Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)


Для цитирования:

Кузнецов А. П., Станкевич Н. В., Щеголева Н. А. Синхронизация связанных генераторов квазипериодических колебаний при разрушении инвариантной кривой // Известия вузов. ПНД. 2021. Т. 29, вып. 1. С. 136-159. DOI: 10.18500/0869-6632-2021-29-1-136-159

Полный текст в формате PDF(Ru):
(загрузок: 59)
Язык публикации: 
русский
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
517.9
DOI: 
10.18500/0869-6632-2021-29-1-136-159

Синхронизация связанных генераторов квазипериодических колебаний при разрушении инвариантной кривой

Авторы: 
Кузнецов Александр Петрович, Саратовский филиал Института радиотехники и электроники имени В.А.Котельникова РАН (СФ ИРЭ)
Станкевич Наталия Владимировна, Высшая школа экономики
Щеголева Наталья Александровна, Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А. (СГТУ)
Аннотация: 

Цель настоящего исследования – описать полную картину синхронизации двух связанных генераторов квазипериодических колебаний, классифицировать различные типы синхронизации, изучить особенности возникновения и разрушения многочастотных квазипериодических колебаний. Методы. Объектом исследования являются системы обыкновенных дифференциальных уравнений различной размерности. В работе используется метод Рунге– Кутты 4-го порядка для решения системы дифференциальных уравнений. Анализ динамики проводится на основе рассчитанного спектра показателей Ляпунова в зависимости от параметров систем, так называемых карт показателей Ляпунова. Также были визуализированы бифуркационные деревья, числа вращения, фазовые портреты и отображения Пуанкаре. Результаты. Проведено исследование динамики двух связанных генераторов квазипериодических колебаний для двух наборов рабочих параметров подсистем. Были изучены два случая, когда в первом осцилляторе наблюдается двухчастотный тор или хаотические колебания (разрушенный тор). Второй осциллятор демонстрирует различные типы динамики при вариации частотной расстройки: периодические, квазипериодические и хаотические. Показано, что для всех параметров наблюдается фазовая синхронизация генераторов, широкополосная синхронизация, явление гибели колебаний. Структура плоскости параметров частотная расстройка – сила связи имеет универсальное устройство. Выход из области широкополосной синхронизации с уменьшением силы связи сопровождается квазипериодической бифуркацией Хопфа и рождением трехчастотного тора. Заключение. Взаимодействие простейших генераторов квазипериодических колебаний дает богатую картину динамических режимов: многочастотные квазипериодические колебания с различным количеством частот, хаотическое поведение, характеризующееся различным спектром показателей Ляпунова. Несмотря на многообразие динамических режимов картина синхронизации двух диссипативно связанных квазипериодических генераторов имеет универсальную структуру. Наблюдаются квазипериодические фазовая и широкополосная синхронизации. Разрушение тора в подсистеме приводит к разрушению многочастотных торов в системе связанных осцилляторов, а также уменьшению разнообразия типов хаотических аттракторв.

Благодарности: 
Работа выполнена при поддержке гранта Президента Российской Федерации для поддержки молодых российских ученых – кандидатов наук (МК-31.2019.8). Работа А.П.К. выполнена в рамках государственного задания Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН. Работа Н.В.С. выполнена частично при поддержке Лаборатории динамических систем и приложений НИУ ВШЭ, грант Министерства науки и высшего образования РФ cоглашение № 075-15-2019-1931.
Список источников: 
  1. Landa P.S. Nonlinear oscillations and waves in dynamical systems. Springer Science & Business Media, 1996, vol. 360. 544 p. DOI: 10.1007/978-94-015-8763-1.
  2. Anishchenko V.S., Vadivasova T.E., Strelkova G.I. Deterministic Nonlinear Systems. A Short Course: Springer Series in Synergetics. Springer International Publishing, Switzerland, 2014. 294 p. DOI: 10.1007/978-3-319-06871-8.
