Для цитирования:
Гонченко А. С., Гонченко С. В., Казаков А. О., Козлов А. Д. Математическая теория динамического хаоса и её приложения: Обзор Часть 1. Псевдогиперболические аттракторы // Известия вузов. ПНД. 2017. Т. 25, вып. 2. С. 4-36. DOI: 10.18500/0869-6632-2017-25-2-4-36
Математическая теория динамического хаоса и её приложения: Обзор Часть 1. Псевдогиперболические аттракторы
В работе рассматриваются актуальные вопросы современной математической теории динамического хаоса и ее приложений. В настоящее время принято считать, что в конечномерных гладких динамических системах могут наблюдаться три принципиально различных формы хаоса. Это диссипативный хаос, математическим образом которого является странный аттрактор; консервативный хаос, для которого все фазовое пространство является большим «хаотическим морем» с беспорядочно расположенными внутри него эллиптическими островами; и смешанная динамика, характеризующаяся принципиальной неотделимостью в фазовом пространстве аттракторов, репеллеров и консервативного поведения траекторий. В настоящей работе (открывающей цикл из трех статей) представлены элементы теории псевдогиперболических аттракторов многомерных отображений. Такие аттракторы, также как и гиперболические, являются настоящими странными аттракторами, однако, допускают существование гомоклинических касаний. Мы приводим математическое определение псевдогиперболического аттрактора для случая многомерных отображений, из которого выводим необходимые условия для его существования в трехмерном случае, формулируемые с помощью показателей Ляпунова. Мы также даем описание феноменологических сценариев возникновения псевдогиперболических аттракторов различных типов в однопараметрических семействах трехмерных диффеоморфизмов, предлагаем новые методы исследования таких аттракторов (в частности, метод карт седел и модифицированный метод диаграмм Ляпунова), а в качестве примеров рассматриваем ориентируемые и неориентируемые трехмерные обобщенные отображения Эно. Во второй части будет дан обзор теории спиральных аттрактров как важного и часто встречающегося в приложениях типа диссипативного хаоса. Третья часть будет посвящена смешанной динамике – нового типа хаоса, который характерен, в частности, для обратимых (реверсивных) систем, то есть систем инвариантных относительно некоторых замен координат и обращения времени. Хорошо известно, что такие системы встречаются во многих задачах механики, электродинамики и других областей естествознания.
- Conley C.C. Isolated invariant sets and the Morse index // American Mathematical Soc. 1978. No. 38.
- Гонченко С.В., Тураев Д.В., Шильников Л.П. Об областях Ньюхауса двумерных диффеоморфизмов, близких к диффеоморфизму с негрубым гетероклиническим контуром // Труды МИАН. 1997. Т. 216. C. 76–125.
- Gonchenko S. Reversible mixed dynamics: A concept and examples // Discontinuity, Nonlinearity, and Complexity. 2016. Vol. 5, No. 4. Pp. 345–354.
- Gonchenko S., Turaev D. On three types of dynamics, and the notion of attractor. – To appear.
- Aframovich V.S., Shilnikov L.P. Strange attractors and quasiattractors. In book «Nonlinear Dynamics and Turbulence» / Eds G.I. Barenblatt, G. Iooss, D.D. Joseph. Boston, Pitmen, 1983.
- Shilnikov V.S. Mathematical problems of nonlinear dynamics: A tutorial // Int. J. Bif. and Chaos. 1997. Vol. 9, No. 7. Pp. 1953–2001.
- Gonchenko S.V., Shilnikov L.P., Turaev D.V. Quasiattractors and homoclinic tangencies // Computers Math. Applic. 1997. Vol. 34, No. 2–4. Pp. 195–227.
- Гаврилов Н.К., Шильников Л.П. О трехмерных динамических системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой // Матем. сборник. 1972. Т. 88(130), No 4. Ч. 1. С. 475–492; Матем. сборник. 1973. Т. 90(132), No 1. Ч. 2. С. 139–156.
