Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)

Для цитирования:

Гонченко С. В., Гонченко А. С., Казаков А. О., Самылина Е. А. Смешанная динамика: элементы теории и примеры // Известия вузов. ПНД. 2024. Т. 32, вып. 6. С. 722-765. DOI: 10.18500/0869-6632-003138, EDN: PFFDTK

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Полный текст в формате PDF(Ru):
Иконка PDF and_2024-6_gonchenko_et-al_722-765.pdf
(загрузок: 0)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
Бифуркации в динамических системах. Детерминированный хаос. Квантовый хаос.
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
517.925 + 517.93
DOI: 
10.18500/0869-6632-003138
EDN: 
PFFDTK

Смешанная динамика: элементы теории и примеры

Авторы: 
Гонченко Сергей Владимирович, Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского (ННГУ)
Гонченко Александр Сергеевич, Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского (ННГУ)
Казаков Алексей Олегович, Высшая школа экономики
Самылина Евгения Александровна, Высшая школа экономики
Аннотация: 

Основной целью работы является представление недавних результатов, полученных в математической теории динамического хаоса и связанных с открытием его новой третьей формы, так называемой смешанной динамики. Этот тип хаоса сильно отличается от двух его классических форм — консервативного и диссипативного хаоса, и главное его отличие состоит в том, что аттракторы и репеллеры могут пересекаться, не совпадая при этом.

Основные результаты работы связаны с построением теоретических схем, направленных на математическое обоснование этого явления с помощью самых общих методов топологической динамики. В работе также приводится ряд примеров систем
из приложений, в которых наблюдается смешанная динамика. Показывается, что такая динамика может быть разных типов: от близкой к консервативной до сильно диссипативной, а также что она может возникать в результате различных бифуркационных механизмов.

Ключевые слова: 
динамический хаос
смешанная динамика
CRH-аттрактор
полный аттрактор
абсолютная область Ньюхауса
Благодарности: 
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РНФ № 24-11-00339 (раздел 1), гранта РНФ № 23-71-30008 (раздел 2). Исследования в разделе 3.1 проведены в рамках гранта FSWR-2020-0036 Министерства науки и высшего образования РФ, а исследования разделах 3.2 и 3.3 выполнены при финансовой поддержке программы фундаментальных исследований НИУ ВШЭ.
Список источников: 
  1. Аносов Д. В., Бронштейн И. У. Топологическая динамика // В кн.: Динамические системы–1. М.: ВИНИТИ, 1985. С. 224–227.
  2. Динамические системы с гиперболическим поведением // Итоги науки и техн. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления. Динамические системы-9 / Под ред. Аносова Д. В. М.: ВИНИТИ, 1991. 247 с.
  3. Gonchenko S. V. Reversible mixed dynamics: A concept and examples // Discontinuity, Nonlinearity, and Complexity. 2016. Vol. 5, no. 4. P. 365–374. DOI: 10.5890/DNC.2016.12.003.
  4. Гонченко С. В., Тураев Д. В. О трех типах динамики и понятии аттрактора // Труды МИАН. 2017. Vol. 297. P. 133–157. DOI: 10.1134/S0371968517020078.
  5. Гонченко С. В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. Об областях Ньюхауса двумерных диффеоморфизмов, близких к диффеоморфизму с негрубым гетероклиническим контуром // Труды МИАН. 1997. Vol. 216. P. 76–125.
  6. Turaev D. V. Richness of chaos in the absolute Newhouse domain // Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 2010. P. 1804–1815. DOI: 10.1142/9789814324359_0122.
  7. Turaev D. V. Maps close to identity and universal maps in the Newhouse domain // Communications in Mathematical Physics. 2015. Vol. 335, no. 3. P. 1235–1277. DOI: 10.1007/s00220-015-2338-4.
  8. Gonchenko S. V., Shilnikov L. P., Turaev D. V. Homoclinic tangencies of arbitrarily high orders in conservative and dissipative two-dimensional maps // Nonlinearity. 2007. Vol. 20, no. 2. P. 241–275. DOI: 10.1088/0951-7715/20/2/002.
