Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)

Для цитирования:

Костин В. А., Осипов Г. В. Неустойчивость однородного состояния и двухдоменные пространственно-временные структуры в реакционно-диффузионных системах с глобальной связью // Известия вузов. ПНД. 2021. Т. 29, вып. 1. С. 186-207. DOI: 10.18500/0869-6632-2021-29-1-186-207

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Полный текст в формате PDF(Ru):
Иконка PDF osipov.pdf
(загрузок: 1167)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
Нелинейные волны. Солитоны. Автоволны. Самоорганизация.
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
530.182
DOI: 
10.18500/0869-6632-2021-29-1-186-207

Неустойчивость однородного состояния и двухдоменные пространственно-временные структуры в реакционно-диффузионных системах с глобальной связью

Авторы: 
Костин Василий Александрович, Институт прикладной физики РАН (ИПФ РАН)
Осипов Григорий Владимирович, Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского (ННГУ)
Аннотация: 

 Аннотация. Цель настоящей работы заключалась в исследовании характерной для реакционно-диффузионных систем с глобальной связью неустойчивости однородного состояния, приводящей к формированию двухдоменных пространственно-временных структур. Методы. Линейная стадия неустойчивости проанализирована на основе метода разделения переменных для одномерной двухкомпонентой системы общего вида, заданной на конечном интервале с граничными условиями Неймана. Развитие неустойчивости на нелинейной стадии моделировалось численно с помощью метода прямых для конкретных систем. Результаты. Показано, что введение глобальной связи может приводить к потере устойчивости изначально стабильных однородных состояний. Определены критерии неустойчивости для двухкомпонентных систем общего вида. Выделен случай, когда даже в длинных средах наибольший инкремент имеет пространственная мода с длиной волны, равной удвоенному размеру системы, что может приводить к формированию характерных двухдоменных структур в результате развития неустойчивости на нелинейной стадии. При этом междоменная граница может быть как неподвижной, так и совершать колебания, а соответствующие режимы могут быть проинтерпретированы как волны переключения с нулевой или переменной скоростью. Такая интерпретация позволила аналитически оценить установившиеся размеры доменов в распределённой системе ФитцХью– Нагумо, а также сконструировать простые примеры систем, в которых междоменная граница совершает гармонические колебания с произвольной амплитудой или хаотические колебания, аналогичные движениям системы Рёсслера. Заключение. Исследованная неустойчивость однородного состояния присуща широкому классу систем и отличается от хорошо известных неустойчивостей диффузионного типа (в частности, тьюринговской неустойчивости), в которых пространственный масштаб нарастающих возмущений в пределе длинных сред определяется исключительно локальными свойствами системы, но не её размерами.