- онченко S.V. Об устойчивых периодических движениях в системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой // Мат. заметки. 1983. Т. 33, вып. 5. C. 745–755.
- Гонченко С.В., Тураев Д.В., Шильников Л.П. Динамические явления в многомерных системах с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре // Докл. Росс. Акад. Наук. 1993. Т. 330, No 2. C. 144–147.
- Gonchenko S.V., Shilnikov L.P., Turaev D.V. Dynamical phenomena in systems with structurally unstable Poincare homoclinic orbits // Chaos. 1996. Vol. 6, No. 1. Pp. 15–31.
- Gonchenko S.V., Shilnikov L.P., Turaev D.V. On dynamical properties of multidimensional diffeomorphisms from Newhouse regions // Nonlinearity. 2008. Vol. 21(5). Pp. 923–972.
- Mora L., Viana M. Abundance of strange attractors // Acta Math. 1993. Vol. 171. Pp. 1–71.
- Palis J., Viana M. High dimension diffeomorphisms displaying infinitely many sinks // Ann. Math. 1994. Vol. 140. Pp. 91–136.
- Gonchenko S.V., Sten’kin O.V., Turaev D.V. Complexity of homoclinic bifurcations and -moduli // Int. Journal of Bifurcation and Chaos. 1996. Vol. 6, No. 6. Pp. 969–989.
- Colli E. Infinitely many coexisting strange attractors // Ann. IHP. Anal. Non Lineaire. 1998. Vol. 15. Pp. 539–579.
- Homburg A.J. Periodic attractors, strange attractors and hyperbolic dynamics near homoclinic orbits to saddle-focus equilibria // Nonlinearity. 2002. Vol. 15. Pp. 1029– 1050.
- Gonchenko S.V., Meiss J.D. and Ovsyannikov I.I. Chaotic dynamics of three-dimen-sional Henon maps that originate from a homoclinic bifurcation // Regul. Chaotic Dyn. 2006. Vol. 11. Pp. 191–212.
- Gonchenko S.V., Shilnikov L.P. and Turaev D.V. On global bifurcations in threedimensional diffeomorphisms leading to wild Lorenz-like attractors // Regul. Chaotic Dyn. 2009. Vol. 14. Pp. 137–147.
- Gonchenko S.V. and Ovsyannikov I.I. On global bifurcations of three-dimensional diffeomorphisms leading to Lorenz-like attractors // Mat. Model. of Nat. Phenom. 2013. Vol. 8. Pp. 71–83.
- Gonchenko S.V., Ovsyannikov I.I. and Tatjer J.C. Birth of Discrete Lorenz Attractors at the Bifurcations of 3D Maps with Homoclinic Tangencies to Saddle Points// Regul. Chaotic Dyn. 2014. Vol. 19. Pp. 495–505.
- Gonchenko S.V. and Ovsyannikov I.I. Homoclinic tangencies to resonant saddles and discrete Lorenz attractors // Discr. and Cont. Dyn. Sys. Series S. 2017. Vol. 10, No. 2. Pp. 365–374.
- Lozi R. Un attracteur de Henon // J. Phys. 1978. Vol. 39. Coll-C5. Pp. 9–10.
- Белых В.Н. Хаотические и странные аттракторы двумерного отображения // Матем. сб. 1995. Т. 186. No 3. C. 3–18.
- Feudel U., Kuznetsov S., Pikovsky A. Strange nonchaotic attractors: Dynamics between order and chaos in quasiperiodically forced systems // Nonlinear Science. Vol.56. World Scientific Series on Nonlinear Science: Monographs and Treatises, 2006.
- Афраймович В.С., Шильников Л.П. Инвариантные двумерные торы, их разрушение и стохастичность // Межвуз. сб. Методы КТДУ. Горький, 1983. C. 3–26.
- Shilnikov L.P. Chua’s Circuit: Rigorous result and future problems // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1994. Vol. 4, No. 3. Pp. 489–519.
- Henon M. A two-dimensional mapping with a strange attractor // Commun. Math. Phys. 1976. Vol. 50. Pp. 69–77.