  9. Turaev D. V. On dimension of non-local bifurcational problems // Bifurcation and Chaos. 1996. Vol. 6, no. 5. P. 919–948. DOI: 10.1142/S0218127496000515.
  10. Ruelle D. Small random perturbations of dynamical systems and the definition of attractors // Comm. Math. Phys. 1981. Vol. 82. P. 137–151. DOI: 10.1007/BF01206949.
  11. Newhouse S. Diffeomorphisms with infinitely many sinks // Topology. 1974. Vol. 13. P. 19–18.
  12. Afraimovich V. S., Shilnikov L. P. Strange attractors and quaiattractors // In.: G. I. Barenblatt, G. Iooss, D. D. Joseph (eds) Nonlinear Dynamics and Turbulence. Boston: Pitmen, 1983. P. 1–34.
  13. Tedeschini-Lalli L., Yorke J. A. How often do simple dynamical processes have infinitely many coexisting sinks? // Commun. Math. Phys. 1986. Vol. 106. P. 635–657. DOI: 10.1007/BF01463400.
  14. Lai Y. C., Grebogi C., Yorke J. A., Kan I. How often are chaotic saddles nonhyperbolic // Nonlinearity. 1993. Vol. 6, no. 5. P. 779–797.
  15. Pikovsky A., Topaj D. Reversibility vs. synchronization in oscillator latties // Physica D. 2002. Vol. 170. P. 118–130.
  16. Gonchenko A. S., Gonchenko S. V., Kazakov A. O., Turaev D. V. On the phenomenon of mixed dynamics in Pikovsky-Topaj system of coupled rotator // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2017. Vol. 350. P. 45–57. DOI: 10.1016/j.physd.2017.02.002.
  17. Gonchenko A. S., Gonchenko S. V., Kazakov A. O. Richness of chaotic dynamics in nonholonomic models of a Celtic stone // Regular and Chaotic Dynamics. 2013. Vol. 18, no. 5. P. 521–538. DOI: 10.1134/S1560354713050055.
  18. Delshams A., Gonchenko S. V., Gonchenko V. S., Lazaro J. T., Sten’kin O. Abundance of attracting, repelling and elliptic periodic orbits in two-dimensional reversible maps // Nonlinearity. 2013. Vol. 26. P. 1–33.
  19. Гонченко С. В., Гонченко М. С., Синицкий И. О. О смешанной динамике двумерных обратимых диффеоморфизмов с симметричными негрубыми гетероклиническими контурами // Изв. РАН. Сер. матем. 2020. Т. 84, № 1. С. 27–59. DOI: 10.1070/IM8786.
  20. Kazakov A. O. Strange attractors and mixed dynamics in the problem of an unbalanced rubber ball rolling on a plane // Regular and Chaotic Dynamics. 2013. Vol. 18, no. 5. P. 508–520. DOI: 10.1134/S1560354713050043.
  21. Kuznetsov S. P. Regular and chaotic motions of the Chaplygin sleigh with periodically switched location of nonholonomic constraint // EPL (Europhysics Letters). 2017. Vol. 118, no. 1. P. 10007. DOI: 10.1209/0295-5075/118/10007.
  22. Гонченко А. С., Гонченко С. В., Казаков А. О., Самылина Е. А. Хаотическая динамика и мультистабильность в неголономной модели кельтского камня // Известия вузов. Радиофизика. 2018. Vol. 61, no. 10. P. 867–882.
  23. Kazakov A. O. On the appearance of mixed dynamics as a result of collision of strange attractors and repellers in reversible systems // Radiophysics and Quantum Electronics. 2019. Vol. 61, no. 8–9. P. 650–658. DOI: 10.1007/s11141-019-09925-6.
  24. Kazakov A. O. Merger of a Henon-like attractor with a Henon-like repeller in a model of vortex dynamics // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2020. Vol. 30, no. 1. P. 011105. DOI: /10.1063/1.5144144.
  25. Emelianova A. A., Nekorkin V. I., On the intersection of a chaotic attractor and a chaotic repeller in the system of two adaptively coupled phase oscillators // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2019. Vol. 29, no. 11. P. 111102. DOI: 10.1063/1.5130994.
