Для цитирования:
Гонченко С. В., Кайнов М. Н., Казаков А. О., Тураев Д. В. О методах проверки псевдогиперболичности странных аттракторов // Известия вузов. ПНД. 2021. Т. 29, вып. 1. С. 160-185. DOI: 10.18500/0869-6632-2021-29-1-160-185
О методах проверки псевдогиперболичности странных аттракторов
Тема работы – странные аттракторы многомерных отображений и потоков. Странные аттракторы можно разделить на две группы: настоящие аттракторы, которые сохраняют свою хаотичность при малых возмущениях, и квазиаттракторы (по Афраймовичу–Шильникову), внутри которых при малых возмущениях могут возникать устойчивые периодические траектории. Основная цель настоящей работы – это построение эффективных критериев, позволяющих различать такие аттракторы, а также проверка этих критериев с помощью численных экспериментов. В качестве «настоящих» аттракторов мы рассматриваем так называемые псевдогиперболические аттракторы. В работе дается их определение и описываются характеристические свойства, на основании которых строятся два вида численных методов, позволяющих проверить принципиально важное свойство псевдогиперболических аттракторов: непрерывность полей сильно сжимающих пространств и пространств, где есть растяжение объемов. В качестве примеров, на которых протестированы численные методы проверки псевдогиперболичности, рассматриваются классическое отображение Эно, сингулярно-гиперболическое отображение Лози, аносовский диффеоморфизм двумерного тора, классические системы Лоренца и Шимицу–Мориока, а также трехмерное отображение Эно.
- Аносов Д.В., Арансон С.Х., Гринес В.З., Плыкин Р.В., Сатаев Е.А., Сафонов А.В., Солодов В.В., Старков А.Н., Степин А.М., Шлячков С.В. Динамические системы с гиперболическим поведением // Итоги науки и техники. Сер. «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». М.: ВИНИТИ, 1991. T. 66. С. 5–242.
- Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow // Journal of the Atmospheric Sciences. 1963. Vol. 20, no. 2. P. 130–141. DOI: 10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2.
- Афраймович В.С., Быков В.В., Шильников Л.П. О возникновении и структуре аттрактора Лоренца // ДАН СССР. 1977. T. 234, № 2. С. 336–339.
- Афраймович В.С., Быков В.В., Шильников Л.П. О притягивающих негрубых предельных множествах типа аттрактора Лоренца // Труды ММО. 1982. Т. 44. С. 150–212.
- Плыкин Р.В. Источники и стоки А-диффеоморфизмов поверхностей // Матем. сб. 1974. Т. 94(136), № 2(6). С. 243–264. DOI: 10.1070/SM1974v023n02ABEH001719.
- Аносов Д.В. Динамические системы в 60-е годы: гиперболическая революция // В книге:Математические события ХХ века. М.: ФАЗИС, 2003. С. 1–18.
- Тураев Д.В., Шильников Л.П. Пример дикого странного аттрактора // Матем. сб. 1998. Т. 189, № 2. С. 137–160. DOI: 10.4213/sm300.
- Gonchenko S.V., Kazakov A.O., Turaev D.V. Wild pseudohyperbolic attractor in a four-dimensional Lorenz system // Nonlinearity. 2021. Vol. 34(2). P. 1–30.
- Guckenheimer J., Williams R.F. Structural stability of Lorenz attractors // Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. 1979. Vol. 50, no. 5. P. 59–72. DOI: 10.1007/BF02684769.
- Шильников Л.П. Об одном случае существования счетного множества периодических движений // ДАН СССР. 1965. Т. 160, № 3. С. 558–561.
- Шильников Л.П. К вопросу о структуре расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус // Матем. сб. 1970. Т. 81(123), № 1. С. 92–103. DOI: 10.1070/SM1970v010n01ABEH001588.
- Kuznetsov S.P. Example of a physical system with a hyperbolic attractor of the Smale–Williams type // Phys. Rev. Lett. 2005. Vol. 95, no. 14. P. 144101. DOI: 10.1103/PhysRevLett.95.144101.
- Кузнецов С.П. Динамический хаос и гиперболические аттракторы. От математики к физике// Москва–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2013. 488 с.
