех  решениях системы (\ref{eq3}), которые целиком  лежат в единичном кубе: $0\leq q_1 \leq 1$, $0\leq q_2 \leq 1$ и $0  > миграционным притоком с другого участка, и итоговая частота оказывается  положительной. Для полного понимания  поведения решений системы (\ref{eq3}) будем  рассматривать не только биологически  значимый диапазон значений коэффициента отбора $s\geq-1$, но и  значения $s<-1$, при которых, в частности, возникает нерегулярная динамика.  %\renewcommand{\baselinestretch}{1}\normalsize{    \par}  \section{Исследование устойчивости решений}  Несмотря на громоздкий вид системы (\ref{eq3}),  удается выполнить достаточно полное исследование устойчивости каждой  неподвижной точки, включающее вычисление собственных чисел матрицы Якоби в каждой  из точек, определение областей их существования и описание механизмов  формирования разных режимов динамики.  Система (\ref{eq1}) имеет следующие  неподвижные точки:\vspace{-0.2\baselineskip} \begin{itemize} \item $E_0\left(0,0,1\right)$ --- обе популяции  представлены только особями с генотипом $aa$ (отсутствуют  генотип $AA$ или $Aa$) (мономорфная популяция);  \item $E_1\left(1,1,1\right)$ --- обе популяции состоят  только из особей с генотипом $AA$ (мономорфная  популяция);  \item $E_2\left(1/2, 1/2, 1/2\right)$ --- обе популяции  включают особей всех генотипов при одинаковой  концентрации каждого из двух аллелей (полиморфная популяция);  \item  пара точек  $E_{3,4}\left(\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{\sqrt{s^2+4ms}}{2s}, \dfrac{1}{2}\mp\dfrac{\sqrt{s^2+4ms}}{2s},\dfrac{1}{2}\right)$, которая существует при $s<0$ и $s+4m<0$. При $s>0$  она существует для любого $0\le m\le 1$, но лежит за пределами единичного  куба, что противоречит смыслу фазовых переменных. На линии $m=-s/4$  рождается (или исчезает) пара точек $E_3$ и $E_4$ вследствие бифуркации вил. В этом  случае точка $E_1$ <<расщепляется>> на пару точек $E_{3,4}$. Каждая из этих точек  соответствует дивергентному состоянию системы популяций (в каждой популяции  преобладают разные аллели). Однако, как и в случае модели с непрерывным  временем, они неустойчивы при любых значениях параметров. \end{itemize}\vspace{-0.2\baselineskip}  Для исследования общего характера  динамики рассмотрим величину $Q(t)=q_1(t)p(t)+\linebreak +\,q_2(t)(1-p(t))$, которая равна  концентрации аллеля $A$ в обеих популяциях. Подставляя в это  выражение правые части системы (\ref{eq3}) и приводя подобные члены, получаем  неавтономное рекуррентное уравнение: \begin{equation} \label{eq4} Q(t+1)=\dfrac{1}{G(t)}\Bigg(Q(t)+\dfrac{G(t)-1}{2}\Bigg). \end{equation}  Приращение величины $Q$ равно: \begin{eqnarray*} \Delta Q=Q(t+1)-Q(t)=\dfrac{G(t)-1}{G(t)}\Bigg(\dfrac{1}{2}-Q(t)\Bigg). \end{eqnarray*} Таким образом, отображение (\ref{eq4}) имеет  неподвижную точку $Q=1/2$ (при $\Delta Q=0$). Это означает, что в фазовом  пространстве системы (\ref{eq3}) выражение $Q=1/2$ задает поверхность,  которая оказывается инвариантной относительно отображения  (\ref{eq3}) (отображается в себя). Тогда все траектории, начала которых  лежат на этой поверхности, целиком  принадлежат ей.  Легко убедится, что точки $E_2$, $E_3$ и $E_4$  принадлежат поверхности $Q=1/2$. Устойчивость неподвижных точек и  характер глобальной динамики тесно связан со свойствами этой поверхности.  Несложно показать, что при $s>0$ выполняется неравенство $0\le\frac{G-1}{G}<1$,  тогда поверхность $Q=1/2$, как и точка $E_2$, является притягивающей.  При $-20$ устойчива точка $E_2$, при $-20$ (цвет  онлайн)\protect\\[5pt] 		Fig.~\ref*{fig2}. \textit{a} --- Parametric portrait of the system  (\ref{eq3}) 		and \textit{b}--\textit{e} --- examples of dynamics in the domains  \textit{1}--\textit{4} 		(polymorphic state is stable) for $s>0$ (color online)} 	\label{fig2}\vspace{-0.5\baselineskip} \end{figure}   В противоположность этой ситуации в  областях \textit{12} и \textit{13}, а также в области  \textit{4} при $s<-4$ (топологически эквивалентна области  \textit{4} при $s>0$) точки $E_3$ и $E_4$, а также периодические точки $2P_{1,2}$ лежат в  единичном кубе. При $0\le m<0.5$ точки $2P_{1,2}$ лежат на прямой $q_1=1-q_2$, $p=0.5$  между точками $E_3$ и $E_4$, а при $0.51/2$) --- с генотипом $AA$ ($q_1=1$, $q_2=0$). Однако наличие в области \textit{5} даже  неустойчивой пары точек $E_3$ и $E_4$  значительно изменяет характер перехода к одному из  этих мономорфных состояний. Например, для параметров из области \textit{6}, где точек  $E_3$ и $E_4$ нет, переход к $E_0$ или $E_1$ монотонный и соответствует  логистическому росту (переход к $E_1$) или падению (к $E_0$). В то время как в области  \textit{5} наличие пары седловых точек $E_3$ и $E_4$ приводит к тому, что при  определенных условиях возникают довольно немонотонные переходные режимы  динамики (рис.~\ref{fig3},~\textit{a}). Они возникают, если траектория проходит в  окрестности неустойчивого одномерного многообразия, исходящего из точки $E_3$ или  $E_4$ и переходящего в устойчивое многообразие точек $E_0$ или $E_1$  (гетероклинический контур $W^U$).  \begin{figure}[t!] 	\centering 	\includegraphics[width=12.2cm]{pic03.pdf}\vspace{0.2\baselineskip} 	\caption{Слева --- фазовый портрет, справа ---  примеры динамики системы (\ref{eq3}) для параметров из области  \textit{5} и \textit{8} на рис.~\ref{fig2},~\textit{a} при \textit{a} --- $s=-0.5$, $m=0.1$ и \textit{b} --- $s=-0.65$, $m=0.9$  (цвет онлайн) \protect\\[5pt] Fig.~\ref*{fig3}. Phase portrait (on the left) and examples of dynamics  (\ref{eq3}) (on the right) for parameters from domain \textit{5} and \textit{8}  (monomorphic states are stable) at \textit{a} --- $s=-0.5$, $m=0.1$ and \textit{b} --- $s=-0.65$,  $m=0.9$ (color online)} 	\label{fig3} \end{figure}  Для параметров из областей \textit{7} и \textit{8}  устойчивыми также оказываются точки $E_0$ и $E_1$, а пары $E_3$ и $E_4$ не существует. В  результате также наблюдается бистабильность динамики. Но в  отличие от предыдущего случая здесь есть несколько особенностей.  \renewcommand{\baselinestretch}{1}\normalsize{    \par}  Во-первых, аналогично областям \textit{3} и  \textit{4}, два собственных значения в точках $E_0-E_2$ стано\-вятся отрицательными при $m>0.5$.  Это означает, что в окрестности неподвижных точек  формируются пилообразные колебания.  Можно ожидать, что при движении к одной из  устойчивых точек ($E_0$ или $E_1$) возникают затухающие колебания. Однако  несложно показать, что не любое возмущение или стартовая точка приводит к  колебаниям, особенно у переменных $q_1$ и $q_2$. Такие колебания возникают  только, если координаты стартовой точки расположены симметрично  относительно 1 или 0. Например, если $0> отсутствующие в области \textit{8}  неподвижные точки $E_3$ и $E_4$,  соответствующие генетической дивергенции. Надо отметить,  что эта же пара точек существует при $s>0$, но лежит за пределом единичного  куба. {\parfillskip=0pt 	 }  Как и для неподвижных точек, для  периодической точки можно вычислить соответствующие собственные значения  матрицы Якоби, вычисленной для дважды итерированной системы (\ref{eq3}).  В~результате несложно увидеть, что в  области \textit{8} пара $2P_{1,2}$ --- это седло с одномерным  неустойчивым многообразием, которое образует гетероклинический контур $W^U$,  замкнутый на устойчивые точки $E_0$ и $E_1$. Так как все собственные числа в  точках $2P_{1,2}$ положительные, то отображение (\ref{eq3}) является  ориентируемым. Следовательно, существует четыре контура, а из точек $2P_{1,2}$ можно  прийти как к $E_0$, так и к $E_1$. В результате движение к устойчивым точкам  $E_0$ и $E_1$ для любых начальных условий состоит из двух ветвей: для четных  $t$ траектория лежит ниже плоскости $p=0.5$, для нечетных --- выше, или наоборот в  зависимости от того, где расположена начальная точка. В результате возникают  колебания всех трех переменных, пример которых показан на  рис.~\ref{fig3},~\textit{b}, где начальная точка расположена в окрестности многообразия  $W^S$. В этом случае траектория вначале движется по сепаратрисной поверхности $W^S$  в сторону периодической точки $2P$, где она <<задерживается>> на некоторое  время, а затем устремляется к точке $E_0$ или $E_1$ вдоль двух ветвей контура $W^U$.  Надо заметить, что ни одна траектория не пересекает  поверхность $W^S$  в этом случае.  Таким образом, при пониженной  приспособленности гетерозигот, то есть  при $-1\le s<0$, генетическая дивергенция возможна только  лишь как часть переходного процесса  аналогично тому, как это происходит в модели с  непрерывным временем \cite{Frisman2021}. Более  того, при $m<-s/4$ решения моделей с непрерывным и  дискретным временем совпадают. Однако при $m\ge 1+s/4$ дискретный характер  воспроизводства приводит к тому, что  переход к одному из мономорфных состояний сопровождается  пилообразными колебаниями, когда периодическим образом изменяется  соотношение концентрации аллеля $A$ в  разных популяциях, чего в принципе не может быть  в модели с непрерывным временем. Вполне ожидаемо, что пара неподвижных  точек $E_3$ и $E_4$, соответствующая дивергенции, становится устойчивой при  $m=0$, когда две популяции несвязанны и развиваются независимо. Аналогично  случаю модели с непрерывным временем \cite{Frisman2021} точки $E_3$ и $E_4$ переходят в  прямые неподвижных точек $(0,1,\bar{p})$ и $(1,0,\bar{p})$ ($\bar{p}\in R$ --- любое число). В  результате концентрации аллелей на разных участках в асимптотическом  случае принимают значения 0 или 1, в то  время как их численности, выраженные через вес  $p$, принимают любые значения (в  зависимости от начальных условий). Схожие решения  системы (\ref{eq3}), соответствующие дивергенции, наблюдаются при $m=1$. В этом  случае устойчива пара периодических точек $2P_{1,2}$ с координатами  $(0,1,\bar{p})$ и $(1,0,\bar{p})$ ($\bar{p}\in R$). В~результате концентрации  аллелей $q_1$ и $q_2$ колеблются между 0 и 1 с противоположными фазами, а  размах колебаний веса $p$ принимает любое значение в зависимости от  начального его значения.  %\renewcommand{\baselinestretch}{.98}\normalsize{    \par}  Рассмотрим особенности динамики при $s<-1$,  когда система, на первый взгляд, теряет содержательный смысл. С одной  стороны при $-2>, то есть траектория уходит  в область с отрицательными координатами,  а переход к $E_1$ происходит <<сверху>>, то есть  из области с очень большими координатами. По всей видимости, там  существуют седловые периодические точки, порождающие сепаратрисы, не  допускающие неограниченных траекторий. Действительно, численно обнаружено  несколько из них с небольшими периодами (2, 3, 4).  Важно подчеркнуть, что скачок фазовых  переменных часто оказывается настолько большим, что на линейной шкале оси  координат сложно изобразить характер колебаний. Для решения этой проблемы  можно выполнить масштабирование значений фазовых переменных по  следующему правилу. Для небольших по  модулю значений фазовых переменных  (например, от $-1.5$ до $1.5$) не применяется  никакое масштабирование. Для больших   положительных (больше $1.5$) или малых  отрицательных значений (меньше $-1.5$) выполняется логарифмирование,  сохраняющее знак масштабируемой  переменной. В результате новая переменная, которая  используется только для построения соответствующих графиков (см. рис.~\ref{fig4} и  \ref{fig5}), имеет вид: \begin{eqnarray*} \tilde{q}_i =\left\{ 	{\begin{array}{cl} 		 \ln(q_i)+1.5, & \mbox{ if }q_i >1.5, \\   		 q_i, & \mbox{ if }-1.5\le q_i \le 1.5, \\ 		 -\ln(-q_i)-1.5, & \mbox{ if }q_i<-1.5. \\ 	\end{array}}\right. \end{eqnarray*} Аналогичное масштабирование  производится для переменной $p$.  Во втором примере (точка $A_2$) также  наблюдаются расходящиеся колебания с квазислучайной длительностью, но  преимущественно вокруг полиморфной точки $E_2$. После нескольких <<витков>> на отрезке  $0\le q_1(t)=q_2(t)\le 1$ ($p(t)=0.5$) траектория покидает единичный куб,  достигая больших абсолютных значений, а затем возвращается к точке $E_2$.  Но более интересна ситуация, когда траектория движется между тремя  точками $E_0$, $E_1$ и $E_2$, совершая вокруг каждой из них несколько  <<витков>>, количество которых редко велико. Квазислучайным в этом случае  является не столько продолжительность расходящихся колебаний, сколько точка, в  окрестности которой окажется траектория после скачка фазовых переменных. В первом  примере на рис.~\ref{fig4},~\textit{b} возможна только одна серия переходов:  $E_{0}\to E_{1}\to E_{0}\to \ldots$, где знак <<$\to$>> показывает переход  траектории из окрестности одной  неподвижной точки к другой. Во втором примере нет  никаких переходов, и наблюдаются  колебания только вокруг точки $E_2$. В третьем примере  вариантов перехода траектории между тремя точками значительно больше.  Например, возможны переходы $E_0\to E_1\to E_0\to E_1\to\ldots\to E_2\to\ldots$ c достаточно  редкими обходами траекторией окрестности точки  $E_2$, или напротив, частые переходы $E_0\to E_2\to E_1\to E_0\to\ldots$ или $E_0\to E_1\to E_2\to  E_0\to\ldots$ и т.\,д.  Наконец, когда время пребывания в  окрестности каждой из неподвижных точек становится минимальным (равным 1--2  периодам) динамика системы (\ref{eq3})  становится по-настоящему непредсказуемой, хотя и  реализуемая на одномерном многообразии: $q_1=q_2$, $p=0.5$. В этом случае система (\ref{eq1})  представима в виде одномерного отображения: \begin{eqnarray*} q\mapsto\frac{2q(1+s(1-q))}{2+4sq(1-q)}, \end{eqnarray*} которое имеет неподвижные точки $E_0$, $E_1$ и  $E_2$.  Выход из области синхронной динамики, как  уже отмечалось, сопровождается перемежаемостью участков синхронной и  несинхронной динамики, как в четвертом примере на рис.~\ref{fig4},~\textit{b} ($A_4$). В этот  момент на синхронных участках возможны серии переходов $E_0\to E_0$  или $E_1\to E_1$, разделенные скачками фазовых переменных. Но более интересно,  что в этой области, прежде чем полностью потерять синхронизацию, возникают режимы,  содержащие участки расходящихся или затухающих колебаний  переменных $q_1$ и $q_2$,  и достаточно монотонные переменной $p$ (точка $A_5$ на  рис.