Для цитирования:
Мухин Р. Р. Наследие Александра Михайловича Ляпунова и нелинейная динамика // Известия вузов. ПНД. 2018. Т. 26, вып. 4. С. 95-120. DOI: 10.18500/0869-6632-2018-26-4-95-120
Наследие Александра Михайловича Ляпунова и нелинейная динамика
Цель. Целью работы является изучение научного наследия А.М. Ляпунова с позиций нелинейной физики. Фундаментальной важности вклад Ляпунова определяется не только созданными им методами, которые вошли в основу математического аппарата при изучении нелинейных явлений. Его идеи и введенные им понятия способствовали формированию концепций и принципов нелинейной динамики. Метод. Исследование основано на анализе оригинальных работ Ляпунова с привлечением имеющейся литературы, касающейся его творчества. Результаты. Творчество Ляпунова тесно переплетается с деятельностью А.Пуанкаре, среди многих других фундаментальных достижений которого особое значение имеет качественная теория, составившая концептуальную основу нелинейной динамики. Ляпунов явился ближайшим продолжателем Пуанкаре в области качественной теории. Качественной по своей сути является теория устойчивости Ляпунова, одно из крупнейших достижений математики XIX в. С этих позиций Ляпунов подходит к самой постановке задачи устойчивости, выделяя невозмущенное и возмущенное движение. Он разработал методы решения задач устойчивости, предложив и строго обосновав конкретные алгоритмы. Одной из труднейших проблем математики и механики уже в течение нескольких столетий является проблема фигур равновесия вращающейся жидкости. Она имеет многочисленные приложения, стимулировала появление новых идей и целых направлений исследований. В решение проблемы фигур равновесия Ляпунов вместе с Пуанкаре внес определяющий вклад. Ляпунов подробно и совершенно строго исследовал серии новых фигур равновесия, их бифуркации и устойчивость. При этом он создал новые аналитические методы исследования, в частности, работы Ляпунова и Пуанкаре дали мощный импульс развитию теории нелинейных интегральных уравнений. Важное общенаучное значение имеет дальнейшее развитие результатов Ляпунова. Фундаментальное значение для нелинейной динамики приобрели показатели Ляпунова. В основе их использования лежит мультипликативная эргодическая теорема. Показатели Ляпунова связаны с другой важнейшей величиной, также являющейся мерой хаотичности и неустойчивости – энтропией Колмогорова–Синая. Обсуждение. Введенные Ляпуновым понятия и созданные методы имеют непреходящее значение, они не только составили математический аппарат, но в значительной степени формируют концепции и принципы нелинейной динамики.
- Стеклов В.А. Александр Михайлович Ляпунов // Ляпунов А.М. Работы по теории потенциала. М.;Л.: ГИТТЛ, 1949. С. 9–32.
- Смирнов В.И. Александр Михайлович Ляпунов // Академик А.М. Ляпунов. Собр. соч. Т. I. М.: Изд-во АН СССР, 1954. С. 5–15.
- Цыкало А.Л. Александр Михайлович Ляпунов. М.: Наука, 1988. 244 с.
- Смирнов В.И. Очерк научных трудов А.М. Ляпунова // Ляпунов А.М. Избр. труды. М.: Изд-во АН СССР, 1948. С. 341–450.
- Шибанов А.С. Александр Михайлович Ляпунов. М.: Мол. гвардия, 1985. 336 с.
- Демидов С.С., Козлов В.В. К 150-летию Александра Михайловича Ляпунова // Ляпунов А.М. Избр. труды: работы по теории устойчивости. М.: Наука, 2007. С. 7–26.
- Leine R.I. The historical development of classical stability concepts: Lagrange, Poisson and Lyapunov stability // Nonlinear Dyn. 2010. Vol. 59. Pp. 173–182.
- Mawhin J. Nonlinear oscillations: one hundred years after Liapunov and Poincare // Zeitschrift fur Angenwandte Mathematik und Mechanik. 1993. B. 73. S. 54–62.
- Bountis T. Stability of motion: from Lypunov to the dynamics of N-degree of freedom Hamiltonian system // Nonlinear phenomena in complex systems. 2006. Vol. 9, no. 3. Pp. 209–239.
