Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)


Образец для цитирования:

Глызин С. Д., Кащенко С. А., Толбей А. О. Уравнения с нелинейностями дислокаций и Ферми–Пасты–Улама //Известия вузов. ПНД. 2019. Т. 27, вып. 4. С. 52-70. DOI: https://doi.org/10.18500/0869-6632-2019-27-4-52-70

Опубликована онлайн: 
26.08.2019
Язык публикации: 
русский
УДК: 
517.956.8

Уравнения с нелинейностями дислокаций и Ферми–Пасты–Улама

Авторы: 
Глызин Сергей Дмитриевич, Ярославский государственный университет имени П.Г.Демидова (ЯрГУ)
Кащенко Сергей Александрович, Ярославский государственный университет имени П.Г.Демидова (ЯрГУ)
Толбей Анна Олеговна, Ярославский государственный университет имени П.Г.Демидова (ЯрГУ)
Аннотация: 

Тема и цель исследования. Исследуется класс уравнений Ферми–Пасты–Улама и уравнений, описывающих дислокации. Эти уравнения, являясь ярким представителем интегрируемых уравнений, представляют интерес как в теоретических построениях, так и в прикладных исследованиях. Исследуемые модели. В настоящей работе рассматривается модель, объединяющая эти два уравнения, для нее исследуются локальные динамические свойства решений. Важной особенностью модели является то обстоятельство, что всё бесконечное множество характеристических чисел линеаризованного в нуле уравнения состоит из чисто мнимых значений. Тем самым, в задаче об устойчивости нулевого решения реализуется критический случай бесконечной размерности. Для его исследования применяется специальный асимптотический метод построения, с той или иной степенью точности, так называемых нормализованных уравнений. С помощью таких уравнений определяется главная часть решений исходного уравнения, после чего можно строить асимптотику методами теории возмущений. Результаты. Все решения естественным образом разбиваются на два класса: регулярные решения, гладко зависящие от входящего в уравнение малого параметра, и нерегулярные, которые являются суперпозицией быстро осциллирующих по пространственной переменной функций. Для каждого класса решений выделены области такого изменения параметров уравнения, при которых главные части описываются различными нормализованными уравнениями. Представлены достаточно широкие классы таких уравнений, в которые входят, например, семейства уравнений Шредингера, Кортевега–де Вриза и др. Рассматривается задача определения такого множества параметров исходного уравнения, при которых нелинейность дислокаций и нелинейность ФПУ являются сопоставимыми по «силе», то есть ни одним из них нельзя пренебречь в первом приближении. Обсуждение. Интересно отметить, что для регулярных и нерегулярных решений области параметров, в которых нелинейности сопоставимы, различны, причем во втором случае соответствующая область существенно шире. Статья состоит их двух глав. В первой главе построены нормализованные уравнения для регулярных решений, а во втором – для нерегулярных. В свою очередь первая глава разбита на три части, в каждой из которых в зависимости от значения параметров построены принципиально различные нормализованные уравнения.
 

DOI: 
10.18500/0869-6632-2019-27-4-52-70
Библиографический список: 

1. Френкель Я.И., Конторова Т.А. К теории пластической деформации и двойникования: Ч. I, II, III // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1938. Т. 8. 89–95(I), 1340–1348(II), 1349–1358(III).

2. Уэрт Ч., Томсон Р. Физика твердого тела / пер. с англ. А. С. Пахомова, Б. Д. Сумма. 2-е изд. М.: Мир, 1969. 558 с.

3. Kudryashov N.A. Analytical properties of nonlinear dislocation equation // Applied Mathematics Letters. 2017. Vol. 69. P. 29–34.

4. Kudryashov N. A. From the Fermi–Pasta–Ulam model to higher-order nonlinear evolution equations // Reports on Mathematical Physics. 2016. Vol. 77, no. 1. P. 57–67.

5. Fermi E., Pasta J., Ulam S. Studies of Nonlinear Problems. I: Report LA-1940. Los Alamos Scientific Laboratory of the University of California, 1955. 21 p.

6. Genta T., Giorgilli A., Paleari S., Penati T. Packets of resonant modes in the Fermi–Pasta–Ulam system // Physics Letters A. 2012. Vol. 376, no. 28. P. 2038–2044.

7. Кудряшов Н.А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. 2-е изд. М.; Ижевск: Ин-т Комп. Исслед., 2004. 360 с. (Современная математика).

