Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)

Для цитирования:

Мухин Р. Р. Наследие Александра Михайловича Ляпунова и нелинейная динамика // Известия вузов. ПНД. 2018. Т. 26, вып. 4. С. 95-120. DOI: 10.18500/0869-6632-2018-26-4-95-120

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Полный текст в формате PDF(Ru):
Иконка PDF pnd_2018_4-95-1201.pdf
(загрузок: 1351)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
Нелинейная динамика в лицах. История
Тип статьи: 
Персоналии
УДК: 
51(09)
DOI: 
10.18500/0869-6632-2018-26-4-95-120

Наследие Александра Михайловича Ляпунова и нелинейная динамика

Авторы: 
Мухин Равиль Рафкатович, Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова (филиал) Национальный исследовательский технологический университет "МИСиС" (СТИ НИТУ МИСиС)
Аннотация: 

Цель. Целью работы является изучение научного наследия А.М. Ляпунова с позиций нелинейной физики. Фундаментальной важности вклад Ляпунова определяется не только созданными им методами, которые вошли в основу математического аппарата при изучении нелинейных явлений. Его идеи и введенные им понятия способствовали формированию концепций и принципов нелинейной динамики. Метод. Исследование основано на анализе оригинальных работ Ляпунова с привлечением имеющейся литературы, касающейся его творчества. Результаты. Творчество Ляпунова тесно переплетается с деятельностью А.Пуанкаре, среди многих других фундаментальных достижений которого особое значение имеет качественная теория, составившая концептуальную основу нелинейной динамики. Ляпунов явился ближайшим продолжателем Пуанкаре в области качественной теории. Качественной по своей сути является теория устойчивости Ляпунова, одно из крупнейших достижений математики XIX в. С этих позиций Ляпунов подходит к самой постановке задачи устойчивости, выделяя невозмущенное и возмущенное движение. Он разработал методы решения задач устойчивости, предложив и строго обосновав конкретные алгоритмы. Одной из труднейших проблем математики и механики уже в течение нескольких столетий является проблема фигур равновесия вращающейся жидкости. Она имеет многочисленные приложения, стимулировала появление новых идей и целых направлений исследований. В решение проблемы фигур равновесия Ляпунов вместе с Пуанкаре внес определяющий вклад. Ляпунов подробно и совершенно строго исследовал серии новых фигур равновесия, их бифуркации и устойчивость. При этом он создал новые аналитические методы исследования, в частности, работы Ляпунова и Пуанкаре дали мощный импульс развитию теории нелинейных интегральных уравнений. Важное общенаучное значение имеет дальнейшее развитие результатов Ляпунова. Фундаментальное значение для нелинейной динамики приобрели показатели Ляпунова. В основе их использования лежит мультипликативная эргодическая теорема. Показатели Ляпунова связаны с другой важнейшей величиной, также являющейся мерой хаотичности и неустойчивости – энтропией Колмогорова–Синая. Обсуждение. Введенные Ляпуновым понятия и созданные методы имеют непреходящее значение, они не только составили математический аппарат, но в значительной степени формируют концепции и принципы нелинейной динамики.  

