Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)

Для цитирования:

Кузнецов А. П., Кузнецов С. П. Критическая динамика одномерных отображений. Часть 1. Сценарий Фейгенбаума // Известия вузов. ПНД. 1993. Т. 1, вып. 1. С. 15-33. DOI: 10.18500/0869-6632-1993-1-1-15-33

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Полный текст в формате PDF(Ru):
Иконка PDF 1993no1-2p015.pdf
(загрузок: 0)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
Бифуркации в динамических системах различной природы
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
517.9
DOI: 
10.18500/0869-6632-1993-1-1-15-33

Критическая динамика одномерных отображений. Часть 1. Сценарий Фейгенбаума

Авторы: 
Кузнецов Александр Петрович, Саратовский филиал Института радиотехники и электроники имени В.А. Котельникова РАН (СФ ИРЭ)
Кузнецов Сергей Петрович, Саратовский филиал Института радиотехники и электроники имени В.А. Котельникова РАН (СФ ИРЭ)
Аннотация: 

В обзорном плане излагаются основные рузультаты, характеризу­ющие сценарий перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода в контексте теории критических явлений. Даны компьютерные иллюстрации скейлинга. Представлены приближенный ренормгрупповой анализ, позволяющий построить процедуру ренормпреобразования в явной форме, и примеры нелинейных систем, демонстрирующих обсуждаемый тип критического поведения.