  26. Emelianova A. A., Nekorkin V. I., The third type of chaos in a system of two adaptively coupled phase oscillators // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2020. Vol. 30, no. 5. P. 051105. DOI: 10.1063/5.0009525.
  27. Ariel G., Schiff J. Conservative, dissipative and super-diffusive behavior of a particle propelled in a regular flow // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2020. Vol. 411. P. 132584. DOI: 10.1016/j.physd.2020.132584.
  28. Chigarev V., Kazakov A., Pikovsky A. Kantorovich-Rubinstein-Wasserstein distance between overlapping attractor and repeller // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2020. Vol. 30, no. 7. P. 073114. DOI: 10.1063/5.0007230.
  29. Гонченко С. В., Гонченко А. С., Казаков А. О. Три типа аттракторов и смешанная динамика неголономных моделей движения твердого тела // В кн.: Дифференциальные уравнения и динамические системы: сб. статей. Сер. Труды МИАН. Т. 308. М.: МИАН, 2020. P. 135–151. DOI: 10.4213/tm4053.
  30. Гонченко С. В. Три формы динамического хаоса // Изв. вузов. Радиофизика. 2020. Т. 63, № 9. С. 840–862.
  31. Гонченко С. В., Гонченко А. С., Морозов К. Е. Третий тип динамики и гомоклинические траектории Пуанкаре // Известия вузов. Радиофизика. 2023. Т. 66, № 9. C. 767–796. DOI: 10.52452/00213462-2023-66-09-767.
  32. Conley C. C. Isolated Invariant Sets and the Morse Index. Regional conference series in mathematics, vol. 38. American Mathematical Soc, 1978. 89 p. DOI: 10.1090/cbms/038.
  33. Hurley M. Attractors: persistency, and density of their basins // Trans. Amer. Math. Soc. 1982. Vol. 269, no. 1. P. 247–271. DOI: 10.1090/S0002-9947-1982-0637037-7.
  34. Galias Z., Tucker W. Is the Henon attractor chaotic? // Chaos. 2015. Vol. 25, iss. 3. 033102. ´ DOI: 10.1063/1.4913945.
  35. Tucker W. A rigorous ode solver and Smale’s 14th problem // Foundations of Computational Mathematics. 2002. Vol. 2. P. 53–117. DOI: 10.1007/s002080010018.
  36. Delshams A., Gonchenko M., Gonchenko S. V., Lazaro J. T. Mixed dynamics of 2-dimensional reversible maps with a symmetric couple of quadratic homoclinic tangencies // Discrete Continuous Dyn. Sys. A. 2018. Vol. 38, no. 9. P. 4483–4507. DOI: 10.3934/dcds.2018196.
  37. Тураев Д. В., Шильников Л. П. Пример дикого странного аттрактора // Матем. сборник. 1998. Vol. 189, no. 2. C. 137–160. DOI: 10.4213/sm300.
  38. Gonchenko S. V., Kazakov A. O., Turaev D. Wild pseudohyperbolic attractors in a four-dimensional Lorenz system // Nonlinearity. 2021. Vol. 34, no. 4. P. 2018–2047. DOI: 10.1088/1361-6544/abc794.
  39. Гаврилов Н. К., Шильников Л. П. О трехмерных динамических системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой. Часть 1 // Матем. сб. 1972. T. 88, № 4. C. 475–492.
  40. Гаврилов Н. К., Шильников Л. П. О трехмерных динамических системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой. Часть 2 // Матем. сб. 1973. T. 90, № 1. С. 139–156.
  41. Кузнецов С. П. Динамический хаос и гиперболические аттракторы. От математики к физике // Москва-Ижевск, 2013. 488 с.
  42. Tucker W. The Lorenz attractor exists // Comptes Rendus de l’Academie des Sciences-Series I-Mathematics. 1999. Vol. 328, № 12. P. 1197–1202. DOI: 10.1016/S0764-4442(99)80439-X.
  43. Афраймович В. С., Быков В. В., Шильников Л. П. О возникновении и структуре аттрактора Лоренца // ДАН СССР. 1977. Т. 234, № 2. C. 336–339.