~\ref{fig4},~\textit{b}). В этом случае колебания переменных $q_1$ и $q_2$  противофазные, которые сходятся (или  расходятся) к разным значениям. Это указывает на то,  что на двумерном многообразии, на котором в этом случае реализуются все  несинхронные режимы, существуют седловые неподвижные (помимо $E_0$, $E_1$ и $E_2$) или  периодические точки, притягивающие фазовую траекторию. Аналогично  синхронным режимам между ними происходят  переходы с сильными скачками переменных.   \begin{figure}[t!] 	\centering 	\includegraphics[width=14cm]{pic05.pdf}\vspace{0.2\baselineskip} 	\caption{Примеры гиперхаотической динамики  системы (\ref{eq3}) при 		указанных значениях параметров. \textit{a} ---  Двумерное многообразие $W_1^S$ 		с расположенными на нем фазовыми  точками, а также их проекция на фазовую  плоскость 		с естественными (\textit{b}) и   масштабированными~(\textit{c}) координатами  (цвет онлайн) 		\protect\\[5pt] 		Fig.~\ref*{fig5}. Examples of hyperchaotic dynamics (sum of all Lyapunov  exponents 		is greater than zero) of system (\ref{eq3}) for the shown parameters  values. 		\textit{a} --- 2D manifold $W_1^S$ with the orbit lying on it, and its  projection 		onto the phase plane in natural (\textit{b}) and scaled (\textit{c})  coordinates (color online)} 	\label{fig5}\vspace{-0.5\baselineskip} \end{figure}  Наконец при малых или больших значениях $m$  динамика всех переменных оказывается абсолютно несинхронной и  гиперхаотической, как в последнем примере  на рис.~\ref{fig4},~\textit{b}.  Рассмотрим величину  ${Q}'(t)=p(t)q_1(t)-\big(1-p(t)\big)q_2(t)-p(t)$. Численные расчеты показывают, что все сложные  режимы динамики лежат на поверхности, задаваемой уравнением: ${Q}'=1/2$. Кроме того  синхронные режимы лежат на части этой поверхности (на прямой  $q_1(t)=q_2(t)$, $p(t)=0.5$). Действительно, подставив  в ${Q}'$ значения фазовых переменных,  соответствующих устоявшейся хаотической динамики, можно убедиться, что сумма  квадратов отклонения фазовой траектории от этой поверхности не превосходит $10^{-9}$,  то есть \begin{eqnarray*} \sum\limits_{t=M}^N  {\Big(p(t)q_1(t)-\big(1-p(t)\big)q_2(t)-p(t)-0.5\Big)^2}\lesssim 10^{-9}, \end{eqnarray*} где $N>M$ --- достаточно большие целые числа,  $q_1(t)$, $q_2(t)$ и $p(t)$ --- координаты фазовых точек системы (\ref{eq3}) при $-40$, в  популяции всегда устанавливается  полиморфизм (устойчива точка $E_2$). Вариация других  параметров лишь меняет число неподвижных точек, тип устойчивости (седла переходят в  неустойчивые узлы или наоборот), а также механизм их рождения. На  рис.~\ref{fig6},~\textit{a},~\textit{c} области разного  цвета (оттенки серого) соответствуют  параметрам, при которых в системе (\ref{eq5})  существует разное число неподвижных точек.  Соответственно при пересечении их границ  рождаются или исчезают некоторые из точек. Так,  рис.~\ref{fig6},~\textit{b} показывает, например, что при переходе из области $B$ в $A$, от  точек $E_3$ и $E_4$ одновременно отщепляется две пары точек. Причем таким образом, что  точка $E_3$ или $E_4$ лежит между ними, на равном от них расстоянии. Но происходит  это только при большом значении  коэффициента миграции $m>0.5$ и $p=0.5$. В общем случае $p\ne 0.5$  дополнительные пары точек появляются в результате седло-узловой бифуркации в  стороне от точек $E_3$ и $E_4$. Аналогичным образом при $p=0.5$ и переходе из  области~$B$~в~$C$ рождается одна пара точек  вокруг полиморфной точки $E_2$. При $p\ne 0.5$ она  появляется в результате седло-узловой бифуркации (см. рис.~\ref{fig6},~\textit{c}).  Аналогично системе (\ref{eq3}) при высоких значениях параметра миграции $m>0.5$ часть  собственных чисел оказывается  отрицательной (в том числе для устойчивой точки $E_2$).  В~результате движение к устойчивой полиморфной точке $E_2$ при определенных  начальных условиях сопровождается затухающими колебаниями фазовых  переменных $q_1$ и $q_2$. Здесь можно пояснить, что пунктирные линии на  рис.~\ref{fig6},~\textit{a},~\textit{c} показывают  параметры, при которых действительная часть  собственных чисел меняет свой знак или  они расположены на единичной окружности. То есть при  пересечении этих линий в системе (\ref{eq5}) происходят определенные качественные  изменения, которые при $s>0$ хоть и не влияют на устойчивость точки $E_2$, но существенно  изменяют характер переходной динамики. Вообще режимы динамики здесь аналогичны   отмеченным для полной системы (\ref{eq3}).  При низкой приспособленности гетерозигот  ($s<0$) наблюдается бистабильность динамики. В~этом случае  точки $E_0$ и $E_1$,  существовавшие и при $s>0$, приобретают устойчивость при переходе из  областей $A$, $B$ или $E$ в область параметров $D$, то есть при $-2> эту границу  ближе к области хаотической динамики, границы которой не зависят от $m$  и $p$. В результате при высоких значениях $m$ неподвижные точки, соответствующие  генетической дивергенции ($E_3$ и $E_4$), оказываются неустойчивыми либо не  существуют, и вне области хаотической  динамики ($-20.5$ пара точек $2P_{1,2}$ оказывается  устойчивой. В момент пересечения линии PF и переходе из  области ${D}'$ в ${D}''$, от нее отщепляется пара седловых точек, и точки  $2P_{1,2}$ приобретают устойчивость. В этот момент от бассейна притяжения  точек $E_0$ и $E_1$ (слева на рис.~\ref{fig7},~\textit{b}) отделяются две  области притяжения точек $2P_{1,2}$ (справа на рис.~\ref{fig7},~\textit{b}). Размер  этих областей увеличивается по мере роста коэффициента миграции и  роста расстояний между седловыми точками.  \begin{figure}[t!] 	\centering 	\includegraphics[width=15.7cm]{pic07.pdf}%\vspace{0.5\baselineskip} 	\caption{\textit{a} --- Параметрический портрет  системы (\ref{eq5}) при $p=0.5$ с нанесенной на него линией  субкритической бифуркации удвоения  периода $\mbox{PD}^{-}$ и последующей бифуркации вил PF,  после которой периодическая точка $2P_{1,2}$ (2-цикл) приобретает устойчивость.  \textit{b} --- Нульклины системы (\ref{eq5}) (пунктирная линия) и второй  итерации системы (\ref{eq5}) (сплошная), а также бассейны притяжения устойчивых  точек $E_0$, $E_1$ и $2P_{1,2}$. \textit{c} --- Примеры динамики в случае би- (слева) и  квадростабильности (справа). Начало стрелки показывает примерное  расположение стартовой точки (цвет  онлайн) \protect\\[5pt] Fig.~\ref*{fig7}.~\textit{a} --- Parametric portrait of system (\ref{eq5}) at  $p=0.5$ with a line of subcritical period doubling bifurcation $\mbox{PD}^{-}$ and subsequent supercritical pitchfork bifurcation PF after which the periodic  point $2P_{1,2}$ (2-cycle) becomes stable. \textit{b} --- Nullclines of system  (\ref{eq5}) (dotted line) and second iteration of (\ref{eq5}) (solid) as well as the  attraction basins of stable points $E_0$, $E_1$ and $2P_{1,2}$. \textit{c} --- Examples  of dynamics in the case of bi- (left) and quadstability (right). The arrow start shows the location of the starting point (color online)} 	\label{fig7}\vspace{-0.5\baselineskip} \end{figure}  Содержательно появление пары  периодических точек $2P_{1,2}$  свидетельствует о том, что в системе двух связанных  популяций с низкой приспособленностью гетерозигот генетическая дивергенция  оказывается возможной не только при низком коэффициенте миграции, и не только  как часть переходной динамики. Это становится возможным, если сохраняется  соотношение численностей ($p=const$). Однако в отличие от случая слабой  миграции, дивергенция в этом случае проявляется в виде периодических  колебаний между двумя состояниями,  которые также сосуществуют с двумя устойчивыми  мономофными состояниями популяции ($E_0$ или $E_1$). Эти колебания проявляются в том,  что концентрации аллеля $A$ на разных участках испытывают периодические  противофазные колебания с периодом 2  между состояниями с высокой концентрацией  аллеля $A$ на первой территории и низкой концентрацией аллеля $a$ на второй  территории или наоборот. Если при этом  пара точек $2P_{1,2}$ существует, но пока не  устойчива (в области параметров ${D}'$), то генетическая дивергенция в виде  колебаний может наблюдаться лишь как  часть переходного процесса при специально  подобранных начальных условиях. Пример  такой динамики показан слева на  рис.~\ref{fig7},~\textit{c} и в целом схож с  динамикой на рис.~\ref{fig3},~\textit{b}. В данном случае  стартовая точка выбрана близко к сепаратрисе $q_2=1-q_1$. Однако при достаточно  большом коэффициенте миграции (область ${D}''$) эти колебания оказываются  устойчивыми и наблюдаются неограниченное время (пример справа на  рис.~\ref{fig7},~\textit{b}). Интересно, что при более низких значениях  коэффициента отбора гетерозигот $s$  дивергенция возможна при более низком коэффициенте  связи. Однако, пересекая границу при $s<-1$ устойчивые периодические точки $2P_{1,2}$  выходят из единичного квадрата и система (\ref{eq5}), как и полная система  (\ref{eq3}), теряет содержательный смысл.  В общем случае $p\ne 1/2$ описанный сценарий  рождения устойчивого периодического режима качественно не меняется. По мере  того как значение веса $p$ отдаляется от $0.5$, точки $2P_{1,2}$  и окружающие их седла  оказываются расположенными менее симметрично. В результате амплитуда  колебаний концентраций аллеля $A$ на разных участках оказывается разной  (больше там, где меньше численность). Кроме того бифуркационные линии $\mbox{PD}^{-}$  и $\mbox{PF}$ смещаются выше, то есть 2-цикл возникает при еще более  высоких значениях $m$ по мере роста разницы $\left|{p-0.5}\right|$.{\parfillskip=0pt 	 }  В области хаотической динамики эти  периодические точки также существуют, но не устойчивы. Кроме того в системе (\ref{eq5})  эти точки существуют и при $s>0$, однако лежат они за пределами первого  квадранта и всегда неустойчивы.  Свойства хаотической динамики системы  (\ref{eq3}) и (\ref{eq5}) в целом схожи. Однако помимо синхронных (при высоких и  низких $p$) и абсолютно несинхронных хаотических режимов (при $p$ близких к $0.5$)  система (\ref{eq5}) также демонстрирует противофазные хаотические  колебания переменных $q_1$~и~$q_2$. В любом случае динамика состоит из  участков расходящихся колебаний вокруг  точек $E_0$, $E_1$ и~$E_2$ с квазислучайной  длительностью, как и для модели (\ref{eq3}).  Из других особенностей системы (\ref{eq5})  можно отметить появление девяти неподвижных точек при высоких значениях  $m>0.5$ и $s<-2$. Их появление связано с последовательностью <<удвоений>>  точек $E_0$, $E_1$ и $E_2$, что не наблюдалось в модели (\ref{eq3}). В  области $G$ пара точек отщепляется от точек $E_0$ и $E_1$, а в области  $H$ еще и от $E_2$. Здесь также верно, что при $p=0.5$ эти дополнительные  точки рождаются вследствие бифуркации вил (PF), а при $p\ne 0.5$ вследствие  седло-узловой бифуркации (SN). Однако среди этих дополнительных точек никогда  не бывает устойчивых. Лишь покидая область хаотической динамики (при $s<-4$), из  девяти неподвижных точек устойчивой становится полиморфная точка  $E_2$ (крайняя левая часть диаграммы на рис.~\ref{fig6},~\textit{a},~\textit{c}).  Другая особенность системы (\ref{eq5}) связана  с тем, что к линиям локальных бифуркаций системы (\ref{eq5}), в общем-то,  схожих с бифуркациями полной системы (\ref{eq3}) или аналогичной модели с  непрерывным временем \cite{Frisman2021}, добавляются несколько границ, на которых  часть собственных чисел~--- это комплексно-сопряженные величины. Однако  существуют они только в области хаотической динамики (\textit{Chaos} на  рис.~\ref{fig6},~\textit{a},~\textit{c}) при $-4> указывает на то, что этой  бифуркации подвержены только неустойчивые точки, которые  появляются совместно с точками,  соответствующими генетической дивергенции. Поэтому  довольно сложно судить об изменениях в  динамике, связанных с этими точками, особенно в  области хаотической динамики.  \vspace{-0.5\baselineskip} \section*{Заключение}  В данной работе была рассмотрена  простейшая модель первичной генетической дивергенции в системе двух связанных  панмиктичных популяций с непересекающими поколениями и четкой  стадийностью развития. В отличие от большинства подобных работ, посвященных  поиску условий сохранения полиморфизма, дивергенции и  географической изменчивости \cite{Burger,Yeaman,Bertram,Akerman}, рассмотрена наиболее  полная модель, учитывающая как частоты аллелей, так и  численности связанных популяций. Современными методами анализа  динамических систем указаны конкретные  бифуркации, которые приводят к дивергенции. Построены  бифуркационные диаграммы, фазовые портреты и бассейны притяжений. На основе  аналога карт седел произведена классификация областей в пространстве  параметров, которые отличаются типом динамики (в том числе, переходной  динамики).  Дискретное представление времени в  модели приводит к некоторым отличиям от аналогичной модели с непрерывным  временем, рассмотренной нами ранее \cite{Frisman2021}. При небольших значениях  коэффициента миграции ($m<0.5$) совпадают бифуркационные линии, на  которых рождаются решения,  соответствующие дивергенции. Решения в этом случае  качественно эквиваленты. Существенные отличия наблюдаются при высоких  значениях коэффициента миграции ($m>0.5$), когда при определенных условиях  возникают колебания частот аллелей или соотношения численностей.  Режимы, соответствующие дивергенции,  возможны при пониженной приспособленности гетерозигот, когда  динамика оказывается бистабильной или  даже квадростабильной. В случае  бистабильности дивергенция возможна  только как часть переходного процесса, если   соответствующие дивергенции решения  существуют, но пока неустойчивы (хотя бистабильность  возможна и без существования этого дополнительного решения). Стабилизация  дивергентного состояния происходит при определенных ограничениях,  накладываемых на рост численности.  Например, при введении экологического  лимитирования роста численности.  Появление устойчивой генетической дивергенции  сопровождается рядом качественных перестроек. При слабой связи происходит  субкритическая бифуркация вил полиморфной неподвижной точки, за ней  следует суперкритическая бифуркация вил (в случае равных численностей на обеих  территориях), либо седло-узловая бифуркация (при неравных численностях).  При сильной связи сценарий аналогичен, однако вместо субкритической  бифуркации полиморфной неподвижной точки происходит субкритическое удвоение  периода, а последующая бифуркация рождает устойчивую периодическую точку  (2-цикл). В этом случае динамика оказывается квадростабильной --- в  зависимости от начальной генетической структуры обе популяции оказываются  генетически однородными (мономорфизм), либо они демонстрируют существенные  различия в структуре (дивергенция). При высоких значениях коэффициента миграции  дивергенция сопровождается противофазными колебаниями частот  аллелей на разных территориях.  Обнаружены сложные режимы динамики,  которые хотя и не имеют содержательного биологического смысла, но могут быть  интересны как пример сложноорганизованной динамики. Их  особенность заключается в серии расходящихся колебаний вокруг разных  неподвижных точек, соответствующих мономорфизму или полиморфизму в смежных  популяциях, и квазислучайных переходов между ними.  </text>