Ключевые слова: 
-
Список источников: 
  1. Myrberg PJ. Iteration der reelen polynome zweiten grades. Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A. 1963;336:1-18.
  2. Шарковский A.M. Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в прямую//Укр. мат. журн. 1964. Т.26. № 1. C.61.
  3. Metropolis N, Stein РR, Stein ML. Finite limit sets for transformations of the unit interval. J. Comb. Theory. 1973;15(1):25-44. DOI: 10.1016/0097-3165(73)90033-2
  4. May RM. Simple mathematical models with very complicated dynamics. Nature. 1976;261:459-467. DOI: 10.1038/261459a0
  5. Афраймович B.C., Шильников Л.П. О некоторых глобальных бифуркациях, связанных с исчезновением неподвижных точек седлоузел//Докл. АН СССР. 1974. T.219. №. C.1281.
  6. Pomeau Y, Manneville P. Intermittent transition to turbulence in dissipative dynamical systems. Commun. Math. Phys. 1980;74:189-197. DOI: 10.1007/bf01197757
  7. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.
  8. Ruelle D, Takens F. On the nature of turbulence. Commun. Math. Phys. 1971;20:167-192. DOI: 10.1007/bf01646553
  9. Shenker SJ. Scaling behavior in a map of a circle onto itself: Empirical results. Physica D. 1982;5(2-3):405-411. DOI: 10.1016/0167-2789(82)90033-1
  10. Feigenbaum MJ. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations. J. Stat. Phys. 1978;19(1):25-52. DOI: 10.1007/bf01020332
  11. Feigenbaum MJ. The universal metric properties of nonlinear transformations. J. Stat. Phys. 1979;21(6):669-706. DOI: 10.1007/bf01107909
  12. Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем // УФН. 1983. T.141, № 2. С.343.
  13. Hirsh JE, Nauenberg M, Scalapino DJ. Intermittency in the presence of noice: a renormalization group formulation. Phys. Lett.  A. 1982;87(8):391-393. DOI: 10.1016/0375-9601(82)90165-7
  14. Hu B, Rudnik J. Exact solution to the Feigenbaum renormalization-group equations for intermittency. Phys. Rev. Lett. 1982;48(24):1645-1648. DOI: 10.1103/PhysRevLett.48.1645
  15. Ostlund S, Rand D, Sethna J, Siggia E. Universal properties of the transition from quasi-periodicity to chaos in dissipative systems. Physica D. 1983;8(3):303-342. DOI: 10.1016/0167-2789(83)90229-4
  16. Feigenbaum MJ, Kadanoff LР, Shenker SJ. Quasiperiodicity in dissipative systems: Renormalization group analysis. Physica D. 1982;5(2-3):370-386. DOI: 10.1016/0167-2789(82)90030-6
  17. Hu B. Introduction to real-space renormalization-group methods in critical and chaotic phenomena. Phys. Rep. 1982;91(5):233-295. DOI: 10.1016/0370-1573(82)90057-6
  18. Aranson LS, Gaponov—Grekhov AV, Rabinovich MI. The onset and spatial development of turbulence in flow systems. Physica D. 1988;33(1-3):1-20. DOI: 10.1016/S0167-2789(98)90004-5
  19. Chang SJ, Wortis M, Wright JA. Iterative properties of a one-dimensional quartic map. Critical lines and tricritical behavior. Phys. Rev. A. 1981;24(5):2669-2684. DOI: 10.1103/PhysRevA.24.2669
  20. Закс М.А., Любимов Д.В, Пиковский A.C. Универсальные сценарии перехода к хаосу через гомоклинические бифуркации. Препринт ин-та механики сплошных сред УО АН СССР. 1987. 70 с.
  21. Вул В.Б. Синай Я.Г., Ханин К.М. Универсальность Фейгенбаума и термодинамический формализм//УМН. 1984. Т.39, № 3. С.З. 
  22. Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир, 1990.
  23. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. M.: Мир, 1991.
  24. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988.
  25. Jakobson MV. Absolutely continuous measures for oneparameter families of one-dimensional maps. Commun. Math. Phys. 1981;81(1):39-88. DOI: 10.1007/BF01941800
  26. Шарковский А.Н. Майстренко Ю.А. Романенко Ю.Е. Разностные уравнения и их приложения. Киев: Наукова Думка, 1986.
  27. Huberman B., Zisook A. Power spectra of strange attractors. Phys. Rev. Lett. 1981;46(10):626-628. DOI: 10.1103/PhysRevLett.46.626
  28. Nauenberg M, Rudnik J. Universality and the power spectrum at the onset of chaos. Phys. Rev. B. 1981;24(1):493-495. DOI: 10.1103/PhysRevB.24.493
  29. Halsey TS, Jensen MH, Kadanoff LP, Procaccia I, Shraiman ВI. Fractal measures and their singularities. Phys. Rev. A. 1986;33(2):1141-1151. DOI: 10.1103/PhysRevA.33.1141
  30. Grassberger P, Procaccia I. Characterization of strange attractors. Phys. Rev. Lett. 1983;50(5):346-349. DOI: 10.1103/PhysRevLett.50.346
  31. Lanford ОЕ III. A computer assisted proof of the Feigenbaum conjectures. Bull. Amer. Math. Soc. 1982;6(3):427-434. DOI: 10.1090/S0273-0979-1982-15008-X
  32. Franceschini V. Feigenbaum segence of bifurcations in the Lorenz model. J. Stat. Phys. 1980;22:397-406. DOI: 10.1007/BF01014649
  33. Каi T. Universality of power spectrum of a dinamical system with an infinitemsequence of period doubling bifurcations. Phys. Lett. A. 1981;86(5):263-266. DOI: 10.1016/0375-9601(81)90361-3
  34. Testa J, Pere J, Jeffries С. Evidence for universal chaotic behavior of a driven nonlinear oscillator. Phys. Rev. Lett. 1982;48(11):714-717. DOI: 10.1103/PhysRevLett.48.714
  35. Yen WJ, Kao YH. Universal scaling and chaotic behavior of a Josephson-junction analog. Phys. Rev. Lett. 1982;49(26):1888-1891.
  36. Анищенко B.C., Астахов B.B., Летчфорд Т.Е., Сафонова М.А. О бифуркациях в трехмерной двухпараметрической автоколебательной системе со странным аттрактором//Изв. вузов. Сер. Радиофизика. 1983. Т.26, № 2, С.169.
  37. Libhaber A, Fauve S, Laroche С. Two-parameter study of the routes to chaos. Physica D. 1983;7(1-3):73-84. DOI: 10.1016/0167-2789(83)90117-3
  38. Xiao-lan Chen, You—qin Wang, Shi—gang Chen. Period-doubling bifurcations and chaotic behavior in nonequilibrium superconductivity film. Solid State Commun. 1984;52(5):551-554. DOI: 10.1016/0038-1098(84)90875-5
  39. Астахов B.B, Безручко B.П,Селезнев В.П. Исследование динамики нелинейного колебательного контура при гармоническом воздействии //Радиотехника и электроника. 1987. T.32, № 12. C.2558.
  40. Lorenz ЕМ. Deterministic nonperiodic flow. J. Atmos. Sci. 1963;20(2):130-141. DOI: 10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2
  41. Ikeda К, Daido H, Akimoto О. Optical turbulence: chaotic behavior of transmitted light from a ring cavity. Phys. Rev. Lett. 1980;45(9):709-712. DOI: 10.1103/PhysRevLett.45.709
  42. Carmichael H, Snapp R, Schieve W. Oscillatory instabilities leading to “optical turbulence” in a bistable ring cavity. Phys. Rev. A. 1982;26(6):3408-3422. DOI: 10.1103/PhysRevA.26.3408.
  43. Кузнецов С.П., Ерастова E.H. Теория Фейгенбаума/ /Лекции no электронике СВЧ и радиофизике. Саратов, Изд-во Сарат. ун-та, 1983. Кн.2. С.3.
  44. Collet P, Eckmann JP, Koch H. Period doubling bifurcations for families of maps on R^n. J. Stat. Phys. 1980;25(1):1-14. DOI: 10.1007/BF01008475
  45. Crawford D, Omohundro S. On the global structure of period doubling flows. Physica D. 1984;13:161-180. DOI: 10.1016/0167-2789(84)90275-6
  46. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Критическая динамика решеток связанных отображений: Обзор//Изв. вузов. Сер. Радиофизика. 1991. T.34, № 10.C.1021.
  47. Кузнецов А.П., Кузнецов C.П., Сатаев И.Р. Воздействие фрактального сигнала на систему Фейгенбаума и бифуркация в уравнении ренормгруппы// Изв. вузов. Сер. Радиофизика. 1991. Т.34, № 6. C.661.
  48. Kuznetsov AP, Kuznetsov SP, Sataev IR. Period-doubling system under fractal signal. Bifurcation in the renormalization group equation. Chaos, Solitons&Fractals. 1991;1(4):355-367. DOI: 10.1016/0960-0779(91)90026-6
  49. Chang SJ, Fendley PR. Scaling and universal behavior on the bifurcation attractor. Phys. Rev. A. 1986;33(6):4092-4103. DOI: 10.1103/PhysRevA.33.4092
  50. Чириков Б.В, Шепелянский Д.Л. Граница хаоса и статистические аномалии. Препринт 86-174. Саратовский филиал Новосиб. ин-та ядерной физики СО АН СССР, 1986. 30 с.
Поступила в редакцию: 
05.02.1993
Принята к публикации: 
11.04.1993
Опубликована: 
20.07.1993
  • 2318 просмотров