Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)

Для цитирования:

Павлов А. Н., Анищенко В. С. Вычисление старшего ляпуновского показателя по последовательности времен возврата: возможности и ограничения // Известия вузов. ПНД. 1999. Т. 7, вып. 4. С. 59-74. DOI: 10.18500/0869-6632-1999-7-4-59-74

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Полный текст в формате PDF(Ru):
Иконка PDF 1999no4p059.pdf
(загрузок: 0)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
Методические заметки по нелинейной динамике
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
538.56:517.33:621.373
DOI: 
10.18500/0869-6632-1999-7-4-59-74

Вычисление старшего ляпуновского показателя по последовательности времен возврата: возможности и ограничения

Авторы: 
Павлов Алексей Николаевич, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского (СГУ)
Анищенко Вадим Семенович, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского (СГУ)
Аннотация: 

Мы анализируем возможность определения динамических характеристик хаотического аттрактора по последовательности времен возврата и исследуем вопрос о влиянии выбора секущей плоскости на результат реконструкции. На примере модели Ресслера продемонстрировано, что старший ляпуновский показатель может быть определен по последовательности времен возврата в секущую даже в том случае, когда не все фазовые траектории €€ пересекают.

Ключевые слова: 
-
Благодарности: 
Работа частично финансировалась зa счет гранта INTAS (№ 96-0305).
Список источников: 
  1. Tuckwell HC. Introduction to theoretical neurobiology. Linear Cable Theory and Dendritic Structure. Cambridge: Cambridge University Press; 1988. 291 p. DOI: 10.1017/CBO9780511623271. Tuckwell HC. Introduction to theoretical neurobiology. Nonlinear and Stochastic Theories. Cambridge: Cambridge University Press; 1988. 265p. DOI: 10.1017/CBO9780511623202.
  2. Heart rate variability: standards of measurement, physiological interpretation and clinical use. Task Force of the European Society of Cardiology and the North American Society of Pacing and Electrophysiology Circulation. 1996;93(5):1043-1065.
  3. Sherman А. Anti-phase, asymmetric аnd aperiodic oscillations in excitable cells — I. Coupled bursters. Bulletin of Mathematical Biology. 1994;56(5):811-835. DOI: 10.1007/BF02458269.
  4. Longtin А, Bulsara А, Moss F. Time-interval sequences in the bistable sysiems and the noise-induced transmission of information by sensory neurons. Phys. Rev. Lett. 1991;67(5):656-659. DOI: 10.1103/PhysRevLett.67.656. Douglass JK, Wilkens L, Pantazelou E, Moss F. Noise enhancement оf the information in crayfish mechanoreceptors by stochastic resonance. Nature. 1993;365(6444):337-340. DOI: 10.1038/365337a0. Moss F, Pei Х. Neurons in parallel. Nature. 1995;376:211. Richardson КА, Imhoff TT, Grigg Р, Collins JJ. Encoding chaos in neural spike train. Phys. Rev. Lett. 1998;80(11):2485-2488. DOI: 10.1103/PhysRevLett.80.2485. Gluckman BJ, Netoff TI, Neel EJ, Ditto WL, Spano ML, Schiff SJ. Stochastic resonance in a neuronal network from mammalian brain source. Phys. Rev. Lett. 1996;77(19):4098-4101. DOI: 10.1103/PhysRevLett.77.4098.
  5. Sauer Т. Reconstruction оf dynamical system from interspike intervals. Phys. Rev. Lett. 1994;72(24):3811-3814.
  6. Castro R, Sauer T. System reconstruction and analysis using interspike intervals. Preprint. 1996.
  7. Sauer Т. Reconstruction оf integrate—and—fire dynamics. In: Cutler CD, Kaplan DT, editors. Nonlinear Dynamics and Time Series: Building a Bridge Between the Natural and Statistical Sciences. Vol. 11. Providence: American Mathematical Society; 1997. P. 63. DOI: 10.1090/fic/011/05.