  3. Glazier J.A., Libchaber A. Quasi-periodicity and dynamical systems: An experimentalist’s view // IEEE Transactions on circuits and systems. 1988. Vol. 35, no. 7. P. 790–809. DOI: 10.1109/31.1826.
  4. Кузнецов А.П., Сатаев И.Р., Станкевич Н.В., Тюрюкина Л.В. Физика квазипериодических колебаний. Саратов: Издательский центр «Наука», 2013. 252 с.
  5. Анищенко В.С., Николаев С.М. Генератор квазипериодических колебаний. Бифуркация удвоения двумерного тора // Письма в ЖТФ. 2005. Т. 31, № 19. С. 88–94.
  6. Анищенко В.С., Николаев С.М. Устойчивость, синхронизация и разрушение квазипериодических колебаний // Нелинейная динамика. 2006. Т. 2, № 3. С. 267–278. DOI: 10.20537/nd0603001.
  7. Anishchenko V.S., Nikolaev S.M., Kurths J. Winding number locking on a two-dimensional torus: Synchronization of quasiperiodic motions // Phys. Rev. E. 2006. Vol. 73, no. 5. P. 056202. DOI: 10.1103/PhysRevE.73.056202.
  8. Anishchenko V.S., Nikolaev S.M., Kurths J. Peculiarities of synchronization of a resonant limit cycle on a two-dimensional torus // Phys. Rev. Е. 2007. Vol. 76, no. 4. P. 046216. DOI: 10.1103/PhysRevE.76.046216.
  9. Анищенко В.С., Николаев С.М., Куртс Ю. Механизмы синхронизации резонансного предельного цикла на двумерном торе // Нелинейная динамика. 2008. Т. 4, № 1. C. 39–56. DOI: 10.20537/nd0801002.
  10. Anishchenko V.S., Nikolaev S.M., Kurths J. Bifurcational mechanisms of synchronization of a resonant limit cycle on a two-dimensional torus // CHAOS. 2008. Vol. 18, no. 3. P. 037123. DOI: 10.1063/1.2949929.
  11. Anishchenko V.S., Astakhov S.V., Vadivasova T.E. Phase dynamics of two coupled oscillators under external periodic force // Europhysics Letters. 2009. Vol. 86, no. 3. P. 30003. DOI: 10.1209/0295-5075/86/30003.
  12. Анищенко В.С., Астахов С.В., Вадивасова Т.Е., Феоктистов А.В. Численное и экспериментальное исследование внешней синхронизации двухчастотных колебаний // Нелинейная динамика. 2009. Т. 5, № 2. С. 237–252. DOI: 10.20537/nd0902006.
  13. Broer H., Sim´o C., Vitolo R. Quasi-periodic bifurcations of invariant circles in low-dimensional dissipative dynamical systems // Regular and Chaotic Dynamics. 2011. Vol. 16, no. 1–2. P. 154–184. DOI: 10.1134/S1560354711010060.
  14. Komuro M., Kamiyama K., Endo T., Aihara K. Quasi-periodic bifurcations of higher-dimensional tori // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2016. Vol. 26, no. 7. P. 1630016. DOI: 10.1142/S0218127416300160.
  15. Broer H., Sim´o C., Vitolo R. The Hopf-saddle-node bifurcation for fi xed points of 3D-diff eomorphisms: the Arnol’d resonance web // Bulletin of the belgian mathematical society-Simon stevin. 2008. Vol. 15, no. 5. P. 769–787. DOI: 10.36045/bbms/1228486406.
  16. Inaba N., Kamiyama K., Kousaka T., Endo T. Numerical and experimental observation of Arnol’d resonance webs in an electrical circuit // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2015. Vol. 311–312, no. 17. P. 17–24. DOI: 10.1016/j.physd.2015.08.008.