- Grattan-Guinnes I. The Norton History of the Mathematical Sciences. N.Y.: W.W. Norton and Com., 1997. 832 pp.
- Iurato G. The dawning of the theory of equilibrium figures // archive: 1409.1823.
- Jardetzky W.S. Theories of figures of selestial bodies. N.Y.: Interscience Publishers, Inc., 1985. 208 pp.
- Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.Н., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. М.: Наука, 1966. 576 с.
- Литтлтон Р.А. Устойчивость вращающихся масс жидкости. Москва; Ижевск: РХД, 2001. 240 с.
- Лихтенштейн Л. Фигуры равновесия вращающейся жидкости. М.: Наука, 1965. 252 с.
- Mawhin J. Alexandr Mikhailovich Liapunov. The general problem of the stability of motion // Landmark writings in western mathematics, 1640–1940. Amsterdam: Elseiver, 2005. Pp. 664–676.
- Mawhin J. The centennial legacy of Poincare and Liapunov in ordinary differential equations // Rendiconti Circolo Matematico di Palermo. 1994. Suppl. Ser. II, no. 34. Pp. 9–46.
- Демидов С.С., Петрова С.С., Симонов Н.Н. Обыкновенные дифференциальные уравнения // Математика XIX в. М.: Наука, 1987. С. 80–183.
- Aleksandr Mikhailovich Lyapunov // Russian Mathematicians in 20th Century/ Ya. Sinai ed. N.Y.; L.: World Scientific, 2003. P. 1–16.
- Пуанкаре А. Аналитическое резюме // А. Пуанкаре. Избр. труды. Т. 3. М.: Наука, 1974. С. 580–655.
- Poincare H. Memoire sur les courbes definies par une equations differentielle // J. math. pures et appl. Ser. 3. 1881. Vol. 7. Pp. 375–422; 1882. Vol. 8. Pp. 251–296; Ser. 4. 1885. Vol. 1. Pp. 167–244; 1886. Vol. 2. Pp. 151–217.
- Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.: ГИТТЛ, 1947. 392 с.
- Александров П.С. Пуанкаре и топология // УМН. 1972. Т. 27. В. 1. С. 147–158.
- Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения // Ляпунов А.М. Избр. труды: Работы по теории устойчивости. М.: Наука, 2007. С. 27–298.
- Моисеев Н.Д. Очерки развития теории устойчивости. М.; Л.: ГИТТЛ, 1949. 664 с.
- История механики с конца XVIII до середины ХХ века. М.: Наука, 1972. 417 с.
- Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума либо минимума или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле, Леонарда Эйлера, королевского профессора и члена Императорской Петербургской Академии наук. М.; Л.: ГТТИ, 1934. 603 с.
- Lagrange J.L. Sur le principe des vitesse virtuelles // Oeuvres de Lagrange. T. VII. Paris: Gautier-Villars, 1877. Pp. 317–321.
- Mecanique analiytique, par J.L. Lagrange. T. Premiere. Paris, 1811. 422 p.
- Lejeune-Dirichlet P.G. Uber die Stabilit ¨ at des Gleichgewichts // CRELLE, J. Reine Angew. Math. 1846. B. 32. S. 85–88.
- Лежен-Дирихле П.Г. Об устойчивости равновесия // Лагранж Ж. Аналитическая механика. Т. 1. М.; Л.: ГИТТЛ, 1950. С. 537–540.
- Пуанкаре А. Новые методы небесной механики // А. Пуанкаре. Избр. труды. Т. II. М.: Наука, 1972. 998 с.
- Жуковский Н.Е. О прочности движения // Учен. записки Москов. ун-та. Отдел физ.-мат. наук. 1882. Т. 4. С. 10–21.
- Leonov G.A., Burkin I.M., Shepeljavyi A.I. Frequently methods in oscillation theory. Mathematics and its applications. Vol. 357. Kluwer Academic, Dordrecht. 1996. 403 p.
- Thomson W. Treatise on Natural Philosophy. Vol. 1.1. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1879. 508 p.
- Routh E. A Treatise on the Stability of a Given State of Motion. London: Macmillan and Co., 1877. 129 p.
- Routh E. The Elementary Part of a Treatise on the Dynamics of a System of Rigid Bodies. London: Macmillan and Co., 1860. 588 p.
