Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)


Образец для цитирования:

Голдобин Д. С., Долматова А. В. Эффект расхождения частот в ансамблях автоколебательных систем с отталкивающей глобальной связью при синхронизации общим шумом //Известия вузов. ПНД. 2019. Т. 27, вып. 3. С. 33-60. DOI: https://doi.org/10.18500/0869-6632-2019-27-3-33-60

Опубликована онлайн: 
20.06.2019
Язык публикации: 
русский
УДК: 
537.86, 001.891.57, 621.37

Эффект расхождения частот в ансамблях автоколебательных систем с отталкивающей глобальной связью при синхронизации общим шумом

Авторы: 
Голдобин Денис Сергеевич, Институт механики сплошных сред Уральского отделения РАН (ИМСС УрО РАН)
Долматова Анастасия Владимировна, Институт механики сплошных сред Уральского отделения РАН (ИМСС УрО РАН)
Аннотация: 

Тема. Работа посвящена изучению взаимодействия двух принципиально различных механизмов синхронизации: связью и воздействием случайного, но идентичного для всех осцилляторов сигнала – общего шума. Особое внимание уделяется эффекту расхождения частот, возникающему при конкуренции этих механизмов. Цель. Построение универсальной теории, описывающей такое взаимодействие, для осцилляторов с гладким устойчивым предельным циклом общего вида при глобальной связи. Учитывается дополнительный осложняющий фактор – внутренний шум, индивидуальный для каждого осциллятора. Предполагается установить, насколько результаты, полученные ранее для систем типа Отта–Антонсена, отражают ситуацию общего положения. Метод. Для осцилляторов общего вида вводится фазовое описание. Для уравнения Фоккера–Планка, соответствующего стохастическим уравнениям динамики фаз,строго проводится процедура осреднения в пределе высоких частот колебаний (используется метод многих масштабов). Полученные уравнения позволяют аналитически определить условия синхронизации ансамблей идентичных осцилляторов, а для слабо неидентичных – найти средние частоты колебаний в квадратурах. Аналитические результаты проверяются прямым численным моделированием для больших, но конечных ансамблей осцилляторов ван дер Поля, Рэлея и ван дер Поля–Дюффинга, а также для системы нейроноподобных осцилляторов ФитцХью–Нагумо. Результаты. Для системы идентичных осцилляторов без внутреннего шума установлено, что достаточно сильный общий шум может синхронизировать ансамбль с отталкивающей глобальной связью, а также исследована динамика локализации распределения осцилляторов. Последняя явно свидетельствует о том, что в течение процесса перехода к состоянию полной синхронизации распределение осцилляторов имеет «тяжелые» степенные хвосты даже при сколь угодно сильной притягивающей глобальной связи – без общего шума признаков формирования таких хвостов не наблюдается. Для ансамбля осцилляторов с внутренним шумом установлено, что равновесное распределение разностей фаз всегда имеет «тяжелые» степенные хвосты, и определены параметры этих хвостов. Аналитически найдено асимптотическое поведение для средней частоты осциллятора как функции собственной частоты: в частности, получен эффект расхождения средних частот при синхронизации общим шумом и наличии отталкивающей глобальной связи. Приведены примеры применения построенной теории для осцилляторов ван дер Поля, Рэлея, ван дер Поля–Дюффинга и ФитцХью–Нагумо. Результаты прямого численного моделирования для больших конечных ансамблей этих осцилляторов согласуются с теорией. Обсуждение. Установлено, что сколь угодно слабый общий шум, с одной стороны, увеличивает устойчивость синхронного состояния, а с другой – всегда создает «тяжелые» степенные хвосты для распределения разностей фаз. Это свидетельствует о существенно перемежаемом характере синхронизации общим шумом – периоды синхронного поведения прерываются событиями скачка разности фаз – и согласуется с тем фактом, что при наличии общего шума становится невозможным точное совпадение средних частот колебаний неидентичных систем. Нетривиальным является тот эффект, что при отталкивающей глобальной связи достаточно сильный общий шум синхронизирует состояния осцилляторов, но их средние частоты при этом взаимно отталкиваются. Влияние индивидуального внутреннего шума на средние частоты оказывается эффективно эквивалентным влиянию неидеальности синхронизации.