            <codes>
              <doi>10.18500/0869-6632-2022-30-2-208-232</doi>
              <udk>575.174, 517.9</udk>
              <bbk>!!!Элемент, значение которого содержит код ББК</bbk>
              <jel>!!!Элемент, значение которого содержит код JEL </jel>
              <msc>!!!Элемент, значение которого содержит код MSC</msc>
              <pacs>!!!Элемент, значение которого содержит код PACS</pacs>
              <anycode>!!!Элемент, значение которого содержит другие коды статьи. ВНИМАНИЕ! К другим кодам не относятся рубрики ГРНТИ. Для рубрик есть отдельный контейнер rubrics. </anycode>
            </codes>
            <keywords>
              <kwdGroup lang="RUS">
                <keyword>генетическая дивергенция</keyword>
                <keyword>модель с дискретным временем</keyword>
                <keyword>динамика</keyword>
                <keyword>бифуркации</keyword>
                <keyword>колебания</keyword>
                <keyword>бистабильность</keyword>
                <keyword>квадростабильность</keyword>
              </kwdGroup>
              <kwdGroup lang="ENG">
                <keyword>genetic divergence</keyword>
                <keyword>discrete time model</keyword>
                <keyword>dynamics</keyword>
                <keyword>bifurcations</keyword>
                <keyword>fluctuations</keyword>
                <keyword>bi-stability</keyword>
                <keyword>quad-stability</keyword>
              </kwdGroup>
            </keywords>
            <references>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Haldane J. B. S. A mathematical theory of natural and artificial selection. Part II. The influence of partial self-fertilisation, inbreeding, assortative mating, and selective fertilisation on the composition of Mendelian populations, and on natural selection // Biological Reviews. 1924. Vol. 1, no. 3. P. 158–163. DOI: 10.1111/j.1469-185X.1924.tb00546.x.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Fisher R. A. The Genetical Theory of Natural Selection. Oxford: Clarendon Press, 1930. 272 p. DOI: 10.5962/bhl.title.27468.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Wright S. Evolution in Mendelian populations // Genetics. 1931. Vol. 16, no. 2. P. 97–159. DOI: 10.1093/genetics/16.2.97.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Фрисман Е. Я., Шапиро А. П. Избранные математические модели дивергентной эволюции популяций. М.: Наука, 1977. 152 с.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Свирежев Ю. М., Пасеков В. П. Основы математической генетики. М.: Наука, 1982. 512 с.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Фрисман Е. Я., Первичная генетическая дивергенция (Теоретический анализ и моделирование). Владивосток: ДВНЦ АН СССР, 1986. 160 с.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Burger R. A survey of migration-selection models in population genetics // Discrete &amp; Continuous Dynamical Systems - B. 2014. Vol. 19, no. 4. P. 883–959. DOI: 10.3934/dcdsb.2014.19.883.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Carroll S. P., Hendry A. P., Reznick D. N., Fox C. W. Evolution on ecological time-scales // Functional Ecology. 2007. Vol. 21, no. 3. P. 387–393. DOI: 10.1111/j.1365-2435.2007.01289.x.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Pelletier F., Garant D., Hendry A. P. Eco-evolutionary dynamics // Phil. Trans. R. Soc. B. 2009. Vol. 364, no. 1523. P. 1483–1489. DOI: 10.1098/rstb.2009.0027.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Yeaman S., Otto S. P. Establishment and maintenance of adaptive genetic divergence under migration, selection, and drift // Evolution. 2011. Vol. 65, no. 7. P. 2123–2129. DOI: 10.1111/j.1558-5646.2011.01277.x.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Bertram J., Masel J. Different mechanisms drive the maintenance of polymorphism at locisubject to strong versus weak fluctuating selection // Evolution. 2019. Vol. 73, no. 5. P. 883–896. DOI: 10.1111/evo.13719.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Neverova G. P., Zhdanova O. L., Frisman E. Y. Effects of natural selection by fertility on the evolution of the dynamic modes of population number: bistability and multistability // Nonlinear Dyn. 2020. Vol. 101, no. 1. P. 687–709. DOI: 10.1007/s11071-020-05745-w.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Zhdanova O. L., Frisman E. Y. Genetic polymorphism under cyclical selection in long-lived species: The complex effect of age structure and maternal selection // Journal of Theoretical Biology. 2021. Vol. 512. P. 110564. DOI: 10.1016/j.jtbi.2020.110564.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Telschow A., Hammerstein P., Werren J. H. The effect of Wolbachia on genetic divergence between populations: Models with two-way migration // The American Naturalist. 2002. Vol. 160, no. S4. P. S54–S66. DOI: 10.1086/342153.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Fussmann G. F., Loreau M., Abrams P. A. Eco-evolutionary dynamics of communities and ecosystems // Functional Ecology. 2007. Vol. 21, no. 3. P. 465–477. DOI: 10.1111/j.1365-2435.2007.01275.x.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Tellier A., Brown J. K. M. Stability of genetic polymorphism in host–parasite interactions // Proc. R. Soc. B. 2007. Vol. 274, no. 1611. P. 809–817. DOI: 10.1098/rspb.2006.0281.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Nagylaki T., Lou Y. The dynamics of migration–selection models // In: Friedman A. (ed) Tutorials in Mathematical Biosciences IV. Vol. 1922 of Lecture Notes in Mathematics. Berlin, Heidelberg: Springer, 2008. P. 117–170. DOI: 10.1007/978-3-540-74331-6_4.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Akerman A., Burger R. The consequences of gene flow for local adaptation and differentiation: a two-locus two-deme model // J. Math. Biol. 2014. Vol. 68, no. 5. P. 1135–1198. DOI: 10.1007/s00285-013-0660-z.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Пасеков В. П. К анализу слабого двулокусного отбора по жизнеспособности и квазиравновесия по сцеплению // Доклады Академии наук. 2019. Т. 484, № 6. С. 781–785. DOI: 10.31857/S0869-56524846781-785.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Фрисман Е. Я., Кулаков М. П. О генетической дивергенции в системе двух смежных популяций, обитающих на однородном ареале // Известия вузов. ПНД. 2021. Т. 29, № 5. С. 706–726. DOI: 10.18500/0869-6632-2021-29-5-706-726.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Фрисман Е. Я., Жданова О. Л., Кулаков М. П., Неверова Г. П., Ревуцкая О. Л. Математическое моделирование популяционной динамики на основе рекуррентных уравнений: результаты и перспективы. Ч. II // Известия РАН. Серия биологическая. 2021. № 3. С. 227–240. DOI: 10.31857/S000233292103005X.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Altrock P. M., Traulsen A., Reeves R. G., Reed F. A. Using underdominance to bi-stably transform local populations // Journal of Theoretical Biology. 2010. Vol. 267, no. 1. P. 62–75. DOI: 10.1016/j.jtbi.2010.08.004.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Laruson A. J., Reed F. A. Stability of underdominant genetic polymorphisms in population networks // Journal of Theoretical Biology. 2016. Vol. 390. P. 156–163. DOI: 10.1016/j.jtbi.2015.11.023.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Гонченко А. С., Гонченко С. В., Казаков А. О., Козлов А. Д. Математическая теория динамического хаоса и её приложения: Обзор. Часть 1. Псевдогиперболические аттракторы // Известия вузов. ПНД. 2017. Т. 25, № 2. С. 4–36. DOI: 10.18500/0869-6632-2017-25-2-4-36.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
            </references>
            <files>
              <file desc="Атрибут desc, значение которого содержит тип файла (см. справочник typeDesc)">6-kulakov_208-232.pdf</file>
              <furl lang="">Элемент, значение которого содержит ссылку на полный текст на внешнем сайте</furl>
            </files>
              <rubrics>
                <rubric>Элемент, значение которого содержит код рубрики</rubric>
              </rubrics>
            <dates>
              <dateReceived>06.02.2022</dateReceived>
              <dateAccepted>!!!Элемент, значение которого содержит дату принятия статьи в печать. Дата должна быть следующего формата «дд.мм.гггг» </dateAccepted>
            </dates>
        </article>
        <section>
          <secTitle lang="RUS">Новое в прикладной физике</secTitle>
          <secTitle lang="ENG">Innovations in applied physics</secTitle>
        </section>
        <article>
          <artType>SCO</artType>
          <langPubl>RUS</langPubl>
          <pages>233-238</pages>
          <authors>
            <author id="28781" num="001">
            <role>!!!Элемент, который содержит роль автора (редактор, рецензент и т.д.). Если элемент отсутствует, то автор просто автор. Значение элемента – это числовой идентификатор. Идентификаторы роли представлены в справочнике typeRole!!!</role>
            <correspondent>!!! Автор-корреспондент !!!</correspondent>
            <authorCodes>
              <researcherid>V-7641-2017</researcherid>
              <scopusid>6603284771</scopusid>
              <orcid>0000-0003-1221-7322</orcid>
            </authorCodes>
            <individInfo lang="RUS">
              <surname>Сокол-Кутыловский</surname>
              <initials>Олег Леонидович</initials>
              <address>620016, г. Екатеринбург, ул. Амундсена, 100  </address>
              <town>Екатеринбург</town>
              <otherInfo>!!!Элемент, значение которого содержит другие сведения об авторе!!!</otherInfo>
              <comment>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</comment>
              <commentDate>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</commentDate>
              <orgName>Институт геофизики имени Ю.П. Булашевича Уральского отделения Российской Академии наук</orgName>
              <email>!!!Элемент, значение которого содержит электронную почту автора (Нужно ли палить почту пользователя?)</email>
            </individInfo>
            <individInfo lang="ENG">
              <surname>Sokol-Kutylovskii</surname>
              <initials>Oleg Leonidovich</initials>
              <address>620016, Yekaterinburg, st. Amundsen, 100</address>
              <town>Yekaterinburg</town>
              <otherInfo>!!!Элемент, значение которого содержит другие сведения об авторе!!!</otherInfo>
              <comment>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</comment>
              <commentDate>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</commentDate>
              <orgName>Yu. P. Bulashevich Institute of Geophysics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences</orgName>
              <email>!!!Элемент, значение которого содержит электронную почту автора (Нужно ли палить почту пользователя?)</email>
            </individInfo>
            </author>
          </authors>
          <artTitles>
            <artTitle lang="RUS">Нелинейное усиление сигнала магнитной индукции в магнитомодуляционном датчике с аморфным ферромагнитным сердечником</artTitle>
            <artTitle lang="ENG">Nonlinear amplification of the magnetic induction signal in a magnetomodulation sensor with an amorphous ferromagnetic core</artTitle>
          </artTitles>
          <abstracts>
            <abstract lang="RUS">Цель настоящего исследования — показать  возможность использования управляемой  магнитным полем нелинейности изменения  амплитуды в колебательном /LC/-контуре,  содержащем сердечник из аморфного  ферромагнитного сплава с  компенсированной продольной  магнитострикцией, что позволяет получить  высокий коэффициент преобразования  датчиков слабого магнитного поля,  работающих при комнатной температуре.  Методы. Рассмотрен реализованный на  практике метод построения  магнитомодуляционных датчиков магнитной  индукции с фиксированным магнитным полем  смещения, которое соответствует  максимальной крутизне нелинейной  характеристики колебательного /LC/-контура  с аморфным ферромагнитным сердечником в  области автопараметрического резонанса.  Результаты. Показано, что устойчивый  коэффициент преобразования датчика  длиной 35 мм на основе /LC/-контура с  автопараметрическим усилением на частоте  модуляции 256 кГц может достигать 10 мВ/нТл,  что позволяет при имеющейся элементной  базе регистрировать сигналы слабого  переменного магнитного поля с амплитудой  0.03 пТл/Гц1/2 в частотном диапазоне от 10 до  1000 Гц. Отмечено, что возбуждение датчика  слабым гармоническим магнитным полем  высокой частоты и постоянное нахождение  аморфного ферромагнитного сердечника  вблизи состояния технического насыщения  значительно снижает уровень собственного  магнитного шума магнитомодуляционного  датчика. Заключение.  Магнитомодуляционные датчики с  автопараметрическим усилением сигнала  магнитной индукции могут найти  применение в геофизике, магнитобиологии и  биомедицине.   </abstract>