  44. Афраймович В. С., Быков В. В., Шильников Л. П. О притягивающих негрубых множествах типа аттрактора Лоренца // Труды ММО. 1982. Т. 44. С. 150–212.
  45. Lorenz E. Deterministic nonperiodic flow // Journal of the Atmospheric Sciences. 1963. Vol. 20, no. 2. P. 130–141. DOI: 10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.C.
  46. Gonchenko S., Ovsyannikov I., Simo C., Turaev D. Three-dimensional Henon-like maps and wild Lorenz-like attractors // Int. J. of Bifurcation and chaos. 2005. Vol. 15, no. 11. P. 3493–3508. DOI: 10.1142/S0218127405014180.
  47. Gonchenko S. V., Gonchenko A. S., Ovsyannikov I. I., Turaev D. V. Examples of Lorenz-like attractors in Henon-like maps // Math. Model. Nat. Phen. 2013. Vol. 8, no. 5. P. 48–70.
  48. Gonchenko S., Gonchenko A., Kazakov A., Samylina E. On discrete Lorenz-like attractors // Chaos. 2021. Vol. 31, iss. 2. P. 023117. DOI: 10.1063/5.0037621.
  49. Гонченко А. С., Гонченко С. В., Шильников Л. П. К вопросу о сценариях возникновения хаоса у трехмерных отображений // Нелинейная Динамика. 2012. Т. 8, № 1. С. 3–28.
  50. Gonchenko A. S., Gonchenko S. V., Kazakov A. O., Turaev D. Simple scenarios of onset of chaos in three-dimensional maps // Int. J. Bif. and Chaos. 2014. Vol. 24, no. 8. 25 p. DOI: 10.1142/S0218127414400057.
  51. Gonchenko S., Karatetskaia E., Kazakov A., Kruglov V. Conjoined Lorenz twins — a new pseudohyperbolic attractor in three-dimensional maps and flows // Chaos. 2022. Vol. 32. P. 121107. DOI: 10.1063/5.0123426.
  52. Borisov A. V., Kazakov A. O., Sataev I. R. The reversal and chaotic attractor in the nonholonomic model of Chaplygin’s top // Regular and Chaotic Dynamics. 2014. Vol. 19. P. 718–733. DOI: 10.1134/S1560354714060094.
  53. Гонченко С. В. Об устойчивых периодических движениях в системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой // Мат.заметки. 1983. Т. 33, вып. 5. C. 745–755.
  54. Gonchenko S. V., Simo C., Vieiro A. Richness of dynamics and global bifurcations in systems with a homoclinic figure-eight // Nonlinearity. 2013. Vol. 26, no. 3. P. 621–678. DOI: 0.1088/0951-7715/26/3/621.
  55. Гонченко С. В. О двухпараметрическом семействе систем, близких к системе с негрубой гомоклинической кривой // В кн.: Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Горький, 1985. С. 55–72.
  56. Henon M. A two-dimensional mapping with a strange attractor // Commun. Math. Phys. 1976. Vol. 50. P. 69–77. DOI: 10.1007/BF01608556.
  57. Benediks M., Carleson L. Dynamics of the Henon Map // Ann. Math. 1991. Vol. 133. P. 73–169. DOI: 10.2307/2944326.
  58. Гонченко С. В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. О существовании областей Ньюхауса вблизи систем с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре (многомерный случай) // Докл. Росс. Акад. Наук. 1993. Т. 329, № 4. С. 404–407.
  59. Gonchenko S. V., Gonchenko V. S, Shilnikov L. P. On homoclinic origin of Henon-like maps // Regular and Chaotic Dynamics. 2010. Vol. 15, no. 4–5. P. 462–481. DOI: 10.1134/S1560354710040052.
  60. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 304 с.
  61. Biragov V. S. Bifurcations in a two-parameter family of conservative mappings that are close to the Henon mapping // Methods of the qualitative theory of differential equations. 1987. P. 10–24. 
