Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)

Для цитирования:

Гонченко А. С., Гонченко С. В., Казаков А. О., Козлов А. Д., Баханова Ю. В. Математическая теория динамического хаоса и её приложения: Обзор Часть 2. Спиральный хаос трехмерных потоков // Известия вузов. ПНД. 2019. Т. 27, вып. 5. С. 7-52. DOI: 10.18500/0869-6632-2019-27-5-7-52

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Полный текст в формате PDF(Ru):
Иконка PDF pnd_5_2019-9-54.pdf
(загрузок: 430)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
Обзоры актуальных проблем нелинейной динамики
Тип статьи: 
Обзорная статья
УДК: 
517.925 + 517.93
DOI: 
10.18500/0869-6632-2019-27-5-7-52

Математическая теория динамического хаоса и её приложения: Обзор Часть 2. Спиральный хаос трехмерных потоков

Авторы: 
Гонченко Александр Сергеевич, Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского (ННГУ)
Гонченко Сергей Владимирович, Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского (ННГУ)
Казаков Алексей Олегович, Высшая школа экономики
Козлов Александр Дмитриевич, Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского (ННГУ)
Баханова Юлия Викторовна, Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского (ННГУ)
Аннотация: 

Основной целью настоящей работы является изложение теории спирального хаоса трехмерных потоков, то есть теории странных аттракторов, связанных с существованием у таких систем гомоклинических петель состояний равновесия типа седло-фокус, на основе объединения двух ее фундаментальных положений, теории Шильникова и универсальных сценариев возникновения спирального хаоса, то есть тех элементов теории, которые остаются справедливыми для любых моделей, независимо от их происхождения. Математические основы теории спирального хаоса были заложены еще в 1960-х годах в знаменитых работах Л.П. Шильникова, и на эту тему к настоящему времени накоплено очень много важных и интересных результатов, которые однако, в своем большинстве, относились к приложениям. В силу этого, теории спирального хаоса не хватало внутреннего единства – она до недавнего времени выглядела весьма разрозненной. Как нам кажется, основные результаты нашего обзора позволяют восполнить этот пробел. Так, в работе мы приводим достаточно полное и наглядное доказательство знаменитой теоремы Шильникова (1965), даем описание основных элементов феноменологической теории универсальных сценариев возникновения спирального хаоса, а также, с единой точки зрения, рассматриваем ряд конкретных трехмерных моделей, (как классических, системы Рёсслера, Арнеодо–Калле–Трессе, так и некоторых известных систем из приложений), которые этот хаос демонстрируют. Обсуждаются преимущества такого нового подхода к исследованию проблем динамического хаоса, в том числе, спирального, а то, что он к тому же еще и весьма эффективный, показывают наши недавние работы по исследованию хаотической динамики четырехмерных потоков и трехмерных отображений. Этим результатам, в частности, будет посвящена следующая, третья, часть обзора.

Ключевые слова: 
Седло-фокус
спиральный хаос
аттрактор
гомоклиническая траектория
Список источников: 
  1. Гонченко А.С., Гонченко С.В., Казаков А.О., Козлов А.Д. Математическая теория динамического хаоса и её приложения: Обзор. Часть 1. Псевдогиперболические аттракторы // Известия вузов. ПНД. 2017. Т. 25, № 2. С. 4–36.
  2. Шильников Л.П. Об одном случае существования счетного множества периодических движений // ДАН СССР. 1965. Т. 169, № 3. C. 558–561.
  3. Шильников Л.П. Об одном случае существования счетного множества периодических движений // Межвузовский симпозиум по КТДУ, 1964. 1 с.
  4. Шильников Л.П. Леонтович-Андронова Евгения Александровна // Сб. Личности в науке. Женщины-ученые Нижнего Новгорода. Изд. ННГУ, 1999. С. 83–102.
  5. Шильников Л.П. Некоторые случаи рождения периодических движений в n-мерном пространстве // ДАН СССР. 1962. Т. 143, № 2. С. 289–292.
  6. Шильников Л.П. О рождении периодических движений в n-мерном пространстве // Мат. сб. 1963. № 4. С. 443–466.
  7. Шильников Л.П. О существовании счетного множества периодических движений в четырехмерном пространстве в расширенной окрестности седло-фокуса // ДАН СССР. 1967. Т. 172, № 2. С. 298–301.
  8. Шильников Л.П. К вопросу о структуре расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус // Мат. сб. 1970. Т. 81(123), № 1. С. 92–103.
