Для цитирования:
Гонченко А. С., Гонченко С. В., Казаков А. О., Козлов А. Д., Баханова Ю. В. Математическая теория динамического хаоса и её приложения: Обзор Часть 2. Спиральный хаос трехмерных потоков // Известия вузов. ПНД. 2019. Т. 27, вып. 5. С. 7-52. DOI: 10.18500/0869-6632-2019-27-5-7-52
Математическая теория динамического хаоса и её приложения: Обзор Часть 2. Спиральный хаос трехмерных потоков
Основной целью настоящей работы является изложение теории спирального хаоса трехмерных потоков, то есть теории странных аттракторов, связанных с существованием у таких систем гомоклинических петель состояний равновесия типа седло-фокус, на основе объединения двух ее фундаментальных положений, теории Шильникова и универсальных сценариев возникновения спирального хаоса, то есть тех элементов теории, которые остаются справедливыми для любых моделей, независимо от их происхождения. Математические основы теории спирального хаоса были заложены еще в 1960-х годах в знаменитых работах Л.П. Шильникова, и на эту тему к настоящему времени накоплено очень много важных и интересных результатов, которые однако, в своем большинстве, относились к приложениям. В силу этого, теории спирального хаоса не хватало внутреннего единства – она до недавнего времени выглядела весьма разрозненной. Как нам кажется, основные результаты нашего обзора позволяют восполнить этот пробел. Так, в работе мы приводим достаточно полное и наглядное доказательство знаменитой теоремы Шильникова (1965), даем описание основных элементов феноменологической теории универсальных сценариев возникновения спирального хаоса, а также, с единой точки зрения, рассматриваем ряд конкретных трехмерных моделей, (как классических, системы Рёсслера, Арнеодо–Калле–Трессе, так и некоторых известных систем из приложений), которые этот хаос демонстрируют. Обсуждаются преимущества такого нового подхода к исследованию проблем динамического хаоса, в том числе, спирального, а то, что он к тому же еще и весьма эффективный, показывают наши недавние работы по исследованию хаотической динамики четырехмерных потоков и трехмерных отображений. Этим результатам, в частности, будет посвящена следующая, третья, часть обзора.
- Гонченко А.С., Гонченко С.В., Казаков А.О., Козлов А.Д. Математическая теория динамического хаоса и её приложения: Обзор. Часть 1. Псевдогиперболические аттракторы // Известия вузов. ПНД. 2017. Т. 25, № 2. С. 4–36.
- Шильников Л.П. Об одном случае существования счетного множества периодических движений // ДАН СССР. 1965. Т. 169, № 3. C. 558–561.
- Шильников Л.П. Об одном случае существования счетного множества периодических движений // Межвузовский симпозиум по КТДУ, 1964. 1 с.
- Шильников Л.П. Леонтович-Андронова Евгения Александровна // Сб. Личности в науке. Женщины-ученые Нижнего Новгорода. Изд. ННГУ, 1999. С. 83–102.
- Шильников Л.П. Некоторые случаи рождения периодических движений в n-мерном пространстве // ДАН СССР. 1962. Т. 143, № 2. С. 289–292.
- Шильников Л.П. О рождении периодических движений в n-мерном пространстве // Мат. сб. 1963. № 4. С. 443–466.
- Шильников Л.П. О существовании счетного множества периодических движений в четырехмерном пространстве в расширенной окрестности седло-фокуса // ДАН СССР. 1967. Т. 172, № 2. С. 298–301.
- Шильников Л.П. К вопросу о структуре расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус // Мат. сб. 1970. Т. 81(123), № 1. С. 92–103.
- Lorenz E. Deterministic nonperiodic flow // Journal of the Atmospheric Sciences. 1963. Vol. 20, no. 2. P. 130–141.
- Шарковский А.Н. Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя // Украинский математический журнал. 1964. Т. 16, № 01. С. 61–71.
- Smale S. Differentiable dynamical systems // Bull. AMS. 1963. Vol. 73. P. 747–817.
- Chua L.O., Komuro M., Matsumoto T. The double scroll family // Circuits and Systems. IEEE Transactions on. 1986. Vol. 33, no. 11. P. 1072–1118.
- Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. М., 1990.
