Для цитирования:
Гонченко С. В., Гонченко А. С., Казаков А. О., Самылина Е. А. Смешанная динамика: элементы теории и примеры // Известия вузов. ПНД. 2024. Т. 32, вып. 6. С. 722-765. DOI: 10.18500/0869-6632-003138, EDN: PFFDTK
Смешанная динамика: элементы теории и примеры
Основной целью работы является представление недавних результатов, полученных в математической теории динамического хаоса и связанных с открытием его новой третьей формы, так называемой смешанной динамики. Этот тип хаоса сильно отличается от двух его классических форм — консервативного и диссипативного хаоса, и главное его отличие состоит в том, что аттракторы и репеллеры могут пересекаться, не совпадая при этом.
Основные результаты работы связаны с построением теоретических схем, направленных на математическое обоснование этого явления с помощью самых общих методов топологической динамики. В работе также приводится ряд примеров систем
из приложений, в которых наблюдается смешанная динамика. Показывается, что такая динамика может быть разных типов: от близкой к консервативной до сильно диссипативной, а также что она может возникать в результате различных бифуркационных механизмов.
- Аносов Д. В., Бронштейн И. У. Топологическая динамика // В кн.: Динамические системы–1. М.: ВИНИТИ, 1985. С. 224–227.
- Динамические системы с гиперболическим поведением // Итоги науки и техн. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления. Динамические системы-9 / Под ред. Аносова Д. В. М.: ВИНИТИ, 1991. 247 с.
- Gonchenko S. V. Reversible mixed dynamics: A concept and examples // Discontinuity, Nonlinearity, and Complexity. 2016. Vol. 5, no. 4. P. 365–374. DOI: 10.5890/DNC.2016.12.003.
- Гонченко С. В., Тураев Д. В. О трех типах динамики и понятии аттрактора // Труды МИАН. 2017. Vol. 297. P. 133–157. DOI: 10.1134/S0371968517020078.
- Гонченко С. В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. Об областях Ньюхауса двумерных диффеоморфизмов, близких к диффеоморфизму с негрубым гетероклиническим контуром // Труды МИАН. 1997. Vol. 216. P. 76–125.
- Turaev D. V. Richness of chaos in the absolute Newhouse domain // Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 2010. P. 1804–1815. DOI: 10.1142/9789814324359_0122.
- Turaev D. V. Maps close to identity and universal maps in the Newhouse domain // Communications in Mathematical Physics. 2015. Vol. 335, no. 3. P. 1235–1277. DOI: 10.1007/s00220-015-2338-4.
- Gonchenko S. V., Shilnikov L. P., Turaev D. V. Homoclinic tangencies of arbitrarily high orders in conservative and dissipative two-dimensional maps // Nonlinearity. 2007. Vol. 20, no. 2. P. 241–275. DOI: 10.1088/0951-7715/20/2/002.
- Turaev D. V. On dimension of non-local bifurcational problems // Bifurcation and Chaos. 1996. Vol. 6, no. 5. P. 919–948. DOI: 10.1142/S0218127496000515.
- Ruelle D. Small random perturbations of dynamical systems and the definition of attractors // Comm. Math. Phys. 1981. Vol. 82. P. 137–151. DOI: 10.1007/BF01206949.
- Newhouse S. Diffeomorphisms with infinitely many sinks // Topology. 1974. Vol. 13. P. 19–18.
- Afraimovich V. S., Shilnikov L. P. Strange attractors and quaiattractors // In.: G. I. Barenblatt, G. Iooss, D. D. Joseph (eds) Nonlinear Dynamics and Turbulence. Boston: Pitmen, 1983. P. 1–34.
- Tedeschini-Lalli L., Yorke J. A. How often do simple dynamical processes have infinitely many coexisting sinks? // Commun. Math. Phys. 1986. Vol. 106. P. 635–657. DOI: 10.1007/BF01463400.
- Lai Y. C., Grebogi C., Yorke J. A., Kan I. How often are chaotic saddles nonhyperbolic // Nonlinearity. 1993. Vol. 6, no. 5. P. 779–797.
- Pikovsky A., Topaj D. Reversibility vs. synchronization in oscillator latties // Physica D. 2002. Vol. 170. P. 118–130.
- Gonchenko A. S., Gonchenko S. V., Kazakov A. O., Turaev D. V. On the phenomenon of mixed dynamics in Pikovsky-Topaj system of coupled rotator // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2017. Vol. 350. P. 45–57. DOI: 10.1016/j.physd.2017.02.002.
