Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)


Для цитирования:

Ревина С. В., Рябов А. С. Неустойчивость Тьюринга в однопараметрической системе Гирера–Мейнхардта // Известия вузов. ПНД. 2023. Т. 31, вып. 4. С. 501-522. DOI: 10.18500/0869-6632-003053, EDN: WZPQWD

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Полный текст в формате PDF(Ru):
Полный текст в формате PDF(En):
(загрузок: 10)
Язык публикации: 
русский
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
517.957
EDN: 

Неустойчивость Тьюринга в однопараметрической системе Гирера–Мейнхардта

Авторы: 
Ревина Светлана Васильевна, Южный федеральный университет
Рябов Анатолий Сергеевич, Южный федеральный университет
Аннотация: 

Цель настоящей работы — найти область необходимых и достаточных условий диффузионной неустойчивости на плоскости параметров (τ, d) системы Гирера–Мейнхардта, где τ — параметр релаксации, d — безразмерный коэффициент диффузии; вывести аналитическую зависимость критического волнового числа от характерного размера пространственной области; получить явные представления вторичных пространственно распределенных структур, образующихся в результате бифуркации пространственно-однородного положения равновесия, в виде рядов по степеням надкритичности.

Методы. Для нахождения области неустойчивости Тьюринга применяются методы линейного анализа устойчивости. Для отыскания вторичных решений (тьюринговых структур) применяется метод Ляпунова– Шмидта в форме, развитой В. И. Юдовичем.

Результаты. Получены выражения критического коэффициента диффузии через собственные значения оператора Лапласа для произвольной ограниченной области. В явном виде найдена зависимость критического коэффициента диффузии от характерного размера области в двух случаях: для интервала и прямоугольниа. Построены явные выражения первых членов разложений вторичных стационарных решений по параметру надкритичности в одномерном случае, а также для прямоугольника, когда одно из волновых чисел равно нулю. В указанных случаях найдены достаточные условия мягкой потери устойчивости, приведены примеры вторичных решений.

Заключение. Предложен общий подход для нахождения области неустойчивости Тьюринга и построения вторичных пространственно распределенных структур. Данный подход может быть применен к широкому классу математических моделей, описываемых системой двух уравнений реакции–диффузии.

Список источников: 
  1. Wei J., Winter M. Mathematical Aspects of Pattern Formation in Biological Systems. London: Springer, 2014. 319 p. DOI: 10.1007/978-1-4471-5526-3.
  2. Костин В. А., Осипов Г. В. Неустойчивость однородного состояния и двухдоменные пространственно-временные структуры в реакционно-диффузионных системах с глобальной связью // Известия вузов. ПНД. 2021. T. 29, № 1. С. 186–207. DOI: 10.18500/0869-6632-2021- 29-1-186-207.
  3. Цибулин В. Г., Ха Т. Д., Зеленчук П. А. Нелинейная динамика системы хищник–жертва на неоднородном ареале и сценарии локального взаимодействия видов // Известия вузов. ПНД. 2021. T. 29, № 5. С. 751–764. DOI: 10.18500/0869-6632-2021-29-5-751-764.
  4. Казарников А. В., Ревина С. В. Возникновение автоколебаний в системе Рэлея с диффузией // Вестник ЮУрГУ. Сер. «Математическое моделирование и программирование». 2016. Т. 9, № 2. С. 16–28. DOI: 10.14529/mmp160202.
  5. Казарников А. В., Ревина С. В. Асимптотика стационарных решений в системе Рэлея с диффузией // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2016. № 3 (191). С. 13–19. DOI: 10.18522/0321-3005-2016-3-13-19.
  6. Казарников А. В., Ревина С. В. Бифуркации в системе Рэлея с диффузией // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2017. Т. 27, № 4. С. 499–514. DOI: 10.20537/vm170402.
  7. Казарников А. В., Ревина С. В. Монотонная неустойчивость в системе ФитцХью-Нагумо с диффузией // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2018. № 4 (200). С. 18–24. DOI: 10.23683/0321-3005-2018-4-18-24.
  8. Turing A. M. The chemical basis of morphogenesis // Phil. Trans. R. Soc. Lond. B. 1952. Vol. 237, no. 641. P. 37–72. DOI: 10.1098/rstb.1952.0012.
  9. Murray J. D. Mathematical Biology II: Spatial Models and Biomedical Applications. 3d edition. New York: Springer, 2003. 814 p. DOI: 10.1007/b98869.
  10. Ревина С. В., Лысенко С. А. Достаточные условия неустойчивости Тьюринга для системы Шнакенберга // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2021. Т. 31, № 3. С. 424–442. DOI: 10.35634/vm210306.
  11. Ревина С. В. Область диффузионной неустойчивости для систем параболических уравнений // Владикавказский математический журнал. 2022. Т. 24, № 4. С. 117–126. DOI: 10.46698/ d6373-9335-7338-n.
  12. Gierer A., Meinhardt H. A theory of biological pattern formation // Kybernetik. 1972. Vol. 12, no. 1. P. 30–39. DOI: 10.1007/BF00289234.
  13. Meinhardt H. Models of biological pattern formation: From elementary steps to the organization of embryonic axes // Current Topics in Developmental Biology. 2008. Vol. 81. P. 1–63. DOI: 10.1016/S0070-2153(07)81001-5.
  14. Gomez D., Ward M. J., Wei J. An asymptotic analysis of localized three-dimensional spot patterns for the Gierer–Meinhardt model: Existence, linear stability, and slow dynamics // SIAM Journal on Applied Mathematics. 2021. Vol. 81, no. 2. P. 378–406. DOI: 10.1137/20M135707X.
  15. Chen M., Wu R., Chen L. Pattern dynamics in a diffusive Gierer–Meinhardt model // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2020. Vol. 30, no. 12. P. 2030035. DOI: 10.1142/S02181274 20300359.
  16. Юдович В. И. Пример потери устойчивости и рождения вторичного течения жидкости в замкнутом сосуде // Математический сборник (новая серия). 1967. Т. 74(116), № 4. С. 565–579.
  17. Юдович В. И. Исследование автоколебаний сплошной среды, возникающих при потере устойчивости стационарного режима // Прикладная математика и механика. 1972. Т. 36, № 3. С. 450–459.
  18. Revina S. V. Long wavelength asymptotics of self-oscillations of viscous incompressible fluid // In: Kusraev A. G., Totieva Z. D. (eds) Operator Theory and Differential Equations. Trends in Mathematics. Cham: Birkhauser, 2021. P. 185–203. DOI: 10.1007/978-3-030-49763-7_15.
Поступила в редакцию: 
30.11.2022
Принята к публикации: 
05.04.2023
Опубликована онлайн: 
18.07.2023
Опубликована: 
31.07.2023