- Kuznetsov S.P. Some lattice models with hyperbolic chaotic attractors // Russian Journal of Nonlinear Dynamics. 2020. Vol. 16, no. 1. P. 13–21. DOI: 10.20537/nd200102.
- Aframovich V.S., Shilnikov L.P. Strange attractors and quasiattractors // Nonlinear Dynamics and Turbulence (eds. G.I. Barenblatt, G. Iooss, D.D. Joseph), Boston, Pitmen. 1983.
- Gonchenko S.V., Shilnikov L.P., Turaev D.V. Quasiattractors and homoclinic tangencies // Computers & Mathematics with Applications. 1997. Vol. 34, no. 2–4. P. 195–227. DOI: 10.1016/S0898-1221(97)00124-7.
- Galias Z., Tucker W. Is the Henon attractor chaotic? // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2015. Vol. 25, no. 3. P. 033102. DOI: 10.1063/1.4913945.
- Gonchenko S.V., Ovsyannikov I.I., Simo C., Turaev D.V. Three-dimensional Henon-like maps and wild Lorenz-like attractors // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2005. Vol. 15, no. 11. P. 3493–3508. DOI: 10.1142/S0218127405014180.
- Гонченко А.С., Гонченко С.В., Шильников Л.П. К вопросу о сценариях возникновения хаоса у трехмерных отображений // Нелинейная динамика. 2012. Т. 8, № 1. С. 3–28. DOI: 10.20537/nd1201001.
- Gonchenko A.S., Gonchenko S.V. Variety of strange pseudohyperbolic attractors in three-dimensional generalized Henon maps // Physica D. 2016. Vol. 337. P. 43–57. DOI: 10.1016/j.physd.2016.07.006.
- Kuznetsov S.P., Sataev I.R. Hyperbolic attractor in a system of coupled non-autonomous van der Pol oscillators: Numerical test for expanding and contracting cones // Phys. Lett. A. 2007. Vol. 365, no. 1–2. P. 97–104. DOI: 10.1016/j.physleta.2006.12.071.
- Kuptsov P.V. Fast numerical test of hyperbolic chaos // Phys. Rev. E. 2012. Vol. 85, no. 1. P. 015203. DOI: 10.1103/PhysRevE.85.015203.
- Круглов В.П. Методика и результаты численной проверки гиперболической природы аттракторов для редуцированных моделей распределенных систем // Известия вузов. ПНД. 2014. Т. 22, № 6. С. 79–93. DOI: 10.18500/0869-6632-2014-22-6-79-93.
- Kuznetsov S.P., Kruglov V.P. Verification of hyperbolicity for attractors of some mechanical systems with chaotic dynamics // Regular and Chaotic Dynamics. 2016. Vol. 21, no. 2. P. 160–174. DOI: 10.1134/S1560354716020027.
- Kuptsov P.V., Kuznetsov S.P. Numerical test for hyperbolicity in chaotic systems with multiple time delays // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2018. Vol. 56, no. 3. P. 227–239. DOI: 10.1016/j.cnsns.2017.08.016.
- Гонченко А.С., Гонченко С.В., Казаков А.О., Козлов А.Д. Математическая теория динамического хаоса и её приложения: Обзор. Часть 1. Псевдогиперболические аттракторы // Известия вузов. ПНД. 2017. Т. 25, № 2. С. 4–36. DOI: 10.18500/0869-6632-2017-25-2-4-36.
- Gonchenko A.S., Gonchenko S.V., Kazakov A.O., Kozlov A.D. Elements of contemporary theory of dynamical chaos: A tutorial. Part I. Pseudohyperbolic attractors // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2018. Vol. 28, no. 11. P. 1830036. DOI: 10.1142/S0218127418300367.
- Kuptsov P.V., Politi A. Large-deviation approach to space-time chaos // Phys. Rev. Lett. 2011. Vol. 107, no. 11. P. 114101. DOI: 10.1103/PhysRevLett.107.114101.
- Тураев Д.В., Шильников Л.П. Псевдогиперболичность и задача о периодическом возмущении аттракторов лоренцевского типа // ДАН. 2008. Т. 418, № 1. С. 23–27.