- Arecchi F.T., Meucci R., Gadomski W. Laser dynamics with competing instabilities // Physical Review Letters. 1987. Vol. 58, no. 21. P. 2205.
- Arecchi F.T., Lapucci A., Meucci R., Roversi J.A., Coullet P.H. Experimental characterization of Shil’nikov chaos by statistics of return times // EPL (Europhysics Letters). 1988. Vol. 6, no. 8. P. 677.
- Pisarchik A.N., Meucci R., Arecchi F.T. Theoretical and experimental study of discrete behavior of Shilnikov chaos in a CO2 laser // The European Physical Journal D-Atomic, Molecular, Optical and Plasma Physics. 2001. Vol. 13, no. 3. P. 385–391.
- Zhou C.S., Kurths J., Allaria E., Boccaletti S., Meucci R., Arecchi F.T. Constructive effects of noise in homoclinic chaotic systems // Physical Review E. 2003. Vol. 67, no. 6. P. 066220.
- Argoul F., Arneodo A., Richetti P. Experimental evidence for homoclinic chaos in the BelousovZhabotinskii reaction // Physics Letters A. 1987. Vol. 120, no. 6. P. 269–275.
- Arneodo A., Argoula F., Elezgarayab J., Richettia P. Homoclinic chaos in chemical systems // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1993. Vol. 62, no. 1. P. 134–169.
- Feudel U., Neiman A., Pei X., Wojtenek W., Braun H., Huber M., Moss F. Homoclinic bifurcation in a Hodgkin-Huxley model of thermally sensitive neurons // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2000. Vol. 10, no. 1. P. 231–239.
- Parthimos D., Edwards D.H., Griffith T.M. Shilnikov homoclinic chaos is intimately related to type-III intermittency in isolated rabbit arteries: role of nitric oxide // Physical Review E. 2003. Vol. 67, no. 5. P. 051922.
- Koper M.T.M., Gaspard P., Sluyters J.H. Mixed–mode oscillations and incomplete homoclinic scenarios to a saddle focus in the indium / thiocyanate electrochemical oscillator // Journal of Chemical Physics. 1992. Vol. 97, no. 11. P. 8250–8260.
- Chedjou J.C., Woafo P., Domngang S. Shilnikov chaos and dynamics of a self-sustained electromechanical transducer // Journal of vibration and acoustics. 2001. Vol. 123, no. 2. P. 170–174.
- Bassett M.R., Hudson J.L. Shilnikov chaos during copper electrodissolution // Journal of Physical Chemistry. 1988. Vol. 92, no. 24. P. 6963–6966.
- Noh T. Shilnikov chaos in the oxidation of formic acid with bismuth ion on Pt ring electrode // Electrochimica Acta. 2009. Vol. 54, no. 13. P. 3657–3661.
- Rucklidge A.M. Chaos in a low-order model of magnetoconvection // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1993. Vol. 62, no. 1. P. 323–337.
- Henderson M.E., Levi M., Odeh F. The geometry and computation of the dynamics of coupled pendula // International Journal of Bifurcation and Chaos. 1991. Vol. 1, no. 01. P. 27–50.
- Гонченко А.С., Гонченко С.В., Казаков А.О. О некоторых новых аспектах хаотической динамики «кельтского камня» // Нелинейная динамика. 2012. Т. 8, № 3. С. 507–518.
- Gonchenko A.S., Gonchenko S.V., Kazakov A.O. Richness of chaotic dynamics in nonholonomic models of a Celtic stone // Regular and Chaotic Dynamics. 2013. Vol. 18, no. 5. Pp. 521–538.
- Vano, J.A., Wildenberg J.C., Anderson M.B., Noel J.K., Sprott J.C. Chaos in low-dimensional Lotka–Volterra models of competition // Nonlinearity. 2006. Vol. 19, no. 10. P. 2391.
- Овсянников И.М., Шильников Л.П. О системах с гомоклинической кривой многомерного седло-фокуса и спиральный хаос // Матем. сб. 1991. № 7. C. 1043–1073.
- Afraimovich V.S., Shilnikov L.P. Strange attractors and quasiattractors // Nonlinear Dynamics and Turbulence / Eds G.I.Barenblatt, G. Iooss, D.D. Joseph (Boston, Pitmen), 1983.