- Мандельштам Л.И. Предисловие к кн.: Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматлит, 1959. С. 9–13.
- Ньютон И. Математические начала натуральной философии // В кн.: Собрание трудов академика А.Н. Крылова. Т. 7. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1936. 703 с.
- Тассуль Ж.-Л. Теория вращающихся звезд. М.: Мир, 1982. 472 с.
- Todhunter I. A History of the Mathematical Theories of Attraction and the Figure of the Earth from the Time of Newton to that of Laplace. L.: Macmillan and Co., 1873. V. I. XVIII + 474 p.
- Maclauren C. Traite des Fluxions. Edinburgh, 1742. 574 p.
- Jacobi C.G. Uber die Figur des Gleichgewichts // Ann. Phys. u. Chem. 1834. B. 33. S. 229–233; Gesammelte Werke. T. 2. Berlin: Verlag von G. Reimer, 1882–1891. S. 17–22.
- Ляпунов А.М. О форме небесных тел // Академик А.М. Ляпунов. Собр. соч. Т. III. М.: Изд-во АН СССР, 1959. С. 361–374.
- Ляпунов А.М. Об устойчивости эллипсоидальных форм равновесия вращающейся жидкости // Академик А.М. Ляпунов. Собр. соч. Т. III. М.: Изд-во АН СССР, 1959. С. 5–113.
- Poincare H. Sur l’equilibre d’un masse fluide animee d’un mouvement de rotation // Acta. Math. 1885. T. 7. P. 259–380; Oeuvres de Henri Poincare. T. VII. Paris: Gautier-Villars, 1952. P. 40–140.
- Большая Советская энциклопедия. Т. 3. М.: Сов. Энциклопедия, 1970. 640 с.
- Poincare H. Sur la stabilite d’equilibre des figures piriformes affectees par unemasse fluide animee en rotation // Proc. Roy. Soc. London. 1901. Vol. 69. Pp. 148–149.
- Darwin G. The stability of the pear-shaped figure of equilibrium of a rotating mass of liquid // Phyl. Transactions. 1903. Vol. 200. Ser. A. Pp. 251–314.
- Darwin G. Further consideration of the stability of the pear-shaped figure of equilibrium of a rotating mass of liquid // Phyl. Transactions of the Royal Soc. of London. 1908. Vol. 208. Ser. A. Pp. 1–19.
- Liapounoff A.M. Sur les figures d’equilibre peu differentes des ellipsoids d’unemasse liquide homogene douee d’un mouvement de rotation. I partie. Etude generaledu probleme // St.-Pbg. Imprim. de l’Acad. des Sc. 1906. IV+225 p.
- Liapounoff A.M. Sur les figures d’equilibre peu differentes des ellipsoids d’unemasse liquide homogene douee d’un mouvement de rotation. II partie. Figure d’equi-libre derivee des ellipsoides de Maclaurin // St.-Pbg. Imprim. de l’Acad. des Sc. 1909. IV+203 p.
- Liapounoff A.M. Sur les figures d’equilibre peu differentes des ellipsoids d’unemasse liquide homogene douee d’un mouvement de rotation. III partie. Figure d’equilibre derivee des ellipsoides de Jacobi. St.-Pbg. Imprim. de l’Acad. des Sc.1912. IV+228 p.
- Liapounoff A.M. Sur les figures d’equilibre peu differentes des ellipsoids d’unemasse liquide homogene douee d’un mouvement de rotation. IV partie. Nouvelles formules pour la recherches des figures d’equilibre // St.-Pbg. Imprim. de l’Acad. des Sc. 1914. IV+112 p.
- Jeans G. The motion of tidally-distorted masses with special reference of cosmogony // Memories of the Royal Astron. Soc. 1917. Vol. 62. Pp. 1–48.
- Ляпунов А.М. Об одной задаче Чебышева // Зап. Акад. Наук по Физ.-мат. отд. 1905. 8 сер. Т. 17. № 3. С. 1–32; А.М. Ляпунов. Собр. Соч. Т. 3. М.–Л.: Изд-во АН СССР, 1959. С. 207–236.
- Мухин Р.Р. Динамический хаос: трудный путь открытия // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2014. № 4. С. 43–54.