  17. Truong T.Q., Tsubone T., Sekikawa M., Inaba N. Complicated quasiperiodic oscillations and chaos from driven piecewise-constant circuit: Chenciner bubbles do not necessarily occur via simple phase-locking // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2017. vol. 341, no. 4. P. 1–9. DOI: 10.1016/j.physd.2016.09.008.
  18. Truong T.Q., Tsubone T., Sekikawa M., Inaba N. Border-collision bifurcations and Arnol’d tongues in two coupled piecewise-constant oscillators // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2020. Vol. 401, no. 1. P. 132148. DOI: 10.1016/j.physd.2019.132148.
  19. Wieczorek S., Krauskopf B., Lenstra D. Mechanisms for multistability in a semiconductor laser with optical injection // Opt. Commun. 2000. Vol. 183, no. 1–4. P. 215–226. DOI: 10.1016/S0030-4018(00)00867-1.
  20. Wieczorek S., Simpson T.B., Krauskopf B., Lenstra D. Bifurcation transitions in an optically injected diode laser: theory and experiment // Opt. Commun. 2003. Vol. 215, no. 1–3. P. 125–134. DOI: 10.1016/S0030-4018(02)02191-0.
  21. Anchikov D.A., Shakirov A.P., Krents A.A., Molevich N.E., Pakhomov A.V. Multi-frequency tori in wide-aperture lasers // Phys. Wave Phen. 2016. Vol. 24, no. 2. P. 108–113. DOI: 10.3103/S1541308X16020047.
  22. Wu M., Kalinikos B.A., Carr L.D., Patton C.E. Observation of spin-wave soliton fractals in magnetic fi lm active feedback rings // Phys. Rev. Lett. 2006. vol. 96, no. 18. P. 187202. DOI: 10.1103/PhysRevLett.96.187202.
  23. Ustinov A.B., Demidov V.E., Kondrashov A.V., Kalinikos B.A., Demokritov S.O. Observation of the chaotic spin-wave soliton trains in magnetic fi lms // Phys. Rev. Lett. 2011. Vol. 106, no. 1. P. 017201. DOI: 10.1103/physrevlett.106.017201.
  24. Wang Z., Hagerstrom A., Anderson J.Q., Eykholt R., Tong W., Wu M., Carr L.D., Kalinikos B.A. Chaotic spin-wave solitons in magnetic fi lm feedback rings // Phys. Rev. Lett. 2011. Vol. 107, no. 11. P. 114102. DOI: 10.1103/PhysRevLett.107.114102.
  25. Kondrashov A.V., Ustinov A.B., Kalinikos B.A. Studying dynamic chaos in microwave ring generators based on normally magnetized ferromagnetic fi lm // Tech. Phys. Lett. 2016. Vol. 42, no. 2. P. 208–211. DOI: 10.1134/S1063785016020279.
  26. Emelianova Y.P., Emelyanov V.V., Ryskin N.M. Synchronization of two coupled multimode oscillators with time-delayed feedback // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2014. Vol. 19, no. 10. P. 3778–3791. DOI: 10.1016/j.cnsns.2014.03.031.
  27. Emelyanov V.V., Emelianova Y.P., Ryskin N.M. The mutual synchronization of coupled delayed feedback klystron oscillators // Tech. Phys. 2016. Vol. 61, no. 8. P. 1256–1261. DOI: 10.1134/S1063784216080089.
  28. Ju H., Neiman A.B., Shilnikov A.L. Bottom-up approach to torus bifurcation in neuron models // CHAOS. 2018. Vol. 28, no. 10. P. 106317. DOI: 10.1063/1.5042078.
  29. Pikovsky A.S., Rosenblum M.G., Kurths J. Synchronization: A Universal Concept in Nonlinear Sciences. Cambridge University Press, Cambridge, 2001. DOI: 10.1017/CBO9780511755743.
  30. Anishchenko V.S., Vadivasova T.E., Strelkova G.I. Synchronization of periodic self-sustained oscillations. Deterministic Nonlinear Systems. Springer Series in Synergetics, Springer, Cham, 2014. P. 217–243. DOI: 10.1007/978-3-319-06871-8_13.