- Tucker W. The Lorenz attractor exists // Comptes Rendus de l’Academie des Sciences - Series I - Mathematics. 1999. Vol. 328, no. 12. P. 1197–1202. DOI: 10.1016/S0764-4442(99)80439-X.
- Gonchenko A.S., Gonchenko S.V., Kazakov A.O., Turaev D.V. Simple scenarios of onset of chaos in three-dimensional maps // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2014. Vol. 24, no. 8. P. 1440005. DOI: 10.1142/S0218127414400057.
- Ginelli F., Poggi P., Turchi A., Chate H., Livi R., Politi A. ´ Characterizing dynamics with covariant Lyapunov vectors // Phys. Rev. Let. 2007. Vol. 99, no. 13. P. 130601. DOI: 10.1103/PhysRevLett.99.130601.
- Wolfe C.L., Samelson R.M. An efficient method for recovering Lyapunov vectors from singular vectors // Tellus A: Dynamic Meteorology and Oceanography. 2007. Vol. 59, no. 3. P. 355–366. DOI: 10.1111/j.1600-0870.2007.00234.x.
- Kuptsov P.V., Parlitz U. Theory and computation of covariant Lyapunov vectors // Journal of Nonlinear Science. 2012. Vol. 22, no. 5. P. 727–762. DOI: 10.1007/s00332-012-9126-5.
- Shilnikov A.L., Shilnikov L.P., Turaev D.V. Normal forms and Lorenz attractors // International Journal of Bifurcation and Chaos. 1993. Vol. 3, no. 5. P. 1123–1139. DOI: 10.1142/S0218127493000933.
- Gonchenko A.S., Gonchenko S.V., Kazakov A.O., Samylina E. On discrete Lorenz-like attractors// International Journal of Bifurcation and Chaos. 2021 (в печати).
- Benedicks M., Carleson L. The dynamics of the Henon map // Annals of Mathematics. 1991. Vol. 133, no. 1. P. 73–169. DOI: 10.2307/2944326.
- Mora L., Viana M. Abundance of strange attractors // Acta mathematica. 1993. Vol. 171, no. 1. P. 1–71. DOI: 10.1007/BF02392766.
- Wang Q., Young L.-S. Toward a theory of rank one attractors // Annals of Mathematics. 2008. Vol. 167, no. 2. P. 349–480. DOI: 10.4007/annals.2008.167.349.
- Chigarev V., Kazakov A.O., Pikovsky A.S. Kantorovich–Rubinstein–Wasserstein distance between overlapping attractor and repeller // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2020. Vol. 30, no. 7. P. 073114. DOI: 10.1063/5.0007230.
- Быков В.В., Шильников А.Л. О границах области существования аттрактора Лоренца // Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Горький, 1989. С. 151–159.
- Creaser J.L., Krauskopf B., Osinga H.M. Finding first foliation tangencies in the Lorenz system// SIAM Journal on Applied Dynamical Systems. 2017. Vol. 16, no. 4. P. 2127–2164. DOI: 10.1137/17M1112716.
- Roshchin N.V. Unsafe stability boundaries of the Lorentz model // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 1978. Vol. 42, no. 5. P. 1038–1041. DOI: 10.1016/0021-8928(78)90049-7.
- Шильников Л.П.. Теория бифуркаций и модель Лоренца // В книге: Марсден Дж., МакКракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980. С. 317–335.
- Шильников Л.П. Избранные научные труды Л.П. Шильникова // Университет ННГУ им. Лобачевского (ред. Афраймович В.С., Беляков Л.А., Гонченко С.В., Лерман Л.М., Морозов А.Д., Тураев Д.В., Шильников А.Л.), 2017.
- Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 2 // Москва–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2019. 546 с.
- Шильников А.Л. Бифуркации и хаос в модели Мариока–Шимицу. Часть 2 // Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Межвуз. тематич. сб. науч. тр. Горький: ГГУ, 1988. C. 130–138.
