Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)


Образец для цитирования:

Хазова Ю. А., Лукьяненко В. А. Применение интегральных методов для исследования одной параболической задачи //Известия вузов. ПНД. 2019. Т. 27, вып. 4. С. 85-98. DOI: https://doi.org/10.18500/0869-6632-2019-27-4-85-98

Опубликована онлайн: 
26.08.2019
Язык публикации: 
русский
УДК: 
517:957

Применение интегральных методов для исследования одной параболической задачи

Аннотация: 

Тема. Работа посвящена изучению математической модели, описывающей оптическую систему с двумерной обратной связью. Примером такой оптической системы может быть нелинейный интерферометр с зеркальным отражением поля. Математической моделью выступает нелинейное функционально-дифференциальное параболическое уравнение с преобразованием отражения пространственной переменной и условиями на круге. Цель работы состоит в исследовании условий возникновения пространственно неоднородных стационарных решений. Предполагается дать ответ на вопрос об асимптотической форме рождающихся решений и определении их устойчивости. Методы. Исследование проводится методами теоретического анализа, а именно используются метод центральных многообразий, метод Фурье и метод сведения к интегральному уравнению. Используя метод разделения переменных, доказана лемма о собственных значениях и собственных функциях соответствующей линеаризованной задачи. Для определения асимптотической формы решения для линеаризованной и соответствующей нелинейной параболической задачи применялся метод сведения к интегральному уравнению. Приведены необходимые выкладки по доказательству единственности и непрерывной зависимости решения от начальных условий. Результаты и обсуждение. На основе метода центральных многообразий доказана теорема о существовании и устойчивости пространственно неоднородного стационарного решения. Получено представление для неоднородной структуры, рождающейся в результате бифуркации типа «вилка» при переходе бифуркационного параметра через критическое значение. Согласно с доказанной теоремой это решение рождается асимптотически устойчивым. Эта теорема носит локальный характер и работает в окрестности бифуркационного значения коэффициента диффузии. Результаты, приведенные в данной работе, являются продолжением исследований в области нелинейной оптики. Возможность анализа рождающихся структур не только в окрестности бифуркационного значения параметра, но и на всем промежутке изменения выбранного параметра, остается актуальной. Представленные в работе результаты могут быть применены как в теоретическом анализе задач нелинейной оптики, так и в практической обработке и интерпретации информации, полученной при постановке вычислительных или физических экспериментов.

DOI: 
10.18500/0869-6632-2019-27-4-85-98
Библиографический список: 

1. Ахманов С.А., Воронцов М.А., Иванов В.Ю. Генерация структур в оптических системах с двумерной обратной связью: на пути к созданию нелинейно-оптических аналогов нейронных сетей // в кн. Новые физические принципы оптической обработки информации. М.: Наука, 1990. С. 263–325.

2. Разгулин А.В., Романенко Т.Е. Вращающиеся волны в параболическом функциональнодифференциальном уравнении с поворотом пространственного аргумента и запаздыванием // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2013. № 53. C. 1804–1821.

3. Budzinskiy S.S., Larichev V.A., Razgulin V.A. Reducing dimensionality to model 2D rotating and standing waves in a delayed nonlinear optical system with thin annulus aperture // Nonlinear Anal.-Real World Appl. 2018. No. 44. P. 559–572.

4. Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Оптическая буферность и механизмы ее возникновения // ТМФ. 2004. Т. 140, № 1. C. 14–28.

5. Хазова Ю.А., Шиян О.В. Теорема о существовании и устойчивости решения одного параболического уравнения // Динамические системы. 2018. Т. 8(36), № 3. C. 275–280.

6. Хазова Ю.А. Решение типа «бегущие волны» в параболической задаче с преобразованием поворота // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2017. Т. 25, № 6. C. 57–69.

7. Белан Е.П., Хазова Ю.А. Динамика стационарных структур в параболической задаче на окружности с отражением пространственной переменной //Динамические системы. 2014. Т. 4(32), № 1–2. C. 43–57.
8. Хазова Ю.А. Динамика стационарных структур в параболической задаче на отрезке с отражением пространственной переменной // Динамические системы. 2014. Т. 4(32), № 3–4. C. 245–257.

9. Хазова Ю.А. Стационарные структуры в параболической задаче с отражением пространственной переменной // Таврический вестник информатики и математики. 2015. № 3(28). C. 82–95.

10. Хазова Ю.А. Интегральное представление приближенных решений параболического уравнения // Актуальные направления научных исследований XXI века: Теория и практика. 2018. Т. 6, № 6 (42). C. 384–386.

11. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.

12. Temam R. Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics. Springer-Verlag, New York, 1997.

13. Лерэ Ж., Шаудер Ю. Топология и функциональные уравнения //Успехи математических наук. 1946. Т. 1, № 3–4. C. 71–95.

14. Бабин А.В., Вишик М.И. Аттракторы эволюционных уравнений. М.: Наука, 1989.
 

Краткое содержание:
(загрузок: 13)