  9. Lorenz E. Deterministic nonperiodic flow // Journal of the Atmospheric Sciences. 1963. Vol. 20, no. 2. P. 130–141.
  10. Шарковский А.Н. Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя // Украинский математический журнал. 1964. Т. 16, № 01. С. 61–71.
  11. Smale S. Differentiable dynamical systems // Bull. AMS. 1963. Vol. 73. P. 747–817.
  12. Chua L.O., Komuro M., Matsumoto T. The double scroll family // Circuits and Systems. IEEE Transactions on. 1986. Vol. 33, no. 11. P. 1072–1118.
  13. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. М., 1990.
  14. Arecchi F.T., Meucci R., Gadomski W. Laser dynamics with competing instabilities // Physical Review Letters. 1987. Vol. 58, no. 21. P. 2205.
  15. Arecchi F.T., Lapucci A., Meucci R., Roversi J.A., Coullet P.H. Experimental characterization of Shil’nikov chaos by statistics of return times // EPL (Europhysics Letters). 1988. Vol. 6, no. 8. P. 677.
  16. Pisarchik A.N., Meucci R., Arecchi F.T. Theoretical and experimental study of discrete behavior of Shilnikov chaos in a CO2 laser // The European Physical Journal D-Atomic, Molecular, Optical and Plasma Physics. 2001. Vol. 13, no. 3. P. 385–391. 
  17. Zhou C.S., Kurths J., Allaria E., Boccaletti S., Meucci R., Arecchi F.T. Constructive effects of noise in homoclinic chaotic systems // Physical Review E. 2003. Vol. 67, no. 6. P. 066220.
  18. Argoul F., Arneodo A., Richetti P. Experimental evidence for homoclinic chaos in the BelousovZhabotinskii reaction // Physics Letters A. 1987. Vol. 120, no. 6. P. 269–275.
  19. Arneodo A., Argoula F., Elezgarayab J., Richettia P. Homoclinic chaos in chemical systems // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1993. Vol. 62, no. 1. P. 134–169.
  20. Feudel U., Neiman A., Pei X., Wojtenek W., Braun H., Huber M., Moss F. Homoclinic bifurcation in a Hodgkin-Huxley model of thermally sensitive neurons // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2000. Vol. 10, no. 1. P. 231–239.
  21. Parthimos D., Edwards D.H., Griffith T.M. Shilnikov homoclinic chaos is intimately related to type-III intermittency in isolated rabbit arteries: role of nitric oxide // Physical Review E. 2003. Vol. 67, no. 5. P. 051922.
  22. Koper M.T.M., Gaspard P., Sluyters J.H. Mixed–mode oscillations and incomplete homoclinic scenarios to a saddle focus in the indium / thiocyanate electrochemical oscillator // Journal of Chemical Physics. 1992. Vol. 97, no. 11. P. 8250–8260.
  23. Chedjou J.C., Woafo P., Domngang S. Shilnikov chaos and dynamics of a self-sustained electromechanical transducer // Journal of vibration and acoustics. 2001. Vol. 123, no. 2. P. 170–174.
  24. Bassett M.R., Hudson J.L. Shilnikov chaos during copper electrodissolution // Journal of Physical Chemistry. 1988. Vol. 92, no. 24. P. 6963–6966.
  25. Noh T. Shilnikov chaos in the oxidation of formic acid with bismuth ion on Pt ring electrode // Electrochimica Acta. 2009. Vol. 54, no. 13. P. 3657–3661.
  26. Rucklidge A.M. Chaos in a low-order model of magnetoconvection // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1993. Vol. 62, no. 1. P. 323–337.
  27. Henderson M.E., Levi M., Odeh F. The geometry and computation of the dynamics of coupled pendula // International Journal of Bifurcation and Chaos. 1991. Vol. 1, no. 01. P. 27–50.
  28. Гонченко А.С., Гонченко С.В., Казаков А.О. О некоторых новых аспектах хаотической динамики «кельтского камня» // Нелинейная динамика. 2012. Т. 8, № 3. С. 507–518.
  29. Gonchenko A.S., Gonchenko S.V., Kazakov A.O. Richness of chaotic dynamics in nonholonomic models of a Celtic stone // Regular and Chaotic Dynamics. 2013. Vol. 18, no. 5. Pp. 521–538.
  30. Vano, J.A., Wildenberg J.C., Anderson M.B., Noel J.K., Sprott J.C. Chaos in low-dimensional Lotka–Volterra models of competition // Nonlinearity. 2006. Vol. 19, no. 10. P. 2391.
