Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)


Для цитирования:

Полуновский А. А. Эффективные алгоритмы решения функциональных уравнений с суперпозицией на примере уравнения Фейгенбаума // Известия вузов. ПНД. 2023. Т. 31, вып. 1. С. 8-19. DOI: 10.18500/0869-6632-003023

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Полный текст в формате PDF(Ru):
(загрузок: 0)
Язык публикации: 
русский
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
517.96
EDN: 

Эффективные алгоритмы решения функциональных уравнений с суперпозицией на примере уравнения Фейгенбаума

Авторы: 
Полуновский Андрей Андреевич, Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича РАН
Аннотация: 

Цель. Рассмотреть новые алгоритмы решения функциональных уравнений на примере уравнения Фейгенбаума. Данное уравнение представляет большой интерес в теории детерминированного хаоса и является хорошим показательным примером в классе функциональных уравнений с суперпозицией.

Методы. В статье предлагаются три новых эффективных метода решения функциональных уравнений — метод последовательных приближений, метод последовательных приближений с применением быстрого преобразования Фурье и численно-аналитический метод с применением малого параметра.

Результаты. Были приведены три новых метода решения функциональных уравнений, рассмотренных на примере уравнения Фейгенбаума. Для каждого из них были исследованы особенности их применения, а также оценена сложность получаемых в результате алгоритмов. Проведено сравнение методов, используемых ранее исследователями для решения функциональных уравнений, с описанными в данной статье. В описании последнего, численно-аналитического метода, были выписаны несколько коэффициентов разложений универсальных постоянных Фейгенбаума.

Заключение. Полученные алгоритмы позволяют решать функциональные уравнения с суперпозицией, основываясь на методах простой итерации, без необходимости обращения матрицы Якоби. Данная особенность сильно упрощает использование компьютерной памяти и дает выигрыш по времени работы рассматриваемых алгоритмов, по сравнению с ранее используемыми. Также последний, численно-аналитический метод позволил получать последовательно коэффициенты разложений универсальных постоянных Фейгенбаума, что, по сути, может являться аналитическим представлением данных констант.

Благодарности: 
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 22-11-00317, https://rscf.ru/project/22-11-00317/
Список источников: 
  1. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988. 253 c.
  2. Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем // Успехи физических наук. 1983. Т. 141, № 2. С. 343–374. DOI: 10.3367/UFNr.0141.198310e.0343.
  3. Feigcnbaum M. J. The universal metric properties of nonlinear transformations // Journal of Statistical Physics. 1979. Vol. 21, no. 6. P. 669–706. DOI: 10.1007/BF01107909.
  4. Feigenbaum M. J. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations // Journal of Statistical Physics. 1978. Vol. 19, no. 1. P. 25–52. DOI: 10.1007/BF01020332.
  5. Briggs K. How to calculate the Feigenbaum constants on your PC // Australian Mathematical Society Gazette. 1989. Vol. 16. P. 89–92.
  6. Broadhurst D. Feigenbaum constants to 1018 decimal places [Electronic resource]. 22 March 1999. Available from: http://www.plouffe.fr/simon/constants/feigenbaum.txt.
  7. Briggs K. A precise calculation of the Feigenbaum constants // Mathematics of Computation. 1991. Vol. 57, no. 195. P. 435–439. DOI: 10.2307/2938684.
  8. Molteni A. An efficient method for the computation of the Feigenbaum constants to high precision [Electronic resource] // arXiv:1602.02357. arXiv Preprint, 2016. Available from: https://arxiv.org/ abs/1602.02357.
  9. Кузнецов C. Динамический хаос. 2-е изд. М.: Физматлит, 2006. 356 с.
  10. Faa di Bruno F. Sullo sviluppo delle funzioni // Annali di Scienze Matematiche e Fisiche. 1855. Vol. 6. P. 479–480.
  11. Bell E. T. Partition polynomials // Annals of Mathematics. 1927. Vol. 29, no. 1–4. P. 38–46. DOI: 10.2307/1967979.
  12. Heideman M. T., Johnson D., Burrus C. Gauss and the history of the fast Fourier transform // IEEE ASSP Magazine. 1984. Vol. 1, no. 4. P. 14–21. DOI: 10.1109/MASSP.1984.1162257.
  13. Полуновский А. А. Временные разложения решений уравнений математической физики // Дифференциальные уравнения. 2020. Т. 56, № 3. С. 393–402. DOI: 10.1134/S0374064120030103.
  14. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967. 296 с.
  15. Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. М: Мир, 1986. 502 с.
Поступила в редакцию: 
30.08.2022
Принята к публикации: 
09.11.2022
Опубликована онлайн: 
19.01.2023
Опубликована: 
31.01.2023