Для цитирования:
Богатов Е. М., Мухин Р. Р. Метод усреднения, маятник с вибрирующим подвесом: Н.Н. Боголюбов, А. Стефенсон, П.Л. Капица и другие // Известия вузов. ПНД. 2017. Т. 25, вып. 5. С. 69-87. DOI: 10.18500/0869-6632-2017-25-5-69-87
Метод усреднения, маятник с вибрирующим подвесом: Н.Н. Боголюбов, А. Стефенсон, П.Л. Капица и другие
В работе прослеживаются главные моменты исторического развития одного из основных методов исследования нелинейных систем – метода усреднения, который понимается как переход от так называемого точного уравнения dx/dt = εX(t, x) (ε – малый параметр), к усреднённому уравнению dξ/dt = εX0(ξ) + ε2P2(ξ) + ... + εmPm(ξ) путём подходящей замены переменной. Анализируется подход Боголюбова–Крылова к проблеме обоснования метода усреднения, основанный на теореме об инвариантной мере. В работе представлена эволюция взглядов на физический маятник с вибрирующим подвесом, начиная с работ по описанию его простых движений (А. Стефенсон, Г. Джеффрис, Н.Н. Боголюбов, П.Л. Капица, В.Н. Челомей и др.) и заканчивая сложными движениями. В последнем случае проявляются различные характерные особенности сложного поведения нелинейных систем – бифуркации, хаотические режимы и т.д. (Дж. Блэкберн, М. Бартучелли и др.). Описывается ряд аналогов маятника с вибрирующей точкой подвеса за пределами классической механики (А.В. Гапонов, М.А. Миллер – локализация частицы в электрическом поле; С.М. Осовец – стабилизация горячей плазмы; В. Пауль, Н. Рэмси, Х. Демельт – удержание частиц в переменном электромагнитном поле). Важной частью работы являются исторические сведения о Н.М. Крылове, Н.Н. Боголюбове, П.Л. Капице, что позволяет яснее представить мотивацию производившихся исследований, их обусловленность.
- Урбанский В.М. Становление математических исследований в УССР. Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Киев, 1983. 198 с.
- Боголюбов А.Н., Урбанский В.М. Николай Митрофанович Крылов. Киев: Наукова думка, 1987. 176 с.
- Волосов В.М. Метод осреднения в теории нелинейных колебаний // Механика в СССР за 50 лет. Т. 1 Общая и прикладная механика М., Наука, 1968. с. 115–136.
- Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А., Лыкова О.Б. Асимптотические методы в нелинейной механике// История отечественной математики. Т. 4. Кн. 2. Киев: Наукова думка, 1970. С. 264–290.
- Самойленко А.М. Н.Н. Боголюбов и нелинейная механика // Успехи мат. наук. 1994. Т. 49, вып. 5. С. 103–146.
- Нестеренко Е.М. О развитии асимптотических методов нелинейной механики. Диссертация на соискании учёной степени кандидата физ.-мат наук. М., 1970.
- Poincare H. Les methodes nouvelles de la mecanique celeste. V. 1–3. Paris: Gauthier-Villars, 1892–1899.
- Poincare H. Memoire sur les courbes definies par les equations differentielles, I–IV // J. Math. Pures Appl., 3 serie, 1881, 7, 375–422; 1882, 8, 251–286; 4 serie, 1885, 1, 167–244; 1886, 2, 151–217.
- Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. 472 с.
- Kryloff N. et Bogoluboff N. Quelques exsemples d’oseillations non lineares // Comptes rendus des l’Acad. Sci. de Paris. 1932. Vol. 194.
- Крылов Н.М., Боголюбов Н.Н. Новые методы нелинейной механики. М.-Л.: ОНТИ ГТТИ, 1934.
- Крылов Н.М., Боголюбов Н.Н. Введение в нелинейную механику. Киев: Изд-во АН УССР, 1937.
- Kryloff N., Bogoliuboff N. La theorie generale de la mesure dans son application a l’etude des systemes dynamiques de la mecanique non lineaire // Ann. Math. 1937. Vol. 38. P. 65–113.
- Боголюбов Н.Н. О некоторых статистических методах в математической физике. Киев: Изд-во АН УССР, 1945.
- Kryloff N.M., Bogoliuboff N.N. Introduction to non-linear mechanics. Prinseton, NY: Prinseton Univ. Press. 1943.
- Боголюбов Н.Н. Теория возмущений в нелинейной механике // Сб. трудов Ин-та строит. Механики АН УССР. Киев. 1950. Т. 14 С. 9–34.
- Александров П.С. Первая международная топологическая конференция в Москве // Успехи мат. наук. 1936. Вып. 1. С. 260–262.
- Век Лаврентьева. Новосибирск: Изд-во СО РАН, филиал «Гео», 2000. 456 с.
- Stephenson A. On a class of forced oscillations // Quart. J. Pure and Appl. Math. 1906. Vol. 37, N148. P. 353–360.
- Stephenson A. On the stability of the steady state of forced oscillation // Phil. Mag. and J. Sci. Ser. 6. 1907. Vol. 14, N84. P. 707–712.