            <abstract lang="ENG">The purpose of this work is to show the possibility of using a magnetic  field-controlled nonlinearity of the amplitude change in an oscillatory  /LC/-circuit containing a core made of an amorphous ferromagnetic alloy with  compensated longitudinal magnetostriction, which makes it possible to obtain  a high conversion coefficient of weak magnetic field sensors operating at  room temperature. Methods. A practical method for constructing  magnetomodulation sensors of magnetic induction with a fixed magnetic  displacement field, which corresponds to the maximum steepness of the  nonlinear characteristic of an oscillatory circuit with an amorphous  ferromagnetic core in the region of autoparametric resonance, is considered.  Results. It has been shown that the stable conversion factor of a 35 mm long  sensor based on an oscillatory circuit with autoparametric amplification at a  modulation frequency of 256 kHz can reach 10 mV/nT, which allows, with the  available element base, to record signals of a weak alternating magnetic  field with an amplitude of 0.03 pT/Hz1/2 in the frequency range 10...1000 Hz.  It is noted that the excitation of the sensor by a weak harmonic magnetic  field of a high frequency and the constant presence of the amorphous  ferromagnetic core near the state of technical saturation significantly  reduces the level of intrinsic magnetic noise of the magnetomodulation  sensor. Conclusion. Magnetomodulation sensors with autoparametric  amplification of the magnetic induction signal can find application in  geophysics, magnetobiology and biomedicine.   </abstract>
          </abstracts>
          <text lang="RUS">\section*{Введение}  Измерение слабого магнитного поля низких  частот с амплитудой менее 1~пТл остается  одним из востребованных направлений  современных прикладных исследований в  геофизике, магнитобиологии и биомедицине.  Несмотря на большое количество имеющихся  датчиков магнитного поля продолжается их  совершенствование и идет разработка  новых методов измерения магнитной  индукции. Это связано как с  техническими  особенностями разработанных приборов,  так и с условиями и методами их работы.  Индукционные датчики надежны и просты в  изготовлении, но для работы на низких  частотах они имеют достаточно большие  размеры, измеряют не магнитную индукцию, а  ее производную по времени, что делает их  практически непригодными для измерения  широкополосных сигналов и сигналов  магнитного поля низких частот близко  расположенных к ним объектов \cite{[1]}.  Феррозондовые приборы имеют относительно  высокий уровень собственного магнитного  шума (5...10 пТл/Гц$^{1/2}$), хотя в последнее  время появились сообщения о феррозондах с  ортогональным возбуждением, имеющих  порог чувствительности 2 пТл/Гц$^{1/2}$ \cite{[2]}.  Квантовые магнитометры с оптической  накачкой измеряют модуль магнитной  индукции и требуют постоянного подогрева  паров рабочего вещества. Использование в  квантовых магнитометрах с оптической  накачкой твердотельного датчика в виде  кристалла алмаза с замещением части  атомов углерода атомами азота позволяет  получить высокую чувствительность только  при использовании ферритового  концентратора магнитного потока \cite{[3]}.  Самыми совершенными векторными  магнитометрами считаются  низкотемпературные сверхпроводящие  квантовые интерференционные детекторы  (СКВИДы), которые имеют порог  чувствительности~1~фТл/Гц$^{1/2}$~\cite{[4]}, но  они работают при температуре около 4 К, что  резко ограничивает их широкое применение.  Разработанные позднее  высокотемпературные СКВИДы по порогу  чувствительности приближаются к  низкотемпературным СКВИДам, но также  требуют применения криогенной техники,  так как работают при температуре жидкого  азота\cite{[5]}.  \renewcommand{\baselinestretch}{.98}\normalsize{    \par}  \section{Магнитомодуляционные датчики  с  автопараметрическим усилением} Создание высокочувствительных датчиков  магнитного поля с автопараметрическим  усилением сигнала магнитной индукции  стало возможным с появлением аморфных  ферромагнитных сплавов с  компенсированной продольной  магнитострикцией, получаемых методом  быстрой закалки из расплава. Отсутствие  кристаллической решетки в аморфных  ферромагнитных сплавах приводит к тому,  что механическое напряжение является  действующим фактором первого порядка, как  и внешнее магнитное поле \cite{[6]}. В  результате этого механическое напряжение  может обратимо привести аморфный  ферромагнетик в состояние, подобное  насыщению его внешним магнитным полем.  При этом в аморфных ферромагнетиках,  полученных методом быстрой закалки из  расплава, возникает эффективное прямое и  обратное магнитноупругое взаимодействие,  которое имеет место даже в аморфных  ферромагнитных сплавах с  компенсированной продольной  магнитострикцией. При возбуждении  аморфных ферромагнетиков внешним  магнитным полем, из-за четности  магнитноупругих эффектов, после  обратного магнитоупругого   преобразования в них, кроме первичного  сигнала возбуждения,  появляются сигналы  магнитного поля четных гармоник частоты  возбуждения. При этом амплитуда ряда  гармоник может быть сопоставима с  амплитудой сигнала возбуждения.   В $LC$-контуре с аморфным ферромагнитным  сердечником при определенном соотношении  частоты и амплитуды модуляции, во внешнем  магнитном поле, направленном вдоль  аморфного ферромагнитного сердечника,  возникает автопараметрический резонанс,  приводящий к скачкообразному изменению  амплитуды напряжения на $LC$-контуре.   На рисунке показана типовая  экспериментальная зависимость амплитуды  напряжения $U$ на колебательном $LC$-контуре  с аморфным ферромагнитным сердечником от  величины внешнего постоянного магнитного  поля $H$, направленного вдоль продольной  оси аморфного  ферромагнитного  сердечника в области параметрического  резонанса. При превышении уровня  возбуждения сердечника возникает  скачкообразное изменение амплитуды  напряжения на $LC$-контуре  (рис.~\textit{a}).  Направление намагничивания показано  стрелками. Пунктирные линии показывают  разрывы зависимости и соответствуют  скачкам амплитуды напряжения. При уменьшении амплитуды возбуждения  $LC$-контура расстояние между скачками  (гистерезис) уменьшается и, начиная с  некоторой амплитуды возбуждения,  нелинейная резонансная зависимость  амплитуды напряжения на $LC$-контуре  становится непрерывной (рис.~\textit{b}). Здесь  область максимальной крутизны  преобразования отмечена овалом, а  пунктирной линией показана нерезонансная  зависимость амплитуды напряжения на  $LC$-контуре.  \begin{figure}[h] \centering 	\includegraphics[width=6.5cm]{ra}  \quad\includegraphics[width=8cm]{rb}\\[-5pt] 	\parbox{15.5cm}{\textit{a}\hspace*{7cm}\textit{b}}\\ 	\caption*{Рисунок.~Амплитуда напряжения на  $LC$-контуре с сердечником из аморфного  ферромагнитного сплава при  автопараметрическом резонансе в  зависимости от внешнего магнитного поля  $H$: \textit{a} --- при сильном возбуждении, \textit{b}  --- при слабом возбуждении\protect\\[5pt] 		Figure.~Voltage amplitude across the $ LC $-circuit with an amorphous  ferromagnetic alloy core at autoparametric resonance depending on the  external magnetic field $ H $: \textit{a} --- with strong arousal, \textit{b}  --- with weak arousal}\label{fig:rb}		 \end{figure}   \renewcommand{\baselinestretch}{1}\normalsize{    \par}  При неизменной частоте и амплитуде  магнитного поля модуляции амплитуда  напряжения на $LC$-контуре зависит только  от величины составляющей внешнего  магнитного поля, совпадающей с продольной  осью аморфного ферромагнитного  сердечника. Так как зависимость <<амплитуда  напряжения – магнитная индукция>> на  $LC$-контуре нелинейная и неоднозначная, то  для измерительных целей ее необходимо  преобразовать в линейную и сделать  однозначной. Линеаризация этой  зависимости технически достигается тем,  что магнитное поле смещения,  соответствующее выбранному коэффициенту  преобразования, поддерживается системой  отрицательной обратной связи по  магнитному полю, а измеряемый сигнал  снимается с катушки обратной связи,  охватывающей аморфный ферромагнитный  сердечник. При этом постоянное магнитное  поле смещения непрерывно поддерживается   путем сравнения его с соответствующим  напряжением  прецизионного источника  опорного напряжения. Захват рабочей точки на зависимости   <<амплитуда напряжения – магнитная  индукция>> осуществляется  кратковременным отключением источника  питания отрицательной полярности  операционного усилителя, осуществляющего  пропорционально-интегрирующее  регулирование тока в катушке обратной  связи. В результате этого захват области  рабочей точки всегда происходит с одной  стороны резонансной кривой.  Принципиальная электрическая схема  одного из вариантов  магнитомодуляционного преобразователя  опубликована в \cite{[7]}.  Экспериментальная зависимость,  показанная на рис.~\textit{b}, была получена на  сердечнике в виде ленты аморфного  ферромагнитного сплава базового состава  $\rm Fe_5Co_{70}Si_{15}B_{10}$  с размерами  35$\times$0.6$\times$0.02~мм. Катушка колебательного  $LC$-контура содержала около 600 витков  медного провода диаметром 0.071~мм. Частота  возбуждения $LC$-контура равнялась 256 кГц, а  амплитуда тока возбуждения --- менее 0.45~мА. Коэффициент преобразования  магнитомодуляционного датчика с  $LC$-контуром в рабочей области, отмеченной  на рис.~{\textit{b}} овалом, может быть  установлен в пределах от  1~мкВ/нТл до  10~мВ/нТл. При этом мощность возбуждения  $LC$-контура при наибольшей  чувствительности не превышает 0.3~мВт. Если  после детектирования высокочастотного  напряжения на $LC$-контуре коэффициент  преобразования будет составлять всего  1~мВ/нТл, то при применении на входе  электрической схемы операционного  усилителя OP-27, имеющего  входной шум  3~нВ/Гц$^{1/2}$ в диапазоне частот от 10~Гц и  выше, в  магнитомодуляционном датчике с  автопараметрическим усилением можно  получить разрешение по магнитному полю   около 0.03~пТл/Гц$^{1/2} $.  Порог чувствительности датчика зависит  от собственного магнитного шума  аморфного ферромагнитного сердечника и  шумов активных и пассивных элементов  электронной схемы. Тепловым шумом катушки  индуктивности $LC$-контура можно  пренебречь, так как ее активное  сопротивление составляет всего около  20~Ом. Как следует из опыта работы с  индукционными датчиками, собственный  магнитный шум ферромагнитных сердечников  в пассивном состоянии в слабом магнитном  поле достаточно мал \cite{[1]}. В активных  датчиках на основе ферромагнитных  сердечников потеря энергии при их  возбуждении состоит из потерь на вихревые  токи и потерь на перемагничивание,  которые характеризуются площадью петли  гистерезиса. В аморфных ферромагнетиках  потерь на вихревые токи практически нет.  Это следует как из их относительно  высокого удельного электрического  сопротивления, так и из геометрии  сердечника в виде узкой тонкой полоски  аморфного ферромагнитного сплава. Что  касается магнитомодуляционных датчиков с  автопараметрическим усилением на основе  аморфных сплавов с компенсированной  продольной магнитострикцией, то, в  отличие от феррозондов, их возбуждение  осуществляется слабым магнитным полем   высокой частоты по частной петле,  занимающей ничтожно малую часть полной  петли гистерезиса. Кроме того,  значительная часть энергии   высокочастотного перемагничивания  сердечника по частной петле не является  безвозвратно потерянной, а при  автопараметрическом резонансе  возвращается в энергию колебательного  $LC$-контура в виде энергии четных гармоник,  возникающих в результате магнитоупругого  взаимодействия. Поэтому реальные потери  энергии и случайный магнитный шум при  высокочастотном перемагничивании  аморфных ферромагнетиков в области  автопараметрического резонанса могут  быть значительно меньше.     \renewcommand{\baselinestretch}{.97}\normalsize{    \par}  Расчетная магнитная проницаемость формы  сердечника из примененного аморфного  ферромагнитного сплава с  компенсированной продольной  магнитострикцией примерно равна 18600. Так  как магнитная проницаемость материала  сердечника из данного аморфного  ферромагнитного сплава близка к 500000, то  магнитная проницаемость собственно  сердечника оказывается равной 18000. Как  следует из рис.~\textit{b}, напряженность  внешнего магнитного поля в рабочей точке,  соответствующей области максимальной  крутизны резонанса, $H=20$~А/м. В таком случае  магнитная индукция в аморфном  ферромагнитном сердечнике в области  рабочей точки равна 0.36~Тл. Это значение  достаточно близко к индукции насыщения  данного аморфного ферромагнитного  сплава, $B_s=0.43$~Тл. То есть аморфный  ферромагнитный сердечник во время работы  постоянно находится в полунасыщенном  состоянии, что способствует снижению  собственного магнитного шума,  вызываемого процессом перемагничивания и  тепловыми флуктуациями намагниченности.   \section*{Заключение} \begin{enumerate} 	\item \textit{Чувствительность датчика.} 	Использование участка нелинейной  зависимости <<магнитная индукция ---  напряжение в колебательнои $LC$-контуре с  аморфным ферромагнитным сердечником>> в  области максимальной крутизны  характеристики автопараметрического  резонанса позволяет получить в  магнитомодуляционном датчике с аморфным  ферромагнитным сердечником коэффициент  преобразования, достигающий 10 мВ/нТл. 	\item \textit{Порог чувствительности датчика.} 	Возбуждение колебательного $LC$-контура с  аморфным ферромагнитным сердечником  слабым гармоническим магнитным полем  высокой частоты и смещение рабочей точки  аморфного ферромагнитного сердечника в  область его технического насыщения  обеспечивает низкий уровень собственных  шумов. 	\item \textit{Сфера применения датчика.} 	Магнитомодуляционные датчики с  автопараметрическим усилением сигнала  магнитной индукции могут найти  применение в различных областях науки и  техники при измерении слабого  переменного магнитного поля низких  частот. </text>
            <codes>
              <doi>10.18500/0869-6632-2022-30-2-233-238</doi>
              <udk>53.082.7</udk>
              <bbk>!!!Элемент, значение которого содержит код ББК</bbk>
              <jel>!!!Элемент, значение которого содержит код JEL </jel>
              <msc>!!!Элемент, значение которого содержит код MSC</msc>
              <pacs>!!!Элемент, значение которого содержит код PACS</pacs>