- Gonchenko A. S., Gonchenko S. V., Kazakov A. O. Richness of chaotic dynamics in nonholonomic models of a Celtic stone // Regular and Chaotic Dynamics. 2013. Vol. 18, no. 5. P. 521–538. DOI: 10.1134/S1560354713050055.
- Delshams A., Gonchenko S. V., Gonchenko V. S., Lazaro J. T., Sten’kin O. Abundance of attracting, repelling and elliptic periodic orbits in two-dimensional reversible maps // Nonlinearity. 2013. Vol. 26. P. 1–33.
- Гонченко С. В., Гонченко М. С., Синицкий И. О. О смешанной динамике двумерных обратимых диффеоморфизмов с симметричными негрубыми гетероклиническими контурами // Изв. РАН. Сер. матем. 2020. Т. 84, № 1. С. 27–59. DOI: 10.1070/IM8786.
- Kazakov A. O. Strange attractors and mixed dynamics in the problem of an unbalanced rubber ball rolling on a plane // Regular and Chaotic Dynamics. 2013. Vol. 18, no. 5. P. 508–520. DOI: 10.1134/S1560354713050043.
- Kuznetsov S. P. Regular and chaotic motions of the Chaplygin sleigh with periodically switched location of nonholonomic constraint // EPL (Europhysics Letters). 2017. Vol. 118, no. 1. P. 10007. DOI: 10.1209/0295-5075/118/10007.
- Гонченко А. С., Гонченко С. В., Казаков А. О., Самылина Е. А. Хаотическая динамика и мультистабильность в неголономной модели кельтского камня // Известия вузов. Радиофизика. 2018. Vol. 61, no. 10. P. 867–882.
- Kazakov A. O. On the appearance of mixed dynamics as a result of collision of strange attractors and repellers in reversible systems // Radiophysics and Quantum Electronics. 2019. Vol. 61, no. 8–9. P. 650–658. DOI: 10.1007/s11141-019-09925-6.
- Kazakov A. O. Merger of a Henon-like attractor with a Henon-like repeller in a model of vortex dynamics // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2020. Vol. 30, no. 1. P. 011105. DOI: /10.1063/1.5144144.
- Emelianova A. A., Nekorkin V. I., On the intersection of a chaotic attractor and a chaotic repeller in the system of two adaptively coupled phase oscillators // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2019. Vol. 29, no. 11. P. 111102. DOI: 10.1063/1.5130994.
- Emelianova A. A., Nekorkin V. I., The third type of chaos in a system of two adaptively coupled phase oscillators // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2020. Vol. 30, no. 5. P. 051105. DOI: 10.1063/5.0009525.
- Ariel G., Schiff J. Conservative, dissipative and super-diffusive behavior of a particle propelled in a regular flow // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2020. Vol. 411. P. 132584. DOI: 10.1016/j.physd.2020.132584.
- Chigarev V., Kazakov A., Pikovsky A. Kantorovich-Rubinstein-Wasserstein distance between overlapping attractor and repeller // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2020. Vol. 30, no. 7. P. 073114. DOI: 10.1063/5.0007230.
- Гонченко С. В., Гонченко А. С., Казаков А. О. Три типа аттракторов и смешанная динамика неголономных моделей движения твердого тела // В кн.: Дифференциальные уравнения и динамические системы: сб. статей. Сер. Труды МИАН. Т. 308. М.: МИАН, 2020. P. 135–151. DOI: 10.4213/tm4053.
- Гонченко С. В. Три формы динамического хаоса // Изв. вузов. Радиофизика. 2020. Т. 63, № 9. С. 840–862.
- Гонченко С. В., Гонченко А. С., Морозов К. Е. Третий тип динамики и гомоклинические траектории Пуанкаре // Известия вузов. Радиофизика. 2023. Т. 66, № 9. C. 767–796. DOI: 10.52452/00213462-2023-66-09-767.
- Conley C. C. Isolated Invariant Sets and the Morse Index. Regional conference series in mathematics, vol. 38. American Mathematical Soc, 1978. 89 p. DOI: 10.1090/cbms/038.
- Hurley M. Attractors: persistency, and density of their basins // Trans. Amer. Math. Soc. 1982. Vol. 269, no. 1. P. 247–271. DOI: 10.1090/S0002-9947-1982-0637037-7.
- Galias Z., Tucker W. Is the Henon attractor chaotic? // Chaos. 2015. Vol. 25, iss. 3. 033102. ´ DOI: 10.1063/1.4913945.
- Tucker W. A rigorous ode solver and Smale’s 14th problem // Foundations of Computational Mathematics. 2002. Vol. 2. P. 53–117. DOI: 10.1007/s002080010018.