- Golmakani A. and Homburg A.J. Lorenz attractors in unfoldings of homoclinic-flip bifurcations // Dynamical Systems. 2011. Vol. 26, no. 1. P. 61–76. DOI: 10.1080/14689367.2010.503186.
- Xing T., Barrio R. and Shilnikov A.L. Symbolic quest into homoclinic chaos // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2014. Vol. 24, no. 8. P. 1440004. DOI: 10.1142/S0218127414400045.
- Сатаев Е.А. Отсутствие устойчивых траекторий у неавтономных возмущений систем типа системы Лоренца // Матем. сб. 2005. Т. 196, № 4. С. 99-134. DOI: https://doi.org/10.4213/sm1288.
- Shimizu T., Morioka N. On the bifurcation of a symmetric limit cycle to an asymmetric one in a simple model // Phys. Lett. A. 1980. Vol. 76, no. 3–4. P. 201–204. DOI: 10.1016/0375-9601(80)90466-1.
- Шильников А.Л. Бифуркации и хаос в системе Мариока–Шимицу // Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Межвуз. тематич. сб. науч. тр., Горький: ГГУ, 1986. С. 180–193.
- Shilnikov A.L. On bifurcations of the Lorenz attractor in the Shimizu-Morioka model // Physica D. 1993. Vol. 62, no. 1–4. P. 338–346. DOI: 10.1016/0167-2789(93)90292-9.
- Capinski M.J., Turaev D.V., Zgliczy ´ nski P. ´ Computer assisted proof of the existence of the Lorenz attractor in the Shimizu–Morioka system // Nonlinearity. 2018. Vol. 31, no. 12. P. 5410–5440. DOI: 10.1088/1361-6544/aae032.
- Gonchenko S.V., Gonchenko A.S., Ovsyannikov I.I., Turaev D.V. Examples of Lorenz-like attractors in Henon-like maps // Mathematical Modelling of Natural Phenomena. 2013. Vol. 8, no. 5. P. 48–70. DOI: 10.1051/mmnp/20138504.
- Gonchenko S.V., Meiss J.D., Ovsyannikov I.I. Chaotic dynamics of three-dimensional Henon maps that originate from a homoclinic bifurcation // Regular and Chaotic Dynamics. 2006. Vol. 11, no. 2. P. 191–212. DOI: 10.1070/RD2006v011n02ABEH000345.
- Gonchenko S.V., Ovsyannikov I.I., Tatjer J.C. Birth of discrete Lorenz attractors at the bifurcations of 3D maps with homoclinic tangencies to saddle points // Regular and Chaotic Dynamics. 2014. Vol. 19, no. 4. P. 495–505. DOI: 10.1134/S1560354714040054.
- Gonchenko S.V., Shilnikov L.P., Turaev D.V. On global bifurcations in three-dimensional diffeomorphisms leading to wild Lorenz-like attractors // Regular and Chaotic Dynamics. 2009. Vol. 14, no. 1. P. 137–147. DOI: 10.1134/S1560354709010092.
- Gonchenko S.V., Ovsyannikov I.I. On global bifurcations of three-dimensional diffeomorphisms leading to Lorenz-like attractors // Mathematical Modelling of Natural Phenomena. 2013. Vol. 8, no. 5. P. 71–83. DOI: 10.1051/mmnp/20138505.
- Gonchenko S.V., Ovsyannikov I.I. Homoclinic tangencies to resonant saddles and discrete Lorenz attractors // Discrete & Continuous Dynamical Systems Series S. 2017. Vol. 10, no. 2. P. 273–288. DOI: 10.3934/dcdss.2017013.
- Gonchenko A.S., Gonchenko S.V., Kazakov A.O. Richness of chaotic dynamics in nonholonomic models of a Celtic stone // Regular and Chaotic Dynamics. 2013. Vol. 18, no. 5. P. 521–538. DOI: 10.1134/S1560354713050055.
- Гонченко А.С., Самылина Е.А. Об области существования дискретного аттрактора Лоренца в неголономной модели кельтского камня // Известия вузов. Радиофизика. 2019. Т. 62, № 5. С. 412–428. DOI: 10.1007/s11141-019-09984-9.
- 3478 просмотров