- Benedicks M., Carleson L. The dynamics of the Henon map // Ann. Math. 1991. Vol. 133. Pp. 73–169.
- Gonchenko S.V., Simo C. and Vieiro A. Richness of dynamics and global bifurcations in systems with a homoclinic figure-eight // Nonlinearity. 2013. Vol. 26, No.3. Pp. 621–678.
- Rossler O.E. An equation for continuous chaos // Physics Letters A. 1976. Vol. 57, No.5. Pp. 397–398.
- Rossler O.E. Different types of chaos in two simple differential equations // Zeitschrift fur Naturforschung A. 1976. Vol. 31, No. 12. Pp. 1664–1670.
- Arneodo A., Coullet P., Tresser C. Occurence of strange attractors in three-dimensional Volterra equations // Physics Letters A. 1980. Vol. 79, No. 4. Pp. 259–263.
- Arneodo A., Coullet P., Tresser C. Possible new strange attractors with spiral structure // Commun. Math. Phys. 1981. Vol. 79. Pp. 573–579.
- Arneodo A., Coullet P., Tresser C. Oscillators with chaotic behavior: An illustration of a theorem by Shilnikov // Journal of Statistical Physics. 1982. Vol. 27, No. 1. Pp. 171–182.
- Шильников Л.П. Теория бифуркаций и турбулентность – I // Межвузовский сб. Методы КТДУ. Горький, 1986. C. 150–163.
- Гонченко А.С., Гонченко С.В., Шильников Л.П. К вопросу о сценариях возникновения хаоса у трехмерных отображений // Нелинейная динамика. 2012. Т. 8, No 1. C. 3–28.
- Gonchenko A.S., Gonchenko S.V., Kazakov A.O. and Turaev D. Simple scenarios of onset of chaos in three-dimensional maps // Int. J. Bif. and Chaos. 2014. Vol. 24(8). 25 pages.
- Gonchenko S.V., Gonchenko A.S., Ovsyannikov I.I., Turaev D.V. Examples of Lorenzlike attractors in Henon-like maps// Math. Model. Nat. Phen. 2013. Vol. 8(5). Pp. 48–70.
- Gonchenko A., Gonchenko S. Variety of strange pseudohyperbolic attractors in threedimensional generalized Henon maps // Physica D. 2016. Vol. 337. Pp. 43–57.
- Гонченко А.С., Козлов А.Д. О сценариях возникновения хаоса в трехмерных неориентируемых отображениях // Журнал Средневолжского математического общества. 2016. Т. 18, No 4. C. 17–29.
- Тураев Д.В., Шильников Л.П. Пример дикого странного аттрактора // Матем. сб. 1998. Т. 189, No 2. C. 137–160.
- Newhouse S.E. The abundance of wild hyperbolic sets and non-smooth stable sets for diffeomorphisms // Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci. 1979. Vol. 50. Pp. 101–151.
- Ruelle D. Small random perturbations of dynamical systems and the definition of attractors // Comm. Math. Phys. 1981. Vol. 82. Pp. 137–151.
- Gonchenko S., Ovsyannikov I., Simo C., Turaev D. Three-dimensional Henon-like maps and wild Lorenz-like attractors // Int. J. of Bifurcation and chaos. 2005. Vol. 15, No. 11. Pp. 3493–3508.
- Шильников А.Л. Бифуркации и хаос в системе Мориока–Шимицу // Межвузовский сб. Методы КТДУ. Горький, 1986. C. 180–183.
- Shilnikov A.L. On bifurcations of the Lorenz attractor in the Shimuizu–Morioka model // Physica D. 1993. Vol. 62. Pp. 338–346.
- Tucker W. The Lorenz attractor exists //Comptes Rendus de l’Academie des Sciences-Series I-Mathematics. 1999. Vol. 328, No.12. Pp. 1197–1202.
- Ovsyannikov I.I., Turaev D. Analytic proof of the existence of the Lorenz attractor in the extended Lorenz model// Nonlinearity 2017. Vol. 30. Pp. 115–137.