- Delshams A., Gonchenko M., Gonchenko S. V., Lazaro J. T. Mixed dynamics of 2-dimensional reversible maps with a symmetric couple of quadratic homoclinic tangencies // Discrete Continuous Dyn. Sys. A. 2018. Vol. 38, no. 9. P. 4483–4507. DOI: 10.3934/dcds.2018196.
- Тураев Д. В., Шильников Л. П. Пример дикого странного аттрактора // Матем. сборник. 1998. Vol. 189, no. 2. C. 137–160. DOI: 10.4213/sm300.
- Gonchenko S. V., Kazakov A. O., Turaev D. Wild pseudohyperbolic attractors in a four-dimensional Lorenz system // Nonlinearity. 2021. Vol. 34, no. 4. P. 2018–2047. DOI: 10.1088/1361-6544/abc794.
- Гаврилов Н. К., Шильников Л. П. О трехмерных динамических системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой. Часть 1 // Матем. сб. 1972. T. 88, № 4. C. 475–492.
- Гаврилов Н. К., Шильников Л. П. О трехмерных динамических системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой. Часть 2 // Матем. сб. 1973. T. 90, № 1. С. 139–156.
- Кузнецов С. П. Динамический хаос и гиперболические аттракторы. От математики к физике // Москва-Ижевск, 2013. 488 с.
- Tucker W. The Lorenz attractor exists // Comptes Rendus de l’Academie des Sciences-Series I-Mathematics. 1999. Vol. 328, № 12. P. 1197–1202. DOI: 10.1016/S0764-4442(99)80439-X.
- Афраймович В. С., Быков В. В., Шильников Л. П. О возникновении и структуре аттрактора Лоренца // ДАН СССР. 1977. Т. 234, № 2. C. 336–339.
- Афраймович В. С., Быков В. В., Шильников Л. П. О притягивающих негрубых множествах типа аттрактора Лоренца // Труды ММО. 1982. Т. 44. С. 150–212.
- Lorenz E. Deterministic nonperiodic flow // Journal of the Atmospheric Sciences. 1963. Vol. 20, no. 2. P. 130–141. DOI: 10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.C.
- Gonchenko S., Ovsyannikov I., Simo C., Turaev D. Three-dimensional Henon-like maps and wild Lorenz-like attractors // Int. J. of Bifurcation and chaos. 2005. Vol. 15, no. 11. P. 3493–3508. DOI: 10.1142/S0218127405014180.
- Gonchenko S. V., Gonchenko A. S., Ovsyannikov I. I., Turaev D. V. Examples of Lorenz-like attractors in Henon-like maps // Math. Model. Nat. Phen. 2013. Vol. 8, no. 5. P. 48–70.
- Gonchenko S., Gonchenko A., Kazakov A., Samylina E. On discrete Lorenz-like attractors // Chaos. 2021. Vol. 31, iss. 2. P. 023117. DOI: 10.1063/5.0037621.
- Гонченко А. С., Гонченко С. В., Шильников Л. П. К вопросу о сценариях возникновения хаоса у трехмерных отображений // Нелинейная Динамика. 2012. Т. 8, № 1. С. 3–28.
- Gonchenko A. S., Gonchenko S. V., Kazakov A. O., Turaev D. Simple scenarios of onset of chaos in three-dimensional maps // Int. J. Bif. and Chaos. 2014. Vol. 24, no. 8. 25 p. DOI: 10.1142/S0218127414400057.
- Gonchenko S., Karatetskaia E., Kazakov A., Kruglov V. Conjoined Lorenz twins — a new pseudohyperbolic attractor in three-dimensional maps and flows // Chaos. 2022. Vol. 32. P. 121107. DOI: 10.1063/5.0123426.
- Borisov A. V., Kazakov A. O., Sataev I. R. The reversal and chaotic attractor in the nonholonomic model of Chaplygin’s top // Regular and Chaotic Dynamics. 2014. Vol. 19. P. 718–733. DOI: 10.1134/S1560354714060094.
- Гонченко С. В. Об устойчивых периодических движениях в системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой // Мат.заметки. 1983. Т. 33, вып. 5. C. 745–755.
- Gonchenko S. V., Simo C., Vieiro A. Richness of dynamics and global bifurcations in systems with a homoclinic figure-eight // Nonlinearity. 2013. Vol. 26, no. 3. P. 621–678. DOI: 0.1088/0951-7715/26/3/621.