8. Gardner C.S., Greene J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteweg–de Vries equation // Physical Review Letters. 1967. Vol. 19, no. 19. P. 1095–1097. ISSN 0031-9007.

9. Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи / Пер. с англ. А.В. Михайлова, под ред. В.Е. Захарова; вступ. ст. В.Е. Захарова. М.: Мир, 1987. 480 с.

10. Глызин Д.С., Кащенко С.А., Толбей А.О. Взаимодействие двух волн в модели Ферми–Паста–Улама // Моделирование и анализ информационных систем. 2016. Т. 23, № 5. С. 548–558.

11. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988.

12. Кащенко С.А. Нормальная форма для уравнения Кортевега–де Фриза–Бюргерса // Доклады Академии наук. 2016. Т. 468, № 4. С. 383–386.

13. Kaschenko S. A. Normalization in the systems with small diffusion // International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 1996. Vol. 6, no. 6. P. 1093–1109.

14. Kashchenko I.S., Kashchenko S.A. Local dynamics of the two-component singular perturbed ssystems of parabolic type // International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 2015. Vol. 25, no. 11. P. 1550142.

15. Glyzin S.D., Kashchenko S.A., Tolbey A.O. Two-wave interactions in the Fermi–Pasta–Ulam model // Automatic Control and Computer Sciences. 2017. Vol. 51, No. 7. Pp. 627–633.

16. Kaschenko S.A. Bifurcational features in systems of nonlinear parabolic equations with weak diffusion // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2005. Vol. 15, no. 11. P. 3595–3606.

17. Newell A.C. Solitons in Mathematics and Physics. Philadelphia, Pa.: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1985. 260 p.

18. Zabusky N.J., Kruskal M.D. Interaction of «solitons» in a collisionless plasma and the recurrence of initial states // Phys Rev. Lett. 1965. Vol. 15. P. 240–243.

19. Korteweg D.J., de Vries G. On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal and on a new tipe of long stationary waves // Phil. Mag. 1895. Vol. 39. P. 422–443.

20. Burgers J.M. A mathematical model illustrating the theory of turbulence // Adv. Appl. Mech. 1948. Vol. 1. P. 171–199.

21. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. Ижевск: РХД, 2000. 560 с.

22. Kudryashov N.A. On «new travelling wave solutions» of the KdV and the KdV–Burgers equations // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 2009. Vol. 14(5). P. 1891–1900.

23. Kudryashov N.A. Exact soliton solutions of the generalized evolution equation of wave dynamics // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 1988. Vol. 52, no. 3. P. 361–365.

24. Kudryashov N.A. One method for finding exact solutions of nonlinear differential equations // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 2012. Vol. 17 (6). P. 2248–2253.

25. Kudryashov N.A. Painleve analysis and exact solutions of the Korteweg—de Vries equation with a source // Appl. Math. Lett. 2015. Vol. 41. P. 41–45.

26. Кащенко И.С. Мультистабильность в нелинейных параболических системах с малой диффузией // ДАН. 2010. Т. 435, № 2. С. 164–167.

27. Кащенко С.А. О квазинормальных формах для параболических уравнений с малой диффузией // Доклады Академии наук СССР. 1988. Т. 299, № 5. С. 1049–1052.

28. Кащенко И.С., Кащенко С.А. Квазинормальные формы двухкомпонентных сингулярно возмущенных систем // ДАН. 2012. Т. 447, № 4. С. 376–381. ISSN 0869-5652.

29. Глызин С.Д., Колесов А.Ю, Розов Н.Х. Автоволновые процессы в континуальных цепочках однонаправленно связанных генераторов // Избранные вопросы математической физики и анализа. Тр. МИАН. 2014. Т. 285. С. 89–106.

30. Глызин С.Д., Колесов А.Ю, Розов Н.Х. Явление буферности в континуальных цепочках однонаправленно связанных генераторов // ТМФ. 2014. Т. 181, № 2. С. 254–275.
31. Naumkin P.I. The dissipative property of a cubic non-linear Schro¨dinger equation // Izvestiya. Mathematics. 2015. Vol. 79, no. 2. P. 346–374.

32. Naumkin P.I. Solution asymptotics at large times for the non-linear Schro¨dinger equation // Izvestiya. Mathematics. 1997. Vol. 61, no. 4. P. 757–794.
 

Краткое содержание: 
Полный текст в формате PDF(En):