- Gonchenko S.V., Shilnikov L.P., Turaev D.V. Quasi-attractors and homoclinic tangencies // Computers Math. Applic. 1997. Vol. 34, no. 2–4. P. 195–227.
- Гаврилов Н.К., Шильников Л.П. О трехмерных динамических системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой // Матем. сб. 1972. Т. 88(130), № 4. C. 475–492.
- Гаврилов Н.К., Шильников Л.П. О трехмерных динамических системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой // Матем. сб. 1973. Т. 90(132), № 1. C. 139–156.
- Овсянников И.М., Шильников Л.П. О системах с гомоклинической кривой седло-фокуса // Математический сборник. 1986. Т. 130, № 4(8). С. 552–570.
- Гонченко С.В. Об устойчивых периодических движениях в системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой // Мат. заметки. 1983. Т. 33, № 5. С. 745–755.
- Тураев Д.В., Шильников Л.П. Пример дикого странного аттрактора // Матем. сборник. 1998. Т. 189, № 2. С. 137–160.
- Gonchenko S.S., Kazakov A.O., Turaev D. Wild pseudohyperbolic attractors in a four-dimensional Lorenz system // arXiv preprint arXiv:1809.07250, 2018.
- Гонченко А.С., Гонченко С.В., Шильников Л.П. К вопросу о сценариях возникновения хаоса у трехмерных отображений // Нелинейная динамика. 2012. Т. 8, № 1. С. 3–28.
- Gonchenko A.S., Gonchenko S.V., Kazakov A.O. and Turaev D. Simple scenarios of onset of chaos in three-dimensional maps // Int. J. Bif. and Chaos. 2014. Vol. 24, no. 8. 25 p.
- Gonchenko A.S., Gonchenko S.V. Variety of strange pseudohyperbolic attractors in three-dimensional generalized Henon maps // Physica D. 2016. Vol. 337. P. 43–57.
- Шильников Л.П. Теория бифуркаций и турбулентность // Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Межвуз. сб. Горький: ГГУ, 1986. С. 150–163.
- Шильников А.Л., Шильников Л.П., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований; Часть 1, 2004. 416 с.
- Шильников А.Л., Шильников Л.П., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований; Часть 2, 2009. 546 с.
- Беляков Л.А. Об одном случае рождения периодического движения с гомоклиническими кривыми // Математические заметки. 1974. Т. 15, № 4. С. 571–580.
- Беляков Л.А. О бифуркационном множестве в системах с гомоклинической кривой седла // Математические заметки. 1980. Т. 28, № 6. С. 911–922.
- Беляков Л.А. Бифуркации систем с гомоклинической кривой седло-фокуса с нулевой седловой величиной // Математические заметки. 1984. Т. 36, №. 5. С. 681–689.
- Бирагов В.С., Шильников Л.П. О бифуркации петли седло-фокуса в трехмерной консервативной динамической системе // Сб. Методы качеств. теории и теории бифуркаций. Горький, 1989. C. 25–34.
- Гонченко В.С., Шильников Л.П. О бифуркациях гомоклинической петли к седло-фокусу индекса 1/2 // Доклады Академии Наук. 2007. T. 417, № 6.
- Gonchenko S.V., Turaev D.V., Shilnikov L.P. On models with nonrough Poincare homoclinic curves // Physica D. 1993. Vol. 62. P. 1–14.
- Гонченко С.В., Тураев Д.В., Шильников Л.П. О моделях с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре // ДАН СССР. 1991. Т. 320, № 2. С. 269–272.
- Gaspard P., Gonchenko S.V., Nicolis G., Turaev D.V. Complexity in the bifurcation structure of homoclinic loops to a saddle-focus. Nonlinearity. 1997. Vol. 10. P. 409–423.
- Ruelle D., Takens F. On the nature of turbulence // Communications in Mathematical Physics. 1971. Vol. 20, no. 3. P. 167–192.
- Feigenbaum M.J. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations // Journal of statistical physics. 1978. Vol. 19, no. 1. P. 25–52.
- Pomeau Y., Manneville P. Intermittent transition to turbulence in dissipative dynamical systems // Comm. Math. Phys. 1980. Vol. 74, no. 2. P. 189–197.