- Гонченко С. В. О двухпараметрическом семействе систем, близких к системе с негрубой гомоклинической кривой // В кн.: Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Горький, 1985. С. 55–72.
- Henon M. A two-dimensional mapping with a strange attractor // Commun. Math. Phys. 1976. Vol. 50. P. 69–77. DOI: 10.1007/BF01608556.
- Benediks M., Carleson L. Dynamics of the Henon Map // Ann. Math. 1991. Vol. 133. P. 73–169. DOI: 10.2307/2944326.
- Гонченко С. В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. О существовании областей Ньюхауса вблизи систем с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре (многомерный случай) // Докл. Росс. Акад. Наук. 1993. Т. 329, № 4. С. 404–407.
- Gonchenko S. V., Gonchenko V. S, Shilnikov L. P. On homoclinic origin of Henon-like maps // Regular and Chaotic Dynamics. 2010. Vol. 15, no. 4–5. P. 462–481. DOI: 10.1134/S1560354710040052.
- Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 304 с.
- Biragov V. S. Bifurcations in a two-parameter family of conservative mappings that are close to the Henon mapping // Methods of the qualitative theory of differential equations. 1987. P. 10–24.
- Simo C., Vieiro A. Resonant zones, inner and outer splitting in generic and low order resonances of area preserving maps // Nonlinearity. 2009. Vol. 22, no. 5. P. 1191–1245. DOI: 10.1088/0951-7715/22/5/012.
- Milnor J. On the concept of attractor // Comm. Math. Phys. 1985. Vol. 99. P. 177–195. DOI: 10.1007/BF01212280.
- Минков С. С. Толстые аттракторы и косые произведения: диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук. Москва, 2016. 61 с.
- Тураев Д. В., Шильников Л. П. Псевдогиперболичность и задача о периодическом возмущении аттракторов лоренцевского типа // Доклады Академии Наук. 2008. Т. 418, № 1.
- Gonchenko A. S., Gonchenko S. V., Kazakov A. O., Kozlov A. D. Elements of contemporary theory of dynamical chaos: A tutorial. Part I. Pseudohyperbolic attractors // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2018. Vol. 28, no. 11. P. 1830036. DOI: 10.1142/S0218127418300367.
- Гонченко C. В., Лэмб Й. С. В., Риос И., Тураев Д. Аттракторы и репеллеры в окрестности эллиптических точек обратимых систем // Доклады РАН. 2014. Vol. 454. P. 375–378. DOI: 10.7868/S0869565214040045.
- Newhouse S. Nondensity of axiom A(α) on S2 // Global Analysis, Proc. Sympos. Pure Math. 1970. Vol. 14. C. 191–202.
- Newhouse S. The abundance of wild hyperbolic sets and non-smooth stable sets for diffeomorphisms // Publ. Math. IHES. 1979. Vol. 50. P. 101–152. DOI: 10.1007/BF02684771.
- Guckenheimer J., Williams R. F. Structural stability of Lorenz attractors // Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. 1979. Vol. 50. P. 59–72. DOI: 10.1007/BF02684769.
- Malkin M. I. Rotation intervals and dynamics of Lorenz-like maps // In: Methods of qualitative theory of diff. eq. Gorki, 1985. C. 122–139.
- Гонченко С. В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. О моделях с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре // ДАН СССР. 1991. Т. 320, № 2. С. 269–272.
- Gonchenko S. V., Shil’nikov L. P., Turaev D. V. On models with non-rough Poincare homoclinic curves // Physica D. 1993. Vol. 62, no. 1–4. P. 1–14. DOI: 10.1016/0167-2789(93)90268-6.
- Гонченко С. В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. Динамические явления в многомерных системах с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре // Докл. Росс. Акад. Наук. 1993. Т. 330, № 2. С. 144–147.
- Gonchenko S. V., Shilnikov L. P., Turaev D. On dynamical properties of multidimensional diffeomorphisms from Newhouse regions // Nonlinearity. 2008. Vol. 21, no. 5. P. 923–972. DOI: 10.1088/0951-7715/21/5/003.
- Гонченко С. В., Шильников Л. П. Об инвариантах Ω-сопряженности диффеоморфизмов с негрубой гомоклинической траекторией // Укр. мат. журнал. 1990. Т. 42, № 2. С. 153–159.
- Гонченко С. В., Шильников Л. П. О модулях систем с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре // Известия Росс. Акад. Наук, серия математическая. 1992. Т. 56, № 6. С. 1165–1197.
- Гонченко С. В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. Гомоклинические касания произвольного порядка в областях Ньюхауса // Итоги науки и техники, современная математика и ее приложения; тематические обзоры. 1999. Т. 67. C. 69–128.