  31. Balanov A., Janson N., Postnov D., Sosnovtseva O. Synchronization: From Simple to Complex. Springer Series in Synergetics. Springer-Verlag, Heidelberg, 2009. 426 p. DOI: 10.1007/978-3-540-72128-4.
  32. Hohl A., Gavrielides A., Erneux T., Kovanis V. Quasiperiodic synchronization for two delay-coupled semiconductor lasers // Phys. Rev. A. 1999. Vol. 59, no. 5. P. 3941–3949. DOI: 10.1103/PhysRevA.59.3941.
  33. Mondal S., Pawar S.A., Sujith R.I. Synchronous behaviour of two interacting oscillatory systems undergoing quasiperiodic route to chaos // CHAOS. 2017. Vol. 27, no. 10. P. 103119. DOI: 10.1063/1.4991744.
  34. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Станкевич Н.В. Автономный генератор квазипериодических колебаний // Известия вузов. ПНД. 2010. Т. 18, № 2. C. 51–61. DOI: 10.18500/0869-6632-2010-18-2-51-61.
  35. Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P., Stankevich N.V. A simple autonomous quasiperiodic self-oscillator // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2010. Vol. 15, no. 6. P. 1676–1681. DOI: 10.1016/j.cnsns.2009.06.027.
  36. Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P., Mosekilde E., Stankevich N.V. Co-existing hidden attractors in a radiophysical oscillator system // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2015. Vol. 48, no. 12. P. 125101. DOI: 10.1088/1751-8113/48/12/125101.
  37. Stankevich N.V., Volkov E.I. Multistability in a three-dimensional oscillator: tori, resonant cycles and chaos // Nonlinear Dynamics. 2018. Vol. 94, no. 4. P. 2455–2467. DOI: 10.1007/s11071-018-4502-9.
  38. Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P., Mosekilde E., Stankevich N.V. Generators of quasiperiodic oscillations with three-dimensional phase space // The European Physical Journal Special Topics. 2013. Vol. 222, no. 10. P. 2391–2398. DOI: 10.1140/epjst/e2013-02023-x.
  39. Gonchenko S.V., Kazakov A.O., Turaev D. Wild pseudohyperbolic attractors in a four-dimensional Lorenz system // arXiv preprint arXiv: 1809.07250, 2018.
  40. Кузнецов А.П., Станкевич Н.В. Синхронизация генераторов квазипериодических колебаний // Нелинейная динамика. 2013. Т. 9, № 3. С. 409–419. DOI: 10.20537/nd1303002.
  41. Кузнецов А.П., Станкевич Н.В. Динамика связанных генераторов квазипериодических колебаний с состоянием равновесия // Известия вузов. ПНД. 2018. Т. 26, № 2. С. 41–58. DOI: 10.18500/0869-6632-2018-26-2-41-58.
  42. Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P., Shchegoleva N.A., Stankevich N.V. Dynamics of coupled generators of quasiperiodic oscillations: Diff erent types of synchronization and other phenomena // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2019. Vol. 398, no. 12. P. 1–12. DOI: 10.1016/j.physd.2019.05.014.
  43. Stankevich N.V., Shchegoleva N.A., Sataev I.R., Kuznetsov A.P. Three-dimensional torus breakdown and chaos with two zero Lyapunov exponents in coupled radio-physical generators // Journal of Computational and Nonlinear Dynamics. 2020. Vol. 15, no. 11. P. 111001. DOI: 10.1115/1.4048025.
  44. Xiao-Wen L., Zhi-Gang Z. Phase Synchronization of Coupled R¨ossler Oscillators: Amplitude Eff ect // Communications in Theoretical Physics. 2007. Vol. 47, no. 2. P. 265–269. DOI: 10.1088/0253-6102/47/2/016.