- Stephenson A. On induced stability // Phil. Mag. and J. Sci. Ser. 6. 1908. Vol. 15, N86. P. 233–236.
- Stephenson A. On a new type of dynamical stability // Memoirs and Proceedings of the Manchester Literary and Philosophical Society. 1908. Vol. 52, N8.
- Jeffreys H. Methods of mathematical physics. Cambridge (C.U.P.). 2nd Edition, 1950.
- Van der Pol B. Stabiliseering door kleine trillingen // Physica. Bd. 1925. 5. P. 157–162.
- Strutt M.J. Stabiliseering en labiliseering door trillingen // Physica. Bd. 1927. 7. P. 265–271.
- Hirsh P. Das Pendel mit Oszillierendem Aufhangepunkt // Z. angew. Math. Mech.Bd. 1930. 10. P. 41–52.
- Erdelyi A. Uber die Kleinen Schwingungen eines Pendels mit oszillierendem Aufh an-gepunkt // Z. angew. Math. Mech. Bd. 1934. 14.
- Lowenstern E.R. The stabilizing effect of imposed oscillations of high frequency on a dynamical system // London, Edinburgh and Dublin Phil. Mag. 1932. Vol. 13. P. 458–486.
- Van der Pol B., Strutt M.J.O. On the stability of Mathieu equation // The London, Edinburgh and Dublin Phil. Mag. 7th series. 1928. Vol. 5. P. 23–28.
- Капица П.Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса // ЖЭТФ. 1951. Т. 21. Вып. 5. С. 588–597.
- Капица П.Л. Маятник с вибрирующим подвесом // УФН. 1951. Т. 44. Вып. 1. С. 7–20.
- Воспоминания об академике Н.Н. Боголюбове. М.: МИАН, 2009. 178 с.
- Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М.: Наука, 1965.
- Широносов В.Г. Резонанс в физике, химии и биологии. Ижевск. Изд. Дом «Удмурт. ун-т», 2000/01. 92 с.
- Блехман И.И. Вибрационная механика. М.: Наука, 1994.
- Челомей В.Н. О возможности повышения устойчивости упругих систем при помощи вибраций // ДАН СССР. 1956. Т. 110. No 3. С. 345–347.
- Челомей В.Н. Парадоксы в механике, вызываемые вибрациями // ДАН СССР. 1983. Т. 270. No 1. С. 62–67.
- Богатов Е.М., Мухин Р.Р. О связи между нелинейным анализом, бифуркациями и нелинейной динамикой: на примере Воронежской школы нелинейного функционального анализ // Известия вузов. ПНД. 2015. No 6. С. 74–88.
- Гапонов А.В., Миллер М.А. О потенциальных ямах для заряженных частиц в высокочастотных полях // ЖЭТФ. 1958. Т. 34. Вып. 2. С. 242–243.
- Гапонов А.В., Миллер М.А. Об использовании движущихся высокочастотных потенциальных ям для ускорения заряженных частиц // ЖЭТФ. 1958. Т. 34. Вып. 3. С. 751–752.
- Осовец С.М. Динамические методы удержания и стабилизации горячей плазмы // УФН. 1974. Т. 112. Вып. 4. С. 638–683.
- Blackburn J.A., Smith H.Y.T., Gronbech-Jensen N. Stability and Hopf bifurcation in an inverted pendulum // Amer. J. Phys. 1992. Vol. 60. P. 903–908.
- Bartuccelli M.V., Gentile G., Georgin K.V. On the dynamics of a vertically driven damped planar pendulum // Proc. Roy. Soc. Lond. 2001. Vol. 457. P. 3007–3022.
- Bartuccelli M.V., Gentile G., Georgin K.V. KAM theory, Linstedt series and the stability of the upside-down pendulum // Discrete and continuous dynamical systems. 2003. Vol. 9, No 2. P. 413–426.
- Бурд В.Ш., Забрейко П.П., Колесов Ю.С., Красносельский М.А. Принцип усреднения и бифуркация почти периодических решений // ДАН СССР. 1969. T. 187, No 6, C. 1219–1221.
- Osberghaus O., Paul V., Fischer E. Forschungsberichte des Wirschafts und Werker ministeriums. Nardheim Westfalen. 1958. Nr. 415.
- Пауль В. Электромагнитные ловушки для заряженных и нейтральных частиц. Нобелевская лекция // УФМ. 1990. Т. 160. Вып. 12. С. 109–127.
- Levi M. Geometry and physics of averaging with applications // Physica D. 1999. Vol. 132. P. 150–164.
- Levi M., Zehnder E. Boundedness of solutions for quasiperiodic potentials // SIAM J. Math. Anal. 1995. Vol. 26. P. 1233–1256.
- Gerving C.S., Hoang T.M. and oth. Non- equilibrium dinamics of un unstable quantum pendulum explored in a spin-1 Bose-Einstein condensate // Nature communication. School of physics, Georgia Ist. of Tech. 2012. P. 1–6.
- Citro R., Dalla Torre E. G., D’Alessio L., Polkovnikov A., Babadi M., Oka T., and Demler E. Dynamical stability of a many-body Kapitza pendulum // Ann. of Physics. 2015. Vol. 360. P. 694-710.
- 3262 просмотра