Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)

Для цитирования:

Гонченко А. С. О дискретных аттракторах Лоренца различных типов // Известия вузов. ПНД. 2024. Т. 32, вып. 6. С. 832-857. DOI: 10.18500/0869-6632-003140, EDN: UNTBDB

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Полный текст в формате PDF(Ru):
Иконка PDF and_2024-6_gonchenko_832-857.pdf
(загрузок: 0)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
Бифуркации в динамических системах. Детерминированный хаос. Квантовый хаос.
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
530.182
DOI: 
10.18500/0869-6632-003140
EDN: 
UNTBDB

О дискретных аттракторах Лоренца различных типов

Авторы: 
Гонченко Александр Сергеевич, Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского (ННГУ)
Аннотация: 

Цель настоящей работы — развитие теории дискретных аттракторов лоренцевского типа в случае трехмерных отображений. При этом особое внимание будет уделено стандартным дискретным аттракторам Лоренца, а также дискретным аттракторам Лоренца с осевой симметрией (то есть с симметрией x → -x, y → -y, z → -z, характерной для потоков с аттракторами Лоренца).

Основные результаты работы связаны с построением элементов классификации таких аттракторов. Для различных типов дискретных аттракторов Лоренца мы опишем их основные геометрические свойства и свойства динамики, а также представим основные феноменологические бифуркационные сценарии, в которых они возникают. В работе будут также рассмотрены конкретные примеры дискретных аттракторов Лоренца различных типов в трехмерных квадратичных отображениях, таких как трехмерные отображения Эно и квадратичные отображения с осевой симметрией и постоянным якобианом. Для последних будут построены их нормальные формы — универсальные отображения, к которым сводится любое отображение из данного класса с помощью линейных преобразований координат.