  31. Овсянников И.М., Шильников Л.П. О системах с гомоклинической кривой многомерного седло-фокуса и спиральный хаос // Матем. сб. 1991. № 7. C. 1043–1073.
  32. Afraimovich V.S., Shilnikov L.P. Strange attractors and quasiattractors // Nonlinear Dynamics and Turbulence / Eds G.I.Barenblatt, G. Iooss, D.D. Joseph (Boston, Pitmen), 1983.
  33. Gonchenko S.V., Shilnikov L.P., Turaev D.V. Quasi-attractors and homoclinic tangencies // Computers Math. Applic. 1997. Vol. 34, no. 2–4. P. 195–227.
  34. Гаврилов Н.К., Шильников Л.П. О трехмерных динамических системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой // Матем. сб. 1972. Т. 88(130), № 4. C. 475–492.
  35. Гаврилов Н.К., Шильников Л.П. О трехмерных динамических системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой // Матем. сб. 1973. Т. 90(132), № 1. C. 139–156.
  36. Овсянников И.М., Шильников Л.П. О системах с гомоклинической кривой седло-фокуса // Математический сборник. 1986. Т. 130, № 4(8). С. 552–570. 
  37. Гонченко С.В. Об устойчивых периодических движениях в системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой // Мат. заметки. 1983. Т. 33, № 5. С. 745–755.
  38. Тураев Д.В., Шильников Л.П. Пример дикого странного аттрактора // Матем. сборник. 1998. Т. 189, № 2. С. 137–160.
  39. Gonchenko S.S., Kazakov A.O., Turaev D. Wild pseudohyperbolic attractors in a four-dimensional Lorenz system // arXiv preprint arXiv:1809.07250, 2018.
  40. Гонченко А.С., Гонченко С.В., Шильников Л.П. К вопросу о сценариях возникновения хаоса у трехмерных отображений // Нелинейная динамика. 2012. Т. 8, № 1. С. 3–28.
  41. Gonchenko A.S., Gonchenko S.V., Kazakov A.O. and Turaev D. Simple scenarios of onset of chaos in three-dimensional maps // Int. J. Bif. and Chaos. 2014. Vol. 24, no. 8. 25 p.
  42. Gonchenko A.S., Gonchenko S.V. Variety of strange pseudohyperbolic attractors in three-dimensional generalized Henon maps // Physica D. 2016. Vol. 337. P. 43–57.
  43. Шильников Л.П. Теория бифуркаций и турбулентность // Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Межвуз. сб. Горький: ГГУ, 1986. С. 150–163.
  44. Шильников А.Л., Шильников Л.П., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований; Часть 1, 2004. 416 с.
  45. Шильников А.Л., Шильников Л.П., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований; Часть 2, 2009. 546 с.
  46. Беляков Л.А. Об одном случае рождения периодического движения с гомоклиническими кривыми // Математические заметки. 1974. Т. 15, № 4. С. 571–580.
  47. Беляков Л.А. О бифуркационном множестве в системах с гомоклинической кривой седла // Математические заметки. 1980. Т. 28, № 6. С. 911–922.
  48. Беляков Л.А. Бифуркации систем с гомоклинической кривой седло-фокуса с нулевой седловой величиной // Математические заметки. 1984. Т. 36, №. 5. С. 681–689.
  49. Бирагов В.С., Шильников Л.П. О бифуркации петли седло-фокуса в трехмерной консервативной динамической системе // Сб. Методы качеств. теории и теории бифуркаций. Горький, 1989. C. 25–34.
  50. Гонченко В.С., Шильников Л.П. О бифуркациях гомоклинической петли к седло-фокусу индекса 1/2 // Доклады Академии Наук. 2007. T. 417, № 6.
  51. Gonchenko S.V., Turaev D.V., Shilnikov L.P. On models with nonrough Poincare homoclinic curves // Physica D. 1993. Vol. 62. P. 1–14.
  52. Гонченко С.В., Тураев Д.В., Шильников Л.П. О моделях с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре // ДАН СССР. 1991. Т. 320, № 2. С. 269–272.
  53. Gaspard P., Gonchenko S.V., Nicolis G., Turaev D.V. Complexity in the bifurcation structure of homoclinic loops to a saddle-focus. Nonlinearity. 1997. Vol. 10. P. 409–423.
  54. Ruelle D., Takens F. On the nature of turbulence // Communications in Mathematical Physics. 1971. Vol. 20, no. 3. P. 167–192.
  55. Feigenbaum M.J. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations // Journal of statistical physics. 1978. Vol. 19, no. 1. P. 25–52.