  62. Simo C., Vieiro A. Resonant zones, inner and outer splitting in generic and low order resonances of area preserving maps // Nonlinearity. 2009. Vol. 22, no. 5. P. 1191–1245. DOI: 10.1088/0951-7715/22/5/012.
  63. Milnor J. On the concept of attractor // Comm. Math. Phys. 1985. Vol. 99. P. 177–195. DOI: 10.1007/BF01212280.
  64. Минков С. С. Толстые аттракторы и косые произведения: диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук. Москва, 2016. 61 с.
  65. Тураев Д. В., Шильников Л. П. Псевдогиперболичность и задача о периодическом возмущении аттракторов лоренцевского типа // Доклады Академии Наук. 2008. Т. 418, № 1.
  66. Gonchenko A. S., Gonchenko S. V., Kazakov A. O., Kozlov A. D. Elements of contemporary theory of dynamical chaos: A tutorial. Part I. Pseudohyperbolic attractors // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2018. Vol. 28, no. 11. P. 1830036. DOI: 10.1142/S0218127418300367.
  67. Гонченко C. В., Лэмб Й. С. В., Риос И., Тураев Д. Аттракторы и репеллеры в окрестности эллиптических точек обратимых систем // Доклады РАН. 2014. Vol. 454. P. 375–378. DOI: 10.7868/S0869565214040045.
  68. Newhouse S. Nondensity of axiom A(α) on S2 // Global Analysis, Proc. Sympos. Pure Math. 1970. Vol. 14. C. 191–202.
  69. Newhouse S. The abundance of wild hyperbolic sets and non-smooth stable sets for diffeomorphisms // Publ. Math. IHES. 1979. Vol. 50. P. 101–152. DOI: 10.1007/BF02684771.
  70. Guckenheimer J., Williams R. F. Structural stability of Lorenz attractors // Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. 1979. Vol. 50. P. 59–72. DOI: 10.1007/BF02684769.
  71. Malkin M. I. Rotation intervals and dynamics of Lorenz-like maps // In: Methods of qualitative theory of diff. eq. Gorki, 1985. C. 122–139.
  72. Гонченко С. В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. О моделях с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре // ДАН СССР. 1991. Т. 320, № 2. С. 269–272.
  73. Gonchenko S. V., Shil’nikov L. P., Turaev D. V. On models with non-rough Poincare homoclinic curves // Physica D. 1993. Vol. 62, no. 1–4. P. 1–14. DOI: 10.1016/0167-2789(93)90268-6.
  74. Гонченко С. В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. Динамические явления в многомерных системах с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре // Докл. Росс. Акад. Наук. 1993. Т. 330, № 2. С. 144–147.
  75. Gonchenko S. V., Shilnikov L. P., Turaev D. On dynamical properties of multidimensional diffeomorphisms from Newhouse regions // Nonlinearity. 2008. Vol. 21, no. 5. P. 923–972. DOI: 10.1088/0951-7715/21/5/003.
  76. Гонченко С. В., Шильников Л. П. Об инвариантах Ω-сопряженности диффеоморфизмов с негрубой гомоклинической траекторией // Укр. мат. журнал. 1990. Т. 42, № 2. С. 153–159.
  77. Гонченко С. В., Шильников Л. П. О модулях систем с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре // Известия Росс. Акад. Наук, серия математическая. 1992. Т. 56, № 6. С. 1165–1197.
  78. Гонченко С. В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. Гомоклинические касания произвольного порядка в областях Ньюхауса // Итоги науки и техники, современная математика и ее приложения; тематические обзоры. 1999. Т. 67. C. 69–128.
  79. Palis J., Viana M. High dimension diffeomorphisms displaying infinitely many sinks // Ann. Math. 1994. Vol. 140. P. 91–136.
  80. Romero N. Persistence of homoclinic tangencies in higher dimensions // Ergod. Th. and Dyn. Sys. 1995. Vol. 15. P. 735–757.
  81. Gonchenko S. V., Shilnikov L. P., Turaev D. V. Dynamical phenomena in systems with structurally unstable Poincare homoclinic orbits // Chaos. 1996. Vol. 6, No. 1. P. 15–31. DOI: 10.1063/1.166154.