Ключевые слова: 
аттрактор Лоренца
бифуркация
трехмерное отображение Эно
глобальная симметрия
бифуркационный сценарий
Благодарности: 
Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (проект 23-71-30008). Работа также выполнена при поддержке Минобрнауки РФ, Соглашение FSWR-2020-0036 (численные эксперименты в разделах 1.4, 2 и 3).
Список источников: 
  1. Lorenz E. N. Deterministic nonperiodic flow // Journal of the Atmospheric Sciences. 1963. Vol. 20, no. 2. P. 130–141. DOI: 10.1175/1520-0469(1963)020<0130:dnf>2.0.co;2
  2. Guckenheimer J. A strange, strange attractor // In: The Hopf Bifurcation Theorem and its Applications. Applied Mathematical Sciences, vol. 19. New York: Springer, 1976. P. 368–381. DOI: 10.1007/978-1-4612-6374-6_25.
  3. Williams R. F. The structure of Lorenz attractor // Lecture Notes in Math. 1977. Vol. 615. P. 94–112.
  4. Афраймович В. С., Быков В. В., Шильников Л. П. О возникновении и структуре аттрактора Лоренца // Докл. АН СССР. 1977. Vol. 234, no. 2. P. 336–339.
  5. Афраймович В. С., Быков В. В., Шильников Л. П. О притягивающих негрубых предельных множествах типа аттрактора Лоренца // Труды ММО. 1982. Т. 44. P. 150–212.
  6. Kaplan J. L., Yorke J. A. Predturbulence: A regime observed in a fluid flow model of Lorenz // Comm. Math. Phys. 1979. Vol. 67, no. 2. P. 93–108. DOI: 10.1007/BF01221359.
  7. Шильников Л. П. Теория бифуркаций и модель Лоренца // В кн.: Марсден Ж., МакКракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980. P. 317–336.
  8. Шильников Л. П. Теория бифуркаций и квазигиперболические аттракторы // Успехи Мат. Наук. 1981. Т. 36, № 4. С. 240.
  9. Бунимович Л. А., Синай Я. Г. Стохастичность аттрактора в модели Лоренца // Нелинейные Волны. М.: Наука, 1979. С. 212–260.
  10. Bunimovich L. Statistical properties of Lorenz attractors // In: G.I. Barenblatt (ed.) Nonlinear Dynamics and Turbulence. Boston: Pitman, 1983. P. 1-22.
  11. Rand D. The topological classification of Lorenz attractor // Math. Proc. of Cambridge Phil. Soc. 1978. Vol. 83, no. 3. P. 451–460.
  12. Малкин М. И. О топологической сопряженности разрывных отображений интервала // УМЖ. 1980. Т. 32, № 5. С. 610–616.
  13. Morales C. A., Pacifico M. J., Pujals E. R. On C1 robust singular transitive sets for threedimensional flows // C. R. Acad. Sci. Ser. I Math. 1998. Vol. 326. P. 81–86.
  14. Сатаев Е. А. Некоторые свойства сингулярных гиперболических аттракторов // Мат. сб. 2009. Т. 200, № 1. С. 35–76.
  15. Тураев Д. В., Шильников Л. П. Пример дикого странного аттрактора // Мат. сб. 1998. Т. 189. С. 291–314.
  16. Тураев Д. В., Шильников Л. П. Псевдогиперболичность и задача о периодическом возмущении аттракторов лоренцевского типа // Доклады РАН. 2008. Т. 77б № 1б. С. 17–21.
  17. Gonchenko S., Ovsyannikov I., Simo C., Turaev D. Three-dimensional Henon-like maps and wild Lorenz-like attractors // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 2005. Vol. 15, no. 11. P. 3493–3508. DOI: 10.1142/S0218127405014180.
  18. Гонченко А. С., Гонченко С. В., Шильников Л. П. К вопросу о сценариях возникновения хаоса в трехмерных отображениях // Нелинейная Динамика. 2012. Т. 8. С. 3-28.
  19. Gonchenko S. V., Gonchenko A. S., Ovsyannikov I. I., Turaev D. V. Examples of Lorenz-like Attractors in Henon-like Maps // Math. Model. Nat. Phenom. 2013. Vol. 8, no. 5. P. 48–70. DOI: 10.1051/mmnp/20138504.
  20. Gonchenko A. S., Gonchenko S. V., Kazakov A. O., Turaev D. Simple scenarios of onset of chaos in three-dimensional maps // Int. J. Bif. and Chaos. 2014. Vol. 24, no. 8. P. 25.
  21. Gonchenko A. S., Gonchenko S. V. Variety of strange pseudohyperbolic attractors in threedimensional generalized Henon maps // Physica D. 2016. Vol. 337(4). P. 43–57. DOI: 10.1016/j.physd.2016.07.006.
  22. Henon M. A two-dimensional mapping with a strange attractor // In: Hunt BR, Li TY, Kennedy JA, Nusse HE. (eds) The Theory of Chaotic Attractors. New York: Springer, 1976. P. 94–102. DOI: 10.1007/978-0-387-21830-4_8.
  23. Gonchenko S., Gonchenko A. On discrete Lorenz-like attractors in three-dimensional maps with axial symmetry // Chaos. 2023. Vol. 33, no. 12. P. 123104. DOI: 10.1063/5.0172243