  56. Pomeau Y., Manneville P. Intermittent transition to turbulence in dissipative dynamical systems // Comm. Math. Phys. 1980. Vol. 74, no. 2. P. 189–197.
  57. Лукьянов В.И., Шильников Л.П. О некоторых бифуркациях динамических систем с гомоклиническими структурами // Докл. АН СССР. 1978. Т. 243, № 1, С. 26–29. 
  58. Афраймович В.С., Шильников Л.П. Инвариантные двумерные торы, их разрушение и стохастичность // Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Горький, 1983. С. 3–26.
  59. Афраймович В.С., Шильников Л.П. О некоторых глобальных бифуркациях, связанных с исчезновением неподвижной точки типа седло-узел // Докл. АН СССР. 1974. Т. 219, № 6. С. 1281–1285.
  60. Афраймович В.С., Шильников Л.П. Принцип кольца и задача о взаимодействии двух автоколебательных систем // ПММ. 1977. Т. 41. С. 618–627.
  61. Aronson D.G., Chory M.A., Hall G.R., McGehee R.P. Bifurcations from an invariant circle for two-parameter families of maps of the plane: a computer-assisted study // Communications in Mathematical Physics. 1982. Т. 83, no. 3. P. 303–354.
  62. Newhouse S.E., Palis J., Takens F. Bifurcations and stability of families of diffeomorphisms // Publications Mathematiques IHES. 1983. Vol. 57. P. 5–71.
  63. Тураев Д.В., Шильников Л.П. Бифуркации квазиаттракторов тор-хаос // Математические механизмы турбулентности. Киев, 1986. С. 113–121.
  64. Coullet P., Tresser C., Arneodo A. Transition to stochasticity for a class of forced oscillators // Physics letters A. 1979. Vol. 72, no. 4–5. P. 268–270.
  65. Arneodo A., Coullet P., Tresser C. Possible New Strange Attractors With Spiral Structure // Commun. Math. Phys. 1981. Vol. 79. P. 573–579
  66. Шильников Л.П. Теория бифуркаций и модель Лоренца // В кн.: Дж. Мардсен, М. МакКракен. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980. С. 317–335.
  67. Афраймович В.С., Быков В.В., Шильников Л.П. О притягивающих негрубых предельных множествах типа аттрактора Лоренца // Труды Московского математического общества. 1982. Т. 44, № 0. С. 150–212.
  68. Быков В.В. О бифуркациях динамических систем, близких к системам с еепаратрисным контуром, содержащим седло-фокус // Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Горький, 1980. С. 44–72.
  69. Bykov V.V. The bifurcations of separatrix contours and chaos // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1993. Vol. 62, no. 1–4. P. 290–299.
  70. Bykov V.V. On systems with separatrix contour containing two saddle-foci // Journal of Mathematical Sciences. 1999. Vol. 95, no. 5. P. 2513–2522.
  71. Rossler O.E. Continuous chaos-four prototype equations // Annals of the New York Academy of Sciences 1979. Vol. 316, no. 1. P. 376–392.
  72. Rossler O.E. An equation for continuous chaos // Physics Letters A. 1976. Vol. 57, no. 5. P. 397–398.
  73. Arneodo A., Coullet P., Tresser C. Oscillators with chaotic behavior: an illustration of a theorem by Shilnikov // Journal of Statistical Physics. 1982. Vol. 27, no. 1. P. 171–182.
  74. Gaspard P., Kapral R., Nicolis G. Bifurcation phenomena near homoclinic systems: a twoparameter analysis // Journal of Statistical Physics. 1984. Vol. 35, no. 5. P. 697–727.
  75. Vitolo R., Glendinning P., Gallas J.A.C. Global structure of periodicity hubs in Lyapunov phase diagrams of dissipative flows // Physical Review E. 2011. Vol. 84, no. 1. P. 016216.
  76. Barrio R., Blesa F., Serrano S., Shilnikov A. Global organization of spiral structures in biparameter space of dissipative systems with Shilnikov saddle-foci // Physical Review E. 2011. Vol. 84, no. 3. P. 035201. 
  77. Letellier C., Dutertre P., Maheu B. Unstable periodic orbits and templates of the Rossler system: ¨ toward a systematic topological characterization // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 1995. Vol. 5, no. 1. P. 271–282.
  78. Arneodo A., Coullet P., Tresser C. Occurence of strange attractors in three-dimensional Volterra equations // Physics Letters A. 1980. Vol. 79, no. 4. P. 259–263.