Ключевые слова: 
реакционно-диффузионные системы
неустойчивость однородного состояния
тьюринговская неустойчивость
волновая неустойчивость
глобальная связь
Система ФитцХью–Нагумо
система Рёсслера
волны переключения
уравнение Зельдовича–Франк-Каменецкого
Благодарности: 
Работа поддержана Министерством науки и высшего образования Российской Федерации, проект № 0729-2020-0036 (раздел 1), Российским фондом фундаментальных исследований, грант № 19-52-12053 (раздел 2) и Российским научным фондом, грант № 19-12-00367 (раздел 3).
Список источников: 
  1. Ванаг В.К. Волны и динамические структуры в реакционно-диффузионных системах. Реакция Белоусова–Жаботинского в обращенной микроэмульсии // Успехи физических наук. 2004. Т. 174, № 9. С. 991–1010. DOI: 10.3367/UFNr.0174.200409d.0991.
  2. Mikhailov A.S., Showalter K. Control of waves, patterns and turbulence in chemical systems // Physics Reports. 2006. Vol. 425, no. 2–3. P. 79–194. DOI: 10.1016/j.physrep.2005.11.003.
  3. Volpert V., Petrovskii S. Reaction-diff usion waves in biology // Physics of Life Reviews. 2009. Vol. 6, no. 4. P. 267–310. DOI: 10.1016/j.plrev.2009.10.002.
  4. Gentili P.L., Micheau J.-C. Light and chemical oscillations: review and perspectives // Journal of Photochemistry and Photobiology C: Photochemistry Reviews. 2020. Vol. 43, no. 2. P. 100321. DOI: 10.1016/j.jphotochemrev.2019.100321.
  5. Trelles J.P. Pattern formation and self-organization in plasmas interacting with surfaces // J. Phys. D: Appl. Phys. 2016. Vol. 49, no. 39. P. 393002. DOI: 10.1088/0022-3727/49/39/393002.
  6. Ouyang J., Li B., He F., Dai D. Nonlinear phenomena in dielectric barrier discharges: pattern, striation and chaos // Plasma Sci. Technol. 2018. Vol. 20, no. 10. P. 103002. DOI: 10.1088/2058-6272/aad325.
  7. Purwins H.-G., B¨odeker H.U., Amiranashvili S. Dissipative solitons // Advances in Physics. 2010. Vol. 59, no. 5. P. 485–701. DOI: 10.1080/00018732.2010.498228.
  8. Kuznetsov S.P., Mosekilde E., Dewel G., Borckmans P. Absolute and convective instabilities in a one-dimensional Brusselator fl ow model // J. Chem. Phys. 1997. Vol. 106, no. 18. P. 7609–7616. DOI: 10.1063/1.473763.
  9. Кузнецов С.П. Абсолютная и конвективная неустойчивость и образование структур в модельной системе типа реакция–диффузия с потоком // Известия вузов. ПНД. 1999. Т. 7, № 4. С. 3–19.
  10. Kuptsov P.V., Kuznetsov S.P., Knudsen C. Convective wave front locking for a reaction-diff usion system in a conical fl ow reactor // Phys. Lett. A. 2002. Vol. 294, no. 3–4. P. 210–216. DOI: 10.1016/S0375-9601(02)00065-8.
  11. Kuptsov P.V., Kuznetsov S.P., Mosekilde E. Particle in the Brusselator model with fl ow // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2002. Vol. 163, no. 1–2. P. 80–88. DOI: 10.1016/S0167-2789(01)00382-7.
  12. Kuptsov P.V., Kuznetsov S.P., Knudsen C., Mosekilde E. Absolute and convective instabilities in the one-dimensional Brusselator model with fl ow // Recent Research Developments in Chemical Physics. Transworld Research Network, Kerala, India. 2003. Vol. 4, part II. P. 633–658.
  13. Mertens F., Imbihl R., Mikhailov A.S. Breakdown of global coupling in oscillatory chemical reactions // J. Chem. Phys. 1993. Vol. 99, no. 11. P. 8668–8671. DOI: 10.1063/1.465590.
  14. Falcke M., Engel H. Pattern formation during the CO oxidation on Pt(110) surfaces under global coupling // J. Chem. Phys. 1994. Vol. 101, no. 7. P. 6255–6263. DOI: 10.1063/1.468379.
  15. Falcke M., Engel H., Neufeld M. Cluster formation, standing waves, and stripe patterns in oscillatory active media with local and global coupling // Phys. Rev. E. 1995. Vol. 52, no. 1. P. 763–771. DOI: 10.1103/physreve.52.763.
  16. Veser G., Mertens F., Mikhailov A.S., Imbihl R. Global coupling in the presence of defects: Synchronization in an oscillatory surface reaction // Phys. Rev. Lett. 1993. Vol. 71, no. 6. P. 935–938. DOI: 10.1103/PhysRevLett.71.935.
  17. Bertram M., Mikhailov A.S. Pattern formation in a surface chemical reaction with global delayed feedback // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 63, no. 6. P. 066102. DOI: 10.1103/PhysRevE.63.066102.