  82. Гонченко С. В., Гонченко В. С. О бифуркациях рождения замкнутых инвариантных кривых в случае двумерных диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями // Труды МИАН. 2004. Т. 244. С. 87–114.
  83. Гаврилов Н. К. О трехмерных динамических системах, имеющих негрубый гомоклинический контур // Мат. заметки. 1973. Т. 14, № 5. С. 687–697.
  84. Гонченко С. В. Модули Ω-сопряженности двумерных диффеоморфизмов с негрубым гетероклиническим контуром. Мат. сборник. 1996. Т. 187, no. 9. C. 3–24. DOI: 10.4213/sm155.
  85. Gonchenko S. V., Shilnikov L. P., Stenkin O. V. On Newhouse regions with infinitely many stable and unstable invariant tori // Proc. Int. Conf. Progress in Nonlinear Science dedicated to 100th Anniversary of A. A. Andronov, July 2–6; “Mathematical Problems of Nonlinear Dynamics”, vol. 1. Nizhni Novgorod, 2002. P. 80–102.
  86. Гонченко С. В. Динамические системы с гомоклиническими касаниями, омега-модули и бифуркации: диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Н. Новгород, 2004. 300 с.
  87. Гонченко С. В., Стенькин О. В., Шильников Л. П. О существовании счетного множества устойчивых и неустойчивых инвариантных торов у систем из областей Ньюхауса с гетероклиническими касаниями // Нелинейная динамика. 2006. Т. 2, № 1. С. 3–25.
  88. Dmitriev A. S., Komlev Yu. A., Turaev D. V. Bifurcation phenomena in the 1:1 resonant horn for the forced van Der Pol-Duffing equation // Int. J. Bifurcation Chaos. 1992. Vol. 2, no. 1. P. 93–100. DOI: 10.1142/S0218127492000094.
  89. Lamb J. S. W., Roberts J. A. G. Time-reversal symmetry in dynamical systems: A survey // Physica D. 1998. Vol. 112. P. 1–39.
  90. Rom-Kedar V., Wiggins S. Transport in two-dimensional maps // Arch. Ration. Mech. Anal. 1990. Vol. 109, no. 3. P. 239–298.
  91. Haragus M., Iooss G. Reversible bifurcations // In: Local Bifurcations, Center Manifolds, and Normal Forms in Infinite-Dimensional Dynamical Systems. London: Universitext, Springer, 2011.
  92. Lerman L. M., Turaev D. V. Breakdown of symmetry in reversible systems // Reg. Chaotic Dyn. 2012. Vol. 17, no. 3–4. P. 318–336. DOI: 10.1134/S1560354712030082.
  93. Lamb J. S. W., Stenkin O. V. Newhouse regions for reversible systems with infinitely many stable, unstable and elliptic periodic orbits // Nonlinearity. 2004. Vol. 17, no. 4. P. 1217–1244. DOI: 10.1088/0951-7715/17/4/005.
  94. Борисов А. В., Мамаев И. С. Странные аттракторы в динамике кельтских камней // Успехи физических наук. 2003. Vol. 173, no. 4, 407–418. DOI: 10.3367/UFNr.0173.200304d.0407.
  95. Кузнецов С. П., Жалнин А. Ю., Сатаев И. Р., Седова Ю. В. Феномены нелинейной динамики диссипативных систем в неголономной механике кельтского камня // Нелинейная динамика. 2012. Vol. 8, no. 4. С. 735–762.
  96. Kozlov V. V. On the theory of integration of the equations of nonholonomic mechanics // Uspekhi Mekh. 1985. Vol. 8, no. 3. P. 85–107. DOI: 10.1070/RD2002v007n02ABEH000203.
  97. Bizyaev I. A., Borisov A. V., Kazakov A. O. Dynamics of the Suslov problem in a gravitational field: reversal and strange attractors // Regular and Chaotic Dynamics. 2015. Vol. 20, no. 5. P. 605–626.
Поступила в редакцию: 
15.07.2024
Принята к публикации: 
04.08.2024
Опубликована онлайн: 
26.11.2024
Опубликована: 
29.11.2024
  • 116 просмотров