Ключевые слова: 
Нелинейные системы
качественные методы
устойчивость и неустойчивость
фигуры равновесия
бифуркации
показатели Ляпунова
энтропиия Колмогорова–Синая
Список источников: 
  1. Стеклов В.А. Александр Михайлович Ляпунов // Ляпунов А.М. Работы по теории потенциала. М.;Л.: ГИТТЛ, 1949. С. 9–32.
  2. Смирнов В.И. Александр Михайлович Ляпунов // Академик А.М. Ляпунов. Собр. соч. Т. I. М.: Изд-во АН СССР, 1954. С. 5–15.
  3. Цыкало А.Л. Александр Михайлович Ляпунов. М.: Наука, 1988. 244 с.
  4. Смирнов В.И. Очерк научных трудов А.М. Ляпунова // Ляпунов А.М. Избр. труды. М.: Изд-во АН СССР, 1948. С. 341–450.
  5. Шибанов А.С. Александр Михайлович Ляпунов. М.: Мол. гвардия, 1985. 336 с.
  6. Демидов С.С., Козлов В.В. К 150-летию Александра Михайловича Ляпунова // Ляпунов А.М. Избр. труды: работы по теории устойчивости. М.: Наука, 2007. С. 7–26.
  7. Leine R.I. The historical development of classical stability concepts: Lagrange, Poisson and Lyapunov stability // Nonlinear Dyn. 2010. Vol. 59. Pp. 173–182.
  8. Mawhin J. Nonlinear oscillations: one hundred years after Liapunov and Poincare // Zeitschrift fur Angenwandte Mathematik und Mechanik. 1993. B. 73. S. 54–62.
  9. Bountis T. Stability of motion: from Lypunov to the dynamics of N-degree of freedom Hamiltonian system // Nonlinear phenomena in complex systems. 2006. Vol. 9, no. 3. Pp. 209–239.
  10. Grattan-Guinnes I. The Norton History of the Mathematical Sciences. N.Y.: W.W. Norton and Com., 1997. 832 pp.
  11. Iurato G. The dawning of the theory of equilibrium figures // archive: 1409.1823.
  12. Jardetzky W.S. Theories of figures of selestial bodies. N.Y.: Interscience Publishers, Inc., 1985. 208 pp.
  13. Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.Н., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. М.: Наука, 1966. 576 с.
  14. Литтлтон Р.А. Устойчивость вращающихся масс жидкости. Москва; Ижевск: РХД, 2001. 240 с.
  15. Лихтенштейн Л. Фигуры равновесия вращающейся жидкости. М.: Наука, 1965. 252 с.
  16. Mawhin J. Alexandr Mikhailovich Liapunov. The general problem of the stability of motion // Landmark writings in western mathematics, 1640–1940. Amsterdam: Elseiver, 2005. Pp. 664–676.
  17. Mawhin J. The centennial legacy of Poincare and Liapunov in ordinary differential equations // Rendiconti Circolo Matematico di Palermo. 1994. Suppl. Ser. II, no. 34. Pp. 9–46.
  18. Демидов С.С., Петрова С.С., Симонов Н.Н. Обыкновенные дифференциальные уравнения // Математика XIX в. М.: Наука, 1987. С. 80–183.
  19. Aleksandr Mikhailovich Lyapunov // Russian Mathematicians in 20th Century/ Ya. Sinai ed. N.Y.; L.: World Scientific, 2003. P. 1–16.
  20. Пуанкаре А. Аналитическое резюме // А. Пуанкаре. Избр. труды. Т. 3. М.: Наука, 1974. С. 580–655.
  21. Poincare H. Memoire sur les courbes definies par une equations differentielle // J. math. pures et appl. Ser. 3. 1881. Vol. 7. Pp. 375–422; 1882. Vol. 8. Pp. 251–296; Ser. 4. 1885. Vol. 1. Pp. 167–244; 1886. Vol. 2. Pp. 151–217.
  22. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.: ГИТТЛ, 1947. 392 с.
  23. Александров П.С. Пуанкаре и топология // УМН. 1972. Т. 27. В. 1. С. 147–158.
  24. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения // Ляпунов А.М. Избр. труды: Работы по теории устойчивости. М.: Наука, 2007. С. 27–298.
  25. Моисеев Н.Д. Очерки развития теории устойчивости. М.; Л.: ГИТТЛ, 1949. 664 с.
  26. История механики с конца XVIII до середины ХХ века. М.: Наука, 1972. 417 с.
  27. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума либо минимума или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле, Леонарда Эйлера, королевского профессора и члена Императорской Петербургской Академии наук. М.; Л.: ГТТИ, 1934. 603 с.
  28. Lagrange J.L. Sur le principe des vitesse virtuelles // Oeuvres de Lagrange. T. VII. Paris: Gautier-Villars, 1877. Pp. 317–321.
  29. Mecanique analiytique, par J.L. Lagrange. T. Premiere. Paris, 1811. 422 p.
  30. Lejeune-Dirichlet P.G. Uber die Stabilit ¨ at des Gleichgewichts // CRELLE, J. Reine Angew. Math. 1846. B. 32. S. 85–88.
