Для цитирования:
Починка О. В., Галкина С. Ю., Шубин Д. Д. Моделирование градиентно-подобных потоков на n-сфере // Известия вузов. ПНД. 2019. Т. 27, вып. 6. С. 63-72. DOI: 10.18500/0869-6632-2019-27-6-63-72
Моделирование градиентно-подобных потоков на n-сфере
Общей идеей качественного изучения динамических систем, со времён работ А. Андронова, Е. Леонтович, А. Майера, является возможность описания динамики системы комбинаторным инвариантом. Так, например, М.Пейшото доказал структурно устойчивые потоки на плоскости определяются единственным образом, с точностью до топологической эквивалентности, классом изоморфных ориентированных графов. Многомерные структурно устойчивые потоки не позволяют ввести их классификацию в рамках общего комбинаторного инварианта. Однако для некоторых подклассов таких систем существует возможность достигнуть полного комбинаторного описания их динамики. В настоящей работе, основанной на результатах С. Пилюгина, А. Пришляка, В. Гринеса, Е. Гуревич и О. Починка, каждое дерево с двухцветной раскраской вершин реализовано как градиентно-подобный поток на n-сфере, n > 2 без гетероклинических пересечений. Эта задача решается с помощью соответствующих операций приклеивания так называемых ячеек Черри к потоку-сдвигу. Этот результат не только завершает топологическую классификацию таких потоков, но и позволяет моделировать системы с регулярным поведением. Для таких потоков реализация особенно важна, поскольку они моделируют, например, процессы присоединения в солнечной короне.
- Андронов A.A., Понтрягин Л.С. Грубые системы // Доклады академии наук СССР. 1937. Т. 14, № 5. C. 247–250.
- Леонтович Е.А., Майер А.Г. О траекториях, определяющих качественную структуру разбиения сферы на траектории // ДАН СССР. 1937. Т. 14, № 5. C. 251–257.
- Леонтович Е.А., Майер А.Г. О схеме, определяющей топологическую структуру разбиения на траектории // ДАН СССР. 1955. Т. 103, № 4. C. 557–560.
- Peixoto M. On the Classification of Flows on Two Manifolds. Dynamical systems Proc., 1971.
- Пилюгин С.Ю. Фазовые диаграммы, определяющие системы Морса–Смейла без периодических траекторий на сферах // Дифференц. уравнения. 1978. Vol. 14, № 2. C. 245–254.
- Пришляк А.О. Векторные поля Морса–Смейла без замкнутых траекторий на трехмерных многообразиях // Матем. заметки. 2002. Vol. 71, № 2. C. 230–235.
- Grines V.Z., Gurevich E.Ya., Pochinka O.V. A combinatorial invariant of Morse–Smale diffeomorphisms without heteroclinic intersections on the sphere Sn, n ≥ 4 // Math. Notes. 2019. Vol. 105, no. 1. P. 132–136.
- Песин Я.Б., Юрченко А.А. Некоторые физические модели, описываемые уравнением реакции–диффузии, и цепочки связанных отображений // УМН. 2004. 59:3(357). C. 81–114.
- Browns D.S., Priest E.R. The topological behaviour of stable magnetic separators // Sol. Phys. 1999. Vol. 190. P. 25–33.
- Grines V., Zhuzhoma E.V., Pochinka O., Medvedev T.V. On heteroclinic separators of magnetic fields in electrically conducting fluids // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2015. Vol. 294. P. 1–5.
- Priest E., Forbes T. Magnetic Reconnection: MHD Theory and Applications. Cambridge univ. Prees, Cambridge, 2000.
- Smale S. Differentiable dynamical systems // Bull. Amer. Soc. 1967. Vol. 73. P. 747–817.
- Grines V.Z., Medvedev T.V., Pochinka O.V. Dynamical Systems on 2- and 3- Manifolds // Dev. Math., 46, Springer, Cham, 2016, xxvi+295 pp.
- Cantrell J.C. Almost locally flat sphere S n−1 in S n // Proceeding of the American Mathematical society. 1964. Vol. 15. P. 574–578.
- Brown M. Locally Flat Imbeddings of Topological Manifolds // Annals of Mathematics Second Series. 1962. Vol. 75. P. 331–341.
- Grines V.Z., Gurevich E.Ya., Medvedev V.S. Classification of Morse–Smale diffeomorphisms with one-dimensional set of unstable separatrices // Proc. Steklov Inst. Math. 2010. Vol. 270. P. 57–79.
- Harary F. Graph Theory. Addison-Wesley, Reading, MA, 1969.
- 1718 просмотров