Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)


Для цитирования:

Тюрюкина Л. В. Параметрическое взаимодействие колебательных мод в присутствии квадратичной или кубической нелинейности // Известия вузов. ПНД. 2024. Т. 32, вып. 1. С. 11-30. DOI: 10.18500/0869-6632-003082, EDN: YLPOLW

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Полный текст в формате PDF(Ru):
(загрузок: 0)
Полный текст в формате PDF(En):
(загрузок: 4)
Язык публикации: 
русский
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
517.9:621.373.7
EDN: 

Параметрическое взаимодействие колебательных мод в присутствии квадратичной или кубической нелинейности

Авторы: 
Тюрюкина Людмила Владимировна, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского (СГУ)
Аннотация: 

Цель работы — исследование динамики систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, сконструированных с использованием механического формализма Лагранжа и описывающих параметрическое взаимодействие осцилляторов (колебательных мод) в присутствии квадратичной или кубической нелинейности общего вида, и ее сопоставление с динамикой моделей Вышкинд–Рабиновича и Рабиновича–Фабриканта с целью определения их возможностей и ограничений при моделировании связанных осцилляторов указанного выше типа.

Методы. Исследование основано на численном решении методами теории динамического хаоса полученных аналитически дифференциальных уравнений.

Результаты. Для обеих систем дифференциальных уравнений второго порядка были построены карты показателей Ляпунова на плоскости выбранных параметров; зависимости спектра показателей Ляпунова от параметра, задающего диссипацию осцилляторов; временные реализации обобщенных координат осцилляторов и их амплитуд; проекции аттракторов на фазовые плоскости осцилляторов. Было проведено сопоставление результатов, полученных для исследуемых систем, с известными результатами для моделей Вышкинд–Рабиновича и Рабиновича–Фабриканта, которые представляют собой полученные методом медленно меняющихся амплитуд трехмерные действительные аппроксимации указанных выше систем.

Заключение. Исследование сконструированных систем показало, что в пространстве параметров наблюдаются области, отвечающие как различным регулярным режимам, таким как положение равновесия, предельный цикл, двухчастотные торы, так и хаотическим режимам. Для обеих систем было показано, что переход к хаосу осуществляется в результате последовательности бифуркаций удвоения периода торов. Коме того, сопоставление динамики исследуемых систем с динамикой моделей Вышкинд–Рабиновича и Рабиновича–Фабриканта позволяет утверждать, что если модель Вышкинд–Рабиновича достаточно хорошо предсказывает динамику соответствующей исходной системы дифференциальных уравнений второго порядка, то модель Рабиновича–Фабриканта таким свойством не обладает.