DOI: 
10.18500/0869-6632-2019-27-3-33-60
Библиографический список: 

1. Пиковский А., Розенблюм М., Куртс Ю. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. М: Техносфера, 2003. 496 с.

2. Winfree A.T. Biological Rhythms and the Behavior of Populations of Coupled Oscillators // J. Theoret. Biol. 1967. Vol. 16. P. 15–42.
3. Kuramoto Y. Self-entrainment of a population of coupled non-linear oscillators // International Symposium on Mathematical Problems in Theoretical Physics. January 23–29, 1975, Kyoto University, Kyoto, Japan. Ed. Araki H. Springer Lecture Notes in Physics No. 39. New York: Springer, 1975. P. 420–422.
4. Kuramoto Y. Chemical Oscillations, Waves and Turbulence. New York: Dover, 2003.
5. Kawamura Y., Shirasaka Sh., Yanagita T., Nakao H. Optimizing mutual synchronization of rhythmic spatiotemporal patterns in reaction-diffusion systems // Phys. Rev. E. 2017. Vol. 96.012224.
6. Taira K., Nakao H. Phase-response analysis of synchronization for periodic flows // J. Fluid Mech. 2018. Vol. 846. R2. https://doi.org/10.1017/jfm.2018.327
7. Nakao H., Yasui Sh., Ota M., Arai K., Kawamura Y. Phase reduction and synchronization of a network of coupled dynamical elements exhibiting collective oscillations // Chaos. 2018. Vol. 28. 045103.
8. Pikovskii A.S. Synchronization and stochastization of nonlinear oscillations by external noise //Nonlinear and Turbulent Processes in Physics. Vol. 3. Ed. Sagdeev R.Z. Chur: Harwood Academic, 1984. P. 1601–1604.

9. Пиковский А.С. Синхронизация и стохастизация ансамбля автогенераторов внешним шумом // Изв. вузов. Радиофизика. 1984. Т. 27, No 5. С. 576–581.

10. Ritt J. Evaluation of entrainment of a nonlinear neural oscillator to white noise // Phys. Rev. E. 2003. Vol. 68. 041915.
11. Teramae J.N., Tanaka D. Robustness of the Noise-Induced Phase Synchronization in a General Class of Limit Cycle Oscillators // Phys. Rev. Lett. 2004. Vol. 93. 204103.

12. Голдобин Д.С., Пиковский А.С. О синхронизации периодических автоколебаний общим шумом // Изв. вузов. Радиофизика. 2004. Т. 47, No 10–11. С. 1013–1019.

13. Pakdaman K., Mestivier D. Noise induced synchronization in a neuronal oscillator // Phys. D. 2004. Vol. 192. P. 123–137.
14. Snyder J., Zlotnik A., Hagberg A. Stability of entrainment of a continuum of coupled oscillators// Chaos. 2017. Vol. 27. 103108.
15. Goldobin D.S., Pikovsky A. Synchronization and desynchronization of self-sustained oscillators by common noise // Phys. Rev. E. 2005. Vol. 71. 045201.
16. Garc ́ia-Alvarez D., Bahraminasab A., Stefanovska A., McClintock P.V.E.  ́ Competition between noise and coupling in the induction of synchronisation // Europhys. Lett. 2009. Vol. 88. 30005.
17. Nagai K.H., Kori H. Noise-induced synchronization of a large population of globally coupled nonidentical oscillators // Phys. Rev. E. 2010. Vol. 81. 065202.
18. Ott E., Antonsen T.M. Low dimensional behavior of large systems of globally coupled oscillators //Chaos. 2008. Vol. 18. 037113.
19. Pimenova A.V., Goldobin D.S., Rosenblum M., Pikovsky A. Interplay of coupling and common noise at the transition to synchrony in oscillator populations // Sci. Rep. 2016. Vol. 6. 38518.
20. Голдобин Д.С., Долматова А.В., Розенблюм М., Пиковский А. Синхронизация в ансамблях Курамото–Сакагучи при конкурирующем влияния общего шума и глобальной связи // Известия вузов. ПНД. 2017. Т. 25, No 6. C. 5–37.