- Rayleigh J.W. The theory of sound. L.: MacMillan and Co. In two volumes. 1877. Vol. I. 326 p.; 1878. Vol. II. 315 p.
- Schmidt E. Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. I Teil: Entwicklung willkurlicher Funktionen nach Systemen vorgeschriebener // Math. Ann. 1907. B. 63. S. 433–476.
- Schmidt E. Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. II Teil: Auflosung der allgemeinen linearen Integralgleichung // Math. Ann. 1907. B. 64. S. 161–174.
- Хведелидзе Б.В. Уравнение Ляпунова–Шмидта // Матем. Энциклопедия. Т. 3. М.: Сов. Энциклопедия, 1982. С. 473–474.
- Юшкевич В.И. А.М. Ляпунов и Академия наук Института Франции // Ист.- матем. исслед. 1965. № 16. С. 375–388.
- Смирнов В.И., Юшкевич В.И. Переписка А.М. Ляпунова с А. Пуанкаре и П. Дюэмом // Ист.-матем. исслед. 1985. № 29. С. 265–284.
- Александр Михайлович Ляпунов. Библиография / Составитель А.М. Лукомская, под ред. В.И. Смирнова. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1953. 268 с.
- Liapounoff A. Probleme generale de la stabilite du mouvement // Annales de lafaculte des science de Toulouse, 2-serie, № 9. 1907. P. 203–474.
- Lyapunov A.M. Probleme Generale de la Stabilite du Mouvement. Princeton, N.Y.: Princeton Univ. Press, 1947. 375 pp.
- Lyapunov A.M. The general problem of the stability of motion // Int. J. Control. 1992. Vol. 55, no. 3. Pp. 521–790.
- Perron O. Die Ordnungszahlen linearer Differential gleichungs systeme // Mathem. Zeitschr. 1930. B. 31. S. 748–766.
- Оселедец В.И. Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристические показатели Ляпунова динамических систем // Тр. Моск. мат. общества. 1968. Т. 19. С. 179–210.
- Миллионщиков М.Д. Критерий устойчивости вероятностного спектра линейных систем дифференциальных уравнений с рекуррентными коэффициентами и критерий почти приводимости систем с почти периодическими коэффициентами // Мат. сб. 1969. Т. 78, № 2. С. 179–202.
- Колмогоров А.Н. Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространств Лебега // ДАН СССР. 1958. Т. 119, № 5. С. 861–864.
- Колмогоров А.Н. Об энтропии на единицу времени как метрическом инварианте автоморфизмов // ДАН СССР. 1959. Т. 124, № 4. С. 754–755.
- Синай Я.Г. О понятии энтропии динамических систем // ДАН СССР. 1959. Т. 124, № 4. С. 768–771.
- Мухин Р.Р. Развитие Колмогоровым энтропийного направления эргодической теории // Истор.-матем. исслед. 2003. серия. В. 8 (43). С. 18–26.
- Синай Я.Г. Письменное сообщение 26.03.2007.
- Рохлин В.А. Лекции по энтропийной теории преобразований с инвариантной мерой // УМН. 1967. Т. 22. В. 5. С. 3–56.
- Рауссен М., Скау К. Интервью с Я.Г. Синаем, абелевским лауреатом 2014 года // Матем. просвещение. Третья серия, вып. 19. М.: изд-во МЦНМО, 2015. С. 52–69.
- Успенский В.А. Колмогоров, каким я его помню // Труды по НЕматематике. Т. 2. М.: ОГИ, 2002. С. 1068–1163.
- Каменский М.И. Некоторые не записанные вовремя рассказы Владимира Ивановича // Владимир Иванович Соболев в воспоминаниях коллег и учеников. Воронеж: НАУКА-ЮНИПРЕСС, 2014. С. 50–53.
- Ляпунов А.М. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения. Л.: Изд-во ЛГУ, 1963. 117 c.
- Хинчин А.Я. Об основных теоремах теории информации // УМН. 1956. Т. 11. В. 1. С. 17–75.
- Песин Я.Б. Характеристические показатели Ляпунова и гладкая эргодическая теория // УМН. 1977. Т. 32. В. 4. С. 55–112.
- Landmark writings in western mathematics, 1640–1940. Amsterdam: Elseiver, 2005. 1022 p.
- 2216 просмотров