Благодарности: 
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 21-12-00121, https://rscf.ru/ project/21-12-00121/
Список источников: 
  1. Демидов В. Е., Ковшиков Н. Г. Механизм возникновения и стохастизации автомодуляции интенсивных спиновых волн // Журнал технической физики. 1999. Т. 69, № 8. С. 100–103.
  2. Романенко Д. В. Генерация хаотической последовательности СВЧ-импульсов в автоколебательной системе с ферромагнитной плёнкой // Известия вузов. ПНД. 2012. Т. 20, № 1. С. 67–74. DOI: 10.18500/0869-6632-2012-20-1-67-74.
  3. Wersinger J.-M., Finn J. M., Ott E. Bifurcation and ”strange” behavior in instability saturation by nonlinear three-wave mode coupling // The Physics of Fluids. 1980. Vol. 23, no. 6. P. 1142–1154. DOI: 10.1063/1.863116.
  4. Savage C. M., Walls D. F. Optical chaos in second-harmonic generation // Optica Acta: International Journal of Optics. 1983. Vol. 30, no. 5. P. 557–561. DOI: 10.1080/713821254.
  5. Lythe G. D., Proctor M. R. E. Noise and slow-fast dynamics in a three-wave resonance problem // Physical Review E. 1993. Vol. 47, no. 5. P. 3122–3127. DOI: 10.1103/PhysRevE.47.3122.
  6. Кузнецов C. П. Параметрический генератор хаоса на варакторном диоде с распадным механизмом ограничения неустойчивости // Журнал технической физики. 2016. Т. 86, № 3. С. 118–127.
  7. Пиковский А. С., Рабинович М. И., Трахтенгерц В.Ю. Возникновение стохастичности при распадном ограничении параметрической неустойчивости // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1978. Т. 74, № 4. С. 1366–1374.
  8. Вышкинд С. Я., Рабинович М. И. Механизм стохастизации фаз и структура волновой турбулентности в диссипативных средах // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1976. T. 71, № 2. С. 557–571.
  9. Рабинович М. И., Фабрикант А. Л. Стохастическая автомодуляция волн в неравновесных средах // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1979. Т. 77, № 2. С.617–629.
  10. Кузнецов С. П., Тюрюкина Л. В. Сложная динамика и хаос в электронном автогенераторе с насыщением, обеспечиваемым параметрическим распадом // Известия вузов. ПНД. 2018. Т. 26, № 1. С. 33–47. DOI: 10.18500/0869-6632-2018-26-1-33-47.
  11. Danca M.-F., Chen G. Bifurcation and chaos in a complex model of dissipative medium // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2004. Vol. 14, no. 10. P. 3409–3447. DOI: 10.1142/ S0218127404011430.
  12. Danca M.-F., Feckan M., Kuznetsov N., Chen G. Looking more closely at the Rabinovich– Fabrikant system // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2016. Vol. 26, no. 2. P. 1650038. DOI: 10.1142/S0218127416500383.
  13. Liu Y., Yang Q., Pang G. A hyperchaotic system from the Rabinovich system // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2010. Vol. 234, no. 1. P. 101–113. DOI: 10.1016/j.cam. 2009.12.008.
  14. Agrawal S. K., Srivastava M., Das S. Synchronization between fractional-order Ravinovich– Fabrikant and Lotka–Volterra systems // Nonlinear Dynamics. 2012. Vol. 69, no. 4. P. 2277–2288. DOI: 10.1007/s11071-012-0426-y.
  15. Srivastava M., Agrawal S. K., Vishal K., Das S. Chaos control of fractional order Rabinovich– Fabrikant system and synchronization between chaotic and chaos controlled fractional order Rabinovich–Fabrikant system // Applied Mathematical Modelling. 2014. Vol. 38, no. 13. P. 3361– 3372. DOI: 10.1016/j.apm.2013.11.054.
  16. Danca M.-F. Hidden transient chaotic attractors of Rabinovich–Fabrikant system // Nonlinear Dynamics. 2016. Vol. 86, no. 2. P. 1263–1270. DOI: 10.1007/s11071-016-2962-3.
  17. Danca M.-F., Kuznetsov N., Chen G. Unusual dynamics and hidden attractors of the Rabinovich– Fabrikant system // Nonlinear Dynamics. 2017. Vol. 88, no. 1. P. 791–805. DOI: 10.1007/s11071- 016-3276-1.
  18. Кузнецов А. П., Кузнецов С. П., Тюрюкина Л. В. Сложная динамика и хаос в модельной системе Рабиновича–Фабриканта // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Физика. 2019. T. 19, № 1. С. 4–18. DOI: 10.18500/1817-3020-2019-19-1-4-18.
  19. Кузнецов С. П., Тюрюкина Л. В. Обобщенная система Рабиновича–Фабриканта: уравнения и динамика // Известия вузов. ПНД. 2022. T. 30, № 1. С. 7–29. DOI: 10.18500/0869-6632-2022- 30-1-7-29.
  20. Тюрюкина Л. В. Динамика системы Рабиновича–Фабриканта и ее обобщенной модели в случае отрицательных значений параметров, имеющих смысл коэффициентов диссипации // Известия вузов. ПНД. 2022. T. 30, № 6. С. 685–701. DOI: 10.18500/0869-6632-003015.
  21. Hocking L. M., Stewartson K. On the nonlinear response of a marginally unstable plane parallel flow to a two-dimensional disturbance // Proc. R. Soc. Lond. A. 1972. Vol. 326, no. 1566. P. 289–313. DOI: 10.1098/rspa.1972.0010.
  22. Kuramoto Y., Yamada T. Turbulent state in chemical reactions // Progress of Theoretical Physics. 1976. Vol. 56, no. 2. P. 679–681. DOI: 10.1143/PTP.56.679.
  23. Кузнецов А. П., Сатаев И. Р., Тюрюкина Л. В. Синхронизация квазипериодических колебаний связанных фазовых осцилляторов // Письма в ЖТФ. 2010. Т. 36, № 10. С. 73–80.
  24. Pazo D., Sanchez E., Matıas M. A. Transition to high-dimensional chaos through quasiperiodic motion // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2001. Vol. 11, no. 10. P. 2683–2688. DOI: 10.1142/S0218127401003747.
  25. Kuznetsov A. P., Sataev I. R., Turukina L. V. Regional structure of two- and three-frequency regimes in a model of four phase oscillators // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2022. Vol. 32, no. 3. P. 2230008. DOI: 10.1142/S0218127422300087.
  26. Кузнецов C. П. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2006. 356 c.
Поступила в редакцию: 
28.04.2023
Принята к публикации: 
17.10.2023
Опубликована онлайн: 
09.12.2023
Опубликована: 
31.01.2024