- Лукьянов В.И., Шильников Л.П. О некоторых бифуркациях динамических систем с гомоклиническими структурами // Докл. АН СССР. 1978. Т. 243, № 1, С. 26–29.
- Афраймович В.С., Шильников Л.П. Инвариантные двумерные торы, их разрушение и стохастичность // Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Горький, 1983. С. 3–26.
- Афраймович В.С., Шильников Л.П. О некоторых глобальных бифуркациях, связанных с исчезновением неподвижной точки типа седло-узел // Докл. АН СССР. 1974. Т. 219, № 6. С. 1281–1285.
- Афраймович В.С., Шильников Л.П. Принцип кольца и задача о взаимодействии двух автоколебательных систем // ПММ. 1977. Т. 41. С. 618–627.
- Aronson D.G., Chory M.A., Hall G.R., McGehee R.P. Bifurcations from an invariant circle for two-parameter families of maps of the plane: a computer-assisted study // Communications in Mathematical Physics. 1982. Т. 83, no. 3. P. 303–354.
- Newhouse S.E., Palis J., Takens F. Bifurcations and stability of families of diffeomorphisms // Publications Mathematiques IHES. 1983. Vol. 57. P. 5–71.
- Тураев Д.В., Шильников Л.П. Бифуркации квазиаттракторов тор-хаос // Математические механизмы турбулентности. Киев, 1986. С. 113–121.
- Coullet P., Tresser C., Arneodo A. Transition to stochasticity for a class of forced oscillators // Physics letters A. 1979. Vol. 72, no. 4–5. P. 268–270.
- Arneodo A., Coullet P., Tresser C. Possible New Strange Attractors With Spiral Structure // Commun. Math. Phys. 1981. Vol. 79. P. 573–579
- Шильников Л.П. Теория бифуркаций и модель Лоренца // В кн.: Дж. Мардсен, М. МакКракен. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980. С. 317–335.
- Афраймович В.С., Быков В.В., Шильников Л.П. О притягивающих негрубых предельных множествах типа аттрактора Лоренца // Труды Московского математического общества. 1982. Т. 44, № 0. С. 150–212.
- Быков В.В. О бифуркациях динамических систем, близких к системам с еепаратрисным контуром, содержащим седло-фокус // Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Горький, 1980. С. 44–72.
- Bykov V.V. The bifurcations of separatrix contours and chaos // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1993. Vol. 62, no. 1–4. P. 290–299.
- Bykov V.V. On systems with separatrix contour containing two saddle-foci // Journal of Mathematical Sciences. 1999. Vol. 95, no. 5. P. 2513–2522.
- Rossler O.E. Continuous chaos-four prototype equations // Annals of the New York Academy of Sciences 1979. Vol. 316, no. 1. P. 376–392.
- Rossler O.E. An equation for continuous chaos // Physics Letters A. 1976. Vol. 57, no. 5. P. 397–398.
- Arneodo A., Coullet P., Tresser C. Oscillators with chaotic behavior: an illustration of a theorem by Shilnikov // Journal of Statistical Physics. 1982. Vol. 27, no. 1. P. 171–182.
- Gaspard P., Kapral R., Nicolis G. Bifurcation phenomena near homoclinic systems: a twoparameter analysis // Journal of Statistical Physics. 1984. Vol. 35, no. 5. P. 697–727.
- Vitolo R., Glendinning P., Gallas J.A.C. Global structure of periodicity hubs in Lyapunov phase diagrams of dissipative flows // Physical Review E. 2011. Vol. 84, no. 1. P. 016216.
- Barrio R., Blesa F., Serrano S., Shilnikov A. Global organization of spiral structures in biparameter space of dissipative systems with Shilnikov saddle-foci // Physical Review E. 2011. Vol. 84, no. 3. P. 035201.
- Letellier C., Dutertre P., Maheu B. Unstable periodic orbits and templates of the Rossler system: ¨ toward a systematic topological characterization // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 1995. Vol. 5, no. 1. P. 271–282.
- Arneodo A., Coullet P., Tresser C. Occurence of strange attractors in three-dimensional Volterra equations // Physics Letters A. 1980. Vol. 79, no. 4. P. 259–263.