  45. Paz´o D., S´anchez E., Mat´ias M.A. Transition to high-dimensional chaos through quasiperiodic motion // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2001. Vol. 11, no. 10. P. 2683–2688. DOI: 10.1142/S0218127401003747.
  46. Paz´o D., Mat´ias M.A. Direct transition to high-dimensional chaos through a global bifurcation // Europhysics Letter. 2005. Vol. 72, no. 2. P. 176–182. DOI: 10.1209/epl/i2005-10239-3.
  47. Osipov G.V., Pikovsky A.S., Rosenblum M.G., Kurths J. Phase synchronization eff ects ina lattice of nonidentical R¨ossler oscillators // Phys. Rev. E. 1997. Vol. 55, no. 3. P. 2353–2361. DOI: 10.1103/PhysRevE.55.2353.
  48. Kuznetsov A.P., Migunova N.A., Sataev I.R., Sedova Y.V., Turukina L.V. From chaos to quasi-periodicity // Regular and Chaotic Dynamics. 2015. Vol. 20, no. 2. P. 189–204. DOI: 10.1134/S1560354715020070.
  49. Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J.-M. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems; a method for computing all of them. Part 1: Theory // Meccanica. 1980. Vol. 15, no. 1. P. 9–20. DOI: 10.1007/BF02128236.
  50. Афраймович В.С., Шильников Л.П. Инвариантные торы, их разрушение и стохастичность // Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Межвуз. тематич. сб. науч.тр. / Е.А. Леонтович–Андронова. Горький: ГГУ, 1983. С. 3–26.
  51. Aframovich V.S., Shilnikov L.P. Strange attractors and quasiattractors // Nonlinear Dynamics and Turbulence / Eds. G.I. Barenblatt, G. Iooss, D.D. Joseph. Boston: Pitmen, 1983. P. 1–34.
  52. Гонченко А.С., Гонченко С.В., Шильников Л.П. К вопросу о сценариях возникновения хаоса у трехмерных отображений // Нелинейная динамика. 2012. Т. 8, № 1. С. 3–28. DOI: 10.20537/nd1201001.
  53. Gonchenko A.S., Gonchenko S.V., Kazakov A.O., Turaev D. Simple scenarios of onset of chaos in three-dimensional maps // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2014. Vol. 24, no. 08. P. 1440005. DOI: 10.1142/S0218127414400057.
  54. Emelianova Y.P., Kuznetsov A.P., Sataev I.R., Turukina L.V. Synchronization and multi-frequency oscillations in the low-dimensional chain of the self-oscillators // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2013. Vol. 244, no. 1. P. 36–49. DOI: 10.1016/j.physd.2012.10.012.
  55. Zhusubaliyev Z.T., Mosekilde E. Novel routes to chaos through torus breakdown in non-invertible maps // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2009. Vol. 238, no. 5. P. 589–602. DOI: 10.1016/j.physd.2008.12.012.
  56. Zhusubaliyev Z.T., Laugesen J.L., Mosekilde E. From multi-layered resonance tori to period- doubled ergodic tori // Physics Letters A. 2010. Vol. 374, no. 25. P. 2534–2538. DOI: 10.1016/j.physleta.2010.04.022.
  57. Zhusubaliyev Z.T., Yanochkina O.O., Mosekilde E. Coexisting tori and torus bubbling in non- smooth systems // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2011. Vol. 240, no. 4–5. P. 397–405. DOI: 10.1016/j.physd.2010.10.001.
  58. Attneave F. Multistability in perception // Scientifi c American. 1971. Vol. 225, no. 6. P. 62–71. DOI: 10.1038/scientifi camerican1271-62 .
  59. Pisarchik A.N., Feudel U. Control of multistability // Physics Reports. 2014. Vol. 540, no. 4. P. 167–218. DOI: 10.1016/j.physrep.2014.02.007.
Поступила в редакцию: 
20.11.2020
Принята к публикации: 
11.12.2020
Опубликована: 
01.02.2021