Для цитирования:
Полуновский А. А. Эффективные алгоритмы решения функциональных уравнений с суперпозицией на примере уравнения Фейгенбаума // Известия вузов. ПНД. 2023. Т. 31, вып. 1. С. 8-19. DOI: 10.18500/0869-6632-003023, EDN: CKLLWX
Эффективные алгоритмы решения функциональных уравнений с суперпозицией на примере уравнения Фейгенбаума
Цель. Рассмотреть новые алгоритмы решения функциональных уравнений на примере уравнения Фейгенбаума. Данное уравнение представляет большой интерес в теории детерминированного хаоса и является хорошим показательным примером в классе функциональных уравнений с суперпозицией.
Методы. В статье предлагаются три новых эффективных метода решения функциональных уравнений — метод последовательных приближений, метод последовательных приближений с применением быстрого преобразования Фурье и численно-аналитический метод с применением малого параметра.
Результаты. Были приведены три новых метода решения функциональных уравнений, рассмотренных на примере уравнения Фейгенбаума. Для каждого из них были исследованы особенности их применения, а также оценена сложность получаемых в результате алгоритмов. Проведено сравнение методов, используемых ранее исследователями для решения функциональных уравнений, с описанными в данной статье. В описании последнего, численно-аналитического метода, были выписаны несколько коэффициентов разложений универсальных постоянных Фейгенбаума.
Заключение. Полученные алгоритмы позволяют решать функциональные уравнения с суперпозицией, основываясь на методах простой итерации, без необходимости обращения матрицы Якоби. Данная особенность сильно упрощает использование компьютерной памяти и дает выигрыш по времени работы рассматриваемых алгоритмов, по сравнению с ранее используемыми. Также последний, численно-аналитический метод позволил получать последовательно коэффициенты разложений универсальных постоянных Фейгенбаума, что, по сути, может являться аналитическим представлением данных констант.
- Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988. 253 c.
- Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем // Успехи физических наук. 1983. Т. 141, № 2. С. 343–374. DOI: 10.3367/UFNr.0141.198310e.0343.
- Feigcnbaum M. J. The universal metric properties of nonlinear transformations // Journal of Statistical Physics. 1979. Vol. 21, no. 6. P. 669–706. DOI: 10.1007/BF01107909.
- Feigenbaum M. J. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations // Journal of Statistical Physics. 1978. Vol. 19, no. 1. P. 25–52. DOI: 10.1007/BF01020332.
- Briggs K. How to calculate the Feigenbaum constants on your PC // Australian Mathematical Society Gazette. 1989. Vol. 16. P. 89–92.
- Broadhurst D. Feigenbaum constants to 1018 decimal places [Electronic resource]. 22 March 1999. Available from: http://www.plouffe.fr/simon/constants/feigenbaum.txt.
- Briggs K. A precise calculation of the Feigenbaum constants // Mathematics of Computation. 1991. Vol. 57, no. 195. P. 435–439. DOI: 10.2307/2938684.
- Molteni A. An efficient method for the computation of the Feigenbaum constants to high precision [Electronic resource] // arXiv:1602.02357. arXiv Preprint, 2016. Available from: https://arxiv.org/ abs/1602.02357.
- Кузнецов C. Динамический хаос. 2-е изд. М.: Физматлит, 2006. 356 с.
- Faa di Bruno F. Sullo sviluppo delle funzioni // Annali di Scienze Matematiche e Fisiche. 1855. Vol. 6. P. 479–480.
- Bell E. T. Partition polynomials // Annals of Mathematics. 1927. Vol. 29, no. 1–4. P. 38–46. DOI: 10.2307/1967979.
- Heideman M. T., Johnson D., Burrus C. Gauss and the history of the fast Fourier transform // IEEE ASSP Magazine. 1984. Vol. 1, no. 4. P. 14–21. DOI: 10.1109/MASSP.1984.1162257.
- Полуновский А. А. Временные разложения решений уравнений математической физики // Дифференциальные уравнения. 2020. Т. 56, № 3. С. 393–402. DOI: 10.1134/S0374064120030103.
- Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967. 296 с.
- Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. М: Мир, 1986. 502 с.
- 1943 просмотра