              <anycode>!!!Элемент, значение которого содержит другие коды статьи. ВНИМАНИЕ! К другим кодам не относятся рубрики ГРНТИ. Для рубрик есть отдельный контейнер rubrics. </anycode>
            </codes>
            <keywords>
              <kwdGroup lang="RUS">
                <keyword>магнитомодуляционный датчик</keyword>
                <keyword>автопараметрический резонанс</keyword>
                <keyword>нелинейность намагничивания</keyword>
                <keyword>измерение слабого магнитного поля</keyword>
              </kwdGroup>
              <kwdGroup lang="ENG">
                <keyword>magnetomodulation sensor</keyword>
                <keyword>autoparametric resonance</keyword>
                <keyword>magnetization nonlinearity</keyword>
                <keyword>weak magnetic field measurement</keyword>
              </kwdGroup>
            </keywords>
            <references>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Поляков С. В., Резников Б. И., Щенников А. В., Копытенко Е. А., Самсонов Б. В. Линейка индукционных датчиков магнитного поля для геофизических исследований // Сейсмические приборы. 2016. Т. 52, № 1. С. 5–27.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Janosek M., Butta M., Dressler M., Saunderson E., Novotny D., Fourie C. 1-pT noise fluxgate magnetometer for geomagnetic measurements and unshielded magnetocardiography // IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement. 2020. Vol. 69, no. 5. P. 2552–2560. DOI: 10.1109/TIM.2019.2949205.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Fescenko I., Jarmola A., Savukov I., Kehayias P., Smits J., Damron J., Ristoff N., Mosavian N., Acosta V. M. Diamond magnetometer enhanced by ferrite flux concentrators // Physical Review Research. 2020. Vol. 2, no. 2. P. 023394. DOI: 10.1103/PhysRevResearch.2.023394.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Yang K., Chen H., Lu L., Kong X., Yang R., Wang J. SQUID array with optimal compensating configuration for magnetocardiography measurement in different environments // IEEE Transactions on Applied Superconductivity. 2019. Vol. 29, no. 6. P. 1600707. DOI: 10.1109/TASC.2019.2904483.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Faley M. I., Maslennikov Y. V., Koshelets V. P., Dunin-Borkowski R. E. Flip-chip high-Tc dc SQUID magnetometer with a ferromagnetic flux antenna // IEEE Transactions on Applied Superconductivity. 2018. Vol. 28, no. 4. P. 1600505. DOI: 10.1109/TASC.2018.2791414.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Сокол-Кутыловский О. Л. О влиянии механического напряжения на ленты аморфных ферромагнитных сплавов // Деп. ВИНИТИ. 2002. № 1338-В2002. 9 с.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Sokol-Kutylovskii O. L. A magneto-modulating meter of a weak variable magnetic field // Instruments and Experimental Techniques. 2019. Vol. 62, no. 4. P. 554–557. DOI: 10.1134/S0020441219040110.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
            </references>
            <files>
              <file desc="Атрибут desc, значение которого содержит тип файла (см. справочник typeDesc)">7-sokol-kutylovskii_233-238.pdf</file>
              <furl lang="">Элемент, значение которого содержит ссылку на полный текст на внешнем сайте</furl>
            </files>
              <rubrics>
                <rubric>Элемент, значение которого содержит код рубрики</rubric>
              </rubrics>
            <dates>
              <dateReceived>08.08.2021</dateReceived>
              <dateAccepted>!!!Элемент, значение которого содержит дату принятия статьи в печать. Дата должна быть следующего формата «дд.мм.гггг» </dateAccepted>
            </dates>
        </article>
        <section>
          <secTitle lang="RUS">Нелинейная динамика и нейронаука</secTitle>
          <secTitle lang="ENG">Nonlinear Dynamics and Neuroscience</secTitle>
        </section>
        <article>
          <artType>RAR</artType>
          <langPubl>RUS</langPubl>
          <pages>239-252</pages>
          <authors>
            <author id="22362" num="001">
            <role>!!!Элемент, который содержит роль автора (редактор, рецензент и т.д.). Если элемент отсутствует, то автор просто автор. Значение элемента – это числовой идентификатор. Идентификаторы роли представлены в справочнике typeRole!!!</role>
            <correspondent>!!! Автор-корреспондент !!!</correspondent>
            <authorCodes>
              <orcid>0000-0002-2810-9900</orcid>
            </authorCodes>
            <individInfo lang="RUS">
              <surname>Ольшанский</surname>
              <initials>Владимир Менделевич</initials>
              <address>Москва, Ленинский проспект, 33</address>
              <town>Москва</town>
              <otherInfo>!!!Элемент, значение которого содержит другие сведения об авторе!!!</otherInfo>
              <comment>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</comment>
              <commentDate>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</commentDate>
              <orgName>Институт проблем экологии и эволюции им.А.Н.Северцова Российской академии наук</orgName>
              <email>!!!Элемент, значение которого содержит электронную почту автора (Нужно ли палить почту пользователя?)</email>
            </individInfo>
            <individInfo lang="ENG">
              <surname>Olshanskiy</surname>
              <initials>Vladimir Mendelevich</initials>
              <address>Moscow, Leninsky prospect, 33</address>
              <town>Moscow</town>
              <otherInfo>!!!Элемент, значение которого содержит другие сведения об авторе!!!</otherInfo>
              <comment>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</comment>
              <commentDate>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</commentDate>
              <orgName>A. N. Severtsov Institute of Ecology and Evolution of the RAS</orgName>
              <email>!!!Элемент, значение которого содержит электронную почту автора (Нужно ли палить почту пользователя?)</email>
            </individInfo>
            </author>
            <author id="599278" num="002">
            <role>!!!Элемент, который содержит роль автора (редактор, рецензент и т.д.). Если элемент отсутствует, то автор просто автор. Значение элемента – это числовой идентификатор. Идентификаторы роли представлены в справочнике typeRole!!!</role>
            <correspondent>!!! Автор-корреспондент !!!</correspondent>
            <authorCodes>
              <researcherid>S-1658-2016</researcherid>
              <scopusid>41961864000</scopusid>
              <orcid>0000-0002-4126-3080</orcid>
            </authorCodes>
            <individInfo lang="RUS">
              <surname>Зленко</surname>
              <initials>Дмитрий Владимирович</initials>
              <address>119991 Москва, ГСП-1, Ленинские Горы, 1 Телефон справочный: (495) 939-10-00</address>
              <town>Москва</town>
              <otherInfo>!!!Элемент, значение которого содержит другие сведения об авторе!!!</otherInfo>
              <comment>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</comment>
              <commentDate>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</commentDate>
              <orgName>Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова (МГУ)</orgName>
              <email>!!!Элемент, значение которого содержит электронную почту автора (Нужно ли палить почту пользователя?)</email>
            </individInfo>
            <individInfo lang="ENG">
              <surname>Zlenko</surname>
              <initials>Dmitry Vladimirovich</initials>
              <address>GSP-1, Leninskie Gory, Moscow, Russian Federation</address>
              <town>Moscow</town>
              <otherInfo>!!!Элемент, значение которого содержит другие сведения об авторе!!!</otherInfo>
              <comment>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</comment>
              <commentDate>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</commentDate>
              <orgName>Lomonosov Moscow State University</orgName>
              <email>!!!Элемент, значение которого содержит электронную почту автора (Нужно ли палить почту пользователя?)</email>
            </individInfo>
            </author>
            <author id="84419" num="003">
            <role>!!!Элемент, который содержит роль автора (редактор, рецензент и т.д.). Если элемент отсутствует, то автор просто автор. Значение элемента – это числовой идентификатор. Идентификаторы роли представлены в справочнике typeRole!!!</role>
            <correspondent>!!! Автор-корреспондент !!!</correspondent>
            <authorCodes>
              <researcherid>G-3265-2019</researcherid>
              <orcid>0000-0003-3272-6167</orcid>
            </authorCodes>
            <individInfo lang="RUS">
              <surname>Орлов</surname>
              <initials>Андрей Александрович</initials>
              <address>Москва, Ленинский проспект, 33</address>
              <town>Москва</town>
              <otherInfo>!!!Элемент, значение которого содержит другие сведения об авторе!!!</otherInfo>
              <comment>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</comment>
              <commentDate>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</commentDate>
              <orgName>Институт проблем экологии и эволюции им.А.Н.Северцова Российской академии наук</orgName>
              <email>!!!Элемент, значение которого содержит электронную почту автора (Нужно ли палить почту пользователя?)</email>
            </individInfo>
            <individInfo lang="ENG">
              <surname>Orlov</surname>
              <initials>Andrey A.</initials>
              <address>Moscow, Leninsky prospect, 33</address>
              <town>Moscow</town>
              <otherInfo>!!!Элемент, значение которого содержит другие сведения об авторе!!!</otherInfo>
              <comment>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</comment>
              <commentDate>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</commentDate>
              <orgName>A. N. Severtsov Institute of Ecology and Evolution of the RAS</orgName>
              <email>!!!Элемент, значение которого содержит электронную почту автора (Нужно ли палить почту пользователя?)</email>
            </individInfo>
            </author>
            <author id="674" num="004">
            <role>!!!Элемент, который содержит роль автора (редактор, рецензент и т.д.). Если элемент отсутствует, то автор просто автор. Значение элемента – это числовой идентификатор. Идентификаторы роли представлены в справочнике typeRole!!!</role>
            <correspondent>!!! Автор-корреспондент !!!</correspondent>
            <authorCodes>
              <researcherid>A-1199-2016</researcherid>
              <scopusid>6602752176</scopusid>
              <orcid>0000-0002-4931-8787</orcid>
            </authorCodes>
            <individInfo lang="RUS">
              <surname>Касумян</surname>
              <initials>Александр Ованесович</initials>
              <address>119991 Москва, ГСП-1, Ленинские Горы, 1 Телефон справочный: (495) 939-10-00</address>
              <town>Москва</town>
              <otherInfo>!!!Элемент, значение которого содержит другие сведения об авторе!!!</otherInfo>
              <comment>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</comment>
              <commentDate>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</commentDate>
              <orgName>Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова (МГУ)</orgName>
              <email>!!!Элемент, значение которого содержит электронную почту автора (Нужно ли палить почту пользователя?)</email>
            </individInfo>
            <individInfo lang="ENG">
              <surname>Kasumyan</surname>
              <initials>Alexander Ovanesovich</initials>
              <address>GSP-1, Leninskie Gory, Moscow, Russian Federation</address>
              <town>Moscow</town>
              <otherInfo>!!!Элемент, значение которого содержит другие сведения об авторе!!!</otherInfo>
              <comment>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</comment>
              <commentDate>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</commentDate>
              <orgName>Lomonosov Moscow State University</orgName>
              <email>!!!Элемент, значение которого содержит электронную почту автора (Нужно ли палить почту пользователя?)</email>
            </individInfo>
            </author>
            <author num="005">
            <role>!!!Элемент, который содержит роль автора (редактор, рецензент и т.д.). Если элемент отсутствует, то автор просто автор. Значение элемента – это числовой идентификатор. Идентификаторы роли представлены в справочнике typeRole!!!</role>
            <correspondent>!!! Автор-корреспондент !!!</correspondent>
            <authorCodes>
              <orcid>0000-0001-7250-8776</orcid>
            </authorCodes>
            <individInfo lang="RUS">
              <surname>Моллер</surname>
              <initials>Питер</initials>
              <address>695 Park Ave NY</address>
              <town>Нью-Йорк</town>
              <otherInfo>!!!Элемент, значение которого содержит другие сведения об авторе!!!</otherInfo>
              <comment>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</comment>
              <commentDate>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</commentDate>
              <orgName>Хантерский колледж</orgName>
              <email>!!!Элемент, значение которого содержит электронную почту автора (Нужно ли палить почту пользователя?)</email>
            </individInfo>
            <individInfo lang="ENG">
              <surname>Moller</surname>
              <initials>Peter</initials>
              <address>695 Park Ave NY</address>
              <town>New York</town>
              <otherInfo>!!!Элемент, значение которого содержит другие сведения об авторе!!!</otherInfo>
              <comment>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</comment>
              <commentDate>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</commentDate>