21. Dolmatova A.V., Goldobin D.S., Pikovsky A. Synchronization of coupled active rotators by common noise // Phys. Rev. E. 2017. Vol. 96. 062204.
22. Wiener N. Cybernetics: Or Control and Communication in the Animal and the Machine. 2nd ed. Cambridge: MIT Press, 1965.
23. Watanabe S., Strogat S.H. Constant of motion for superconducting josephson arrays // Phys. D. 1994. Vol. 74. P. 197–253.
24. Pikovsky A., Rosenblum M. Partially integrable dynamics of hierarchical populations of coupled oscillators // Phys. Rev. Lett. 2008. Vol. 101. 264103.
25. Marvel S.A., Mirollo R.E., Strogatz S.H. Identical phase oscillators with global sinusoidal coupling evolve by Mobius group action // Chaos. 2009. Vol. 19. 043104.  ̈
26. Tyulkina I.V., Goldobin D.S., Klimenko L.S., Pikovsky A. Dynamics of noisy oscillator populations beyond the Ott–Antonsen Ansatz // Phys. Rev. Lett. 2006. Vol. 120. 264101.

27. Goldobin D.S., Tyulkina I.V., Klimenko L.S., Pikovsky A. Collective mode reductions for populations of coupled noisy oscillators // Chaos. 2018. Vol. 28. 101101.

28. Totz J.F., Rode J., Tinsley M.R., Showalter K., Engel H. Spiral wave chimera states in large populations of coupled chemical oscillators // Nature Physics. 2018. Vol. 14. P. 282–285.
29. Goldobin D.S., Pikovsky A. Antireliability of noise-driven neurons // Phys. Rev. E. 2006. Vol. 73.061906.

30. Wieczorek S. Stochastic bifurcation in noise-driven lasers and Hopf oscillators // Phys. Rev. E. 2009. Vol. 79. 036209.
31. Yoshimura K., Arai K. Phase reduction of stochastic limit cycle oscillators // Phys. Rev. Lett. 2008. Vol. 101. 154101.
32. Goldobin D.S., Teramae J.N., Nakao H., Ermentrout G.B. Dynamics of limit-cycle oscillator subject to general noise // Phys. Rev. Lett. 2010. Vol. 105. 154101.

33. Bensoussan A., Lions J.L., Papanicolaou G. Asymptotic Analysis for Periodic Structures. Amsterdam: North-Holland, 1978.

34. FitzHugh R.A. Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane // Biophys. J. 1961. Vol. 1. P. 445–466.
35. Nagumo J., Arimoto S., Yoshizawa S. An active pulse transmission line simulating nerve axon // Proc. IRE. 1962. Vol. 50. P. 2061–2070.
36. Goldobin D.S. Anharmonic resonances with recursive delay feedback // Phys. Lett. A. 2011. Vol. 375. P. 3410–3214.
37. Peter F., Pikovsky A. Transition to collective oscillations in finite Kuramoto ensembles // Phys. Rev. E. 2018. Vol. 97. 032310.
38. Пиковский А., Долматова А.В., Голдобин Д.С. Корреляции состояний несинхронизованных осцилляторов в ансамбле Курамото с шумом в среднем поле // Изв. вузов. Радиофизика. 2018. Т. 61, No 8–9. С. 754–763.

Краткое содержание: 
Полный текст в формате PDF(En):