Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)


Для цитирования:

Кузнецов С. П., Седова Ю. В. Гиперболический хаос в осцилляторе Бонхоффера–ван дер Поля с дополнительной запаздывающей обратной связью и периодически модулируемым параметром возбуждения // Известия вузов. ПНД. 2019. Т. 27, вып. 1. С. 77-95. DOI: 10.18500/0869-6632-2019-27-1-77-95

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Полный текст в формате PDF(Ru):
(загрузок: 118)
Полный текст в формате PDF(En):
(загрузок: 39)
Язык публикации: 
русский
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
517.9

Гиперболический хаос в осцилляторе Бонхоффера–ван дер Поля с дополнительной запаздывающей обратной связью и периодически модулируемым параметром возбуждения

Авторы: 
Кузнецов Сергей Петрович, Саратовский филиал Института радиотехники и электроники имени В.А.Котельникова РАН (СФ ИРЭ)
Седова Юлия Викторовна, Саратовский филиал Института радиотехники и электроники имени В.А.Котельникова РАН (СФ ИРЭ)
Аннотация: 

Тема и цель исследования. Цель работы состоит в рассмотрении простой в реализации системы, демонстрирующей гиперболический аттрактор Смейла–Вильямса, на основе осциллятора Бонхоффера–ван дер Поля, поочередно пребывающего в состоянии возбуждения или подавления благодаря периодической модуляции параметра внешним управляющим сигналом и дополненного цепью запаздывающей обратной связи. Исследуемые модели. Сформулирована математическая модель, описываемая неавтономным уравнением второго порядка с запаздывающим аргументом. Указана схема электронного устройства, реализующего данный тип хаотического поведения. Результаты. Представлены результаты численного моделирования динамики системы, включая реализации, спектры колебаний, графики показателей Ляпунова, карту режимов на плоскости параметров. Проведено схемотехническое моделирование электронного устройства с помощью программного продукта Multisim. Обсуждение. Присутствие аттрактора Смейла–Вильямса обусловлено тем, что преобразование фаз заполнения для генерируемой системой последовательности радиоимпульсов отвечает растягивающему в целое число раз отображению окружности. Особенность системы в том, что передача возбуждения от одной к следующей стадии активности с удвоением (или утроением) фазы осуществляется резонансным образом, на гармонике релаксационных колебаний, имеющих вдвое (или втрое) больший период, чем у малых колебаний. В силу гиперболической природы аттрактора генерируемый хаос грубый, то есть характеризуется малой чувствительностью к вариации параметров устройства и его компонентов. Приведенная схема отвечает низкочастотному устройству, но может быть адаптирована для генераторов хаоса также на высоких и сверхвысоких частотах.