  24. Gonchenko S., Gonchenko A., Kazakov A., and Samylina E. On discrete Lorenz-like attractors // Chaos. 2021. Vol. 31, no. 2. P. 023117. DOI: 10.1063/5.0037621.
  25. Gonchenko S., Karatetskaia E., Kazakov A., Kruglov V. Conjoined Lorenz twins — a new pseudohyperbolic attractor in three-dimensional maps and flows // Chaos. 2022. Vol. 32, iss. 12. P. 121107. DOI: 10.1063/5.0123426.
  26. Aframovich V.S., Shilnikov L. P. Strange attractors and quasiattractors // In: G. I. Barenblatt, G. Iooss, D. D. Joseph (eds) Nonlinear Dynamics and Turbulence. Boston: Pitmen, 1983. P. 1–34.
  27. Гонченко С. В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. Динамические явления в многомерных системах с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре // Докл. Рос. Акад. Наук. 1993. Т. 330, № 2. С. 144-147.
  28. Gonchenko S., Shilnikov L., Turaev D. Dynamical phenomena in systems with structurally unstable Poincare homoclinic orbits // Chaos. 1996. Vol. 6, no. 1. P. 15-31.
  29. Gonchenko S. V., Shilnikov L. P., Turaev D. V. On dynamical properties of multidimensional diffeomorphisms from Newhouse regions // Nonlinearity. 2008. Vol. 21, no. 5. P. 923–972. DOI: 10.1088/0951-7715/21/5/003.
  30. Gonchenko A. S., Gonchenko S. V., Kazakov A. O., Kozlov A. D. Elements of contemporary theory of dynamical chaos: A tutorial. Part I. Pseudohyperbolic attractors // Int. J. Bifurcation and Chaos. 2018. Vol. 28, no. 11. P. 1830036. DOI: https://doi.org/10.1142/S0218127418300367.
  31. Gonchenko S. V., Kazakov A. O., Turaev D. Wild pseudohyperbolic attractors in a four-dimensional Lorenz system // Nonlinearity. 2021. Vol. 34, no. 4. P. 2018–2047. DOI: 10.18500/0869-6632-00314010.48550/arXiv.1809.07250.
  32. Шильников Л. П. Теория бифуркаций и турбулентность // В кн.: Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Горький, 1986. C. 150-163.
  33. Gonchenko S. V., Gonchenko A. S., Kazakov A. O. Richness of chaotic dynamics in nonholonomic models of a Celtic stone // Regular and Chaotic Dynamics. 2013. Vol. 15, no. 5. P. 521-538. DOI: 10.1134/S1560354713050055.
  34. Gonchenko A. S., Gonchenko S. V., Turaev D. Doubling of invariant curves and chaos in threedimensional diffeomorphisms // Chaos. 2021. Vol. 31, no 11. P. 113130. DOI: 10.1063/5.0068692.
  35. Гонченко А. С., Самылина Е. А. Об области существования дискретного аттрактора Лоренца в неголономной модели кельтского камня // Изв. вузов. Радиофизика. 2019. Т. 62, № 5. C. 412–428.
  36. Newhouse S. E. The abundance of wild hyperbolic sets and non-smooth stable sets for diffeomorphisms // Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci. 1979. Vol. 50. P. 101–151. DOI: 10.1007/BF02684771.
  37. Гонченко С. В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. О существовании областей Ньюхауса в окрестности систем с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре (многомерный случай) // Докл. Рос. Акад. Наук. 1993. Т. 329. C. 404-407.
  38. Гонченко С. В., Шильников Л. П. Об инвариантах Ω-сопряженности диффеоморфизмов с негрубой гомоклинической траекторией // Укр. мат. журнал. 1990. Т. 42, № 2. С. 153-159.
  39. Гонченко С. В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. Гомоклинические касания произвольного порядка в областях Ньюхауса // Итоги науки и техники, сер. Современная математика и ее приложения; тематические обзоры. Т. 67. 1999. P. 69-128.
  40. Gonchenko S. V., Shil’nikov L. P., Turaev D. V. On models with non-rough Poincare homoclinic curves // Physica D. 1993. Vol. 62, no. 1–4. P. 1–14. DOI: 10.1016/0167-2789(93)90268-6.
  41. Shimizu T., Morioka N. On the bifurcation of a symmetric limit cycle to an asymmetric one in a simple model // Phys. Lett. A. 1980. Vol. 76. P. 201–204. DOI: 10.1016/0375-9601(80)90466-1.
  42. Shilnikov A. L., Shilnikov L. P., Turaev D. V. Normal forms and Lorenz attractors // Int. J. of Bifurcation and chaos. 1993. Vol. 3. P. 1123–1139.
  43. Shilnikov A. L. On bifurcations of the Lorenz attractor in the Shimuizu-Morioka model // Physica D. 1993. Vol. 62. P. 338–346. DOI: 10.1016/0167-2789(93)90292-9.
Поступила в редакцию: 
26.06.2024
Принята к публикации: 
31.07.2024
Опубликована онлайн: 
25.11.2024
Опубликована: 
29.11.2024
  • 216 просмотров