  18. Kim M., Bertram M., Pollmann M., von Oertzen A., Mikhailov A.S., Rotermund H.H., Ertl G. Controlling chemical turbulence by global delayed feedback: pattern formation in catalytic CO oxidation on Pt(110) // Science. 2001. Vol. 292, no. 5520. P. 1357–1360. DOI: 10.1126/science.1059478.
  19. Cisternas J., Wehner S. Detailed analysis of transitions in the CO oxidation on palladium(111) under noisy conditions // J. Chem. Phys. 2018. Vol. 149, no. 4. P. 044706. DOI: 10.1063/1.5040704.
  20. Callegari T., Bernecker B., Boeuf J.P. Pattern formation and dynamics of plasma fi laments in dielectric barrier discharges // Plasma Sources Sci. Technol. 2014. Vol. 23, no. 5. P. 054003. DOI: 10.1088/0963-0252/23/5/054003.
  21. Song Z., Qu Z. Delayed global feedback in the genesis and stability of spatiotemporal excitation patterns in paced biological excitable media // PLOS Computational Biology. 2020. Vol. 16, no. 10. P. e1007931. DOI: 10.1371/journal.pcbi.1007931.
  22. Panfi lov A.V., Keldermann R.H., Nash M.P. Self-organized pacemakers in a coupled reaction-diff usion-mechanics system // Phys. Rev. Lett. 2005. Vol. 95, no. 25. P. 258104. DOI: 10.1103/PhysRevLett.95.258104.
  23. Alvarez-Lacalle E., Echebarria B. Global coupling in excitable media provides a simplifi ed description of mechanoelectrical feedback in cardiac tissue // Phys. Rev. E. 2009. Vol. 79, no. 3. P. 031921. DOI: 10.1103/PhysRevE.79.031921.
  24. Dierckx H., Arens S., Li B.-W., Weise L.D., Panfi lov A.V.A theory for spiral wave drift in reaction- diff usion-mechanics systems // New J. Phys. 2015. Vol. 17, no. 4. P. 043055. DOI: 10.1088/1367-2630/17/4/043055.
  25. Radszuweit M., Alvarez-Lacalle E., B¨ar M., Echebarria B. Cardiac contraction induces discordant alternans and localized block // Phys. Rev. E. 2015. Vol. 91, no. 2. P. 022703. DOI: 10.1103/PhysRevE.91.022703.
  26. Kostin V.A., Osipov G.V. Transient and periodic spatiotemporal structures in a reaction-diff usion- mechanics system // Chaos. 2016. Vol. 26, no. 1. P. 013101. DOI: 10.1063/1.4938736.
  27. Костин В.А., Осипов Г.В. Возбуждение пространственно-временных структур в упругих электрически активных сократимых волокнах // Доклады Академии наук. 2016. Т. 466, № 6. С. 650–653. DOI: 10.7868/S0869565216060062.
  28. Collet A., Bragard J., Dauby P.C. Temperature, geometry, and bifurcations in the numerical modeling of the cardiac mechano-electric feedback // Chaos. 2017. Vol. 27, no. 9. P. 093924. DOI: 10.1063/1.5000710.
  29. Weise L.D., Panfi lov A.V. Mechanism for mechanical wave break in the heart muscle // Phys. Rev. Lett. 2017. Vol. 119, no. 10. P. 108101. DOI: 10.1103/PhysRevLett.119.108101.
  30. Yapari F., Deshpande D., Belhamadia Y., Dubljevic S. Control of cardiac alternans by mechanical and electrical feedback // Phys. Rev. E. 2014. Vol. 90, no. 1. P. 012706. DOI: 10.1103/PhysRevE.90.012706.
  31. Nagashima Y., Tsugawa S., Mochizuki A., Sasaki T., Fukuda H., Oda Y. A Rho-based reactiondiff usion system governs cell wall patterning in metaxylem vessels // Scientifi c Reports. 2018. Vol. 8, no. 1. P. 11542. DOI: 10.1038/s41598-018-29543-y.
  32. Tamemoto N., Noguchi H. Pattern formation in reaction-diff usion system on membrane with mechanochemical feedback // Scientifi c Reports. 2020. Vol. 10, no. 1. P. 19582. DOI: 10.1038/s41598-020-76695-x.
  33. Banerjee S., Utuje K.J.C., Marchetti M.C. Propagating stress waves during epithelial expansion // Phys. Rev. Lett. 2015. Vol. 114, no. 22. P. 228101. DOI: 10.1103/PhysRevLett.114.228101.
  34. Furter J., Grinfeld M. Local vs. non-local interactions in population dynamics // J. Math. Biology. 1989. Vol. 27, no. 1. P. 65–80. DOI: 10.1007/BF00276081.
  35. Britton N.F. Spatial structures and periodic travelling waves in an integro–diff erential reaction- diff usion population model // SIAM J. Appl. Math. 1990. Vol. 50, no. 6. P. 1663–1688. DOI: 10.1137/0150099.
  36. Gourley S.A. Travelling front solutions of a nonlocal Fisher equation // J. Math. Biol. 2000. Vol. 41, no. 3. P. 272–284. DOI: 10.1007/s002850000047.