              <orgName>Hunter College</orgName>
              <email>!!!Элемент, значение которого содержит электронную почту автора (Нужно ли палить почту пользователя?)</email>
            </individInfo>
            </author>
            <author num="006">
            <role>!!!Элемент, который содержит роль автора (редактор, рецензент и т.д.). Если элемент отсутствует, то автор просто автор. Значение элемента – это числовой идентификатор. Идентификаторы роли представлены в справочнике typeRole!!!</role>
            <correspondent>!!! Автор-корреспондент !!!</correspondent>
            <authorCodes>
              <orcid>0000-0002-7005-5926</orcid>
            </authorCodes>
            <individInfo lang="RUS">
              <surname>МакМагон</surname>
              <initials>Eоин</initials>
              <address>3 Джон-стрит Киллалоу, графство Клэр, Ирландия</address>
              <town>Клэр</town>
              <otherInfo>!!!Элемент, значение которого содержит другие сведения об авторе!!!</otherInfo>
              <comment>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</comment>
              <commentDate>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</commentDate>
              <orgName> ООО «Биосфера Энвайронментал»</orgName>
              <email>!!!Элемент, значение которого содержит электронную почту автора (Нужно ли палить почту пользователя?)</email>
            </individInfo>
            <individInfo lang="ENG">
              <surname>MacMahon</surname>
              <initials>Eoin</initials>
              <address>3 John Street Killaloe, Co. Clare, Ireland</address>
              <town>Clare</town>
              <otherInfo>!!!Элемент, значение которого содержит другие сведения об авторе!!!</otherInfo>
              <comment>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</comment>
              <commentDate>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</commentDate>
              <orgName>Biosphere Environmental Ltd</orgName>
              <email>!!!Элемент, значение которого содержит электронную почту автора (Нужно ли палить почту пользователя?)</email>
            </individInfo>
            </author>
            <author num="007">
            <role>!!!Элемент, который содержит роль автора (редактор, рецензент и т.д.). Если элемент отсутствует, то автор просто автор. Значение элемента – это числовой идентификатор. Идентификаторы роли представлены в справочнике typeRole!!!</role>
            <correspondent>!!! Автор-корреспондент !!!</correspondent>
            <authorCodes>
              <orcid>0000-0003-1104-0959</orcid>
            </authorCodes>
            <individInfo lang="RUS">
              <surname>Сюэ</surname>
              <initials>Вэй</initials>
              <address>ул. Нантун, д. 145, к. 21А</address>
              <town>Харбин</town>
              <otherInfo>!!!Элемент, значение которого содержит другие сведения об авторе!!!</otherInfo>
              <comment>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</comment>
              <commentDate>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</commentDate>
              <orgName>Харбинский инженерный университет</orgName>
              <email>!!!Элемент, значение которого содержит электронную почту автора (Нужно ли палить почту пользователя?)</email>
            </individInfo>
            <individInfo lang="ENG">
              <surname>Xue</surname>
              <initials>Wei</initials>
              <address>145 Nantong St., b. 21A</address>
              <town>Harbin</town>
              <otherInfo>!!!Элемент, значение которого содержит другие сведения об авторе!!!</otherInfo>
              <comment>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</comment>
              <commentDate>!!!Элемент, значение которого содержит текст рецензии автора. Рецензия загружается в базу данных, если в элементе role указано значение «рецензент». Внутри этого элемента допустимо использование следующих элементов: i, b, sub, sup, br !!!</commentDate>
              <orgName>Harbin Engineering University</orgName>
              <email>!!!Элемент, значение которого содержит электронную почту автора (Нужно ли палить почту пользователя?)</email>
            </individInfo>
            </author>
          </authors>
          <artTitles>
            <artTitle lang="RUS">Особенности многоэлектродной регистрации эпизодических разрядов слабоэлектрических рыб</artTitle>
            <artTitle lang="ENG">Multielectrode registration of episodic discharges generated by weakly electric fishes</artTitle>
          </artTitles>
          <abstracts>
            <abstract lang="RUS">Цель данной работы заключалась в  разработке многоэлектродной матричной  регистрации для построения образов  электрических полей эпизодических  разрядов слабоэлектрических рыб. Методы.  Описаны особенности многоэлектродной  регистрации для исследований  электрических рыб: конструкция  электродной решётки, схемы усилителей,  организация общих точек для  дифференциальных измерений и  восстановление абсолютных значений  потенциалов, применение метода главных  компонент. Результаты. Методика  иллюстрируется примером регистрации  электрических разрядов у клариевого сома  Clarias gariepinus с помощью решётки 8 x 8  электродов при частоте оцифровки 20 кГц.  Приводятся осциллограммы разрядов и  картины их пространственного  распределения для главных компонент.  Показаны преимущества разработанной  технологии многоэлектродной матричной  регистрации по отношению к традиционной  двухэлектродной регистрации  эпизодических разрядов электрических  рыб: заметное улучшение соотношения  сигнал/шум при регистрации слабых  электрических сигналов; возможность  построения картин поля для единичных  электрических событий; разделение  источников электрических полей и  возможность идентификации их источников;  возможность бесконтактной локализации  расположения электрогенерирующих  структур; получение количественных  данных распределений электрических  потенциалов для всех точек дна аквариума.  </abstract>
            <abstract lang="ENG">Purpose of this study introduces a multielectrode array (MEA) registration  system in order to generate electric field images of the episodic discharges  generated by weakly electric fish. A multielectrode registration system has  several important features: the design of the multielectrode lattice, the  amplifier circuit, the choice of reference points for differential  measurements, the recovery of the absolute values of the electric field  potentials, and the application of principal components analysis. Methods.  There are several advantages of our MEA registration as compared with the  traditional twoelectrode registration: (a) the signal-to-noise ratio is  significantly increased, (b) it is possible to construct the spatial  distribution of the electric field for a single electric discharge, (c) the  signals’ sources can be easily separated and identified, and (d)  quantitative data on the electrical potential distribution can be obtained  throughout the entire experimental tank. Results. The results illustrate an  example of applied MEA registration. Electric discharges were recorded from a  weakly electric catfish, Clarias gariepinus, using an array of 8 x 8  electrodes at a sampling rate of 20 kHz. Data show oscillograms and  two-dimensional plots of the spatial distribution of the electrical field.  </abstract>
          </abstracts>
          <text lang="RUS">\section*{Введение}  Проводимые с конца XVIII~века  экспериментальные исследования  сильноэлектрических рыб~(таких как  электрический угорь и электрические  скаты) сыграли заметную роль в  становление большинства естественных  наук --- физики, химии, биологии, особенно  электрофизиологии~\cite{Finger2011}. В~частности,  работа Генри Кавендиша~\cite{Cavendish1776},  посвящённая имитации разрядов скатов  \textit{Torpedo} и впервые объясняющая базовые  отличия электрических явлений в  проводящих средах от электростатики,  содержит картину токов вокруг  электрического ската. Позднее, во многом  благодаря работам Г.~Лиссманна~\cite{Lissmann1951,  Lissmann1958}, у двух больших групп  слабоэлектрических рыб ---  мормирид~(Mormyriformes) и гимнотид~(Gymnotiformes) ---  были зарегистрированы постоянно  генерируемые электрические разряды и  обнаружена новая сенсорная система ---  электрорецепция. Кроме того, были  сформированы общие принципы совместной  деятельности электрорецепторных и  электрогенераторных  систем~(электрических органов),  обеспечивающие  электролокацию~(обнаружение объектов),  электроориентацию и  коммуникацию~\cite{Bennett1971a, Bennett1971b}.  \renewcommand{\baselinestretch}{.99}\normalsize{    \par}  При исследованиях слабоэлектрических рыб  для регистрации их разрядов используют,  как правило, стандартные и давно  применяемые в электрофизиологии двух и  трёхэлектродные~(учитывая электрод  заземления при использовании  дифференциальных усилителей) системы. Эта  методика позволяет наблюдать и  анализировать осциллограммы разрядов, но  не их пространственные распределения. В  то же время известны многоэлектродные  устройства регистрации, описанные в ряде  исследований, посвященных различным  аспектам поведения  рыб и других животных.  Например, многоэлектродная матричная  регистрация была применена для  отслеживания перемещений свободно  плавающих слабоэлектрических  рыб~(гимнотид) в природных  условиях~\cite{Henninger2020}. Попытки  исследования пространственной структуры  создаваемого рыбами электрического поля  и его искажений, вызванных присутствием  вблизи них конспецифичных особей, были  предприняты рядом авторов благодаря  применению линейки из 4--8  электродов~\cite{Rasnow2006, Rasnow1997, Assad1999}.  Успешное использование методов  многоэлектродной регистрации при  изучении структуры электрических полей  гимнотид и мормирид обусловлено, главным  образом, их способностью непрерывно  генерировать разряды очень стабильной  формы и амплитуды, что позволяет  синтезировать цельный пространственный  образ поля на основе многократных  регистраций на разных расстояниях от  рыбы.  В противоположность случаю мормирид и  гимнотид, непрерывно генерирующих свои  разряды, изучение электрической  активности электрических рыб с  эпизодическими разрядами, к числу которых  относятся многочисленные сомы~(Siluriformes),  сопряжено с некоторыми методическими  проблемами~\cite{Hagedorn1990, Baron1994a, Baron1994b},  требующими перехода от традиционной  двухэлектродной регистрации к  многоэлектродной матричной,  обеспечивающей ряд преимуществ.  Во-первых, значительно возрастает  соотношение сигнал/шум. Во-вторых,  становится возможной реконструкция  пространственного распределения  электрического поля во время любого  отдельного электрического разряда.  В-третьих, появляется возможность  разделения и идентификации разных  источников в регистрируемой смеси.  В-четвертых, имеется возможность указать  значение потенциала во время разряда для  каждой точки на дне аквариума.  \vspace{-0.5\baselineskip} \section{Методика}  \subsection{Многоэлектродная матрица.}  Эксперименты проводятся в аквариуме  размером\linebreak  $60 \times 50 \times 30$\,см, на дне  которого размещена многоэлектродная  решётка. В листе из пластика, размер  которого соответствует дну аквариума, с  шагом $6$\,см закреплены $64$~регистрирующих  электрода, образующих матрицу $8 \times 8$. В  качестве электродов использованы  $64$~шайбы из нержавеющей стали,  диаметром~$1.5$\,см. Электроды защищены от  прямых касаний рыб поролоном или тканью,  что не приводит к искажениям  электрических полей. Помимо  регистрирующих электродов, в воду также  был помещен электрод заземления в виде  инертной металлической сетки,  площадью~$100$\,см$^2$, закрепленной  вертикально на одной из стенок аквариума.  Электроды соединялись со входами  $64$-канального дифференциального  усилителя~(коэффициент усиления~$1100$).  Соединения осуществлялись витыми парами,  второй провод в которых выполнял функцию  экрана, защищающего от статических помех.  \subsection{Схемы усилителей сигналов и  организация аналоговой общей точки.}   \begin{figure}[t!] 	\centering 	\includegraphics[width=13.5cm]{eeschema}\vspace{0.5\baselineskip} 	\caption{Принципиальная схема  многоканального дифференциального  усилителя. Верхняя часть схемы описывает  структуру одного из $64$~измерительных  каналов~\textbf{1}--\hspace{1pt}\textbf{4}, а нижняя ---  конфигурацию общего для всех $64$~каналов  опорного усилителя~\textbf{5}. В состав  каждого измерительного канала входят  предусилитель~\textbf{1}, дифференциальный  усилитель~\textbf{2}, интегратор~\textbf{3} и  инвертор~\textbf{4}. Метка {IN} соответствует  входному сигналу непосредственно с  измерительных электродов; {OUT} --- выход  сигналов на входы АЦП; {REF0} --- шина  референсного потенциала опорного  усилителя~\textbf{5}; {REF1} --- шина симметричной  обратной связи предусилителей~\textbf{1}; {REF2}  --- шина опорного потенциала  дифференциальных усилителей; {REF3} ---  опорный потенциал АЦП\protect\\[5pt] 		Fig.~\ref*{eeschema}.~Multichannel differential amplifier circuit. Upper  part of the diagram describes the structure of one 		of 64 registration channels \textbf{1}--\hspace{1pt}\textbf{4}; the lower  one describes the configuration of the common reference amplifier \textbf{5}. 		Each registration channel includes a preamplifier \textbf{1}, a  differential amplifier \textbf{2}, an integrator \textbf{3}, and an 		inverter \textbf{4}. The IN mark corresponds to the input signal fed  directly from the electrodes, and OUT to the signal 		output fed to ADC analog inputs. REF0 is a common reference potential of  the amplifier as a whole; REF1 --- 		the reference potential of preamplifiers; REF2 ---  reference potential for  differential amplifiers; REF3 --- 		reference potential for the ADC} 	\label{eeschema}%\vspace{-0.5\baselineskip} \end{figure}  Общие схемы многоканальных  дифференциальных усилителей были  разработаны и использовались для  регистрации ЭЭГ~\cite{Rijn1991}.  