Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)

Для цитирования:

Учайкин В. В. Дробно-дифференциальные модели в гидромеханике // Известия вузов. ПНД. 2019. Т. 27, вып. 1. С. 5-40. DOI: 10.18500/0869-6632-2019-27-1-5-40

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Полный текст в формате PDF(Ru):
Иконка PDF maket_1_2019-5-40.pdf
(загрузок: 550)
Полный текст в формате PDF(En):
Иконка PDF uchaykin2019-1_engl.pdf
(загрузок: 199)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
Обзоры актуальных проблем нелинейной динамики
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
517.524
DOI: 
10.18500/0869-6632-2019-27-1-5-40

Дробно-дифференциальные модели в гидромеханике

Авторы: 
Учайкин Владимир Васильевич, Ульяновский государственный университет
Аннотация: 

Тема и цель обзора. Два последних десятилетия отмечены широким распространением в теоретическом описании естественных процессов дробно-дифференциального аппарата. Замена целочисленного порядка производной вещественным (а то и комплексным) числом открывает непрерывное поле новых дифференциальных уравнений, в котором стандартный набор уравнений теоретический физики (волновое, диффузионное, и пр.) представлен отдельными колосками в точках с целочисленными координатами. Но что физически значат производные дробных порядков? Каковы общие причины появления дробных производных в уравнениях? Можно ли заранее предсказать появление дробных операторов в той или иной задаче? Вопросы эти пока не сняты с повестки дня и остаются в центре внимания каждой из конференций, посвящённых теории и применению этого аппарата. Эта тема развивается и в настоящей статье. Её целью является демонстрация дробно-дифференциального аппарата в наиболее, если можно так выразиться, классической области теоретической физики – гидродинамике. Исследуемые модели. В обзоре рассматриваются гидромеханические задачи, в которых естественным образом возникает потребность в производных дробного порядка: движение тел в вязкой жидкости, гидромеханика турбулентности, турбулентная диффузия. Никаких экзотических структур, фракталов, квантово-механических парадоксов. Результаты. В обзоре показано, как дробно-дифференциальное исчисление рождается на классическом поле гидродинамических задач под пером Гейзенберга, Вайцзеккера, Колмогорова, Обухова, Монина – теоретиков, которых невозможно заподозрить в некритическом отношении к математическому аппарату. Обсуждение. Собственно, весь обзор является непрерывным обсуждением «неизбежности странного мира» дробного исчисления (см. Учайкин В.В. Метод дробных производных. Ульяновск: «Артишок», 2008), и то, что это обнаруживается уже «в стенах» классической гидромеханики, только усиливает убедительность выводов.  