  37. G´enieys S., Volpert V., Auger P. Adaptive dynamics: modelling Darwin’s divergence principle // Comptes Rendus Biologies. 2006. Vol. 329, no. 11. P. 876–879. DOI: 10.1016/j.crvi.2006.08.006.
  38. Gorban A.N. Selection theorem for systems with inheritance // Math. Model. Nat. Phenom. 2007. Vol. 2, no. 4. P. 1–45. DOI: 10.1051/mmnp:2008024.
  39. Berr´ıos-Caro E., Clerc M.G., Escaff D., Sandivari C., Tlidi M. On the repulsive interaction between localised vegetation patches in scarce environments // Scientifi c Reports. 2020. Vol. 10, no. 1. P. 5740. DOI: 10.1038/s41598-020-62677-6.
  40. Vanag V.K., Yang L., Dolnik M., Zhabotinsky A.M., Epstein I.R. Oscillatory cluster patterns in a homogeneous chemical system with global feedback // Nature. 2000. Vol. 406, no. 6794. P. 389– 391. DOI: 10.1038/35019038.
  41. Yang L., Dolnik M., Zhabotinsky A.M., Epstein I.R. Oscillatory clusters in a model of the photosensitive Belousov–Zhabotinsky reaction system with global feedback // Phys. Rev. E. 2000. Vol. 62, no. 5. P. 6414–6420. DOI: 10.1103/PhysRevE.62.6414.
  42. Zykov V.S., Bordiougov G., Brandtst¨adter H., Gerdes I., Engel H. Global control of spiral wave dynamics in an excitable domain of circular and elliptical shape // Phys. Rev. Lett. 2004. Vol. 92, no. 1. P. 018304. DOI: 10.1103/PhysRevLett.92.018304.
  43. Vanag V.K., Epstein I.R. Localized patterns in reaction-diff usion systems // Chaos. 2007. Vol. 17, no. 3. P. 037110. DOI: 10.1063/1.2752494.
  44. Vanag V.K., Epstein I.R. Design and control of patterns in reaction-diff usion systems // Chaos. 2008. Vol. 18, no. 2. P. 026107. DOI: 10.1063/1.2900555.
  45. Krischer K., Mikhailov A.S. Bifurcation to traveling spots in reaction-diff usion systems // Phys. Rev. Lett. 1994. Vol. 73, no. 23. P. 3165–3168. DOI: 10.1103/PhysRevLett.73.3165.
  46. Battogtokh D., Mikhailov A.S. Controlling turbulence in the complex Ginzburg–Landau equation// Physica D: Nonlinear Phenomena. 1996. Vol. 90, no. 1. P. 84–95. DOI: 10.1016/0167-2789(95)00232-4.
  47. Kawamura Y., Kuramoto Y. Onset of collective oscillation in chemical turbulence under global feedback // Phys. Rev. E. 2004. Vol. 69, no. 1. P. 016202. DOI: 10.1103/PhysRevE.69.016202.
  48. Zykov V.S., Mikhailov A.S., M¨uller S.C. Controlling spiral waves in confi ned geometries by global feedback // Phys. Rev. Lett. 1997. Vol. 78, no. 17. P. 3398–3401. DOI: 10.1103/PhysRevLett.78.3398.
  49. Zykov V.S., Engel H. Dynamics of spiral waves under global feedback in excitable domains of diff erent shapes // Phys. Rev. E. 2004. Vol. 70, no. 1. P. 016201. DOI: 10.1103/PhysRevE.70.016201.
  50. Guo S., Dai Q., Cheng H., Li H., Xie F., Yang J. Spiral wave chimera in two-dimensional nonlocally coupled Fitzhugh–Nagumo systems // Chaos, Solitons & Fractals. 2018. Vol. 114, no. 9. P. 394–399. DOI: 10.1016/j.chaos.2018.07.029.
  51. Turing A.M. The chemical basis of morphogenesis // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series B, Biological Sciences. 1952. Vol. 237, no. 641. P. 37–72. DOI: 10.1098/rstb.1952.0012.
  52. Cross M.C., Hohenberg P.C. Pattern formation outside of equilibrium // Rev. Mod. Phys. 1993. Vol. 65, no. 3. P. 851–1112. DOI: 10.1103/RevModPhys.65.851.
  53. Полежаев А.А., Борина М.Ю. Пространственно-временные структуры в активной среде, вызванные диффузионной неустойчивостью // Известия вузов. ПНД. 2014. Т. 22, № 2. С. 116–129. DOI: 10.18500/0869-6632-2014-22-2-116-129.
  54. Васильев В.А., Романовский Ю.М., Яхно В.Г. Автоволновые процессы в распределенных кинетических системах // Успехи физических наук. 1979. Т. 128, № 8. С. 625–666. DOI: 10.3367/UFNr.0128.197908c.0625.
  55. Rosen G. On the fi sher and the cubic-polynomial equations for the propagation of species properties // Bulletin of Mathematical Biology. 1980. Vol. 42, no. 1. P. 95–106. DOI: 10.1016/S0092-8240(80)80079-6.
  56. Rossler O.E. An equation for continuous chaos // Phys. Lett. A. 1976. Vol. 57, no. 5. P. 397–398. DOI: 10.1016/0375-9601(76)90101-8.
Поступила в редакцию: 
08.12.2020
Принята к публикации: 
10.01.2021
Опубликована: 
01.02.2021
  • 3393 просмотра