Модифицированная нами принципиальная  схема многоканального усилителя показана  на рис.~\ref{eeschema}~(схема собрана на чипах  TL$082$ и TL$084$, Texas Instruments, USA). Схема содержит  интегрирующий модуль~\textbf{4},  разработанный для подавления  квазипостоянных гальванических  потенциалов на электродах.  Дифференциальная регистрация  обеспечивает высокую степень подавления  синфазных помех, включая наводку $50$\,Гц.  \renewcommand{\baselinestretch}{1}\normalsize{    \par}  Поскольку нас интересуют абсолютные  значения потенциалов на регистрирующих  электродах, необходимо сформировать  общий опорный сигнал, относительно  которого они измеряются. Для этого все  предусилители  \textbf{1} имеют общий опорный  вход  REF1. Он сформирован путем объединения всех 64 предусилителей,  с общим референсным усилителем  \textbf{5}.  Далее формируется опорный потенциал  REF2 для  вторых каскадов дифференциальных  усилителей по отношению к заземлению. Общий опорный  усилитель принимает определенный общий  опорный потенциал  REF0 для вычисления  дифференциальных потенциалов.  \renewcommand{\baselinestretch}{1}\normalsize{    \par}  На первый взгляд, {REF0} мог бы быть заземлён.  Проблема в том, что внутри  экспериментального аквариума исходно  заземления нет. Оно необходимо, но может  быть осуществлено только добавлением  специального электрода, связанного  проводом с землёй схемы~(средней точкой  аккумуляторного питания). Этот земляной  электрод не может быть большим, поскольку  иначе он сильно исказит поле, в то время  как небольшой заземляющий электрод,  расположенный в конкретной и небольшой  области аквариума, не является нулевым, то  есть не соответствует потенциалу  гипотетической бесконечно удаленной  точки. Его потенциал зависит от  расстояния до источника и ориентации  источника. Рыба может дать разряд,  находясь на разных расстояниях\linebreak  от  земляного электрода, в том числе  непосредственно вблизи него. Поэтому  такое решение привело бы к усилению всех  флуктуаций потенциала заземления и  сказалось бы на выходном сигнале. Для того  чтобы избежать этого негативного эффекта,  общий потенциал был сформирован как сумма  потенциалов всех $64$~регистрирующих  электродов, объединенных через резисторы  $10$\,кОм. Поскольку тестируемые рыбы всегда  находятся внутри решётки, сумма всех  потенциалов должна быть близка к нулю, что  обеспечивает близость к нулю потенциала  {REF0}. Усиленные сигналы подаются на входы  двух $32$-канальных $16$-битных АЦП~(Е502, L-CARD,  Россия). Общий аналоговый вход АЦП также  не заземлён, а соединён с суммой выходов  усилителей через резисторы $10$\,кОм~({REF3}).   \subsection{Выбор частоты оцифровки.}  Для сбора данных оба $32$-канальных АЦП были  синхронизированы по внутреннему  источнику опорной частоты одного из  устройств. Частота оцифровки составляла  $20$\,кГц, типичное время проведения одного  поведенческого эксперимента --- $50$\,минут.  Выбор частоты оцифровки представляется  крайне принципиальным. Характерное время  электрофизиологических процессов  составляет единицы или доли миллисекунд.  Одной из самых существенных особенностей  специализированной генерации  электрических разрядов электрическими  рыбами является высокая степень  синхронизации возбуждения множества  клеток. Синхронизация при этом  осуществляется с точностью доли  миллисекунд. Действительно, приведем в  качестве примера главный электрический  орган электрического угря \textit{Electrophorus},  который занимает большую часть тела рыбы.  При этом длительность разряда составляет  около $1$\,мс~\cite{Catania2015}. Характерное время  синхронизации должно быть короче по  меньшей мере на порядок.  Соответственно, в исследовании  активности мормирид и гимнотид при  традиционной двухэлектродной  регистрации частоты оцифровки достигают  $1$\,МГц. Между тем в других областях  биологии, например,  электроэнцефалографии, при  многоэлектродной матричной регистрации  частота оцифровки редко превышает  $2$\,кГц~\cite{Grishchenko2020}. Одновременное  повышение числа регистрирующих  электродов и частоты сэмплирования  приводит к большим потокам информации и  большим объемам файлов данных, что  вызывает очевидные трудности. Поэтому  необходим компромисс между желанием  наблюдать подробности синхронизации  электровозбуждения клеток и  возможностями передавать на компьютер  большие потоки информации и обрабатывать  файлы большого объёма. Применение частоты  сэмплирования в $20$\,кГц представляется  таким компромиссом и позволяет наблюдать  как единичные срабатывания группы клеток,  так и паузы между срабатываниями на  предельных частотах  возбуждения~\cite{Orlov2021}.  \subsection{Использование метода главных  компонент.}  Электрические поля от источников  биологического происхождения, как  правило, очень быстро затухают с  удалением от источника. Сигналы от них на  разных электродах очень заметно  различаются по амплитуде. При этом для  интересующих нас физиологических  процессов частотные особенности  распространения электрических полей не  сказываются, поскольку размеры аквариума  существенно меньше величины скин-слоя в  воде~\cite{Olshanskiy1990}. Таким образом, форма  одного и того же излученного разряда на  разных регистрирующих электродах  остается одинаковой. В то же время  большинство помех, попадающих в воду из  воздуха, в частности помеха $50$~Гц или  импульсные помехи, имеют значительно  более равномерное пространственное  распределение, заметно отличное от  распределений интересующих нас сигналов.  Это позволяет эффективно отфильтровывать  полезные, то есть сильно неоднородные в  пространстве паттерны, с использованием  метода главных компонент~(Principal Com\-ponent  Analysis --- PCA). Применение PCA, так же, как  независимого компонентного  анализа~(Independent Component Analysis --- ICA) успешно  используется в  электроэнцефалографии~\cite{Makeig2011}. Имея  $64$~канала, с помощью PCA можно разделить  регистрируемые процессы на независимые  источники, соответственно, общим числом  до~$64$. Это позволяет на фоне главного  процесса, например, электрического  разряда клариевого сома, увидеть иные  электрические явления,\linebreak  например,  поляризацию тела рыбы во внешнем  электрическом поле. Метод PCA позволяет  не  только очистить полезный сигнал, то есть  сгенерированный животным импульс, от  разного рода помех, но и предоставляет  естественный путь визуализации поля в  пространстве. Для этого достаточно  построить двумерную поверхность по  величинам вкладов интересующих нас  главных компонент. Вычисление  ковариационных матриц и их  диагонализация осуществлялась  средствами библиотеки sklearn~(Python3).  \vspace{-.7\baselineskip} \section{Результаты}  Ранее нами было установлено~\cite{Olshanskii2002},  что во время разряда голова клариевых  сомов~(\textit{Clarias gariepinus}) имеет  отрицательный потенциал, а тело ---  положительный. Осциллограммы разряда при  $64$-электродной регистрации представлены  на рис.~\ref{oscl}. Поскольку оранжево-красные  кривые на рисунке соответствуют  отрицательной полярности, они показывают  ориентацию головы над электродами,  имеющими такие, наиболее отрицательные,  значения. Зеленые и синие кривые  соответствуют положительной полярности,  что отражает примерное расположение тела  рыбы над соответствующими электродами.  Это соответствие можно видеть без  необходимости привлечения  дополнительных математических процедур.  \begin{figure}[b!]\vspace{0.5\baselineskip} 	\centering 	\includegraphics[width=12.5cm]{signal_RUS}%\vspace{0.5\baselineskip} 	\caption{Электрический разряд сома \textit{Clarias  gariepinus}, зарегистрированный с помощью  матрицы из $64$~электродов. Цветовые  обозначения соответствуют цветовой  маркировке на рис.~\ref{field} (см. ниже), что  позволяет сопоставить цвет осциллограмм  с пространственным расположением  электродов в матрице (цвет online)\protect\\[5pt] 	Fig.~\ref*{oscl}.~Dynamics of the electric potential in the cource of the  discharge generagted by Clarias gariepinus catfish 	using 64 electrode square array. The color legend corresponds to that in  Fig.~4 (see further), which makes it possible to 	compare the color of the curve with the spatial position of the  corresponding electrode in the lattice (color online)} 	\label{oscl} \end{figure}  Отметим, однако, что исходный сигнал  достаточно сильно зашумлён: peak-to-peak  амплитуда шума составляет примерно  $20$\,мкВ, что даже для электродов с  максимальной амплитудой полезного  сигнала порядка $500$\,мкВ даёт не слишком  хорошее соотношение сигнал/шум~---\linebreak   около~$25$. Для очистки его от шумов  воспользуемся методом главных  компонент~(рис.~\ref{PCA}). Для анализа был взят  фрагмент записи с разрядом  длительностью~$80$\,мс, что при частоте  оцифровки $20$\,кГц соответствует  $1600$~сэмплам по каждому из $64$~каналов.  Анализ главных компонент семейства  кривых, представленных на рис.~\ref{PCA},  показывает, что весь полезный сигнал  сосредотачивается в $1$, $2$ и $4$ главных  компонентах, в то время как третья и все  остальные компоненты представляют собой  белый шум, амплитуда вкладов которого  быстро убывает с ростом номера  компоненты~(рис.~\ref{PCA},~\textit{b}).  Наибольший вклад в суммарный сигнал, а  также наибольший вес в разложении имеет  первая компонента~(рис.~\ref{PCA},~\textit{a},  синий). Форма кривой соответствует форме  разрядов, которые ранее были  зарегистрированы для \textit{Clarias gariepinus}.  Продолжительность разряда на полувысоте  составила~$35$\,мс. На отфильтрованной  кривой хорошо различима тонкая структура,  отражающая работу электрогенерирующей  структуры в теле рыбы~\cite{Orlov2021}.  Период  осцилляций на плато разряда составил~$3.9 \pm  0.7$\,мс, а амплитуда~$20$...$50$\,мкВ.  \begin{figure}[t!] 	\centering 	\includegraphics[width=16cm]{PCA_RUS}\\[-12pt] 	\parbox{16cm}{\textit{a}\hspace{8.3cm} \textit{b}}\\[2pt] 	\caption{\textit{a} --- Четыре первые главные  компоненты разряда, показанного на рис. 2.  Первая компонента показана синим,  значения 		потенциалов указаны на левой оси ординат  (синие цифры). Правая ось (красные цифры)  соответствует трём остальным 		компонентам: второй (красный), третьей  (зелёный) и четвёртой (фиолетовый). 		\textit{b} --- Десятичные логарифмы амплитуд 		вкладов всех главных компонент в  суммарный потенциал на электродах.  Цветные точки отображают значения  вкладов для четырёх главных компонент  (цвет online)\protect\\[5pt] 	Fig.~\ref*{PCA}.~\textit{a} --- The first four principal components (the  first is shown in blue, the second in red, the third in green, 	and the fourth in purple) of the curves’ family is shown in Fig.~2. The  left ordinate axis (shown in blue) 	corresponds to the first component, and the right one (shown in red)  corresponds to the second-to-fourth 	components. \textit{b} --- Decimal logarithms of the amplitudes of all 64  principal components. The colored dots show the 	data for the curves shown in fig.~\textit{a} (color online)} 	\label{PCA} \end{figure}  Общий вид кривой второй компоненты~(см.  рис.~\ref{PCA}, \textit{a}, красный) соответствует  первой производной основного сигнала.  Такой эффект может возникать в том случае,  если в системе присутствует некоторая  ёмкость, при протекании тока через  которую и возникает сигнал в виде  производной от основного импульса.  Природа этой ёмкости может быть  различной, в частности, это может быть  тело исследуемого сома, либо какой-то  элемент электрической схемы. Однако  использование предварительной  калибровки аппаратуры с помощью  искусственного дипольного источника,  соединенного с генератором прямоугольных  импульсов, показывает, что электрическая  схема передаёт регистрируемые сигналы  без заметных искажений, а ёмкостные  искажения вызывают тела рыб, помещенных в  аквариум~(см. также ниже, рис.~\ref{field}, II).  Четвёртая компонента имеет небольшую  амплитуду и довольно сильно зашумлена, но  обладает особенностью --- двойным пиком  между~$20$~и~$30$\,мс рассматриваемого  сигнала. Амплитуда эффекта составляет  примерно~$20$\,мкВ, продолжительность ---  порядка~$10$\,мс. Обсуждение природы этого  сигнала также требует привлечения данных  о пространственном положении его  источника~(см. ниже, рис.~\ref{field},~IV).  \section{Обсуждение}  Согласно нашим представлениям,  электрические разряды клариевых сомов   представляют собой суммарное  электрическое возбуждение одной и той же  мышечной структуры серией запускающих  нервных импульсов~\cite{Orlov2021}. В ответ на  каждый нервный импульс генерируется  элементарный разряд длительностью  около~$8$\,мс. Предполагается, что интервалы  между запускающими нервными импульсами  заметно меньше~(ок.~$1.7$\,мс), что приводит к  формированию монополярного  электрического разряда с изрезанностью  вершины и с амплитудой большей, чем у  слагающих разряд элементарных  электрических импульсов~(см.  рис.~\ref{PCA},~\textit{a}, синий). Эта модель  основана на данных экспериментов,  выполненных по традиционной  двухэлектродной методике  регистрации~\cite{Orlov2021}.  Переход к многоэлектродной методике и  PCA-анализу даёт ряд преимуществ. Во-первых,  мы получаем гораздо более чистую форму  разряда, чем при двухэлектродной  регистрации. В~частности, мы полностью  избавились от помехи~$50$\,Гц. Во-вторых, мы  можем определить количественные величины  электрических потенциалов вблизи тела  рыбы. При двухэлектродной регистрации  амплитуда регистрируемого разряда  зависит от положения и ориентации  рыбы-источника в аквариуме.  Многоэлектродная же регистрация  позволяет наблюдать характер затухания и  учитывать~его.  \begin{figure}[t!] 	\centering 	\includegraphics[width=15cm]{field_RUS}\vspace{-0.2\baselineskip} 	\caption{Пространственные распределения  потенциалов первых четырёх главных  компонент~(номер компоненты указан  римской цифрой в верхнем углу каждого  распределения) электрического события,  представленного на рис.~\ref{oscl}. Кружками  показано положение $64$ измерительных  электродов, а их цветом отражено  соответствие исходным кривым~(см.  рис.~\ref{oscl}) (цвет онлайн)\protect\\[5pt] 	Fig.~\ref*{field}.~Spatial distributions of the electric potentials  corresponding to the first four principal components shown 	in Fig.