  31. Лежен-Дирихле П.Г. Об устойчивости равновесия // Лагранж Ж. Аналитическая механика. Т. 1. М.; Л.: ГИТТЛ, 1950. С. 537–540.
  32. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики // А. Пуанкаре. Избр. труды. Т. II. М.: Наука, 1972. 998 с.
  33. Жуковский Н.Е. О прочности движения // Учен. записки Москов. ун-та. Отдел физ.-мат. наук. 1882. Т. 4. С. 10–21.
  34. Leonov G.A., Burkin I.M., Shepeljavyi A.I. Frequently methods in oscillation theory. Mathematics and its applications. Vol. 357. Kluwer Academic, Dordrecht. 1996. 403 p.
  35. Thomson W. Treatise on Natural Philosophy. Vol. 1.1. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1879. 508 p.
  36. Routh E. A Treatise on the Stability of a Given State of Motion. London: Macmillan and Co., 1877. 129 p.
  37. Routh E. The Elementary Part of a Treatise on the Dynamics of a System of Rigid Bodies. London: Macmillan and Co., 1860. 588 p.
  38. Мандельштам Л.И. Предисловие к кн.: Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматлит, 1959. С. 9–13.
  39. Ньютон И. Математические начала натуральной философии // В кн.: Собрание трудов академика А.Н. Крылова. Т. 7. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1936. 703 с.
  40. Тассуль Ж.-Л. Теория вращающихся звезд. М.: Мир, 1982. 472 с.
  41. Todhunter I. A History of the Mathematical Theories of Attraction and the Figure of the Earth from the Time of Newton to that of Laplace. L.: Macmillan and Co., 1873. V. I. XVIII + 474 p.
  42. Maclauren C. Traite des Fluxions. Edinburgh, 1742. 574 p.
  43. Jacobi C.G. Uber die Figur des Gleichgewichts // Ann. Phys. u. Chem. 1834. B. 33. S. 229–233; Gesammelte Werke. T. 2. Berlin: Verlag von G. Reimer, 1882–1891. S. 17–22.
  44. Ляпунов А.М. О форме небесных тел // Академик А.М. Ляпунов. Собр. соч. Т. III. М.: Изд-во АН СССР, 1959. С. 361–374.
  45. Ляпунов А.М. Об устойчивости эллипсоидальных форм равновесия вращающейся жидкости // Академик А.М. Ляпунов. Собр. соч. Т. III. М.: Изд-во АН СССР, 1959. С. 5–113.
  46. Poincare H. Sur l’equilibre d’un masse fluide animee d’un mouvement de rotation // Acta. Math. 1885. T. 7. P. 259–380; Oeuvres de Henri Poincare. T. VII. Paris: Gautier-Villars, 1952. P. 40–140.
  47. Большая Советская энциклопедия. Т. 3. М.: Сов. Энциклопедия, 1970. 640 с.
  48. Poincare H. Sur la stabilite d’equilibre des figures piriformes affectees par unemasse fluide animee en rotation // Proc. Roy. Soc. London. 1901. Vol. 69. Pp. 148–149. 
  49. Darwin G. The stability of the pear-shaped figure of equilibrium of a rotating mass of liquid // Phyl. Transactions. 1903. Vol. 200. Ser. A. Pp. 251–314.
  50. Darwin G. Further consideration of the stability of the pear-shaped figure of equilibrium of a rotating mass of liquid // Phyl. Transactions of the Royal Soc. of London. 1908. Vol. 208. Ser. A. Pp. 1–19.
  51. Liapounoff A.M. Sur les figures d’equilibre peu differentes des ellipsoids d’unemasse liquide homogene douee d’un mouvement de rotation. I partie. Etude generaledu probleme // St.-Pbg. Imprim. de l’Acad. des Sc. 1906. IV+225 p.
  52. Liapounoff A.M. Sur les figures d’equilibre peu differentes des ellipsoids d’unemasse liquide homogene douee d’un mouvement de rotation. II partie. Figure d’equi-libre derivee des ellipsoides de Maclaurin // St.-Pbg. Imprim. de l’Acad. des Sc. 1909. IV+203 p.
  53. Liapounoff A.M. Sur les figures d’equilibre peu differentes des ellipsoids d’unemasse liquide homogene douee d’un mouvement de rotation. III partie. Figure d’equilibre derivee des ellipsoides de Jacobi. St.-Pbg. Imprim. de l’Acad. des Sc.1912. IV+228 p.
  54. Liapounoff A.M. Sur les figures d’equilibre peu differentes des ellipsoids d’unemasse liquide homogene douee d’un mouvement de rotation. IV partie. Nouvelles formules pour la recherches des figures d’equilibre // St.-Pbg. Imprim. de l’Acad. des Sc. 1914. IV+112 p.
  55. Jeans G. The motion of tidally-distorted masses with special reference of cosmogony // Memories of the Royal Astron. Soc. 1917. Vol. 62. Pp. 1–48.