  8. Bialek W, Rieke F, De Ruyter van Steveninck RR, Warland D. Reading a neural code. Science. 1991;252(5014):1854-1857. DOI: 10.1126/science.2063199. Gabbiani F, Koch C. Coding of time-varying signals in spike trains of integrate—and—fire neurons with random threshold. Neural Comput. 1996;8(1):44-66. DOI: 10.1162/neco.1996.8.1.44.
  9. Hegger R, Kantz H. Embedding of sequence оf time intervals. Europhys. Lett. 1997;38:267-272.
  10. Racicot DM, Longtin A. Interspike interval attractors from chaotically driven neuron models. Physica D. 1997;104(2):184-204. DOI: 10.1016/S0167-2789(97)00296-0.
  11. Castro R, Sauer Т. Chaotic stochastic resonance: Noise—enhanced reconstruction оf attractor. Phys. Rev. Lett. 1997;79(6):1030-1033. DOI: 10.1103/PhysRevLett.79.1030. Castro R, Sauer Т. Correlation dimension оf attractors through interspike intervals. Phys. Rev. E. 1997;55(1):287-290. DOI: 10.1103/PhysRevE.55.287. Castro R, Sauer Т. Reconstructing chaotic dynamics through spike filters. Phys. Rev. E. 1999;59(3):2911-2917. DOI: 10.1103/PhysRevE.59.2911.
  12. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence. In: Rang D, Young LS, editors. Dynamical Systems and Turbulence, Warwick 1980. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 898. Berlin: Springer; 1981. P. 366-381. DOI: 10.1007/BFb0091924. Packard NH, Cruichfield JP, Farmer JD, Shaw RS. Geometry from а time series. Phys. Rev. Lett. 1980;45(9):712-716. DOI: 10.1103/PhysRevLett.45.712. Sauer T, Yorke JA, Casdagli М. Embedology. J. Stat. Phys. 1991;65:579-616. DOI: 10.1007/BF01053745.
  13. Janson NB, Pavlov AN, Neiman AB, Anishchenko VS. Reconstruction of dynamical and geometrical properties of chaotic attractors from threshold—crossing interspike intervals. Phys. Rev. Е. 1998;58(1):4-7. DOI: 10.1103/PhysRevE.58.R4.
  14. Sauer T, Tempkin JA, Yorke JA. Spurious Lyapunov exponents in attractor reconstruction. Phys. Rev. Lett. 1998;81(20):4341-4344. DOI: 10.1103/PhysRevLett.81.4341.
  15. Dawson SP. Strange nonattracting chaotic sets, crises, and fluctuating Lyapunov exponents. Phys. Rev. Lett. 1996;76(23):4348-4351. DOI: 10.1103/PhysRevLett.76.4348.
  16. Froyland G, Judd K, Mees АI. Estimation of Lyapunov exponents оf dynamical systems using a spatial average. Phys. Rev. E. 1995;51(4):2844-2855. DOI: 10.1103/PhysRevE.51.2844.
  17. Анищенко B.C., Сафонова M.A. Индуцированное шумом экспоненциальное разбегание фазовых траекторий в окрестности регулярных аттракторов / Письма в Ж'ТФ. 1986. Т. 12, вып. 12. С. 740; 
    Anishchenko V.S., Herzel Н.Р. Noise—induced chaos in а system with homoclinic points // ZAMM. 1988. Vol. 68, Ne 7. P. 317. 
  18. Benettin G, Galgani L, Giorgilli A, Strelcyn JM. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for hamiltonian systems; а method for computing аll of them. Part 1: Theory. Meccanica. 1980;15:9-20. DOI: 10.1007/BF02128236.
  19. Shimada I, Nagashima Т. A numerical approach to ergodic problem оf dissipative dynamical system. Progr. Theor. Phys. 1979;61(6):1605-1616. DOI: 10.1143/PTP.61.1605.
  20. Wiesel WE. Continuous time algorithm for Lyapunov exponents. I. Phys. Rev.E. 1993;47(5):3686-3691. DOI: 10.1103/PhysRevE.47.3686. Wiesel WE. Continuous time algorithm for Lyapunov exponents. II. Phys. Rev.E. 1993;47(5):3692-3697. DOI: 10.1103/PhysRevE.47.3692.