- Тураев Д.В., Шильников Л.П. Псевдогиперболичность и задача о периодическом возмущении аттракторов лоренцевского типа // Докл. РАН. 2008. Т. 418, No 1. C. 23–27.
- Гонченко С.В., Тураев Д.В., Шильников Л.П. О существовании областей Ньюхауса вблизи систем с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре (многомерный случай) // Докл. Росс. Акад. Наук. 1993. Т. 329, No 4. С. 404–407.
- Tatjer J.C. Three-dimensional dissipative diffeomorphisms with homoclinic tangencies // Ergodic Theory Dynam. Systems. 2001. Vol. 21. Pp. 249–302.
- Gonchenko S.V., Gonchenko V.S., Tatjer J.C. Bifurcations of three-dimensional diffeomorphisms with non-simple quadratic homoclinic tangencies and generalized Henon maps // Regular and Chaotic Dynamics. 2007. Vol. 12, No. 3. Pp. 233–266.
- Сатаев Е.А. Стохастические свойства сингулярно гиперболических аттракторов // Нелинейная динамика. 2010. Т. 6, No 1. С. 187–206.
- Gonchenko S.V., Gonchenko A.S., Kazakov A.O. Richness of chaotic dynamics in nonholonomic models of a Celtic stone // Regular and Chaotic Dynamics. 2013. Vol. 15, No. 5. Pp. 521–538.
- Гонченко С.В., Тураев Д.В., Шильников Л.П. Гомоклинические касания произвольного порядка в областях Ньюхауса // Proc. of Int.Conf. Dedicated to 90th Anniversary of L.S.Pontryagin. Vol.6. Dynamical systems. В кн. «Итоги науки и техники, современная математика и ее приложения»: Тематические обзоры. 1999. Т. 67. С. 69–128.
- Gonchenko S., Gonchenko A. and Ming-Chia Li. On topological and hyperbolic properties of systems with homoclinic tangencies. In book «Nonlinear Dynamics New Directions». Springer International Publishing Switzerland, 2015. 27 pages.
- Gonchenko S., Ovsyannikov I., Tatjer J.C. Birth of discrete Lorenz attractors at the bifurcations of 3D maps with homoclinic tangencies to saddle points // Regular and Chaotic Dynamics. 2014. Vol. 19, No. 4. Pp. 495–505.
- Grines V., Levchenko Yu., Medvedev V. and Pochinka O. The topological classification of structurally stable 3-diffeomorphisms with two-dimensional basic sets // Nonlinearity. 2015. Vol. 28. Pp. 4081–4102.
- Kuznetsov S.P. Example of a physical system with a hyperbolic attractor of the Smale–Williams type // Phys. Rev. Lett. 2005. Vol. 95. 144101.
- Kuznetsov S.P. and Seleznev E.P. Strange attractor of Smale–Williams type in the chaotic dynamics of a physical system // Zh. Eksper. Teoret. Fiz. 2006 Vol. 129, No. 2. Pp. 400–412 [J. Exp. Theor. Phys. 2006. Vol. 102, No. 2. Pp. 355–364].
- Kuznetsov S.P. and Pikovsky A. Autonomous coupled oscillators with hyperbolic strange attractors // Physica D. 2007. Vol. 232. Pp. 87–102.
- Kuznetsov S.P. Example of blue sky catastrophe accompanied by a birth of the Smale–Williams attractor// Regular and Chaotic Dynamics. 2007. Vol. 12, No. 3. Pp. 233–266.
- Shilnikov A.L., Shilnikov L.P., Turaev D.V. Normal forms and Lorenz attractors // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1993. Vol. 3. Pp. 1123–1139.
- Shilnikov L.P., Shilnikov A.L., Turaev D.V., Chua L.O. Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics // World Scientific. Part I, 1998; Part 2, 2002.
- Аносов Д.В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны // Тр. МИАН СССР. 1967. Т. 90. C. 3–210.
- 3499 просмотров