- Arneodo A., Coullet P., Spiegel E., Tresser C. Asymptotic chaos // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1985. Vol. 14, no. 3. P. 327–347.
- Shilnikov L.P., Turaev D.V. Super-homoclinic orbits and multi-pulse homoclinic loops in Hamiltonian systems with discrete symmetries // Regul. Khaoticheskaya Din. 1997. Vol. 2, no. 3–4. P. 126–138.
- Rosenzweig M.L. Exploitation in three trophic levels // The American Naturalist. 1973. Vol. 107, no. 954. P. 275–294.
- Hastings A., Powell T. Chaos in a three-species food chain // Ecology. 1991. Vol. 72, no. 3. P. 896–903.
- Rai V., Sreenivasan R. Period-doubling bifurcations leading to chaos in a model food chain // Ecological modelling. 1993. Vol. 69, no. 1–2. P. 63–77.
- Kuznetsov Y.A., Rinaldi S. Remarks on food chain dynamics // Mathematical biosciences. 1996. Vol. 134, no. 1. P. 1–33.
- Deng B. Hines G. Food chain chaos due to Shilnikov’s orbit // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2002. Vol. 12, no. 3. P. 533–538.
- Kuznetsov Y.A., De Feo O., Rinaldi S. Belyakov homoclinic bifurcations in a tritrophic food chain model // SIAM Journal on Applied Mathematics. 2001. Vol. 62, no. 2. P. 462–487.
- Bakhanova Y.V., Kazakov A.O., Korotkov A.G., Levanova T.A., Osipov G.V. Spiral attractors as the root of a new type of «bursting activity» in the Rosenzweig–MacArthur model // European Physical Journal. Special Topics. 2018. Vol. 227, no. 7–9. P. 959–970.
- Gaspard P., Nicolis G. What can we learn from homoclinic orbits in chaotic dynamics? // Journal of statistical physics. 1983. Vol. 31, no. 3. P. 499–518.
- Gallas J.A.C. The structure of infinite periodic and chaotic hub cascades in phase diagrams of simple autonomous flows // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2010. Vol. 20, no. 02. P. 197–211.
- Afraimovich V.S., Gonchenko S.V., Lerman L.M., Shilnikov A.L., Turaev D.V. Scientific heritage of L.P. Shilnikov // Regul. Chaot. Dyn. 2014. Vol. 19, no. 4. P. 435–460.
- Афраймович В.С., Беляков Л.А., Гонченко С.В., Лерман Л.М., Морозов А.Д., Тураев Д.В., Шильников А.Л. Л.П. ШИЛЬНИКОВ. Избранные Труды // Изд-во Нижегородского университета, 2017. С. 429.
- Korotkov A.G., Levanova T.A., Kazakov A.O. Effects of memristor-based coupling in the ensemble of FitzHugh–Nagumo elements // Eur. Phys. J. Special Topics. 2019. Vol. 228. P. 2325–2337.
- Gonchenko A.S., Gonchenko S.V., Kazakov A.O., Kozlov A.D. Elements of Contemporary Theory of Dynamical Chaos: A Tutorial. Part I. Pseudohyperbolic Attractors // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2018. Vol. 28, no. 11. P. 1830036.
- Borisov A.V., Kazakov A.O., Sataev I.R. Spiral chaos in the nonholonomic model of a Chaplygin top // Regular and Chaotic Dynamics. 2016. Vol. 21, no. 7–8. P. 939–954.
- Гонченко А.С., Гонченко С.В., Казаков А.О., Самылина Е.А. Хаотическая динамика и мультистабильность в неголономной модели кельтского камня // Известия высших учебных заведений. Радиофизика. 2018. Т. 61, № 10. P. 867–882.
- Stankevich N., Kuznetsov A., Popova E., Seleznev E. Chaos and hyperchaos after secondary Neimark–Sacker bifurcation in a model of radio-physical generator // Nonlinear dynamics. 2019. Vol. 97, no. 4. P. 2355–2370.
- Garashchuk I.R., Sinelshchikov D.I., Kazakov A.O., Kudryashov N.A. Hyperchaos and multistability in the model of two interacting microbubble contrast agents // Chaos: Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2019. Vol. 29, no. 6. P. 063131.
- 2862 просмотра