  56. Ляпунов А.М. Об одной задаче Чебышева // Зап. Акад. Наук по Физ.-мат. отд. 1905. 8 сер. Т. 17. № 3. С. 1–32; А.М. Ляпунов. Собр. Соч. Т. 3. М.–Л.: Изд-во АН СССР, 1959. С. 207–236.
  57. Мухин Р.Р. Динамический хаос: трудный путь открытия // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2014. № 4. С. 43–54.
  58. Rayleigh J.W. The theory of sound. L.: MacMillan and Co. In two volumes. 1877. Vol. I. 326 p.; 1878. Vol. II. 315 p.
  59. Schmidt E. Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. I Teil: Entwicklung willkurlicher Funktionen nach Systemen vorgeschriebener // Math. Ann. 1907. B. 63. S. 433–476.
  60. Schmidt E. Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. II Teil: Auflosung der allgemeinen linearen Integralgleichung // Math. Ann. 1907. B. 64. S. 161–174.
  61. Хведелидзе Б.В. Уравнение Ляпунова–Шмидта // Матем. Энциклопедия. Т. 3. М.: Сов. Энциклопедия, 1982. С. 473–474.
  62. Юшкевич В.И. А.М. Ляпунов и Академия наук Института Франции // Ист.- матем. исслед. 1965. № 16. С. 375–388.
  63. Смирнов В.И., Юшкевич В.И. Переписка А.М. Ляпунова с А. Пуанкаре и П. Дюэмом // Ист.-матем. исслед. 1985. № 29. С. 265–284.
  64. Александр Михайлович Ляпунов. Библиография / Составитель А.М. Лукомская, под ред. В.И. Смирнова. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1953. 268 с.
  65. Liapounoff A. Probleme generale de la stabilite du mouvement // Annales de lafaculte des science de Toulouse, 2-serie, № 9. 1907. P. 203–474.
  66. Lyapunov A.M. Probleme Generale de la Stabilite du Mouvement. Princeton, N.Y.: Princeton Univ. Press, 1947. 375 pp.
  67. Lyapunov A.M. The general problem of the stability of motion // Int. J. Control. 1992. Vol. 55, no. 3. Pp. 521–790.
  68. Perron O. Die Ordnungszahlen linearer Differential gleichungs systeme // Mathem. Zeitschr. 1930. B. 31. S. 748–766.
  69. Оселедец В.И. Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристические показатели Ляпунова динамических систем // Тр. Моск. мат. общества. 1968. Т. 19. С. 179–210.
  70. Миллионщиков М.Д. Критерий устойчивости вероятностного спектра линейных систем дифференциальных уравнений с рекуррентными коэффициентами и критерий почти приводимости систем с почти периодическими коэффициентами // Мат. сб. 1969. Т. 78, № 2. С. 179–202.
  71. Колмогоров А.Н. Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространств Лебега // ДАН СССР. 1958. Т. 119, № 5. С. 861–864.
  72. Колмогоров А.Н. Об энтропии на единицу времени как метрическом инварианте автоморфизмов // ДАН СССР. 1959. Т. 124, № 4. С. 754–755.
  73. Синай Я.Г. О понятии энтропии динамических систем // ДАН СССР. 1959. Т. 124, № 4. С. 768–771.
  74. Мухин Р.Р. Развитие Колмогоровым энтропийного направления эргодической теории // Истор.-матем. исслед. 2003. серия. В. 8 (43). С. 18–26.
  75. Синай Я.Г. Письменное сообщение 26.03.2007.
  76. Рохлин В.А. Лекции по энтропийной теории преобразований с инвариантной мерой // УМН. 1967. Т. 22. В. 5. С. 3–56.
  77. Рауссен М., Скау К. Интервью с Я.Г. Синаем, абелевским лауреатом 2014 года // Матем. просвещение. Третья серия, вып. 19. М.: изд-во МЦНМО, 2015. С. 52–69.
  78. Успенский В.А. Колмогоров, каким я его помню // Труды по НЕматематике. Т. 2. М.: ОГИ, 2002. С. 1068–1163.
  79. Каменский М.И. Некоторые не записанные вовремя рассказы Владимира Ивановича // Владимир Иванович Соболев в воспоминаниях коллег и учеников. Воронеж: НАУКА-ЮНИПРЕСС, 2014. С. 50–53.
  80. Ляпунов А.М. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения. Л.: Изд-во ЛГУ, 1963. 117 c.
  81. Хинчин А.Я. Об основных теоремах теории информации // УМН. 1956. Т. 11. В. 1. С. 17–75.
  82. Песин Я.Б. Характеристические показатели Ляпунова и гладкая эргодическая теория // УМН. 1977. Т. 32. В. 4. С. 55–112.
  83. Landmark writings in western mathematics, 1640–1940. Amsterdam: Elseiver, 2005. 1022 p. 
Поступила в редакцию: 
24.04.2018
Принята к публикации: 
29.05.2018
Опубликована: 
31.08.2018
Краткое содержание:
Иконка PDF a2018no4p95-120.pdf
(загрузок: 112)
  • 2322 просмотра