  79. Arneodo A., Coullet P., Spiegel E., Tresser C. Asymptotic chaos // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1985. Vol. 14, no. 3. P. 327–347.
  80. Shilnikov L.P., Turaev D.V. Super-homoclinic orbits and multi-pulse homoclinic loops in Hamiltonian systems with discrete symmetries // Regul. Khaoticheskaya Din. 1997. Vol. 2, no. 3–4. P. 126–138.
  81. Rosenzweig M.L. Exploitation in three trophic levels // The American Naturalist. 1973. Vol. 107, no. 954. P. 275–294.
  82. Hastings A., Powell T. Chaos in a three-species food chain // Ecology. 1991. Vol. 72, no. 3. P. 896–903.
  83. Rai V., Sreenivasan R. Period-doubling bifurcations leading to chaos in a model food chain // Ecological modelling. 1993. Vol. 69, no. 1–2. P. 63–77.
  84. Kuznetsov Y.A., Rinaldi S. Remarks on food chain dynamics // Mathematical biosciences. 1996. Vol. 134, no. 1. P. 1–33.
  85. Deng B. Hines G. Food chain chaos due to Shilnikov’s orbit // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2002. Vol. 12, no. 3. P. 533–538.
  86. Kuznetsov Y.A., De Feo O., Rinaldi S. Belyakov homoclinic bifurcations in a tritrophic food chain model // SIAM Journal on Applied Mathematics. 2001. Vol. 62, no. 2. P. 462–487.
  87. Bakhanova Y.V., Kazakov A.O., Korotkov A.G., Levanova T.A., Osipov G.V. Spiral attractors as the root of a new type of «bursting activity» in the Rosenzweig–MacArthur model // European Physical Journal. Special Topics. 2018. Vol. 227, no. 7–9. P. 959–970.
  88. Gaspard P., Nicolis G. What can we learn from homoclinic orbits in chaotic dynamics? // Journal of statistical physics. 1983. Vol. 31, no. 3. P. 499–518.
  89. Gallas J.A.C. The structure of infinite periodic and chaotic hub cascades in phase diagrams of simple autonomous flows // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2010. Vol. 20, no. 02. P. 197–211.
  90. Afraimovich V.S., Gonchenko S.V., Lerman L.M., Shilnikov A.L., Turaev D.V. Scientific heritage of L.P. Shilnikov // Regul. Chaot. Dyn. 2014. Vol. 19, no. 4. P. 435–460.
  91. Афраймович В.С., Беляков Л.А., Гонченко С.В., Лерман Л.М., Морозов А.Д., Тураев Д.В., Шильников А.Л. Л.П. ШИЛЬНИКОВ. Избранные Труды // Изд-во Нижегородского университета, 2017. С. 429.
  92. Korotkov A.G., Levanova T.A., Kazakov A.O. Effects of memristor-based coupling in the ensemble of FitzHugh–Nagumo elements // Eur. Phys. J. Special Topics. 2019. Vol. 228. P. 2325–2337.
  93. Gonchenko A.S., Gonchenko S.V., Kazakov A.O., Kozlov A.D. Elements of Contemporary Theory of Dynamical Chaos: A Tutorial. Part I. Pseudohyperbolic Attractors // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2018. Vol. 28, no. 11. P. 1830036.
  94. Borisov A.V., Kazakov A.O., Sataev I.R. Spiral chaos in the nonholonomic model of a Chaplygin top // Regular and Chaotic Dynamics. 2016. Vol. 21, no. 7–8. P. 939–954. 
  95. Гонченко А.С., Гонченко С.В., Казаков А.О., Самылина Е.А. Хаотическая динамика и мультистабильность в неголономной модели кельтского камня // Известия высших учебных заведений. Радиофизика. 2018. Т. 61, № 10. P. 867–882.
  96. Stankevich N., Kuznetsov A., Popova E., Seleznev E. Chaos and hyperchaos after secondary Neimark–Sacker bifurcation in a model of radio-physical generator // Nonlinear dynamics. 2019. Vol. 97, no. 4. P. 2355–2370.
  97. Garashchuk I.R., Sinelshchikov D.I., Kazakov A.O., Kudryashov N.A. Hyperchaos and multistability in the model of two interacting microbubble contrast agents // Chaos: Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2019. Vol. 29, no. 6. P. 063131.
Поступила в редакцию: 
28.07.2019
Принята к публикации: 
26.08.2019
Опубликована: 
31.10.2019
Краткое содержание:
Иконка PDF a2019no5r007-052.pdf
(загрузок: 191)
  • 2771 просмотр