Список источников: 
  1. FitzHugh R. Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane // Biophysical journal. 1961. Vol. 1, no. 6. P. 445–466.
  2. Nagumo J., Arimoto S., Yoshizawa S. An active pulse transmission line simulating nerve axon // Proceedings of the IRE. 1962. Vol. 50, no. 10. P. 2061–2070.
  3. Izhikevich E.M., FitzHugh R. FitzHugh–Nagumo model // Scholarpedia. 2006. Vol. 1, no. 9. 1349.
  4. Izhikevich E.M. Dynamical Systems in Neuroscience: The Geometry of Excitability and Bursting. The MIT Press, Cambridge, MA. 2010.
  5. Дмитричев А.С., Касаткин Д.В., Клиньшов В.В., Кириллов С.Ю., Масленников О.В., Щапин Д.С., Некоркин В.И. Нелинейные динамические модели нейронов: Обзор // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2018. Т. 26, вып. 4. С. 5–58.
  6. Смейл С. Дифференцируемые динамические системы // Успехи математических наук. 1970. Т. 25, № 1. С. 113–185.
  7. Аносов Д.В., Арансон С.Х., Гринес В.З., Плыкин Р.В., Сатаев Е.А., Сафронов А.В., Солодов В.В., Старков А.Н., Степин А.М., Шлячков С.В. Динамические системы с гиперболическим поведением // Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». 1991. Т. 66. С. 5–242.
  8. Shilnikov L. Mathematical problems of nonlinear dynamics: A tutorial // International Journal of Bifurcation and Chaos. 1997. Vol. 7, no. 9. Pp. 1953–2001.
  9. Синай Я.Г. Стохастичность динамических систем // Нелинейные волны. М.: Наука, 1979. С. 192–212.
  10. Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М.: Факториал, 1999. 768 с.
  11. Afraimovich V. and Hsu S.-B. Lectures on chaotic dynamical systems // AMS/IP Stud. Adv. Math. 2003. Vol. 28.
  12. Bonatti C., D´ıaz L.J., Viana M. Dynamics beyond uniform hyperbolicity: A global geometric and probobalistic perspective // Encyclopaedia Math. Sci. Vol. 102. Berlin: Springer. 2005.
  13. Ruelle D. Strange attractors // The Mathematical Intelligencer. 1980. Vol. 2, no. 3. P. 126–137.
  14. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз. 1959.
  15. Pugh C. and Peixoto M.M. Structural stability // Scholarpedia. 2008. Vol. 3, no. 9. 4008.
  16. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984. 
  17. Кузнецов С.П. Динамический хаос и однородно гиперболические аттракторы: От математики к физике // Успехи физических наук. 2011. Т. 181, № 2. С. 121–149.
  18. Кузнецов С.П., Пономаренко В.И. О возможности реализации странного аттрактора типа Смейла–Вильямса в радиотехническом генераторе с запаздыванием // Письма в ЖТФ. 2008. Т. 34, вып. 18. С. 1–8.
  19. Аржанухина Д.С., Кузнецов С.П. Грубый хаос в автономной системе с запаздыванием // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2014. Т. 22, № 2. С. 36–49.
  20. Kuptsov P.V., Kuznetsov S.P. Numerical test for hyperbolicity of chaotic dynamics in time-delay systems // Phys. Rev. E. 2016. Vol. 94, no. 1. P. 010201.
  21. Kuptsov P.V., Kuznetsov S.P. Numerical test for hyperbolicity in chaotic systems with multiple time delays // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2018. Vol. 56. P. 227–239.
  22. Kuznetsov S.P., Sedova Yu.V. Hyperbolic chaos in systems based on FitzHugh–Nagumo model neurons // Regular and Chaotic Dynamics. 2018. Vol. 23, no. 4. P. 329–341.
  23. Doroshenko V.M., Kruglov V.P., Kuznetsov S.P. Smale–Williams solenoids in a system of coupled Bonhoeffer–van der Pol oscillators // Russian Journal of Nonlinear Dynamics, 2018. Vol. 14, no. 4. P. 435–451.
  24. Kruglov V.P., Kuznetsov S.P. Hyperbolic chaos in a system of two Froude pendulums with alternating periodic braking // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2019. Vol. 67. P. 152–161.
  25. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967.
  26. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971.
  27. Farmer J.D. Chaotic attractors of an infinite-dimensional dynamical system // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1982. Vol. 4, no. 3. P. 366–393.
  28. Yanchuk S., Giacomelli G. Spatio-temporal phenomena in complex systems with time delays // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2017. Vol. 50, no. 10. P. 103001.
  29. Балякин А. А., Рыскин Н. М. Особенности расчета спектров показателей Ляпунова в распределенных автоколебательных системах с запаздывающей обратной связью // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2007. Т. 15, № 6. С. 3–21.
  30. Колоскова А.Д., Москаленко О.И., Короновский А.А. Метод расчета спектра показателей Ляпунова для сиситем с запаздыванием // Псиьма в журнал технической физики. 2018. Выпуск 9. С. 19–25.
  31. Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций. М.: Наука, 1968.
  32. Дженкинс Г., Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложения. Т. 2. М.: Мир, 1972.
Поступила в редакцию: 
13.10.2018
Принята к публикации: 
03.12.2018
Опубликована: 
28.02.2019
Краткое содержание:
(загрузок: 111)