- Palis J., Viana M. High dimension diffeomorphisms displaying infinitely many sinks // Ann. Math. 1994. Vol. 140. P. 91–136.
- Romero N. Persistence of homoclinic tangencies in higher dimensions // Ergod. Th. and Dyn. Sys. 1995. Vol. 15. P. 735–757.
- Gonchenko S. V., Shilnikov L. P., Turaev D. V. Dynamical phenomena in systems with structurally unstable Poincare homoclinic orbits // Chaos. 1996. Vol. 6, No. 1. P. 15–31. DOI: 10.1063/1.166154.
- Гонченко С. В., Гонченко В. С. О бифуркациях рождения замкнутых инвариантных кривых в случае двумерных диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями // Труды МИАН. 2004. Т. 244. С. 87–114.
- Гаврилов Н. К. О трехмерных динамических системах, имеющих негрубый гомоклинический контур // Мат. заметки. 1973. Т. 14, № 5. С. 687–697.
- Гонченко С. В. Модули Ω-сопряженности двумерных диффеоморфизмов с негрубым гетероклиническим контуром. Мат. сборник. 1996. Т. 187, no. 9. C. 3–24. DOI: 10.4213/sm155.
- Gonchenko S. V., Shilnikov L. P., Stenkin O. V. On Newhouse regions with infinitely many stable and unstable invariant tori // Proc. Int. Conf. Progress in Nonlinear Science dedicated to 100th Anniversary of A. A. Andronov, July 2–6; “Mathematical Problems of Nonlinear Dynamics”, vol. 1. Nizhni Novgorod, 2002. P. 80–102.
- Гонченко С. В. Динамические системы с гомоклиническими касаниями, омега-модули и бифуркации: диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Н. Новгород, 2004. 300 с.
- Гонченко С. В., Стенькин О. В., Шильников Л. П. О существовании счетного множества устойчивых и неустойчивых инвариантных торов у систем из областей Ньюхауса с гетероклиническими касаниями // Нелинейная динамика. 2006. Т. 2, № 1. С. 3–25.
- Dmitriev A. S., Komlev Yu. A., Turaev D. V. Bifurcation phenomena in the 1:1 resonant horn for the forced van Der Pol-Duffing equation // Int. J. Bifurcation Chaos. 1992. Vol. 2, no. 1. P. 93–100. DOI: 10.1142/S0218127492000094.
- Lamb J. S. W., Roberts J. A. G. Time-reversal symmetry in dynamical systems: A survey // Physica D. 1998. Vol. 112. P. 1–39.
- Rom-Kedar V., Wiggins S. Transport in two-dimensional maps // Arch. Ration. Mech. Anal. 1990. Vol. 109, no. 3. P. 239–298.
- Haragus M., Iooss G. Reversible bifurcations // In: Local Bifurcations, Center Manifolds, and Normal Forms in Infinite-Dimensional Dynamical Systems. London: Universitext, Springer, 2011.
- Lerman L. M., Turaev D. V. Breakdown of symmetry in reversible systems // Reg. Chaotic Dyn. 2012. Vol. 17, no. 3–4. P. 318–336. DOI: 10.1134/S1560354712030082.
- Lamb J. S. W., Stenkin O. V. Newhouse regions for reversible systems with infinitely many stable, unstable and elliptic periodic orbits // Nonlinearity. 2004. Vol. 17, no. 4. P. 1217–1244. DOI: 10.1088/0951-7715/17/4/005.
- Борисов А. В., Мамаев И. С. Странные аттракторы в динамике кельтских камней // Успехи физических наук. 2003. Vol. 173, no. 4, 407–418. DOI: 10.3367/UFNr.0173.200304d.0407.
- Кузнецов С. П., Жалнин А. Ю., Сатаев И. Р., Седова Ю. В. Феномены нелинейной динамики диссипативных систем в неголономной механике кельтского камня // Нелинейная динамика. 2012. Vol. 8, no. 4. С. 735–762.
- Kozlov V. V. On the theory of integration of the equations of nonholonomic mechanics // Uspekhi Mekh. 1985. Vol. 8, no. 3. P. 85–107. DOI: 10.1070/RD2002v007n02ABEH000203.
- Bizyaev I. A., Borisov A. V., Kazakov A. O. Dynamics of the Suslov problem in a gravitational field: reversal and strange attractors // Regular and Chaotic Dynamics. 2015. Vol. 20, no. 5. P. 605–626.
- 116 просмотров