Ключевые слова: 
дробный лапласиан
нелокальность
турбулентная диффузия
проекционные операторы
открытые системы
Список источников: 
  1. Рутман Р.С. О физических интерпретациях фрактального интегрирования и дифференцирования // ТМФ. 1995. Т. 105, № 3. С. 393–404.
  2. Учайкин В.В. Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые законы // УФН. 2003. T. 173. C. 847–876.
  3. Сибатов Р.Т., Учайкин В.В. Дробно-дифференциальный подход к описанию дисперсионного переноса в полупроводниках // УФН. 2009. T. 179. C. 1079–1104.
  4. Учайкин В.В. Дробно-дифференциальная феноменология аномальной диффузии космических лучей // УФН. 2013. T. 183. C. 1175–1223.
  5. Учайкин В.В. Метод дробных производных. Ульяновск: Изд-во «Артишок», 2008.
  6. Uchaikin V.V. Fractional Derivatives for Physicists and Engineers. Vol’s I–II, Springer Berlin, HEP Beijing, 2013.
  7. Boltzmann L. Zur Theorie der Elastishen Nachwirkungen. Akad. Wiss. Wien, Math. Naturwiss. 1874, vol.70, no. 2, pp. 275–306.
  8. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976
  9. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982.
  10. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977. 
  11. Valanis K.C. and Lee C.F. Endochronic theory of cyclic plasticity with application. J. Appl. Mech., 1984, vol. 51, pp. 367–374.
  12. Blatt J.M. An alternative approach to the ergodic problem. Progress in Theoretical Physics, 1959, vol. 22, pp. 745–756.
  13. Maugin G.A. and Muschik W. Thermodynamics with internal variables. Part I. General concepts. Journal of Non-Equilibrium Thermodynamics, 1994, vol. 19, pp. 217–249.
  14. Maugin G.A. and Muschik W. Thermodynamics with internal variables. Part II. Applications. Journal of Non-Equilibrium Thermodynamics, 1994, vol. 19, pp. 250–289.
  15. Maugin G. The Thermomechanics of Nonlinear Irreversible Behaviors (An Introduction). World Scientific, Singapure–New Jersey–London–Hong Kong, 1999.
  16. Gemant A. A method of analyzing experimental results obtained from elastoviscous bodies. Physics, 1936, vol. 7, pp. 311–317.
  17. Герасимов А.Н. Обобщение линейных законов деформирования и его применение к задачам внутреннего трения // Прикладная математика и механика. 1948. т. XII. C. 251–260. 
  18. Нигматуллин Р.Р. Дробный интеграл и его физическая интерпретация // ТМФ. 1992. Vol. 90. no. 3. P. 354–368.
  19. Hilfer R. Classification theory for anequilibrium phase transitions. Phys Rev E., 1993, vol. 48, pp. 2466–2475.
  20. Hilfer R. Fractional time evolution, In Applications of Fractional Calculus in Physics. R. Hilfer (ed.), World Scientific, Singapore, 2000, pp. 87–131.
  21. Lukashchuk S.Yu. Time-fractional extensions of the Liouville and Zwanzig equation. Cent. Eur. J. Phys., 2013, vol. 11, no. 6, p. 740.
  22. Kwok Sau Fa. A falling body problem through the air in view of the fractional derivative approach. Physica A, 2005, vol. 350, pp. 199–206.
  23. Narahari Achar B.N., Hanneken J.W., Enck T., Clarke T. Dynamics of the fractional oscillator. Physica A, 2001, vol. 297, pp. 361–367.
  24. Ryabov Ya.E. and Puzenko A. Damped oscillations in view of the fractional oscillator equation. Phys. Rev. B, 2002, vol. 66, 184201.
  25. Baleanu D., Golmankhaneh A.K., Nigmatullin R., Golmankhaneh Ali K. Fractional Newtonian mechanics Cent. Eur. J. Phys., 2010, vol. 8, no. 1, pp. 120–125.
  26. Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М.: ГИТТЛ, 1955.
  27. Boussinesq V.J. Sur la resistance quoppose un fluide indefini au repose...Compt.Rend.de l’Academ. des Sci. 1885, vol. 100, pp. 935–937.
  28. Basset A.B. Treatise on Hydrodynamics 2.,Deighton, Bell and Co., Cambridge. UK, 1888.
  29. Zener C.M. Anelasticity of metals. Suppl. Nuovo Cimento, 1958, vol. 7, p. 544.
  30. Учайкин В.В., Сибатов Р.Т. Дробно-дифференциальная кинетика дисперсионного переноса как следствие его автомодельности // Письма в ЖЭТФ. 2007. Т. 86. P. 584–588.
  31. Uchaikin V.V., Sibatov R.T. Fractional Kinetics in Solids, World Scientific, 2013.
  32. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М.: Наука, 1965.
  33. van Hove L. The approach to equilibrium in quantum statistics: A perturbation treatment to general order. Physica, 1957, vol. 23, pp. 441–480.
  34. Prigogine I., Resibois P. On the kinetics of the approach to equilibrium. Physica, 1961, vol. 27, pp. 629–646.
  35. Brout R., Prigogine I. Statistical mechanics of irreversible processes, Physica, 1956, vol. 22, pp. 35–47, 263–272, 621–636.
  36. Резибуа П., Де Ленер М. Классическая кинетическая теория жидкостей и газов. М.: Мир, 1980.
  37. Zwanzig R. Nonequilibrium Statistical Mechanics. New York: Oxford University Press, 2001.
  38. Монтролл Э.В. В сб.: Термодинамика необратимых процессов. М., 1962.
  39. Честер Дж. В сб.: Термодинамика необратимых процессов. М., 1962.
  40. Олдер Б. Дж., Алли У.Е. В сб.: Физика за рубежом 86. М.: Мир, 1986. C. 52.
  41. Richardson L.F. Atmospheric diffusion on a distance-neighbor graph. Proc. Roy Soc. London, Ser A, 1926, vol. 110, pp. 709–737.
  42. Колмогоров А.Н. Рассеяние энергии при локально изотропной турбулентности // ДАН СССР. 1941. T. 32. C. 16–18.
  43. Обухов А.М. О распределении энергии в спектре турбулентного потока // ДАН СССР. 1941. Vol. 32. С. 22–24.
  44. Jullien M.C., Paret J., Tabeling P. Richardson pair dispersion in two-dimensional turbulence. Phys. Rev. Lett., 1999, vol. 82, p. 2872.
  45. Tchen C.M. Diffusion of Particles in Turbulent Flow. Advances in Geophysics, 1959, vol. 9, pp. 165–174.
  46. Heisenberg W. Zur Statistischen Theorie der Turbulenz. Zeitschrift fuer Physik 1948, vol. 124, pp. 628–657.
  47. Монин А.С., Яглом А.М. Статистическая гидромеханика. Часть I. М.: Наука, 1965; Часть II. М.: Наука, 1967. 
  48. Shlesinger M., Klafter J., West B. Levy walks with applications to turbulence and chaos. Physica, 1986, vol. 140A, pp. 212–218.
  49. Schonfeld J.C. Integral diffusivity. Journal of Geophysical Research, 1962, vol. 67, no. 8, pp. 3187–3199.
  50. Tchen C.M. Transport processes as foundations of the Heisenberg and Obukhoff theories of turbulence. Phys Rev., 1954, vol. 93, no. 1, pp. 4–14.
  51. Учайкин В.В. Механика. Основы механики сплошных сред. СПб: Лань, 2016
  52. Uchaikin V.V. On time-fractional representation of an open system response. Fractional Calculus and Applied Analysis, 2016, vol. 19, no. 5, pp. 1306–1315.
  53. Климонтович Ю.Л. Введение в физику открытых систем. М.: Янус-К, 2002.
  54. Lindenberg K., West B.J. The Nonequilibrium Statistical Mechanics of Open and Closed Systems, Wiley, VCH Publishers, New York, 1990.
  55. Di-Ventra M. Electrical Transport in Nanoscale Systems. Cambridge University Press, 2008.
  56. Учайкин В.В. О дробно-дифференциальном уравнении Лиувилля как уравнении динамики открытой системы // Научные ведомости Белгородского университета. Cерия: Математика. Физика. 2014. T. 25(196), вып. 37. C. 58–67.
  57. Слонимский Г.Л. О законе деформации высокоэластичных полимерных тел // Докл. АН СССР. 1961. T. 140, № 2. C. 343–346.
Поступила в редакцию: 
25.06.2018
Принята к публикации: 
20.09.2018
Опубликована: 
28.02.2019
Краткое содержание:
Иконка PDF a2019no1r005.pdf
(загрузок: 215)
  • 3031 просмотр