  21. Wiesel WE. Extended Lyapunov exponents. Phys. Rev. А. 1992;46(12):7480-7491. DOI: 10.1103/PhysRevA.46.7480. Theiler J, Smith LA. Anomalous convergence of Lyapunov exponent estimates. Phys. Rev. E. 1995;51(4):3738-3741. DOI: 10.1103/physreve.51.3738. Dawson S, Grebogi C, Sauer T, Yorke JA. Obstructions to shadowing when а Lyapunov exponent fluctuates about zero. Phys. Rev. Lett. 1994;73(14):1927-1930. DOI: 10.1103/PhysRevLett.73.1927. Rangarajan G, Habib S, Ryne RD. Lyapunov exponents without rescaling and reorthogonalization. Phys. Rev. Lett. 1998;80(17):3747-3750. DOI: 10.1103/PhysRevLett.80.3747. Ershov SV, Роtapov AB. On the concept оf stationary Lyapunov basis. Physica D. 1998;118(3-4):167-198. DOI: 10.1016/S0167-2789(98)00013-X. Потапов А.Б. Методы и алгоритмы нелинейной динамики в задачах оценки параметров динамических моделей и прогноза по временным рядам // Автореф. дис.... д-ра физ.-мат. наук. 1999.
  22. Wolf А, Swift JB, Swinney HL, Vastano JA. Determining Lyapunov exponents from a time series. Physica D. 1985;16(3):285-317. DOI: 10.1016/0167-2789(85)90011-9.
  23. Eckmann JP, Kamphorst SO, Ruelle D, Ciliberto S. Liapunov exponents from a time series. Phys. Rev. A. 1986;34(6):4971-4979. DOI: 10.1103/PhysRevA.34.4971. Sano M, Sawada Y. Measurement оf the Lyapunov spectrum from а chaotic time series. Phys. Rev. Lett. 1985;55(10):1082-1085. DOI: 10.1103/PhysRevLett.55.1082. Brown R. Calculating Lyapunov exponents for short and/or noisy data sets. Phys. Rev. E. 1993;47(6):3962-3969. DOI: 10.1103/PhysRevE.47.3962. Parlitz U. Identification of true аnd spurious Lyapunov exponents from time series. Int. J. Bifurc. Chaos. 1992;2(1):155-165. DOI: 10.1142/S0218127492000148.
  24. Kantz H. A robust method to estimate the maximal Lyapunov exponents of a time series. Phys. Lett. А. 1994;185(1):77-87. DOI: 10.1016/0375-9601(94)90991-1.
  25. Eckmann JP, Ruelle D. Fundamental limitations for estimating dimensions and Lyapunov exponents in dynamical systems. Physica D. 1992;56(2-3):185-187. DOI: 10.1016/0167-2789(92)90023-G. Brown R, Bryant Р, Abarbanel HDI. Computing the Lyapunov spectrum оf а dynamical system from аn observed time series. Phys. Rev. А. 1991;43(6):2787-2806. DOI: 10.1103/PhysRevA.43.2787. Karantonis A, Pagitsas M. Comparative study for the calculation of the Lyapunov spectrum from nonlinear experimental signals. Phys. Rev. Е. 1996;53(5):5428-5444. DOI: 10.1103/PhysRevE.53.5428. Zeng X, Eukholt R, Pielke RA. Estimating the Lyapunov-exponent spectrum from short time series of low precision. Phys. Rev. Lett. 1991;66(25):3229-3232. DOI: 10.1103/PhysRevLett.66.3229. Bryant Р, Brown R, Abarbanel HDl. Lyapunov exponents from observed time series. Phys. Rev. Lett. 1990;65(13):1523-1526. DOI: 10.1103/PhysRevLett.65.1523.
  26. Потапов А.Б. Качество реконструкций хаотических аттракторов и выбор параметров реконструкции // Препринт Института прикладной математики РАН. 1995. № 13. 28 с.;  Роtароv А. Distortions оf reconstruction for chaotic attractors. Physica D. 1997;101(3-4):207-226. DOI: 10.1016/S0167-2789(96)00234-5.
  27. Paladin G, Serva M, Vulpiani A. Complexity in dynamical systems with noise. Phys. Rev. Lett. 1995;74(1):66-69. DOI: 10.1103/PhysRevLett.74.66. Loreto V, Paladin G, Vulpiani A. Concept of complexity in random dynamical systems. Phys. Rev. E. 1996;53(3):2087-2098. DOI: 10.1103/PhysRevE.53.2087.
  28. Faure Р, Korn H. A new mecthod to estimate the Kolmogorov entropy from recurrence plots: its application to neuronal signals. Physica D. 1998;122(1-4):265-279. DOI: 10.1016/S0167-2789(98)00177-8.
  29. Farmer JD, Sidorowich JJ. Predicting chaotic time series. Phys. Rev. Lett. 1987;59(8):845-848. DOI: 10.1103/PhysRevLett.59.845.
Поступила в редакцию: 
26.04.1999
Принята к публикации: 
09.06.1999
Опубликована: 
01.10.1999
  • 268 просмотров