~\ref*{oscl}. The numbers of the components designated by the digits  in the plots. The circles mark the position 	of electrodes, and their color corresponds to the color of the original  curves in Fig.~\ref{oscl} (color online)} 	\label{field}%\vspace{-0.5\baselineskip} \end{figure}  Анализ распределения представленности  той или иной главной компоненты среди  электродов позволяет судить о том вкладе,  который данный сигнал вносит в суммарное  электрическое поле на каждом из  электродов, а значит, и о пространственном  распределении такого <<поля единичной  главной компоненты>>~(см. рис.~\ref{field}). Иными  словами, можно построить распределение в  пространстве коэффициентов, описывающих  вклад данной компоненты в электрический  потенциал, зарегистрированный на каждом  из $64$~электродов. Поскольку любая  компонента представляет собой набор  значений, а не одно-единственное число, то  существенным становится вопрос о том,  какая же физическая величина будет  отображена на плоскости при таком  подходе. Мы домножили каждый из  коэффициентов разложения на полную  амплитуду соответствующей главной  компоненты, тем самым сообщив полученным  пространственным распределениям  физический смысл. С~количественной точки  зрения полученные величины являются  максимально достигаемой на данном  электроде амплитудой изменения  электрического потенциала, связанного с  соответствующей главной компонентой. При  этом первая компонента~(см.  рис.~\ref{PCA},~\textit{a}, синий) будет  представлять поле разряда. Её  пространственное распределение~(см.  рис.~\ref{field}, I) даёт исключительно поле  разряда, не учитывая другие компоненты.  Распределение в пространстве амплитуды  первой компоненты на~рис.~\ref{field}, I имеет  ярко выраженный дипольный характер с  положительным полюсом в районе точки с  координатами~$(18,13)$ и отрицательным ---  $(27,0)$. У клариевых сомов отрицательный  полюс находится на голове, а  положительный --- на туловище.  Соответственно, электрогенерирующая  структура должна располагаться в области  между полюсами диполя, то есть в области,  где потенциал обнуляется. Это  соответствует неоднократно  высказывавшимся  предположениям~\cite{Olshanskiy2019}, что  электрогенерирующая структура у  клариевых сомов находится между задним  краем черепа и началом спинного плавника.  В отсутствие более надёжных данных о  расположении электрогенерирующих  структур у клариевых сомов,  приблизительная локализация  электрогенерирующей структуры облегчает  предстоящую работу гистологам и  морфологам.  Распределение в пространстве второй  компоненты~(см. рис.~\ref{field}, II), содержащей  дифференциальный сигнал, соответствует  скорее полю монополя, нежели диполя.  Выявление вклада дифференцирования в  общий регистрируемый сигнал --- значимое  преимущество новой методики. При  моделировании паттернов разрядов  клариевых сомов мы обычно наблюдали  хорошую сходимость модели и реального  сигнала в начале разряда, но заметные  расхождения в конце~\cite{Orlov2021}. Более того,  задний фронт разрядов часто  регистрировался с заметным  дифференцированием и было непонятно ---  это особенность генерации или внешний  фактор. Применение многоэлектродной  регистрации и PCA позволяет ответить на  вопросы такого рода и оценить степень  дифференцирования сигнала телом рыбы.  Заметное смещение полюсов на картинах  поля для второй компоненты по отношению к  полю первой компоненты показывает, что  источник дифференцирования не совпадает  с источником основного разряда.  Пространственные распределения,  характерные для главных компонент,  содержащих шумы, не демонстрируют  заметных особенностей структуры поля~(см.  рис.~\ref{field}, III), имеют небольшие значения  потенциалов~(не более десятков мкВ) и мало  меняются от электрода к электроду, что  является типичным для поля помех от  внешних источников.  Пространственное распределение  амплитуды четвёртой компоненты~(см.  рис.~\ref{field}, IV) напоминает таковое для  второй и имеет выраженную монопольную  форму. Максимум располагается также в  особой области пространства неподалёку  от электрогенерирующей структуры. Малые  значения потенциалов этой компоненты и  низкая разрешающая способность нашей  системы в пространстве~(шаг решетки~$6$\,см  при размерах рыб около~$15$\,см) не позволяет  предложить для этой компоненты  конкретный физиологический смысл.  \vspace{-.3\baselineskip} \section*{Заключение}  Переходя от частных проблем  многоэлектродной матричной регистрации к  общим, вернёмся к вопросу о соотношении  числа электродов и частоты оцифровки.  Можно ли совместить микросекундное  разрешение по времени, десятки тысяч  электродов и разумный объём данных? Опыт  исследований слабоэлектрических рыб  показывает, что это возможно при  использовании определенных приемов  формирования амплитудно-фазовых образов  электрических событий мозгом  воспринимающих их рыб~\cite{conf}. В целом,  технология многоэлектродной матричной  регистрации представляется эффективным  инструментом исследования слабых  электрических сигналов в водной среде  применительно к широкому кругу задач,  включая исследование роли электрических  полей и электрокоммуникации в жизни  многих водных животных. </text>
            <codes>
              <doi>10.18500/0869-6632-2022-30-2-239-252</doi>
              <udk>530.182</udk>
              <bbk>!!!Элемент, значение которого содержит код ББК</bbk>
              <jel>!!!Элемент, значение которого содержит код JEL </jel>
              <msc>!!!Элемент, значение которого содержит код MSC</msc>
              <pacs>!!!Элемент, значение которого содержит код PACS</pacs>
              <anycode>!!!Элемент, значение которого содержит другие коды статьи. ВНИМАНИЕ! К другим кодам не относятся рубрики ГРНТИ. Для рубрик есть отдельный контейнер rubrics. </anycode>
            </codes>
            <keywords>
              <kwdGroup lang="RUS">
                <keyword>многоэлектродная матричная регистрация</keyword>
                <keyword>образы электрического поля</keyword>
                <keyword>слабоэлектрические рыбы</keyword>
                <keyword>электрические разряды</keyword>
                <keyword>Clarias gariepinus</keyword>
              </kwdGroup>
              <kwdGroup lang="ENG">
                <keyword>multielectrode array (MEA) registration</keyword>
                <keyword>electric field spatial distribution</keyword>
                <keyword>weakly electric fish</keyword>
                <keyword>electric discharges</keyword>
                <keyword>Clarias gariepinus</keyword>
              </kwdGroup>
            </keywords>
            <references>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Finger S., Piccolino M. The Shocking History of Electric Fishes: From Ancient Epochs to the Birth of Modern Neurophysiology. Oxford: Oxford University Press, 2011. 470 p. DOI: 10.1093/acprof:oso/9780195366723.001.0001.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Cavendish H. An account of some attempts to imitate the effects of the torpedo by electricity // Phil. Trans. R. Soc. 1776. Vol. 66. P. 196–225. DOI: 10.1098/rstl.1776.0013.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Lissmann H. W. Continuous electrical signals from the tail of a fish, Gymnarchus niloticus Cuv. // Nature. 1951. Vol. 167, no. 4240. P. 201–202. DOI: 10.1038/167201a0.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Lissmann H. W. On the function and evolution of electric organs in fish // J. Exp. Biol. 1958. Vol. 35, no. 1. P. 156–191. DOI: 10.1242/jeb.35.1.156.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Bennett M. V. L. Electric organs // In: Hoar W. S., Randall D. J. (eds) Fish Physiology. Vol. 5. New York: Academic Press, 1971. P. 347–491.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Bennett M. V. L. Electroreception // In: Hoar W. S., Randall D. J. (eds) Fish Physiology. Vol. 5. New York: Academic Press, 1971. P. 493–574.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Henninger J., Krahe R., Sinz F., Benda J. Tracking activity patterns of a multispecies community of gymnotiform weakly electric fish in their neotropical habitat without tagging // J. Exp. Biol. 2020. Vol. 223, no. 3. P. jeb206342. DOI: 10.1242/jeb.206342.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Rasnow B. Measuring and visualizing EOD fields // In: Ladich F., Collin S. P., Moller P., Kapoor B. G. (eds) Communication in Fishes. Enfield, USA: Science Publishers Inc., 2006. P. 599–622.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Rasnow B., Bower J. M. Imaging with electricity: How weakly electric fish might perceive objects // In: Bower J. M. (ed) Computational Neuroscience: Trends in Research. New York: Plenum, 1997. P. 795–800. </text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Assad C., Rasnow B., Stoddard P. K. Electric organ discharges and electric images during electrolocation // J. Exp. Biol. 1999. Vol. 202, no. 10. P. 1185–1193.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Hagedorn M., Womble M., Finger T. E. Synodontid catfish: A new group of weakly electric fish // Brain Behav. Evol. 1990. Vol. 35, no. 5. P. 268–277. DOI: 10.1159/000115873.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Baron V. D., Morshnev K. S., Olshansky V. M., Orlov A. A. Electric organ discharges of two species of African catfish (Synodontis) during social behavior // Animal Behaviour. 1994. Vol. 48, no. 6. P. 1472–1475. DOI: 10.1006/anbe.1994.1387.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Baron V. D., Orlov A. A., Golubtsov A. S. African Clarias catfish elicits long-lasting weak electric pulses // Experientia. 1994. Vol. 50, no. 7. P. 664–647. DOI: 10.1007/BF01952864.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Metting van Rijn A. C., Peper A., Grimbergen C. A. High-quality recording of bioelectric events. Part 2. Low-noise, low-power multichannel amplifier design // Med. Biol. Eng. Comput. 1991. Vol. 29, no. 4. P. 433–440. DOI: 10.1007/BF02441666.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Catania K. C. An optimized biological taser: Electric eels remotely induce or arrest movement in nearby prey // Brain Behav. Evol. 2015. Vol. 86, no. 1. P. 38–47. DOI: 10.1159/000435945.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Грищенко А. А., Сысоева М. В., Сысоев И. В. Определение основного временного масштаба эволюции информационных свойств сигнала локальных потенциалов мозга при абсансной эпилепсии // Известия вузов. ПНД. Т. 28, № 1. С. 98–110. DOI: 10.18500/0869-6632-2020-28-1-98-110.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Орлов А. А., Ольшанский В. М., Барон В. Д. Реконструкция паттернов электрических разрядов и механизмы электрогенерации у африканского клариевого сома Clarias gariepinus (Clariidae, Siluriformes) // Доклады Российской академии наук. Науки о жизни. 2021. Т. 500, № 1. С. 428–431. DOI: 10.31857/S2686738921050243.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Ольшанский В. М. Бионическое моделирование электросистем слабоэлектрических рыб. М.: Наука, 1990. 208 с.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Makeig S., Onton J. ERP features and EEG dynamics: An ICA perspective // In: Luck S. J., Kappenman E. S. (eds) The Oxford Handbook of Event-Related Potential Components. New York: Oxford University Press, 2011. P. 51–86. DOI: 10.1093/oxfordhb/9780195374148.013.0035.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Ольшанский В. М., Моршнев К. С., Насека А. М., Нгуен Тхи Нга. Электрические разряды клариевых сомов, культивируемых в Южном Вьетнаме // Вопросы ихтиологии. 2002. Т. 42, № 4. С. 549–557.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Olshanskiy V. M., Kasumyan A. O., Moller P. On mating and function of associated electric pulses in Clarias macrocephalus (Gunther, 1864): Probing an old puzzle, first posed by Charles Darwin // Environmental Biology of Fishes. 2020. Vol. 103, no. 1. P. 99–114. DOI: 10.1007/s10641-019-00936-w.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
              <reference>
                <refInfo lang="ANY">
                  <text>Ольшанский В. М., Зленко Д. В. Формирование образов электрического поля и попытка преодолеть внутривидовой барьер // В сб.: Труды Седьмой Всероссийской конференции «Нелинейная динамика в когнитивных исследованиях». 20–24 сентября 2021 года, Нижний Новгород, Россия. Нижний Новгород: Институт прикладной физики РАН, 2021. С. 90–93.</text>
                  <elements>
                    <element>!!!Элемент, значение которого содержит значение элемента структурированной ссылки. У элемента обязательно есть атрибут field. </element>
                  </elements>
                </refInfo>
              </reference>
            </references>
            <files>
              <file desc="Атрибут desc, значение которого содержит тип файла (см. справочник typeDesc)">8-olshansky_239-152.pdf</file>
              <furl lang="">Элемент, значение которого содержит ссылку на полный текст на внешнем сайте</furl>
            </files>
              <rubrics>
                <rubric>Элемент, значение которого содержит код рубрики</rubric>
              </rubrics>
            <dates>
              <dateReceived>09.11.2021</dateReceived>
              <dateAccepted>!!!Элемент, значение которого содержит дату принятия статьи в печать. Дата должна быть следующего формата «дд.мм.гггг» </dateAccepted>
            </dates>
        </article>
      </articles>
      <files>
        <file desc="Атрибут desc, значение которого содержит тип файла (см. справочник typeIssueDesc)">!!!Элемент, значение которого содержит название файла. У элемента есть обязательный атрибут desc. </file>
      </files>
    </issue>
  </journal>

Issue headings

«Izvestiya VUZ. AND», 2022, Vol. 30, Iss. 2

Warning message

Content

Editorial

Bifurcation in Dynamical Systems. Deterministic Chaos. Quantum Chaos.

Applied Problems of Nonlinear Oscillation and Wave Theory

Innovations in applied physics

Nonlinear Dynamics and Neuroscience

XML для elibrary

User login